EXERCICE I : MOUVEMENT CIRCULAIRE Un satellite de masse M

EXERCICE I : MOUVEMENT CIRCULAIRE
Un satellite de masse M décrit autour de la Terre d'un mouvement uniforme, une
orbite circulaire à une altitude h.
Le rayon de la Terre est R = 6,4.106 m
L'accélération de la pesanteur est, pour h = 0, go = 9,81 m.s-2 et, à l'altitude h,
1° - On suppose h = 300 km.
a) Calculer la vitesse du satellite sur son orbite.
b) Calculer la période de révolution.
2° - a) Quelle devrait être l'altitude h du satellite pour qu'il soit géostationnaire,
c'est-à-dire qu'il apparaisse immobile à un observateur terrestre.
b) Calculer alors sa vitesse.
SOLUTION
1° - a) Vitesse du satellite sur une orbite d'altitude h = 300 km
Le satellite est seulement soumis à son poids et il est animé d'un mouvement
circulaire uniforme sur une orbite de rayon r = R + h
Appliquons le principe fondamental de la dynamique  est une
accélération centripète de module 
Comme , on a
Application numérique, comme :
on a :
M
h
R
z
Projetons l'égalité sur un axe vertical, d'origine le satellite et orienté vers le bas. On
obtient :
où g est l'accélération de la pesanteur à l'altitude h.

1° - b) Période T de la révolution
Le mouvement étant uniforme, la période est le temps T, mis par le satellite,
pour parcourir la longueur 2 (R + h) de la trajectoire d'où :
Application numérique, comme :
R+ h = 6,7.106m et v = 7740m.s-1, on a
ou T = 1h 30mn 30s
2°. a) Altitude h à laquelle évolue le satellite géostationnaire
Le satellite semble immobile pour un observateur terrestre lorsque :
 sa période de révolution est T = 24 h
 et le satellite a un mouvement de rotation autour de la Terre de même
sens que le mouvement de rotation de la Terre.
On a trouvé au 1° :
d’où
Application numérique, comme :
T = 86400s, R = 6,4.106m, g0 = 9,81m.s – 2, on obtient
h = 42,36.106 – 6,4.106 = 35,960.106m
Soit h = 35960km
b) Vitesse du satellite géostationnaire
on a trouvé
Application numérique, comme :
R + h = 42,36.106m et T = 86 400s, on a
EXERCICE II

Soit un ressort d'axe vertical, de masse négligeable à spires non jointives, de
coefficient de raideur k.
Une masse ponctuelle m est accrochée à l'extrémité inférieure du ressort (fig. 1)
1° - On écarte verticalement la masse m de sa position d'équilibre et on
l'abandonne sans vitesse initiale.
Donner, sans démonstration, l'expression de la période T des oscillations de la
masse m.
Application numérique : m = 0,36 kg, k = 49 N. m-1
Calculer la période T.
b) Etablir la relation entre l'accélération 
 et l'abscisse x de la masse m. En
déduire la nature du mouvement et l'expression de la période T’.
c) Application numérique : calculer la période T’ des oscillations pour
k1 = k2 = 49N.m-1 et m = 0,36kg
SOLUTION
1° - Période des oscillations de la masse m
La masse m est abandonnée sans vitesse initiale, et est soumise à son poids 
et à la tension du ressort dont le coefficient de raideur est k. Cette masse suit un
mouvement rectiligne sinusoïdal de période  󰀁
Application numérique : Comme m = 0,36 kg, k = 49N. m-1, la période T est
2° - Allongements a1, a2
Etudions les forces s’exerçant sur les ressorts R1 et R2 isolément
C
B
O
m
2° - On place bout à bout deux ressorts R1 et R2, de masse
négligeable, d'axe vertical commun (fig. 2).
Les raideurs respectives de R1 et R2 sont k1 et k2
Une masse ponctuelle m est accrochée à l'extrémité inférieure de
l'ensemble.
Le système est d'abord supposé en équilibre. L'intensité de la
pesanteur étant désignée par g, montrer que les deux ressorts ont
la même tension, puis déterminer leurs allongements respectifs a1
et a2 en fonction de (m, g, k1 et k2)
3°- a) On écarte ensuite verticalement la masse m de sa position
d'équilibre et on l'abandonne à elle- même. Elle prend un
mouvement oscillatoire. A l'instant t son abscisse est 
, O
désignant la position d’équilibre.
Les allongements des ressorts à cet instant sont respectivement a’1
= a1 + x1 et a’2 = a2 + x2
Exprimer respectivement x1 et x2 en fonction de x, de k1 et de k2.
Fig. 1
x
A
O
m
Fig. 2
m

Forces s’exerçant Ensemble des Forces s’exerçant
sur R2 deux ressorts sur R1
Rappelons que, le système étant en équilibre, la tension d'un ressort de masse
négligeable en un point est la force qu'il faudrait appliquer à chaque extrémité
pour que le système reste en équilibre.
Ainsi le ressort R2 est soumis en O à la tension = et en B à la tension .
Comme R2 est en équilibre, la tension B est = - =
Le ressort R1 est soumis en B à la tension et en C à la tension .
D’après le principe de l’action et de la réaction = - =
Comme le ressort R1 est en équilibre : = - = -
Observons que la masse m est soumise, de la part du système des ressorts, en O
à une tension opposée à (équilibre). Ainsi = =
= =
En somme, en tout point O, B, C du système, les tensions sont les mêmes.
Exprimons la proportionnalité des modules des forces et respectivement
aux allongements a1 et a2 (coefficients respectifs k1, k2) d’où : T1 = k1a1 et T2 =
k2a2, ou comme T1 = T2 = mg
3° - a) Expression de x1 et x2 en, fonction de x, k1, k2

Le raisonnement relatif à la conservation de la tension dans le 2°) est encore
valable parce que la masse m’ des ressorts est supposée négligeable. En effet
soit par exemple G2 le centre de gravité du ressort R2 et γ2 son accélération. La
relation fondamentale de la dynamique s'écrit :
Ou comme
Ainsi et de même et
On a T1 = k1a’1, T2 = k2a’2 d’où k1a’1 = k2a’2 k1 (a1 + x1) = k2(a2+x2)
D’autre part l’allongement est la somme x1 + x2 des allongements de R1
et R2 d’où le système
Or d’où
3° - b) Relation entre x’’ et x
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à R2 s’écrit :
d’où pour les mesures algébriques de ces vecteurs sur l’axe Ox :
Ou comme
B
B’
O
A
A
x
B
B’
O
x1 + x2
x1