DYNAMIQUE - PRINCIPE FONDAMENTAL - corrigé des

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DYNAMIQUE - PRINCIPE FONDAMENTAL - corrigé des exercices
I. Tir dans le vide
1.
• La relation fondamentale de la dynamique de translation peut s’écrire : m a = P = m g puisqu’on
néglige les autres effets.
• Une première intégration donne, compte tenu des conditions initiales : vt = g t  v 0 ; une seconde
1  
 .
intégration donne, compte tenu des conditions initiales : OM = g t 2  v 0 t  OM
0
2
• Le mouvement est en entier dans le plan vertical défini par la positionM 0 et les directions de v 0 et g

; on peut donc raisonner avec deux coordonnéesx et z dans ce plan.
• Si on prend M0 comme origine, on cherche à obtenir: x = v0xt = v0 cos() t maximum (où  est
1
1
l’angle de v 0 avec l’horizontale), tout en imposant : z = v0zt - g t2 = v0 sin()t - gt2 = 
h. Aucune
2
2
condition n’étant imposée sur la durée du trajet, seule la trajectoire importe et on peut obtenir son
g
g
équation par élimination de t : z(x) = tan() x x2 = tan() x - [1+tan2()]
x2 = h.
2
2
2

2v
2v 0 cos



0


Le maximum xm est alors obtenu en choisissant la valeur de  la plus efficace.
• On peut ensuite considérer que si, pour x fixé, on pouvait ajuster  afin d’atteindre z(x) > h, alors
(puisque le point M finit toujours par retomber)
il serait forcément possible d’atteindre
z(x’) = h avec


un x’ > x. Autrement dit : pour x = xm le point d’altitude z(xm) = h se trouve forcément sur la parabole du sûreté (le plus haut qu’il est possible d’atteindre en ajustant  pour x = xm donné).
◊ remarque : cette “équivalence” simplifie beaucoup le calcul car il est plus facile de chercher
l’extremum de z pour x fixé (l’équation de la trajectoire est quadratique en x et linéaire en z).
• Pour établir l'équation de la courbe de sûreté, on peut commencer par simplifier les notations en
g
 2
posant (par exemple) :  = tan() et  =
; on obtient ainsi : z =  x - (1+2]
x .
2
2
v0
• Pour chercher le maximum, on peut ensuite dériver cette relation par rapport à  (cela revient au
dz
même que de dériver par rapport à ) en considérant x fixé : 0 =
= x-x2.
d


dz
1
2
• Le maximum cherché est tel que
= 0 c’est-à-dire : x-x = 0 d’où : x = . Il suffit alors de
d

2 2
1

x

remplacer dans l’expression de z(x) : zm(x) = x - (1+2
) x2 =
(ceci est l’équation de la pa2
2
rabole de sûreté).


• Inversement, en imposant dans cette équation zm(xm) = h, on obtient :
1 2h
v 2
2gh


= 0 1 2 ≈ 2900 m.

g
v0
◊ remarque : la précision est médiocre en négligeant les frottements sur l’air pour une telle distance.
1
1
◊ remarque : on obtient aussi : m =
=
= 1,4 = tan(m) et m ≈ 54 ° = 0,95 rad.
x m
2gh


1 2
v0
xm =

x
• On cherche maintenant à 
obtenir : z( m ) = h (en supposant qu’en plaçant la nouvelle origine à
2

x m2
xm
x
une distance
on reste à l’altitude z = 0) ; ceci donne :  m - (1+2)
= h d’où on tire :
8
2
2
 m2  8h = 1,07 et 1 ≈ 47 ° = 0,82 rad

1 = 2xm - 4xm2  xm2 . x


2.
2 = 2xm +



.x
4xm2  xm2
2
m

 8h = 4,55
et2 ≈ 78 ° =1,35 rad.
2
3.
• La vitesse de l’obus quand il touche l’objectif peut se calculer en dérivant les coordonnées, puis en
calculant l’instant de l’impact pour en déduire les coordonnées de la vitesse et sa norme. Mais on peut
plus simplement utiliser le théorème de l’énergie cinétique ou la conservation de l’énergie mécanique,
v 0 2  2gh = 143 m.s-1.
d’où on tire : v =

II. Recherche de trajectoire
1.a. • Le principe fondamental de la dynamique de translation peut s’écrire : m a = k OM
• L’équation sur y a de même la solution générale : y = A et + B e-t avec y• = A et - B e-t.
Compte tenu de la condition
initiale y(0) = 0, on obtient A = -B ; compte tenu de la condition initiale

v
v
•
y (0) = v0, on obtient A = -B = 0 , c’est-à-dire : y = 0 (et - e-t).
2
2
v
◊ remarque : avec les notations de trigonométrie hyperbolique : y = 0 sh(t).

• L’équation sur z a de même la solution générale : z = A et + B e-t avec z• = A et - B e-t.


Compte tenu de la condition initiale z•(0) = 0, on obtient A = B ; compte tenu de la condition initiale
z(0) = 0, on obtient A = B = 0, c’est-à-dire : z = 0.

1.b. • La relation z = 0 montre que le mouvement s'effectue dans le plan Oxy (les mouvements à accélération radiale sont contenus dans le plan déterminé par les conditions initiales).
2.a. • Les équations de la trajectoire sont z = 0 et l’équation obtenue en éliminant t entre x(t) et y(t) dans
le plan Oxy (correspondant à z = 0).
• Si on n’est pas familier des fonctions “hyperboliques” ch et sh, on peut utiliser les identités remar x 2 y 2
v 0 2 2t
x 0 2 2t
2
-2t
2
-2t
quables : x =
(e + e
+ 2) et y =
(e + e
- 2) d’où :      = 1.
4
42
x 0  v 0 
2.b. • L'allure de la trajectoire est la suivante :



3
2
1
y/ya

ou encore :
k
OM •• - 2 OM = 0 en posant  =
.
m
membre) et peut s’intégrer

• Une telle équation différentielle du second ordre est linéaire (sans second
(par exemple) à l’aide des coordonnées cartésiennes :
 x••- 2 x = 0 ; y•• - 2 y = 0 ; z•• - 2 z = 0.

• L’équation sur x a pour solution générale : x = A et + B e-t, correspondant à x• = A et - B e-t.
Compte tenu de la condition initiale x•(0) = 0, on obtient A = B ; compte tenu de la condition initiale
x
x
x(0) = x0, on obtient A = B = 0 , c’est-à-dire : x = 0 (et + e-t).
2
2
◊ remarque : avec les notations de trigonométrie hyperbolique : x = x 0 ch(t).
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
x/x0
1
2
3
3
• C'est une hyperbole, dont les sommets (sur l’axe des x) ont pour abscisses x = ± x0, et dont les
y
x
v
asymptotes (obliques) ont pour équations :
= 
(en posant ya = 0 ). La trajectoire est la

ya
x0
branche d’hyperbole passant par x = x0.

3.a. • Le principe fondamental de la dynamique
: m a = -k OM ou encore :

de translation peut s’écrire
k
(il s’agit ici d’une force attractive).
m
des coordonnées

• Une telle équation différentielle peut s’intégrer (par exemple) à l’aide
cartésiennes :
x•• + 2 x = 0 ; y•• + 2 y = 0 ; z•• + 2 z = 0.


• L’équation sur x a pour solution
: x = A cos(t) + B sin(t) avec x• = -A sin(t) + B cos(t).

Compte tenu de la condition initiale x•(0) = 0, on obtient B = 0 ; compte tenu de la condition initiale
x(0) = x0, on obtient A = x0, c’est-à-dire : x = x0 cos(t).
OM •• + 2 OM = 0 en posant  =
• L’équation sur y a pour solution : y = A cos(t) + B sin(t) avec y• = -A sin(t) + B cos(t).
Compte tenu de la condition initiale y(0) = 0, on obtient A = 0 ; compte tenu de la condition initiale
v
v
y•(0) = v0, on obtient B = 0 , c’est-à-dire : y = 0 sin(t).


• L’équation sur z a pour solution : z = A cos(t) + B sin(t) avec z• = -A sin(t) + B cos(t).
Compte tenu de la condition initiale z•(0) = 0, on obtient B = 0 ; compte tenu de la condition initiale
z(0) = 0, on obtient
: z = 0 (les mouvements à accélération radiale sont conte A = 0, c’est-à-dire 
nus dans le plan déterminé par les conditions initiales...).
• Les équations de la trajectoire sont z = 0 et l’équation obtenue en éliminant t entre x(t) et y(t) dans
 x 2 y 2
le plan Oxy (correspondant à z = 0) :      = 1.
x 0  v 0 
• L'allure de la trajectoire est la suivante :
2

1
y/ya

0
-1
-2
-3
-2
-1
0
1
2
3
x/x0
• C'est une ellipse, dont les sommets sur l’axe des x ont pour abscisses x = ± x0, et dont les sommets
v
sur l’axe des y ont pour abscisses y = ± ya (en posant ya = 0 ).

3.b. • La différence essentielle avec le mouvement précédent est que les trajectoires sont fermées (et de
plus, dans ce cas, le mouvement est périodique).
