Equations et inéquations

Suites numériques
Une suite numérique est un ensemble infini de nombres réels, appelés "termes" auxquels on attribue un rang,
autrement dit on "ordonne" cet ensemble de nombres. Il existe également une relation dite "de récurrence"
qui permet d'obtenir un terme à un rang donné à partir des termes de rang inférieur.
I) Suites arithmétiques
Définition : On dit qu'une suite (un)nℕ est arithmétique lorsque pour tout n  0 on a :
un+1 = un + r
où r est un nombre réel constant appelé raison de la suite.
Formule générale : (c'est le nom de l'expression de un en fonction de n uniquement)
Si (un)nℕ est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors :
un = u0 + n × r.
Exemples :  Pour tout n entier positif soit (un) la suite numérique telle que : u0 = 3.
Calculer u127.
un+1 = un + 2.
Rédaction : (un) est une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 2, donc pour tout
nℕ on a : un = 3 + n × 2.
Donc u127 = 3 + 127 × 2 = 257.
 Intérêts simples : On place un capital de 5000 € en janvier 2001 sur un livret avec un taux
d'intérêts simples de 1,75 % (les intérêts simples sont calculés à partir du capital originel et ne
varient pas pendant toute la durée du placement).
Leur montant est de 0,0175 × 5000 € = 87,5 €. On veut calculer u13, capital disponible en 2013.
La suite (un) telle que :
u1 = 5000.
est la suite décrivant l'évolution du capital placé.
un+1 = un + 87,5.
(un) est une suite arithmétique de premier terme 5000 et de raison 87,5, donc pour tout nℕ on
a : un = u1 + (n – 1) × r = 5000 + (n – 1) × 87,5. (on "décale" le rang dans la formule générale)
Donc u13 = 5000 + 12 × 87,5 = 6050.
En janvier 2013 on disposera de 6050 €.
Somme des premiers termes : Si (un)nℕ est une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors la
somme (u0 + u1 + u2 + … + un) est notée Sn et est donnée par :
u  un
Sn = (n + 1) 0
.
2
Exemple : Pour tout n entier positif soit (un) la suite numérique telle que : u0 = 2,7.
un+1 = un + 4.
Calculer u0 + … + u15.
Rédaction : (un) est une suite arithmétique de premier terme 2,7 et de raison 4, donc pour tout nℕ
u  un
on a : Sn = (n + 1) 0
.
2
u  u 15
2,7  2,7  15  4
65,4
Donc S15 = (15 + 1) 0
= 16 ×
= 16 ×
.
2
2
2
Donc S15 = 523,2.
II) Suites géométriques
Définition : On dit qu'une suite (un)nℕ est géométrique lorsque pour tout n  0 on a :
un+1 = un × q
où q est un nombre réel constant appelé raison de la suite.
Formule générale : Si (un)nℕ est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, alors :
un = u0 × qn.
Exemples :  Pour tout n entier positif soit (un) la suite numérique telle que : u0 = 3.
Calculer u22.
un+1 = un × 1,25.
Rédaction : (un) est une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 1,25, donc pour tout
nℕ on a : un = 3 × 1,25n.
5 22
Donc u22 = 3 × 1,25 22 = 3 22  406,5758.
4
 Intérêts composés : On place un capital de 5000 € en janvier 2001 sur un livret avec un taux
d'intérêts composés de 1,75 % (les intérêts composés sont recalculés chaque année à partir du
capital de l'année précédente et ils varient pendant toute la durée du placement).
On veut calculer u13, capital disponible en 2013.
Chaque année, le nouveau capital est le produit de l'ancien par 1,0175 (augmentation de 1,75 %)
La suite (un) telle que :
u1 = 5000.
est la suite décrivant l'évolution du capital placé.
un+1 = un × 1,0175.
(un) est une suite géométrique de premier terme 5000 et de raison 1,0175, donc pour tout nℕ
on a : un = u1 × q(n – 1) = 5000 × 1,0175 (13 – 1). (on "décale" le rang dans la formule générale)
Donc u13 = 5000 × 1,0175 12  6157,20.
En janvier 2013 on disposera d'environ 6157,20 €.
Somme des premiers termes : Si (un)nℕ est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, alors la
somme (u0 + u1 + u2 + … + un) est notée Sn et est donnée par :
1  q n 1
Sn = u0 ×
.
1 q
Exemple : Pour tout n entier positif soit (un) la suite numérique telle que : u0 = 4.
un+1 = un × 0,5.
Calculer u0 + … + u15.
Rédaction : (un) est une suite géométrique de premier terme 4 et de raison 0,5, donc pour tout nℕ
1  q n 1
on a : Sn = u0 ×
.
1 q
151
1
1   
2
Donc S15 = 4 ×
1
1
2
Donc S15  7,999 878.
1
1   
2
=4×
1
2
n
Remarque : (u0 + … + un – 1 + un) peut se noter :  uk.
k=0
16
  1 16 
1
= 8 × 1     = 8  13 .
2
 2 
III) Variations
Définition On dit qu'une suite (un)nℕ est croissante lorsque pour tout entier naturel n on a : un + 1  un.
(définition similaire pour une suite décroissante)
Méthode : Pour vérifier la croissance ou la décroissance d'une suite (un), on va étudier le signe de la
différence un+1 – un.
u
Si les termes de la suite sont positifs, on peut comparer le quotient n 1 avec 1.
un
IV) Limites de suites
Principe de limite (voir activité) : Lorsqu'on étudie une suite (un), il arrive que l'on observe les valeurs des
termes de la suite lorsque n prend de grandes valeurs. On distingue plusieurs cas :
 Les termes de la suite ont des valeurs absolues de plus en plus grandes (voir déf. "bleue").
 Les termes de la suite ont des valeurs qui semblent se "rapprocher" d'un nombre précis (voir déf. "verte")
 On n'observe rien de significatif.
Définition : Lorsqu'une suite (un)n ℕ est telle que :  p  ℕ,  n ℕ tel que un  10 p ; on dit qu'elle tend vers
+ ∞ lorsque n tend vers + ∞.
On dit également que la limite de (un) lorsque n tend vers + ∞ est + ∞ et on note : lim un = + ∞.
Remarque : Cette définition peut être adaptée pour une suite tendant vers – ∞.
2
n+∞
2
  p 
 p
2
2




Exemple : lim n = + ∞ ; car  p  ℕ, on a E 10  1  10 2  et donc ce terme est supérieur à 10 p.
 


 
 
n+∞


 
Définition : Lorsqu'une suite (un)n ℕ est telle que :  l  ℝ tel que  p  ℕ,  n ℕ tel que | un – l |  10 – p ;
on dit qu'elle tend vers l lorsque n tend vers + ∞.
On dit également que la limite de (un) lorsque n tend vers + ∞ est l et on note : lim un = l.
n+∞
1
Exemple : les termes de la suite (un) =  3   semblent se "rapprocher" du réel 3. Soit p  ℕ.
n

Pour tout entier n supérieur ou égal à 10 p on a : n  10 p .
1
1
u n  3  10 p .
Donc  10 p


3   3  10p
n
n
Donc lim un = 3.
n+∞
1) Suites définies par leur terme général
Pour étudier la limite d'une suite (un) dont le terme général est connu, on peut faire l'étude des variations de la
fonction f telle que : f(n) = un.
Exemple : Soit (un) la suite numérique telle que : un = n 2 – 10 5 n.
Dans un premier temps cette suite semble décroissante…
On pose la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par x  x 2 – 10 5 x.
f est une fonction polynôme de degré 2 de la forme ax 2 + bx + c avec a = 1, b = – 10 5 et c = 0.
Sa courbe représentative est une parabole décroissante puis croissante dont le sommet a pour
abscisse – b : (2a) = 50 000 et pour ordonnée f(50 000) = – 2,5 × 10 9.
Tableau de variations :
La suite (un) est décroissante puis croissante, on peut prouver qu'elle tend vers + ∞ en choisissant
un rang n  10 p  2,5 109  50000 pour un rang p donné (voir définition).
Il est également possible d'utiliser un algorithme pour déterminer un rang n à partir duquel on a un  10 p.
(algorithme à étudier en classe)
2) Suites géométriques
Théorème : Si (un)nℕ est une suite géométrique de premier terme u0 > 0 et de raison q > 0, alors :
+ ∞ si q > 1.
lim un = u0 si q = 1.
n+∞
0 si 0 < q < 1.
Exemples :  lim (3 × 1,25 n) = + ∞. (suite géom. de 1er terme 3 et de raison 1,25 strictement supérieure à 1)
n+∞
 lim (3 × 1 n) = 3. (suite géom. de 1er terme 3 et de raison 1)
n+∞
 lim (3 × 0,999 n) = 0. (suite géom. de 1er terme 3 et de raison 0,999 strictement inférieure à 1)
n+∞
Cas particuliers :  Si u0 = 0, la suite est constante et nulle.
 Si u0 < 0 et q > 1, la limite sera – ∞.
 Si q est négatif alors les termes changent constamment de signe :
* Pour – 1 < q < 0, la limite sera 0. * Pour q  –1 il n'y a pas de limite !