EXERCICE I : MOUVEMENT CIRCULAIRE Un satellite de masse M décrit autour de la Terre d'un mouvement uniforme, une orbite circulaire à une altitude h. Le rayon de la Terre est R = 6,4.106 m L'accélération de la pesanteur est, pour h = 0, go = 9,81 m.s-2 et, à l'altitude h, 𝑅2 𝑔 = 𝑔0 (𝑅+ℎ)2 1° - On suppose h = 300 km. a) Calculer la vitesse du satellite sur son orbite. b) Calculer la période de révolution. 2° - a) Quelle devrait être l'altitude h du satellite pour qu'il soit géostationnaire, c'est-à-dire qu'il apparaisse immobile à un observateur terrestre. b) Calculer alors sa vitesse. SOLUTION 1° - a) Vitesse du satellite sur une orbite d'altitude h = 300 km Le satellite est seulement soumis à son poids et il est animé d'un mouvement circulaire uniforme sur une orbite de rayon r = R + h Appliquons le principe fondamental de la dynamique 𝑃⃗ = 𝑀𝛾 𝑜ù 𝛾 ⃗⃗⃗⃗ accélération centripète de module M h est une 𝑣2 𝑅+ℎ Projetons l'égalité sur un axe vertical, d'origine le satellite et orienté vers le bas. On obtient : R où g est l'accélération de la pesanteur à l'altitude h. Comme , on a z Application numérique, comme : on a : 1° - b) Période T de la révolution Le mouvement étant uniforme, la période est le temps T, mis par le satellite, pour parcourir la longueur 2𝜋 (R + h) de la trajectoire d'où : Application numérique, comme : R+ h = 6,7.106m et v = 7740m.s-1, on a ou T = 1h 30mn 30s 2°. a) Altitude h à laquelle évolue le satellite géostationnaire Le satellite semble immobile pour un observateur terrestre lorsque : sa période de révolution est T = 24 h et le satellite a un mouvement de rotation autour de la Terre de même sens que le mouvement de rotation de la Terre. On a trouvé au 1° : d’où Application numérique, comme : T = 86400s, R = 6,4.106m, g0 = 9,81m.s –2 h = 42,36.106 – 6,4.106 = 35,960.106m Soit h = 35960km b) Vitesse du satellite géostationnaire on a trouvé Application numérique, comme : R + h = 42,36.106m et T = 86 400s, on a EXERCICE II , on obtient Soit un ressort d'axe vertical, de masse négligeable à spires non jointives, de coefficient de raideur k. Une masse ponctuelle m est accrochée à l'extrémité inférieure du ressort (fig. 1) 1° - On écarte verticalement la masse m de sa position d'équilibre et on l'abandonne sans vitesse initiale. Donner, sans démonstration, l'expression de la période T des oscillations de la masse m. Application numérique : m = 0,36 kg, k = 49 N. m-1 Calculer la période T. 2 𝑥 bout deux ressorts R1 et R2, de masse 2° - On place bout 𝑑à b) Etablir la relation entre l'accélération 𝑑𝑡 2 et l'abscisse x de la masse m. En négligeable, d'axe vertical commun (fig. 2). déduire la nature duLes mouvement et l'expression la Rpériode raideurs respectives de Rde 1 et 2 sont kT’. 1 et k2 c) Application numérique : calculer la période oscillations pour Une masse ponctuelle m T’ estdes accrochée à l'extrémité inférieure de k1 = k2 = 49N.m-1 et m = 0,36kg l'ensemble. Le système est d'abord supposé en équilibre. L'intensité de la m Fig. 1 pesanteur étant désignée par g, montrer que les deux ressorts ont SOLUTION la même tension, puis déterminer leurs allongements respectifs a1 et a2 en fonction de (m, g, k1 et k2) 1° - Période des oscillations de la masse 3°- a) On écarte ensuite m verticalement la masse m de sa position La masse m est abandonnée initiale, et est soumise à son Elle poidsprend 𝑚𝑔 d'équilibresans et vitesse on l'abandonne à ellemême. un et à la tension du ressort dont le oscillatoire. coefficient de Cette masseest suit𝑂𝐴un mouvement A raideur l'instantest t k. son abscisse =𝑥, O désignant la position d’équilibre.𝑚 mouvement rectiligne sinusoïdal de période 𝑇 = 2ᴨ√ 𝑘 Les allongements des ressorts à cet instant sont respectivement a’1 Application numérique : Comme m = 0,36 kg, k = 49N. m-1, la période T est = a1 + x1 et a’2 = a2 + x2 O m Exprimer respectivement x1 et x2 en fonction de x, de k1 et de k2. A 2° - Allongements a1, a2 x Etudions Fig. 2 les forces s’exerçant sur les ressorts R1 et R2 isolément C B O m Forces s’exerçant sur R2 Ensemble des Forces s’exerçant deux ressorts sur R1 Rappelons que, le système étant en équilibre, la tension d'un ressort de masse négligeable en un point est la force qu'il faudrait appliquer à chaque extrémité pour que le système reste en équilibre. Ainsi le ressort R2 est soumis en O à la tension Comme R2 est en équilibre, la tension B est Le ressort R1 est soumis en B à la tension = et en B à la tension = - = et en C à la tension D’après le principe de l’action et de la réaction = - Comme le ressort R1 est en équilibre : = - = - . . = Observons que la masse m est soumise, de la part du système des ressorts, en O à une tension = opposée à (équilibre). Ainsi = = = En somme, en tout point O, B, C du système, les tensions sont les mêmes. Exprimons la proportionnalité des modules des forces et respectivement aux allongements a1 et a2 (coefficients respectifs k1, k2) d’où : T1 = k1a1 et T2 = k2a2, ou comme T1 = T2 = mg 3° - a) Expression de x1 et x2 en, fonction de x, k1, k2 Le raisonnement relatif à la conservation de la tension dans le 2°) est encore valable parce que la masse m’ des ressorts est supposée négligeable. En effet soit par exemple G2 le centre de gravité du ressort R2 et γ2 son accélération. La relation fondamentale de la dynamique s'écrit : x1 B B B’ B’ O O x 1 + x2 A A x Ou comme Ainsi et de même et On a T1 = k1a’1, T2 = k2a’2 d’où k1a’1 = k2a’2 k1 (a1 + x1) = k2(a2+x2) D’autre part l’allongement est la somme x1 + x2 des allongements de R1 et R2 d’où le système Or d’où 3° - b) Relation entre x’’ et x Le principe fondamental de la dynamique appliqué à R2 s’écrit : d’où pour les mesures algébriques de ces vecteurs sur l’axe Ox : Ou comme Equation différentielle de la forme Donc le point A est animée d’un mouvement rectiligne sinusoïdal qui a pour période : 3° - c) Application numérique Comme k1 = k2 = k 49N.m D’où –1 et m = 0,36kg la période cherchée est :