Chapitre N4 : Division euclidienne, division décimale I) Division euclidienne Définition : Dans une division euclidienne, il y a quatre entiers : le dividende, le diviseur, le quotient et le reste tel que : Dividende = (diviseur × quotient) + reste et reste < diviseur. Exemple : Effectuer la division euclidienne de 39 par 5. 39 = (5 × 7) + 4 et 4 < 5. Dividende Diviseur 39 5 4 7 Reste Quotient Effectuer la division euclidienne de 326 par 25. En 32, combien de fois 25 ? 1 fois 1 × 25 = 25 et 32 – 25 = 7 et on abaisse le 6. 326 25 76 1 En 76, combien de fois 25 ? 3 fois 3 × 25 = 75 et 76 -75 = 1. 326 25 76 13 1 326 = (25 × 13) + 1 et 1 < 25. Avec la calculatrice : Pour effectuer la division euclidienne de 326 par 5, on tape : II) Critères de divisibilité Dans la division euclidienne de 56 par 8, le quotient est 7 et le reste est 0. On dit que 8 est un diviseur de 56 ou encore que 56 est divisible par 8. On dit aussi que 56 est un multiple de 8. Règles : Un nombre entier est divisible par 2 s’il se termine par 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8. Exemple : 34 est divisible par 2 et 35 ne l’est pas. Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Exemple : 124 est divisible par 4, car 24 = 4 × 6 et 126 ne l’est pas, car 26 = 4 × 6 + 2. Un nombre entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5. Exemple : 1025 est divisible par 5 et 3262 ne l’est pas. Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exemple : 594 est divisible par 3, car 5 + 9 + 4 = 18 et 18 = 3 × 6 et 398 ne l’est pas, car 3 + 9 + 8 = 20 et 20 = 3 × 6 + 2. Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemple : 4932 est divisible par 9, car 4 + 9 + 3 + 2 = 18 et 18 = 9 × 2 et 523 ne l’est pas, car 5 + 2 + 3 = 10 et 10 = 9 × 1 + 1. III) Division décimale Définition : La division décimale permet d’obtenir soit la valeur décimale exacte, soit une valeur approchée du quotient. Exemples : Effectuer la division décimale de 39 par 5. 39 5 40 7,8 0 Le reste est nul. 7,8 est le quotient de 39 par 5. 39 ÷ 5 = 7,8. Effectuer la division décimale de 4,2 par 7. 4,2 7 42 0,6 0 Le reste est nul. 0,6 est le quotient de 4,2 par 7. 4,2 ÷ 7 = 0,6. Effectuer la division décimale de 7 par 3. 7 3 10 2,33 10 1 Le reste n’est pas nul. 2,33 est une valeur approchée au dixième du quotient de 7 par 3. 7 ÷ 3 ≈ 2,33. IV) Division par 10, 100, 1000… Propriété : Diviser par 10, 100, 1000, c’est multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001. Exemples : 357 ÷ 10 = 35,7 357 ÷ 100 = 3,57 357 ÷ 1000 = 0,357 357 × 0,1 = 35,7. 357 × 0,01 = 3,57. 357 × 0,01 = 0,357. 80 ÷ 10 = 8 8 ÷ 10 = 0,8 0,8 ÷ 10 = 0,08 80 × 0,1 = 8. 8 × 0,1 = 0,8. 0,8 × 0,01 = 0,08.