factorisation

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Manuel de l’élève, volume 1, p. 94
1
FACTORISATION
Factoriser une expression algébrique consiste à l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs.
Ex. :
Forme développée
Forme factorisée
Facteurs
1) 3xy  6x  2y 4
(3x  2)(y  2)
3x  2 et y  2
2) ax  3x  ay  3y
(x  y)(a  3)
x  y et a  3
3) 8mn  10m  12n  15
(2m  3)(4n  5)
2m  3 et 4n  5
Il existe diverses méthodes pour factoriser une expression algébrique.
1. Mise en évidence double
Factoriser une expression algébrique par cette méthode consiste à :
1. regrouper les termes ayant un facteur commun ;
Ex. :
Dans l’expression ab  6  3b  2a, ab et 2a
ont a comme facteur commun et 3b et 6 ont 3
comme facteur commun.
On écrit alors : ab  2a  3b  6.
2. mettre le facteur commun en évidence dans chacun
des groupes ;
a(b  2)  3(b  2)
3. mettre le facteur commun aux deux termes en
évidence.
a(b  2)  3(b  2)
Le facteur b  2
est commun aux
deux termes.
(b  2) (a  3)
Le résultat peut être validé en développant la forme
factorisée à l’aide de la propriété de la distributivité
de la multiplication sur l’addition ou la soustraction.
(b  2)(a  3)  b  a  b  3  2  a  2  3
 ab  2a  3b  6
Ex. :
1)
322
23226342
xy
yyxyxxy
2)
642
262412684 2
aba
aaabaabba

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Manuel de l’élève, volume 1, p. 95
2.3
2. Différence de deux carrés
Cette méthode permet de factoriser une expression algébrique de la forme a 2  b 2.
Ce type de polynôme peut être factorisé en appliquant le modèle suivant :
a2  b2  (a  b)(a  b)
Ex. :
1) Puisque 36x 2  y 2  (6x)2  (y)2, les facteurs de l’expression algébrique 36x 2  y 2 sont donc 6x  y et 6x  y.
2) Puisque 4a2  9b6  (2a)2  (3b3)2, les facteurs de l’expression algébrique 4a2  9b6 sont 2a  3b3 et 2a  3b3.
3) Il est possible de déterminer une expression algébrique qui
correspond à la mesure de chacune des diagonales du losange
ci-contre de la façon suivante.
Puisque 16a2  25 correspond à une différence de carrés :
Aire 
2
5454
2
aadD
Les expressions algébriques correspondant à la mesure des diagonales du losange sont donc 4a  5 et 4a  5.
3. Trinôme carré parfait
Cette méthode permet de factoriser une expression algébrique de la forme ax 2  bx  c, où a  0, c  0 et
b  2 
a
.c
Ce type de polynôme peut être factorisé de la façon suivante.
1. Vérifier si le trinôme possède les caractéristiques
d’un carré parfait.
Ex. :
Dans l’expression x 2  8x  16 :
1  0, 16  0 et 8  2 
1
.16
2. Déterminer si les facteurs sont des sommes ou des
différences selon le signe du terme médian.
Puisque le terme médian est positif, chacun
des facteurs correspond à une somme.
x 2  8x  16  (......)2
3. Déterminer les facteurs.
• •x 2 est le carré de x.
• •16 est le carré de 4.
Les facteurs sont donc x  4 et x  4 ou (x  4)2.
Ex. :
1) L’expression 9a 6  12a 3  4 est un carré parfait puisque 9  0, 4  0 et 12  2 
9
.4
Puisque le terme médian est négatif, chacun des facteurs correspond à une différence.
Puisque 9a 6  (3a3)2 et que 4  22, les facteurs sont donc 3a3  2 et 3a3  2 ou (3a3  2)2.
2) Il est possible de déterminer une expression algébrique qui correspond à la mesure de
chacun des côtés du carré ci-contre de la façon suivante.
Puisque 36m 2  60m  25 correspond à un trinôme carré parfait :
Aire  c 2  (6m  5)2.
L’expression algébrique correspondant à la mesure d’un côté du carré est donc 6m  5.

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Manuel de l’élève, volume 1, p. 96
1
MANIPULATION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES
4. Division d’un polynôme par un binôme
La division d’un polynôme par un binôme peut s’effectuer en divisant par étapes successives le polynôme par
le binôme. À chacune des étapes, il s’agit de choisir le terme du quotient de façon à annuler le terme de plus
haut degré dans le polynôme à diviser.
Ex. :
1) (3x 2  5x  2)  (x  2)
2) (5x 2  15x  5)  (x  2)
Ainsi :
(3x 2  5x  2)  (x  2)  3x  1
Lorsqu’il y a un reste différent de 0,
on l’indique en le posant sur le diviseur, ainsi :
(5x 2  15x  5)  (x  2)  5x  5 
2
5
x
5. Expressions rationnelles
Une expression rationnelle est une expression de la forme
Q
P
dans laquelle P et Q sont
des polynômes et où Q  0.
Ex. :
Les expressions
x
1
,
2
13 x
et
1 x
yx
sont des expressions rationnelles. L’expression
x
1
n’est définie que si x  0,
tandis que l’expression
1 x
yx
n’est définie que si x  1.
On peut générer des expressions rationnelles équivalentes en multipliant le numérateur et le dénominateur
d’une expression par une même quantité différente de 0.
Ex. :
Les expressions
3
4
x
et
xx
x
3
4
2
sont des expressions équivalentes puisque
.
3
4
3
4
2xx
x
x
x
x
Ces expressions ne sont définies que si x  –3 et x  0.
Il est possible de réduire une expression rationnelle lorsque le numérateur et le dénominateur ont au moins
un facteur en commun. On élimine alors le ou les facteurs communs du numérateur et du dénominateur en
supposant pour chacun qu’il n’est pas égal à 0.
Ex. :
Ces égalités sont vraies si x  0 et x 
.
2
1

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Manuel de l’élève, volume 1, p. 97
1
6. Opérations sur les expressions rationnelles
Les opérations sur des expressions rationnelles s’effectuent en appliquant les mêmes règles que celles
utilisées pour les opérations sur des nombres écrits sous la forme de fractions.
L’addition et la soustraction d’expressions rationnelles nécessitent la recherche d’expressions équivalentes
ayant le même dénominateur.
Ex. :
1)
.
2
9
2
8
2
14
2
1
xxxxx 
Ces égalités sont vraies si x  0.
2)
.
434343
xy
y
xyxy
y
xyx
Ces égalités sont vraies si x  0 et y  0.
Pour multiplier des expressions rationnelles, on multiplie les numérateurs ensemble et les dénominateurs
ensemble.
Ex. :
1)
Ces égalités sont vraies si x  0.
Pour diviser des expressions rationnelles, on multiplie la première fraction par l’inverse de la seconde.
Ex. :
1)
Ces égalités sont vraies si x  0 et y  3.
Voici une situation impliquant des opérations sur les
expressions rationnelles et le rectangle ci-contre.
Ex. :
1) Il est possible de déterminer une expression
algébrique réduite correspondant au périmètre du
rectangle ci-dessus de la façon suivante.
xxx
xx
bh
2
1
2
12
2
22Périmètre
2
2
2) Il est possible de déterminer une expression
algébrique réduite correspondant à l’aire du
rectangle ci-dessus de la façon suivante.
xxx
xx
hb
2
112
Aire
2
2
x
x
x
x
xx
x
12
122
112
2
2
12
11
x
x
xx
x
L’expression algébrique réduite correspondant
à l’aire du rectangle est donc
,
2
1
2
x
x
si x  0 et x  1.
L’expression algébrique réduite correspondant
au périmètre du rectangle est donc
,
12
x
x
si x  0 et x  1.