Sinus_d_un_nombre

Direction générale de l'enseignement scolaire -Document ressources- juin 2009
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APPROFONDISSEMENT POUR LE PROFESSEUR
- À PROPOS DU SINUS ET DU COSINUS D’UN NOMBRE
Au collège
La notion de cosinus d'un angle est introduite en 4e, dans un triangle rectangle, comme rapport de
longueurs. En classe de 3e, le sinus et la tangente d'un angle aigu d’un triangle rectangle sont également
introduits comme rapports de longueurs. Les relations
cos2ˆ A sin 2ˆ A 1
et
tan ˆ A sin ˆ
A
cos ˆ A
sont
démontrées. L'unité d'angle est le degré décimal.
Au lycée professionnel
Il s'agit donc de passer du sinus d'un angle à celui d'un nombre.
Les élèves doivent comprendre le "cheminement" qui permet d'obtenir le sinus ou le cosinus d'un
nombre :
 faire correspondre à un réel donné, un point du cercle trigonométrique ;
 le cosinus et le sinus de ce nombre sont, par définition, les coordonnées du point image de ce réel
sur le cercle trigonométrique.
Associer à tout réel un point du cercle trigonométrique, utiliser la définition du sinus et du cosinus d'un réel
Une animation informatique comme, par exemple "enroulement de R", permet de visualiser
l'enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique.
o À tout nombre réel correspond un unique point du cercle trigonométrique, mais un
point du cercle a plusieurs antécédents (qui diffèrent de 2kp (avec k entier relatif)).
o Des activités de détermination graphique du sinus et du cosinus d'un réel peuvent être
conduites alors.
o Inversement, il est alors possible de déterminer graphiquement l'un des réels dont le
cosinus ou le sinus a une valeur donnée.
Faire le lien avec le sinus et le cosinus d'un angle
 Introduire la mesure en radian d'un angle géométrique : M étant un point quelconque du
cercle trigonométrique, il existe un unique réel x, tel que
 x
, dont M soit
l’image ; le point A étant l’extrémité du vecteur unitaire de l’axe des abscisses, la mesure
en radian de l’angle géométrique saillant ;AOM est égale à x si
 x0
et égale à - x
si
0 x
.
 Faire le lien entre la mesure en radian d'un angle géométrique saillant et sa mesure en
degré.
Construction de la courbe représentant la fonction sinus
Une animation informatique comme, par exemple "fonction sinus" permet de visualiser la
construction point par point de la courbe représentative de la fonction sinus.
Remarque concernant la calculatrice
La touche sin de la calculatrice permet d'obtenir le sinus d'un angle (selon le mode choisi rad ou deg par exemple).
Le sinus d'un nombre s'obtient en mettant la calculatrice en mode et en utilisant la
touche .
rad
sin

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Le schéma ci-dessous résume ce qui précède.
fonction sinus
Nombre réel
x
Cercle trigonométrique
M
Angle
Angle ; AOM
de mesure x rad
Sinus du réel x
sin(x)
rad
sin