Série chronologique et prévisions Introduction : Objectifs

1
Série chronologique et prévisions
Introduction :
Objectifs :
- Maniement simple de quelques techniques statistiques (statistiques descriptives,
indices, séries chronologique, moindres carrés ordinaires).
Chapitre 1 : Statistiques descriptives
On distingue deux types de statistiques résumées :
- Les statistiques qui résument la tendance « centrale » d’une série (mode, moyenne et
médiane) et les statistiques qui résument la dispersion d’une série
o Sans référence à aucune statistique de tendance centrale (intervalle,
interquartile ou inter décile)
o Qui fait référence à la tendance centrale (variance, écart-type et coefficient de
variation)
Il existe aussi des statistiques qui résument la « forme » d’une distribution, mais celles-ci ne
sont plus trop utilisées aujourd’hui dans la mesure où il est plus facile d’observer directement
la graphique d’une distribution pour en apprécier la forme.
I. Les statistiques de tendance centrale
1) Le mode
Le mode d’une série est la valeur la plus fréquente d’une série. Exemple : soit la série {8, 4, 4,
3, 4, 3, 8, 7, 5}
La valeur la plus fréquence de cette série est 4. Le mode est donc égal à 4. L’effectif associé à
ce mode est 3.
Quelques remarques à propos du mode
a) Une série peut avoir plusieurs modes
S = {4, 0, 1, 1, 7, 7, 7, 3, 3, 4, 7, 3, 4, 5, 7, 1, 3, 3, 4, 5}, cette série a 2 modes, elle est
bimodale. Ses deux modes sont 7 et 3. L’effectif associé à chacun de ces modes est 5.
Il existe également des séries multimodales.

2
b) Le mode n’existe pas forcément. C’est le cas lorsque toutes les valeurs ont le même
objectif.
Exemple : S = {4, 0, 1, 2, 5, 6}
c) Le mode n’est pas la valeur la plus élevée. Il ne faut pas confondre le mode, qui est la
valeur la plus fréquente, avec la valeur la plus élevée de la série.
d) Les caractères quantitatifs et qualitatifs peuvent avoir un mode.
Le mode existe aussi bien dans le cas d’une série de valeurs que dans le cas d’une série de
modalités :
La série {A, C, C, D, A, A, C, E, E, B, C} a la modalité C pour mode car c’est la modalité C
qui revient le plus souvent.
2) la moyenne arithmétique
Soit un échantillon de n valeurs observées x1, x7,…, xi,…, xn d’un caractère quantitatif X, on
définit sa moyenne observée comme la moyenne arithmétique des n valeurs :
n
ii
x
n
x1
1
Exemple avec S = {4, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 2, 1, 3, 3, 4, 5}
Une des propriétés de la moyenne arithmétique est que la somme des écarts à la moyenne est
nulle :
n
i1
(xi −
x
) = 0
Si les données observées xi sont regroupées en k classes d’effectifs ni (variable continue
regroupée ou variable discrète), il faut les pondérer par les effectifs correspondants :
Avec
k
iii xn
n
x1
1
k
ii
nn 1

3
Exemple précédent regroupé :
Remarque : la moyenne obtenue après regroupement des données en classe peut différer
légèrement en raison d’une perte d’information.
Exemple : Supposons que les données précédentes soient regroupées en classe de la faço,
suivante :
Pour calculer la moyenne, nous devons déterminer les centres de classe et appliquer la
formule
k
iii xn
n
x1
1
où les xi sont les centres de la classe (nommés Ci) :
La différence ici est de 0,5 et cette différence dépend de la définition des classes : amplitude
et nombres de classes.
Décomposition de moyenne :
Soit une population totale de n individus, composée de k groupes. Les groupes sont désignés
par des lettres. La population totale est égale à la somme des populations des groupes :
Notons la moyenne de la variable X du groupe m :

4
La moyenne globale se calcule ainsi :
Ou encore
La formule s’écrit en définitive :
Exemple :
A B C D
12 910 5
15 11 12 12
14 815
13 15 16
518
9
moyenne de chaque groupe 13,5 9,6 11 13,2
effectif de chaque groupe 4 5 2 6
17
coefficient de pondération 0,23529412 0,29411765 0,11764706 0,35294118
1
moyenne x coefficient 3,17647059 2,82352941 1,29411765 4,65882353
11,9529412

5
Les effets de structure : les moyennes de chaque classe possèdent des pondérations très
différentes :
Deux autres moyennes :
Moyenne géométrique :
Avec les notations précédentes :
nn
n
np
xxG  ...
1
1
est la moyenne géométrique de la série statistique.
Exemple :
L’essence a augmenté de 10%, l’an dernier et de 30% cette année. Quelle est le taux
d’augmentation annuelle ?
Ce n’est pas 20% ! la moyenne arithmétique ne convient pas. Si t est ce taux, on a bien sût :
3,11,11 t
Et donc t = 0,196 = 19, 6%
La bonne moyenne est ici la moyenne géométrique.
Moyenne harmonique :
Toujours avec les notations précédentes :
iii xn
n
H/
est la moyenne harmonique de la série statistique.
Exemple :
Si je fais un trajet aller-retour avec une vitesse v1 à l’aller et une vitesse v2 au retour, quelle est
ma vitesse moyenne sur l’ensemble du trajet ?