Bonsoir Sarah

Exercice 1 : partie A
On réalise une expérience aléatoire.
A désigne un évènement et A son événement contraire.
On pose p(A)=x
1) exprimer p ( A ) en fonction de x.
résultat du cours : p( A )  1  p( A)  1  x
2) déterminer les valeurs possibles de x sachant que p( A)  p( A )  0,24
On remplace : x(1  x)  0,24
On développe, c'est une équation du second degré : - x 2  x - 0,24  0
Discriminant :   b 2  4ac  1  4(1)(0,24)  1  0,96  0,04
Remarque :
  0,04  0,2 2  0,2 > 0
 b    1  0,2 1  0,2  0,8 1,2 


  ;   0,4;0,6
2a
2(1)
2
 2 2
On vérifie : 0,6*(1 – 0,6) = 0,6 * 0,4 = 0,24
Les 2 valeurs possibles de x sont 0,4 et 0,6
D'où les 2 racines : x 
Exercice 1 : partie B
La "revue spéciale d'économie" et le "guide des placements en bourse" sont deux magazines
mensuels offrant à leurs lecteurs la possibilité d'abonnement commun.
On s'intéresse à l'ensemble des lecteurs de l'une ou l'autre de ces deux revues.
Parmi ces lecteurs, certains sont abonnés.
Les abonnés ont souscrit soit l'un des deux abonnements, soit les deux abonnements
simultanément.
Une étude a permis de constater que :
60% de l'ensemble des lecteurs ton souscrit un abonnement à la "revue spé d'éco" et parmi
eux 3/5 ont aussi choisi l'abonnement au "guide des placements en bourse".
10% des lecteurs n'ayant pas choisi l'abonnement à la "revue spé d'éco " ont souscrit
l'abonnement au "guide des placements en bourse ".
On note :
A l'événement : " le lecteur a choisi l'abonnement à la "revue spé d'éco "
B l'événement:" le lecteur a choisi l'abonnement a un guide des placements en bourse ".
Traduction de l'énoncé :
Tous les lecteurs (P=1) se décompose en A (0,60) et A (0,40)
A se décompose en (proba. conditionnelle) 3/5 = 0.60 B et 2/5 = 0.40 B
A se décompose en (proba. conditionnelle) 0,10 B et 0,90 B
tous les lecteurs
0,60
----------->
A
0,40
----------->
A
3 / 5 = 0,60
----------->
2 / 5 = 0,40
----------->
0,10
----------->
B
B
B
0,90
----------->
B
1) dans l'énoncé il y a un arbre pondéré qu'on nous demande de remplir et il nous demande de
déduire les p(A), p( A ) et p (B sachant A )
Traduction directe de l'énoncé :
p(A) = 0,60
p( A ) = 0,40
p(B sachant A ) = 0,10
2) a. Traduire par une phrase l'événement A  B et donner sa probabilité.
A B : les lecteurs abonnés aux 2 revues : p(A  B) = p(A) * p(B sachant A) = 0,6 * 0,60 =
0,36
b. Traduire par une phrase l'événement A  B et donner sa probabilité.
Lecteurs abonnés à aucune des 2 revues : p( A  B ) = p( A ) * P( B sachant A ) = 0,40 * 0,90
= 0,36
3) calculer p(B). En déduire la probabilité qu'un lecteur soit abonné à la "revue spéciale
d'économie " sachant qu'il est abonné au "guide des placements en bourse ".
Tous les cas B possibles sont au nombre de 2 : (A  B) et ( A  B)
p(B ) = p(A  B) + p( A  B) = 0,36 + p( A )*p(B sachant A ) = 0,36 + (0,40*0,10) =
0,36+0,04 = 0,40
Exercice 2 :
Le tiers d'une population a été vacciné contre une maladie.
P(V) = 1/3
Au cours d'une épidémie, on constate que sur quinze malades : il ya deux personnes
vaccinées.
P(V sachant M) = 2 / 15
On suppose que sur cent personnes vaccinées huit sont malades.
P(M sachant V) = 8 / 100
On choisit un individu au hasard dans cette population et on note M : l'événement " l'individu
est malade " et V : l'individu est vacciné.
1) a l'aide des données du problème déterminer P (V) et P(M sachant V ) et P( V sachant M)
P(V) = nombre(V) / nombre(population) = 1 / 3 (1ère ligne de l'énoncé)
P(M sachant V ) = 0,08 (3ème ligne)
P( V sachant M) = 2 / 15 (2ème ligne)
2) calculer P( M  V ) + en déduire que P (M) = 1/5
P( M inter V ) = P(V) * P( M sachant V) = 1/3 * 0,08 = 0,026667 = 0,027
P(M ) = P(M  V) + P(M  V ) = 0,08 / 3 + ??? Ce n'est cette formule qu'il faut appliquer.
Là c'est "difficile" :
Faisons le bilan de ce qui est connu et de ce qui est inconnu
Donc un tableau ou un arbre.
Il faut faire un arbre qui commence par séparer M de M où P(M) est une inconnue
P (M)
----------->
2 / 15
----------->
13 / 15
----------->
M
popuolation
1- P (M)
----------->
----------->
M
----------->
On en déduit p(M  V) = p(M) * p(V sachant M) = (2 / 15) * p(M)
V
V
V
V
Ou bien un tableau à 2 entrées (avec les probabilités par rapport à la population totale) :
M
M
total
V
p(M) * 2/15 = 0,08/3
0,92/3
1/3
V
p(M) * 13/15
2/3 - p(M) * 13/15
2/3
total
p(M)
1 - p(M)
1
or P( M  V ) = 1/3 * 0,08 = (2/15)*P(M)
d'où : P(M) = 0,08*15 / (3*2) = 0,04 * 5 = 0,20 vérification : 0,20*2/15 = 0,40/15 = 0,08/3
On peut maintenant terminer le tableau à 2 entrées :
M
Mbarre
total
V
0,08 / 3
0,92 / 3
1/3
V
0,20 * 13 / 15 = 0,04 * 13 / 3 = 0,52 / 3
(2 / 3) - (0,52 / 3) = 1,48 / 3
2/3
0,80 = (0,92 + 1,48) / 3 = 2,4 / 3 = 0,8
1
total 0,60 / 3 = 0,20
3) Calculer la probabilité que l'individu soit malade sachant qu'il n'est pas vacciné.
Maintenant que l'on a tous les évènements élémentaires du tableau, on applique la formule
P(A inter B) = P(B) * P(A sachant B) à l'envers :
P(M sachant V ) = P(M inter V ) / P( V ) = (0,52 / 3) / (2 / 3) = 0,52 / 2 = 0,26
4) un vaccin est dit "efficace" lorsque P (M sachant V ) est supérieur à P ( M sachant V) qu'en
est-il ici ?
P(M sachant V ) = 0,26
P ( M sachant V) = P(M inter V) / P(V) = (0,08 / 3) / (1 / 3) = 0,08 (c'était déjà dans l'énoncé)
P(M sachant V ) = 0,26 >> P ( M sachant V) = 0,08 Le vaccin est efficace
Remarque : Si les événements M et V étaient indépendants, on aurait :
P(M sachant V ) = P ( M sachant V) = P (M)
Ici ils ne sont pas indépendants mais ils sont corrélés.