Modèle mathématique.

DISTRIBUTION NORMALE : Intervalles de confiance
10 20 30 40 50 60 70
0.1
0.2
0.3
0.4
E1E2
A
M
O
p:0.95
n:40
f:0.7
sm:2.898 k:1.96
f1:0.56 f2:0.84 e1:22.3 e2:33.7
m:28
sf:0.07
Au cours de n ( 1 n 100 ) expériences, un événement E apparaît avec une fréquence f, soit n.f fois.
La variable aléatoire X = nombre d’apparitions de E (supposée continue ) suit la loi binômiale approximée par la loi de Laplace-
Gauss. Sa moyenne (espérance mathématique) est m = n.f et sa variance n.f.( 1- f ) = s² ( s est l'écart-type).
La densité de probabilité est donné par la formule :
g( x ) =
Error!
avec m = n.f et s = sm =
Error!
On a limité le tracé de la courbe G ( de Gauss, en bleu ) représentative de g à l'intervalle [ m-5s ; m+5s ].
Le point A est le sommet de G (A a pour abscisse n.f = m).
La courbe LAN (en rouge) est le lieu de A quand n varie de 30 à 100, f étant fixé. L’équation de LAN est y =
Error!
.
La courbe LAF (en vert) est le lieu de A quand f varie de 0,3 à 0,7, n étant fixé. L’équation de LAF est y =
Error!
.
Les points E1 et E2 ont pour abscisse respective e1 = m - k.s et e2 = m + k.s , où k est un réel positif permettant de déterminer
l’intervalle de confiance [e1 ; e2] où la variable x a une probabilité p =
Error!
de se trouver . Par exemple si k = 1,64 , on a un
intervalle de confiance à p = 0,90; si k = 1,96 , p = 0,95 ; enfin si k = 2,58 , p = 0,99.
On peut aussi considérer la fréquence f, l’écart-type de cette fréquence sf =
Error!
, et les bornes f1 et f2 de l’intervalle de confiance
de f pour un niveau p donné.
Commandes :
(touche N) sélection de n pour pilotage au clavier.
(touche F) sélection de f pour pilotage au clavier.
(touche A) vue générale des courbes.
(touche Z) zoom sur le point A, rapport 1.5.
(touche D) dessine ou efface un axe vertical passant par le point A.
(touche 1) dessine ou efface la courbe LAF(la touche V donne le support de LAF).
(touche 2) dessine ou efface la courbe LAN(la touche W donne le support de LAN).
(touche I) dessine ou efface l'aire de la surface correspondante à la probabilité p et à la valeur de k affichées. Affiche ou efface
également e1 , e2 , f1 et f2 .
(touche K) permet de piloter k au clavier.
(touche 0, 5, 9) valeur 1.64 (respectivement 1.96 et 2.58) affectée à k (respectivement p = 0.90 , p = 0.95 , p = 0.99). – 3 -