Thème 7 : Racines carrées-Le point sur les nombres

Thème 6 : Racines carrées-Le point sur les nombres
I - DEFINITION DE LA RACINE CARREE d’un nombre positif
Exemples :
 La racine carrée de 49 est 7, car 72 = 49 et 7 est positif. On note
749 
.
 La racine carrée de 1 est 1, car 12 = 1 et 1 est positif. On note
11 
.
 La racine carrée de 17,64 est4,2, car 4,22 = 17,64 et 4,2 est positif. On note
2,464,17 
.
Remarques :
1- la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas, car le carré d’un nombre est
toujours positif !
2- La racine carrée d’un nombre est un nombre positif :c’est une distance !
Utiliser la définition de la racine carrée pour calculer :
2
2
2
3 10 3 10 10 30
17
12 12 60
2 7 2 2 14
2 7 2 7 2 7
3
2 2 4 28
33
17 17 17
5 5 5
7 7 7
7 7 7
a est un nombre positif
La racine carrée de a notée
a
est le nombre positif tel que
2
a a a a  
I N F O
a a a
Pour
s’entraîner :
Exercices conseillés :
 sans calculatrice N° 6 p 44 N° 22 N° 23 p 50
 pour la calculatrice N° 7 p 44

II – Connaître les racines carrées correspondant aux premiers nombres entiers :
III – PROPRIETES SUR LES RACINES CARREES
1 – Attention :
16 9
64
5
; 16+9 ;Conclusion :
100 ; 100-64 ; Conclusion :
11 ; 11+5 ; Conclusion :.............. ...............
ATTENTION :
a b a b a b a b     
a et b entiers positifs et a plus grand que b
2 Produit de deux racines carrées (Démonstration faite en classe)
Si a et b sont deux nombres positifs, alors on a :
baba 
Exemples :
636218218213737 
babaetbaba 
3- Quotient de deux racines carrées
Si a et b sont deux nombres positifs, b différent de 0, alors on a :
b
a
b
a
Exemples :
416
2
32
2
32
6
7
42
7
42 
Application : Comment écrire autrement une somme avec des radicaux ?
a),
22
45 4 5 2 5 6 5
5 3 3 5 3 3 45 2 2 2 5 2 73
2
2
8 5 8 8
1 1 ; 4 2 ; 9 3 ; 16 4 ; 25 5 ; 36 6 ; 49 7 ; 64 8 ; 81 9
100 10 ; 121 11 ; 144 12 ; 169 13

b) Mettre sous la forme
ab
b entier positif le plus petit possible :
48 on divise 48 par 2 ,on obtient 24 ;on divise 48 pa 16r 3 on obtient 16 et
48 3 3
54 6 6
72 2 2
4
16 4
93
36 6
4 16
4
20 80
55
516 5
55
65
24
c) Racines carrées et développements :
2
2
35
3² 5
9 5 On réduit
= 14
On reconnaît (a+ b)² et on applique la formule avec a= 3 et b= 5
2 3 5 On n'oublie pas 2ab le double produit !!
6
6
+
5
5
A
A
A
A
22
2 3 1 2 3 1BC   
Démontrer que B + C = 26
22
2 3 1 2 3 1 On applique (a+b)² et (a-b)²
12+ 1 1 12 - 1 2 2 3 2 2 3 1
4 13+ 13 -
13+ 13- 26
3 4 3
4 3 4 3
BC
BC
BC
BC
9
9
2 45
25
25
325
65
=
INFO
Se rappeler II ;les racines
carrées correspondant à
un entier
Pour réviser
le contrôle :
Exercices conseillés :
 Calculs : N° 34-36-38-39-41 p 51
 Aires-Périmètres N° 60 p53 N° 101p56
 Brevet : N° 97-98-99-100 p 56
 Un auto-test avant le petit contrôle

III – Fiche bilan pour réviser
1. Connaître la définition et l’appliquer :
 Définition :
 Exemples : Calcule :
2
5
…
;
 77
…
;
64
…
;
2
9
…
2
25
=
2. Connaître les premiers carrés parfaits
a
0
1
4
9
16
100
a
11
12
3. Calculer la valeur numérique d’une expression littérale
Calculer
135 2 xxE
lorsque
3x
puis
7x
4. Calculer et écrire le résultat sous la forme
ou , sont des entiers et est un entier positif a b c a b a c b
14243 
18 – 8 + 2
5. Développer et réduire des écritures
2724 
=
6 (3 – 6) =
2
25 
=
2
532 
=
12 + 75 + 4 300
27 81 8 3 108

Propriété :
Exemples :
1°) Soit à résoudre l’équation x ² = 9.
x ² = 9 signifie que le carré de x est 9
Or, les deux nombres dont le carré est 9 sont
9
3 et
9
= - 3.
Conclusion : Les solutions de l’équation x ² = 9 sont 3 et - 3.
2°) L’équation x ² = - 7 n’a pas de solution ( en effet , x ² est positif )
QCM :
Il peut y avoir plusieurs réponses possibles ! Demande les réponses en classe !
R1
R2
R3
R4
Si a > 0 , alors l’équation x ² = a admet deux solutions :
a
et
a
.
L’équation x ² = 0, admet une seule solution : 0
Si a < 0, alors l’équation x ² = a n’admet pas de solution