Synthèse

Modélisation des actions mécaniques
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1) NOTION D’ACTION MECANIQUE
On appelle action mécanique toute cause susceptible de :
 Créer ou modifier un mouvement ;
Le déplacement du voilier est dû à l’action mécanique exercée par le vent sur la
voile.
 Maintenir un corps au repos ;
L’action mécanique exercée sur la manivelle d’un étau permet de fixer une pièce
entre les 2 mors de l’étau.
 Déformer un corps ;
La charge excessive soulevée par un haltérophile déforme la barre des haltères.
2) DIFFERENTS TYPES D’ACTIONS MECANIQUES
2.1) LES ACTIONS MECANIQUES A DISTANCE
En construction mécanique, elles sont essentiellement de type
magnétique ou de pesanteur.
2.2) LES ACTIONS MECANIQUES DE CONTACT
Elles résultent :
- Soit du contact d’un fluide (gaz ou liquide) sur un solide
- Soit du contact d’un solide avec un autre solide
3) LE MODELE DE LA FORCE
3.1) CAS DU CONTACT PONCTUEL PARFAIT (Sans Frottements)
L'action mécanique qui s'exerce
entre deux solides en contact ponctuel
est modélisée par une force qui a les
caractéristiques d’un vecteur (voir cicontre).
Désignation d’une force :
FE (4/2)
solide sollicité
solide qui exerce la force
point d’application de la
force
Cours modélisation des AM




origine : le point de contact ; E
direction : normale au plan tangent de contact ;
donc suivant X .
sens : du solide qui exerce l’action mécanique
vers le solide qui la subit ; suivant les X négatifs,
norme : cette grandeur s’exprime en Newton (N) ;
ici elle dépend, entre autre, du niveau de l’eau
dans la cuve.
FE 4/2
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3.2) CAS DES CONTACTS NON PONCTUELS
3.2.1) Cas de la Pression d’un Fluide sur une Paroi Plane

f
La pression sera supposée uniforme. Elle
s’applique en chaque élément de surface de la


C
f
paroi. Nous avons donc une infinité de forces
F



f
élémentaires
. Leur somme nous donne une
f


f
force appelée force de pression F , ayant les
caractéristiques suivantes :

 point d’application : le centre de la surface, C  norme : F  p.S , avec :
 direction : perpendiculaire à la surface de
- F : effort développé (N)
contact entre le fluide et la pièce
- p : pression uniforme du fluide (Pa)
 sens : dirigé vers la paroi
- S : surface de la paroi plane, en (m2)
3.2.2) Cas de la Pesanteur

p

p

p

p

p
G

p
P
On considère un solide indéformable. La
pesanteur s’applique en chaque élément
de matière de ce solide. Nous avons
donc
une infinité de forces élémentaires

p . Leur somme nous donne une force

appelée force de pesanteur P , ayant
les caractéristiques ci-contre :




point d’application : G, le centre de gravité du
solide ou du système
direction : verticale passant par G
sens : vers le bas

norme : P  m.g , avec :
- P : poids en Newton (N)
- m : masse du solide ou du système en
kilogrammes (kg)
- g : accélération de la pesanteur = 9.81 m.s-2
3.3.3) Cas de l’Action d’un Ressort de Compression
L’action mécanique qu’exerce un ressort sur une pièce peut être modélisée par une force,
dont les caractéristiques sont :




point d’application : centre du cercle de contact,
direction : selon l’axe du ressort,
sens : du ressort vers la pièce,
norme : proportionnelle à la variation de longueur du
ressort (de sa déformation) : F = k (lo-l)
avec k : raideur du ressort (constante – N/mm),
lo : longueur à vide du ressort (mm),
l : longueur comprimée du ressort (mm).
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Exemple : effort du ressort sur le
piston.
Y
X
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4) LE MOMENT D’UNE FORCE
4.1) MOMENT D'UNE FORCE PAR RAPPORT A UN AXE
4.1.1) Cas où la Force est Orthogonale à l’Axe
DEFINITION : On appelle moment d'une

force FA par rapport à un axe (O, x ), le
produit de la norme de la force ( FA ) par
la distance de la droite d'action de la
FA
force à l'axe considéré, affecté d’un signe
défini ci-dessous :
distance
FA
distance
 + si la force tend à provoquer une
rotation autour de l'axe dans le sens

 



positif ( x  y , y  z ou z  x ) .

M
Ox(FA ) ( FA OH ) ou  (OH  FA ) ou  (d  F )
 - si la force tend à provoquer une
rotation autour de l'axe dans le sens L'unité du moment est le Newton-mètre (N.m)
négatif.
d : distance la plus courte à la droite d’action (m)

F : norme de la force (N)
Le moment d’une force par rapport à un axe est nul si le support de la force et l’axe du
moment considéré appartiennent à un même plan.
4.1.2) Cas où la Force est Parallèle à l’Axe
Le moment d'une force par rapport à un axe qui lui est parallèle est nul.

MOz(FA )0 car FA est parallèle à (O, z )
4.2) MOMENT D'UNE FORCE PAR RAPPORT A UN POINT, NOTION DE VECTEUR
MOMENT
4.2.1) Notion de Vecteur Moment
DEFINITION : On appelle vecteur moment de FA au point O, MO(FA) , le
vecteur dont les coordonnées ou composantes sont les moments par
rapport aux trois axes :
MOx(FA )
MO(FA )  MOy(FA )
MOz(FA )
Remarque : FA et MO(FA) sont perpendiculaires
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4.2.2) Détermination Analytique, Produit Vectoriel


DEFINITION : Le produit vectoriel
 d'un
 vecteur U par
 un vecteur V
que l'on notera U  V est le vecteur W dont un
représentant d'origine M est tel que : 
- Son support est perpendiculaire au plan
 (S, U , V )
- Son sens est tel que le trièdre ( U , V , W ) soit direct



 
- Sa norme a pour valeur: W  U  V . sin(U, V)
PROPRIETES
:
 
- W  0 dans les
 suivants :
 cas
 U  0
 V  0 
 U et V sont colinéaires.
- Dans un repère orthonormé direct ayant pour vecteur pour
  
vecteurs de base i , j , k , on a :
        
i  j k ; j k i ; k i  j
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
W

V

U
S
z

k

i

j
y
x
Expression analytique du moment MS(FA ) dans un repère orthonormé direct R0 :
Soient a, b et c les coordonnées du vecteur SA dans R0.
Soient X, Y et Z les coordonnées du vecteur FA dans R0.
Pour obtenir le produit vectoriel SA  FA (qui est le moment en S de FA ) on effectue les
produits en croix comme ci-dessous:
SA  FA
MS(FA ) =
=
R0
a
b
c
a
X
 Y
R0 Z
X
=
R0
bZ–cY
cX–aZ
aY–bX
5) LE TORSEUR
5.1) EXPRESSION DU TORSEUR
C'est la modélisation la plus générale pour une action mécanique. Elle permet, entre
autres, de modéliser l’action mécanique transmissible par une liaison mais aussi les actions
mécaniques de pesanteur, de pression et d’un ressort vues précédemment.
Définition :
Soient deux sous-ensembles 1 et 2 d'un mécanisme en liaison de centre A. L'action
mécanique de 1 sur 2 est modélisée par l’association des vecteurs : FA 1/ 2 et MA(1/ 2) .

L'ensemble  FA s'appelle Torseur associé à l'action mécanique de 1 sur 2.
MA(1/ 2)

FA 1/ 2 est appelée résultante du torseur.
MA(1/ 2) est appelé moment résultant en A du torseur associé.
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FA 1/ 2 et MA(1/ 2) sont les éléments de réduction du torseur au point A.
Notation :
1/ 2
X1/2 LA1/2 

 FA  

  Y1/2 MA1/2 
M
A(1/2)
 A
A
Z1/2 NA1/2 
(x, y, z)
  
où (A; x , y , z ) représente le repère local associé à la liaison.
Transport d’un Torseur :


On a :  1/ 2  FA  au point de réduction A, et on veut le "transporter" (le déplacer) au
MA(1/2)
A

point B. On montre que le torseur, déplacé au point B, s'écrit :
1/ 2
FB  FA



MB(1/2)  MA(1/2)  BA  FA 
B
5.3) TORSEURS DE QUELQUES ACTIONS MECANIQUES DEJA VUES
5.2.1) Torseur de l’Action Mécanique de Pression
5.2.3) Torseur de l’Action
Mécanique d’un Ressort
z
C
F
y
 fluide/paroi
 F  0

 - F
MC(f/p) C 0
C
x
0
0
0(x,y,z)
Y
X
FD 8/6
5.2.2) Torseur de l’Action Mécanique de Pesanteur
z
G
y
P
 pesanteur
x
Cours modélisation des AM
 P   0 0
    0 0
MG  G- P 0(x,y,z)
G
 8/ 6
 FD8/6  X8/6 0

  0 0
MD(8/6)  D 0 0(x,y,z)
D
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5.3) TORSEURS DANS LES LIAISONS
Cas d'un problème plan de

normale z
Nature de la
liaison et repère
associé : R
Torseur
Mvts
transmissible
possibles
Schéma
spatial
 
2
1

x

y
A

y

Pivot d'axe (A, z )
2
A
1

z

x

z
1
A

x

y

z
2

x
A
Appui plan de

normale (A, y )
2

1 x

x
Ponctuelle de

normale (A, x )
1
A

y

z

x
Linéaire rectiligne

de normale (A, x )

et d’axe (A, z )
Linéaire annulaire

d'axe (A, y )
2
X
2

y

z
1
A

x
2
1

y
A

z
 X1/2 - 
 Y1/2 - 
- 0 (x, y, z)
A

x
- 
 0
Y1/2 - 
- NA1/2 (x, y, z)
A

y
A

y

x

x
A
 X1/2 0
 0 0
0 0(x, y, z)
A
0 Rx
Ty 0
Tz Rz
 X1/2 0 
 0 MA1/2 
 0
0 (x, y, z)
A
- 
 0
Y1/2 - 
- NA1/2 (x, y, z)
A

y

 0 L A1/2 

Y1/2 0 
0
N
A1/2    

(x, y, z)
A
0 Rx
Ty Ry
Tz Rz
0 Rz
Ty Ry
0 Rz

x
A
Tx 0
0 Ry
Tz 0
A

z

y
A

y
- 
 X1/2
- 
 Y1/2
- NA1/2 (x, y, z)
A
 X1/2 - 
 Y1/2 - 
- 0 (x, y, z)
A

x
 X1/2 0
 Y1/2 0
Z1/2 0(x, y, z)
A

y
1

y
A
 0
0 
 Y1/2 MA1/2 
Z1/2 NA1/2 (x, y, z)
A
2

x
A

 X1/2 L A1/2 

 Y1/2 MA1/2 


Z
1/2
0
(x, y, z)
A
Tx Rx
0 0
0 0

y

x
0 0
0 0
0 Rz

y

X1/2 L A1/2 

 Y1/2 MA1/2 


Z
1/2
N
A
1/2
(x, y, z)
A
 0 L A1/2 
 Y1/2 MA1/2 
Z1/2 NA1/2 (x, y, z)
A

z
Pivot glissant

d'axe (A, x )
0
0
0
Tx 0
0 0
0 0
A
1
0
0
0
0 Rx
0 Ry
0 Rz
2
Rotule de centre A
Glissière d'axe
(A, x )
Torseur
transmissible
1/ 2

z
Encastrement
R quelconque
Schéma
plan

x

y
- 
 0
Y1/2 - 
- NA1/2 (x, y, z)
A
 X1/2 - 
 0 -
- 0(x, y, z)
A
A
 X1/2 0
 0 0
Z1/2 0(x, y, z)
A

x

y

x

y
 X1/2 - 
 0 -
- 0(x, y, z)
A
 X1/2 - 
 0 -
- 0(x, y, z)
A
A
ATTENTION : Liste non exhaustive des torseurs possibles.
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