Loi normale - MATHÉMATIQUES

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Activité 1 :
Margaux choisit un réel de l’intervalle [0 ; 10].
Elle ne choisit pas forcément un entier, elle peut choisir 5 10-3 , 7 ou 2.
Compléter les phrases suivantes :
1. La probabilité que ce nombre soit supérieur à 5 est …
2. La probabilité que ce nombre appartienne à l’intervalle [2 ; 4] est …
3. La probabilité que ce nombre soit plus grand que 7 est égale à la probabilité que ce
nombre soit …
4. Sachant que ce nombre est plus grand que 4, la probabilité qu’il soit plus grand que 5 est …
5. Margaux a choisi le nombre
Error!
. La probabilité que quelqu’un trouve ce nombre est
…
Activité 2 :
Une étude statistique porte sur le temps de bon fonctionnement, en milliers d’heures, d’un
composant électronique.
On a étudié un échantillon de 5000 de ces composants.
Les résultats sont donnés dans les tableaux ci-dessous :
1. Tracer l’histogramme des fréquences dans le repère ci-dessous.
L’aire de chaque rectangle doit être proportionnelle à la fréquence.
Deux petits carreaux correspondent à 1%.
20 30 40 50 60 70 80 90 100010 x
Durée de vie
[0 ; 10[
[10 ; 20[
[20 ; 30[
[30 ; 40[
[40 ; 50[
[50 ; 60[
[60 ; 70[
[70 ; 80[
[80 ; 90[
[90 ; 100[
[100 ; 110[
Fréquence
0, 34
0,22
0,14
0,11
0,07
0,05
0,03
0,02
0,01
0,006
0,004
1 %

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2. a. Quel est le pourcentage de composants dont le temps de bon fonctionnement
est inférieur à 30 000 heures ?
b. Hachurer en rouge l’aire correspondante sur le graphique.
3. Que vaut la somme des aires des rectangles de l’histogramme ?
4. Une étude plus précise donne les résultats suivants :
Tracer l’histogramme des fréquences dans le repère ci-dessous.
L’aire de chaque rectangle doit être proportionnelle à la fréquence.
Deux petits carreaux correspondent à 1%.
20 30 40 50 60 70 80 90 100010 x
5. On note T la variable aléatoire donnant le temps de bon fonctionnement d’un de ces
composants pris au hasard.
Dans chaque cas, hachurer l’aire correspondante de la couleur indiquée et compléter :
En bleu : P(T [20 ; 30[ ) = … En rouge : P(T [45 ; 60[ ) = …
En noir : P( 85 T ) = … En vert : P( T > 15 ) = …
Durée de vie
[0 ; 5[
[5 ; 10[
[10 ; 15[
[15 ; 20[
[20 ; 25[
[25 ; 30[
[30 ; 35[
[35 ; 40[
[40 ; 45[
Fréquence
0,19
0,16
0,13
0,10
0,08
0,07
0,058
0,05
0,037
Durée de vie
[45 ; 50[
[50 ; 55[
[55 ; 60[
[60 ; 65[
[65 ; 70[
[70 ; 75[
[75 ; 80[
[80 ; 85[
[85 ; 90[
Fréquence
0,03
0,024
0,017
0,015
0,012
0,01
0,007
0,005
0,003
Durée de vie
[90 ; 95[
[95 ; 100[
[100 ; 105[
[105 ; 110[
Fréquence
0,001
0,0005
0 ,000
0,0005
1 %

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6. Sur les deux graphiques précédents, tracer à la règle, une ligne brisée passant par le
milieu de chacun des segments située « en haut » de chaque rectangle.
Cette courbe est le polygone des fréquences.
7. Si on fait une enquête de plus en plus précise, on réduit l’amplitude de chaque classe
et on augmente le nombre de rectangles. La ligne brisée « se lisse » et on voit alors
apparaître une courbe représentant une fonction f appelée densité de probabilité de la
loi de T.
20 30 40 50 60 70 80 90 100
0,02
0,03
0,04
010
0,01
0x
y
a. Que vaut l’aire totale sous la courbe ?
b. Hachurer sur le graphique l’aire de la partie du plan correspondant à P(20
T <
32,5).
c. Exprimer cette probabilité à l’aide d’une intégrale.
d. Soit t un réel positif. A quelle probabilité correspond
0()
tf x dx
?
8. La fonction f représentée ci-dessus est définie sur [0 ; + [ par f (x) = 0,04308 e-0,04308x.
a. Déterminer une primitive F de f sur [0 ; +
[.
b. Calculer la probabilité qu’un de ces composants ait une durée de vie inférieure
à 60 000 heures.
c. Quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à 60 000 heures ?
Hachurer l’aire correspondante sur le graphique et exprimer cette probabilité à
l’aide d’une intégrale.

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VARIABLES ALEATOIRES CONTINUES
Introduction :
Les variables aléatoires étudiées précédemment ne prenaient qu’un nombre fini de valeurs.
La loi de probabilité de ces variables aléatoires étaient données soit à l’aide d’un tableau,
soit à l’aide d’une formule générale (cas de la loi binomiale).
La durée de vie d’un composant électronique, le diamètre, la longueur ou le poids d’une pièce
usinée sont des variables aléatoires continues, elles prennent leurs valeurs dans un intervalle de
I;R.
Dans ces conditions, il n’est plus possible de définir la loi de probabilité de X en dressant le
tableau des probabilités de chacun des événements « X = xi » car il y en a une infinité.
Une autre approche est alors nécessaire : on s’intéresse aux événements du type « X prend
ses valeurs dans l’intervalle J » que l’on note abusivement « X J ».
I Loi de probabilité à densité
Définition : On appelle densité de probabilité sur un intervalle I, toute fonction f continue et
positive sur I telle que l’intégrale de f sur I soit égale à 1.
Exemple 1 : La fonction f définie sur [1 ; 3] par f (x) =
Error!
x –
Error!
est une densité de
probabilité.
En effet :
Définition : f désigne une densité de probabilité définie sur un intervalle I.
Dire qu’une variable aléatoire continue X suit la loi de densité f signifie que
pour tout intervalle [a ; b] de I, P(X [a ; b]) =
()
b
af t dt
Propriétés : Pour tous réels a et b de l’intervalle I :
 P(X = a) = 0 en effet : P(X = a) =
()
a
af t dt
= 0.
 P(X a) = P(X < a) et P(X a) = P(X > a)
 P(X > a) = 1 – P(X a)
 P(a < X < b) = P(X < b) – P(X < a)

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Exemple 2 : X est la variable aléatoire de densité f définie sur [1 ; 3] par f (x) =
Error!
x –
Error!
.
P(2 X 2,5) =
Définition : L’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue X, de densité f sur
l’intervalle I = [a ; b] est le réel défini par E(X) =
()
b
at f t dt
Exemple 3 : X est la variable aléatoire de densité f définie sur [1 ; 3] par f (x) =
Error!
x –
Error!
.
E(X) =
Exercice 1 : La production quotidienne X d’un produit en tonnes est une variable aléatoire
continue qui prend ses valeurs dans l’intervalle [0 ; 10] avec la densité de
probabilité f définie par f (x) = 0,006(10x – x²).
1. Vérifier que f est une densité de probabilité.
2. Calculer la probabilité des événements suivants : A : « X 7 » et B : « X > 6 »
3. Calculer l’espérance mathématique et interpréter ce résultat.