DYNAMIQUE - PRINCIPE FONDAMENTAL - corrigé des

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DYNAMIQUE - PRINCIPE FONDAMENTAL - corrigé des exercices
I. Tir dans le vide
1. • La relation fondamentale de la dynamique de translation peut s’écrire : m
a
=
P
= m
g
puisqu’on
néglige les autres effets.
• Une première intégration donne, compte tenu des conditions initiales :
v t
=
g tv0
; une seconde
intégration donne, compte tenu des conditions initiales :
OM
=
1
2g t2v0tOM0
.
• Le mouvement est en entier dans le plan vertical défini par la position M0 et les directions de
v0
et
g
; on peut donc raisonner avec deux coordonnées x et z dans ce plan.
• Si on prend M0 comme origine, on cherche à obtenir : x = v0xt = v0 cos() t maximum (où  est
l’angle de
v0
avec l’horizontale), tout en imposant : z = v0zt -
1
2
g t2 = v0 sin()t -
1
2
g t2 = h. Aucune
condition n’étant imposée sur la durée du trajet, seule la trajectoire importe et on peut obtenir son
équation par élimination de t : z(x) = tan() x -
g
2v02cos2
x2 = tan() x - [1+tan2()]
g
2v02
x2 = h.
Le maximum xm est alors obtenu en choisissant la valeur de  la plus efficace.
• On peut ensuite considérer que si, pour x fixé, on pouvait ajuster  afin d’atteindre z(x) > h, alors
(puisque le point M finit toujours par retomber) il serait forcément possible d’atteindre z(x’) = h avec
un x’ > x. Autrement dit : pour x = xm le point d’altitude z(xm) = h se trouve forcément sur la para-
bole du sûreté (le plus haut qu’il est possible d’atteindre en ajustant  pour x = xm donné).
◊ remarque : cette “équivalence” simplifie beaucoup le calcul car il est plus facile de chercher
l’extremum de z pour x fixé (l’équation de la trajectoire est quadratique en x et linéaire en z).
• Pour établir l'équation de la courbe de sûreté, on peut commencer par simplifier les notations en
posant (par exemple) :  = tan() et  =
g
v02
; on obtient ainsi : z =  x - (1+2]
2
x2.
• Pour chercher le maximum, on peut ensuite dériver cette relation par rapport à  (cela revient au
même que de dériver par rapport à ) en considérant x fixé : 0 =
dz
d
= x-x2.
• Le maximum cherché est tel que
dz
d
= 0 c’est-à-dire : x-x2 = 0 d’où : x =
1
. Il suffit alors de
remplacer dans l’expression de z(x) : zm(x) = x - (1+2)
2
x2 =
1 2x2
2
(ceci est l’équation de la pa-
rabole de sûreté).
• Inversement, en imposant dans cette équation zm(xm) = h, on obtient :
xm =
12h
=
v02
g12gh
v02
≈ 2900 m.
◊ remarque : la précision est médiocre en négligeant les frottements sur l’air pour une telle distance.
◊ remarque : on obtient aussi : m =
1
xm
=
1
12gh
v02
= 1,4 = tan(m) et m ≈ 54 ° = 0,95 rad.
2. • On cherche maintenant à obtenir : z(
xm
2
) = h (en supposant qu’en plaçant la nouvelle origine à
une distance
xm
2
on reste à l’altitude z = 0) ; ceci donne : 
xm
2
- (1+2)
xm2
8
= h d’où on tire :
  1 = 2xm -
4xm2xm2.xm28h
= 1,07 et 1 ≈ 47 ° = 0,82 rad
  2 = 2xm +
4xm2xm2.xm28h
= 4,55 et 2 ≈ 78 ° = 1,35 rad.

2
3. • La vitesse de l’obus quand il touche l’objectif peut se calculer en dérivant les coordonnées, puis en
calculant l’instant de l’impact pour en déduire les coordonnées de la vitesse et sa norme. Mais on peut
plus simplement utiliser le théorème de l’énergie cinétique ou la conservation de l’énergie mécanique,
d’où on tire : v =
v022gh
= 143 m.s-1.
II. Recherche de trajectoire
1.a. • Le principe fondamental de la dynamique de translation peut s’écrire : m
a
= k
OM
ou encore :
OM
•• - 2
OM
=
0
en posant  =
k
m
.
• Une telle équation différentielle du second ordre est linéaire (sans second membre) et peut s’intégrer
(par exemple) à l’aide des coordonnées cartésiennes :
x•• - 2 x = 0 ; y•• - 2 y = 0 ; z•• - 2 z = 0.
• L’équation sur x a pour solution générale : x = A et + B e-t, correspondant à x• = A et - B e-t.
Compte tenu de la condition initiale x•(0) = 0, on obtient A = B ; compte tenu de la condition initiale
x(0) = x0, on obtient A = B =
x0
2
, c’est-à-dire : x =
x0
2
(et + e-t).
◊ remarque : avec les notations de trigonométrie hyperbolique : x = x0 ch(t).
• L’équation sur y a de même la solution générale : y = A et + B e-t avec y• = A et - B e-t.
Compte tenu de la condition initiale y(0) = 0, on obtient A = -B ; compte tenu de la condition initiale
y•(0) = v0, on obtient A = -B =
v0
2
, c’est-à-dire : y =
v0
2
(et - e-t).
◊ remarque : avec les notations de trigonométrie hyperbolique : y =
v0
sh(t).
• L’équation sur z a de même la solution générale : z = A et + B e-t avec z• = A et - B e-t.
Compte tenu de la condition initiale z•(0) = 0, on obtient A = B ; compte tenu de la condition initiale
z(0) = 0, on obtient A = B = 0, c’est-à-dire : z = 0.
1.b. • La relation z = 0 montre que le mouvement s'effectue dans le plan Oxy (les mouvements à accéléra-
tion radiale sont contenus dans le plan déterminé par les conditions initiales).
2.a. • Les équations de la trajectoire sont z = 0 et l’équation obtenue en éliminant t entre x(t) et y(t) dans
le plan Oxy (correspondant à z = 0).
• Si on n’est pas familier des fonctions “hyperboliques” ch et sh, on peut utiliser les identités remar-
quables : x2 =
x02
4
(e2t + e-2t + 2) et y2 =
v02
42
(e2t + e-2t - 2) d’où :
x
x0
2
y
v0
2
= 1.
2.b. • L'allure de la trajectoire est la suivante :
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
x/x0
y/ya

3
• C'est une hyperbole, dont les sommets (sur l’axe des x) ont pour abscisses x = ± x0, et dont les
asymptotes (obliques) ont pour équations :
y
ya
=
x
x0
(en posant ya =
v0
). La trajectoire est la
branche d’hyperbole passant par x = x0.
3.a. • Le principe fondamental de la dynamique de translation peut s’écrire : m
a
= -k
OM
ou encore :
OM
•• + 2
OM
=
0
en posant  =
k
m
(il s’agit ici d’une force attractive).
• Une telle équation différentielle peut s’intégrer (par exemple) à l’aide des coordonnées cartésiennes :
x•• + 2 x = 0 ; y•• + 2 y = 0 ; z•• + 2 z = 0.
• L’équation sur x a pour solution : x = A cos(t) + B sin(t) avec x• = -A sin(t) + B cos(t).
Compte tenu de la condition initiale x•(0) = 0, on obtient B = 0 ; compte tenu de la condition initiale
x(0) = x0, on obtient A = x0, c’est-à-dire : x = x0 cos(t).
• L’équation sur y a pour solution : y = A cos(t) + B sin(t) avec y• = -A sin(t) + B cos(t).
Compte tenu de la condition initiale y(0) = 0, on obtient A = 0 ; compte tenu de la condition initiale
y•(0) = v0, on obtient B =
v0
, c’est-à-dire : y =
v0
sin(t).
• L’équation sur z a pour solution : z = A cos(t) + B sin(t) avec z• = -A sin(t) + B cos(t).
Compte tenu de la condition initiale z•(0) = 0, on obtient B = 0 ; compte tenu de la condition initiale
z(0) = 0, on obtient A = 0, c’est-à-dire : z = 0 (les mouvements à accélération radiale sont conte-
nus dans le plan déterminé par les conditions initiales...).
• Les équations de la trajectoire sont z = 0 et l’équation obtenue en éliminant t entre x(t) et y(t) dans
le plan Oxy (correspondant à z = 0) :
x
x0
2
y
v0
2
= 1.
• L'allure de la trajectoire est la suivante :
-2
-1
0
1
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
x/x0
y/ya
• C'est une ellipse, dont les sommets sur l’axe des x ont pour abscisses x = ± x0, et dont les sommets
sur l’axe des y ont pour abscisses y = ± ya (en posant ya =
v0
).
3.b. • La différence essentielle avec le mouvement précédent est que les trajectoires sont fermées (et de
plus, dans ce cas, le mouvement est périodique).