Corrections des exercices
Exercice 1:
1:
a: a1 = 39 , a2 = 399 , a3 = 3999 , b1 = 19 , b2 = 199 , b3 = 1999 , c1 = 21 , c2 = 201 , c3 =
2001.
b: an s'écrit, en base 10, sous la forme 399..99, "3" suivi de n "9". Donc son écriture
décimale a (n+1) chiffres.
De même, cn s'écrit 2000...001, "2" , suivi de (n-1) "0" , et un "1", donc son écriture décimale
a aussi (n+1) chiffres.
an et cn sont divisibles par 3 car la somme de leurs chiffres est un multiple de 3
c: b3=1999 est- il premier? Oui ( il n'est pas divisible par2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
37, 41,43,47 et 1999=47*42+25 ,le quotient 42 est inférieur au diviseur 47)
d: Comme (A-B)(A+B) = A2 - B2, on a:
bn.cn = (2.10n-1) .(2.10n+1) = 4.102n -1 = a2n.
En particulier, a6 = b3.c3 = 1999*2001 = 3*23*29*1999. C'est bien la décomposition en
facteur premier de ce nombre car 1999 est premier.
e: On sait que pour tous entiers n et m, on a : PDCD( n , m) = PGCD( m-n , m).
Comme cn - bn = 2, on en déduit que l'on a bien : PGCD( bn , cn ) = PGCD( cn ,2).
Or, cn et 2 sont premiers entre eux, ( argument très simple, cn est impair, ou avec le théorème
de BEZOUT, cn - 2.10n =1 ),
donc PGCD( cn ,2) = 1 et donc PGCD( bn , cn ) =1 .
bn et cn sont bien premiers entre eux.
2:
a: Comme b3 et c3 sont premiers entre eux, on sait, d'après le théorème de BEZOUT qu'il
existe u et v entiers relatifs tels que
b3.u + c3.v = 1
L'équation (1) admet donc au moins une solution.
b: On a: 2001 = 1999 + 2 et 1999 = 999*2 + 1 , d'où la relation :
(1999 = 999*(2001-1999)+1) donc (1000*1999 - 999*2001 = 1)
Une solution particulière est donc (x = 1000) , (y = -999).
c: Si x et y est une solution de (1), alors on a:
b3x + c3y = 1
et
1000.b3 - 999.c3 = 1
D'où, (1000-x)b3 = (999 + y)c3.
Comme b3 et c3 sont premiers entre eux, d'après le théorème de GAUSS, il existe donc k et k'
entiers relatifs tels que : 1000 - x = k.c3
et
999 + y = k'.b3
On remarque que l'on doit avoir k = k'. D'où, toute solution de (1) est de la forme:
x = 1000 - k.c3
y = - 999 + k.b3
où k est un entier relatif quelconque.
On vérifie sans peine que tout (x , y ) de la forme précédente est bien solution.
L'ensemble des solutions de (1) est donc l'ensemble des couples ( 1000 - k*2001 ; -999 +
k*1999), où k est un entier relatif.