EXERCICE I : MOUVEMENT CIRCULAIRE Un satellite de masse M

EXERCICE I : MOUVEMENT CIRCULAIRE
Un satellite de masse M décrit autour de la Terre d'un mouvement uniforme, une
orbite circulaire à une altitude h.
Le rayon de la Terre est R = 6,4.106 m
L'accélération de la pesanteur est, pour h = 0, go = 9,81 m.s-2 et, à l'altitude h,
𝑅2
𝑔 = 𝑔0 (𝑅+ℎ)2
1° - On suppose h = 300 km.
a) Calculer la vitesse du satellite sur son orbite.
b) Calculer la période de révolution.
2° - a) Quelle devrait être l'altitude h du satellite pour qu'il soit géostationnaire,
c'est-à-dire qu'il apparaisse immobile à un observateur terrestre.
b) Calculer alors sa vitesse.
SOLUTION
1° - a) Vitesse du satellite sur une orbite d'altitude h = 300 km
Le satellite est seulement soumis à son poids et il est animé d'un mouvement
circulaire uniforme sur une orbite de rayon r = R + h
Appliquons le principe fondamental de la dynamique 𝑃⃗ = 𝑀𝛾 𝑜ù 𝛾
⃗⃗⃗⃗
accélération centripète de module
M
h
est une
𝑣2
𝑅+ℎ
Projetons l'égalité sur un axe vertical, d'origine le satellite et orienté vers le bas. On
obtient :
R
où g est l'accélération de la pesanteur à l'altitude h.
Comme
, on a
z
Application numérique, comme :
on a :
1° - b) Période T de la révolution
Le mouvement étant uniforme, la période est le temps T, mis par le satellite,
pour parcourir la longueur 2𝜋 (R + h) de la trajectoire d'où :
Application numérique, comme :
R+ h = 6,7.106m et v = 7740m.s-1, on a
ou
T = 1h 30mn 30s
2°. a) Altitude h à laquelle évolue le satellite géostationnaire
Le satellite semble immobile pour un observateur terrestre lorsque :

sa période de révolution est T = 24 h

et le satellite a un mouvement de rotation autour de la Terre de même
sens que le mouvement de rotation de la Terre.
On a trouvé au 1° :
d’où
Application numérique, comme :
T = 86400s, R = 6,4.106m, g0 = 9,81m.s
–2
h = 42,36.106 – 6,4.106 = 35,960.106m
Soit
h = 35960km
b) Vitesse du satellite géostationnaire
on a trouvé
Application numérique, comme :
R + h = 42,36.106m et T = 86 400s, on a
EXERCICE II
, on obtient
Soit un ressort d'axe vertical, de masse négligeable à spires non jointives, de
coefficient de raideur k.
Une masse ponctuelle m est accrochée à l'extrémité inférieure du ressort (fig. 1)
1° -
On écarte verticalement la masse m de sa position d'équilibre et on
l'abandonne sans vitesse initiale.
Donner, sans démonstration, l'expression de la période T des oscillations de la
masse m.
Application numérique : m = 0,36 kg,
k = 49 N. m-1
Calculer la période T.
2 𝑥 bout deux ressorts R1 et R2, de masse
2° - On place bout 𝑑à
b) Etablir la relation entre l'accélération 𝑑𝑡 2 et l'abscisse x de la masse m. En
négligeable, d'axe vertical commun (fig. 2).
déduire la nature duLes
mouvement
et l'expression
la Rpériode
raideurs respectives
de Rde
1 et
2 sont kT’.
1 et k2
c) Application numérique
: calculer
la période
oscillations
pour
Une masse
ponctuelle
m T’
estdes
accrochée
à l'extrémité
inférieure de
k1 = k2 = 49N.m-1 et
m = 0,36kg
l'ensemble.
Le système est d'abord supposé en équilibre. L'intensité de la
m
Fig. 1
pesanteur étant désignée par g, montrer que les deux ressorts ont
SOLUTION
la même tension,
puis déterminer leurs allongements respectifs a1
et a2 en fonction de (m, g, k1 et k2)
1° - Période des oscillations
de la masse
3°- a) On écarte
ensuite m
verticalement la masse m de sa position
La masse m est abandonnée
initiale, et est
soumise
à son Elle
poidsprend
𝑚𝑔
d'équilibresans
et vitesse
on l'abandonne
à ellemême.
un
et à la tension du ressort
dont le oscillatoire.
coefficient de
Cette
masseest
suit𝑂𝐴un
mouvement
A raideur
l'instantest
t k.
son
abscisse
=𝑥, O
désignant la position d’équilibre.𝑚
mouvement rectiligne sinusoïdal de période 𝑇 = 2ᴨ√ 𝑘
Les allongements des ressorts à cet instant sont respectivement a’1
Application numérique : Comme m = 0,36 kg, k = 49N. m-1, la période T est
= a1 + x1 et a’2 = a2 + x2
O
m
Exprimer respectivement x1 et x2 en fonction de x, de k1 et de k2.
A
2° - Allongements
a1, a2
x
Etudions
Fig. 2 les forces s’exerçant sur les ressorts R1 et R2 isolément
C
B
O
m
Forces s’exerçant
sur R2
Ensemble des
Forces s’exerçant
deux ressorts
sur R1
Rappelons que, le système étant en équilibre, la tension d'un ressort de masse
négligeable en un point est la force qu'il faudrait appliquer à chaque extrémité
pour que le système reste en équilibre.
Ainsi le ressort R2 est soumis en O à la tension
Comme R2 est en équilibre, la tension B est
Le ressort R1 est soumis en B à la tension
=
et en B à la tension
= -
=
et en C à la tension
D’après le principe de l’action et de la réaction
= -
Comme le ressort R1 est en équilibre :
= -
= -
.
.
=
Observons que la masse m est soumise, de la part du système des ressorts, en O
à une tension
=
opposée à
(équilibre). Ainsi
=
=
=
En somme, en tout point O, B, C du système, les tensions sont les mêmes.
Exprimons la proportionnalité des modules des forces
et
respectivement
aux allongements a1 et a2 (coefficients respectifs k1, k2) d’où : T1 = k1a1 et T2 =
k2a2, ou comme T1 = T2 = mg
3° - a) Expression de x1 et x2 en, fonction de x, k1, k2
Le raisonnement relatif à la conservation de la tension dans le 2°) est encore
valable parce que la masse m’ des ressorts est supposée négligeable. En effet
soit par exemple G2 le centre de gravité du ressort R2 et γ2 son accélération. La
relation fondamentale de la dynamique s'écrit :
x1
B
B
B’
B’
O
O
x 1 + x2
A
A
x
Ou comme
Ainsi
et de même
et
On a T1 = k1a’1, T2 = k2a’2 d’où k1a’1 = k2a’2  k1 (a1 + x1) = k2(a2+x2)
D’autre part l’allongement
est la somme x1 + x2 des allongements de R1
et R2 d’où le système
Or
d’où
3° - b) Relation entre x’’ et x
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à R2 s’écrit :
d’où pour les mesures algébriques de ces vecteurs sur l’axe Ox :
Ou comme
Equation différentielle de la forme
Donc le point A est animée d’un mouvement rectiligne sinusoïdal qui a pour
période :
3° - c) Application numérique
Comme k1 = k2 = k 49N.m
D’où
–1
et m = 0,36kg la période cherchée est :