SCAO_VOL4_DESS

UNIVERSITÉ DE LA MÉDITERRANÉE - AIX-MARSEILLE II
DESS AIR & ESPACE
Système de Contrôle d’Attitude et d’Orbite
Volume IV – Techniques Inertielles
Robert GUIZIOU
Mis à jour le 15 avril 2017
Technopôle de Château-Gombert
60, rue Joliot Curie - 13453 MARSEILLE CEDEX 13 – Tél : 04.91.11.38.02 - Fax : 04.91.11.38.38
Imprimé le 15/04/17
S.C.A.O. – Volume IV
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SOMMAIRE
1
NOTIONS DE GYROSCOPIE – COUPLE GYROSCOPIQUE .................................................................... 5
1.1
CADRE DE LA GYROSCOPIE ? .......................................................................................................................... 5
1.1.1
Cadre et hypothèses .............................................................................................................................. 5
1.1.2
Hypothèses et notations ......................................................................................................................... 6
1.2
MISE EN EQUATIONS ...................................................................................................................................... 8
1.2.1
Moment cinétique .................................................................................................................................. 8
1.2.2
Théorème du moment cinétique ............................................................................................................. 8
1.2.3
Notion de couple gyroscopique ............................................................................................................. 9
1.2.4
Interprétation du couple gyroscopique ................................................................................................. 9
1.2.5
Paradoxe gyroscopique ....................................................................................................................... 10
1.3
APPROXIMATION GYROSCOPIQUE ................................................................................................................ 10
1.4
NOTION DE DERIVE ...................................................................................................................................... 12
1.5
EXEMPLES .................................................................................................................................................... 12
1.5.1
Résolution physique ............................................................................................................................ 13
1.5.2
Résolution classique ............................................................................................................................ 13
2
EQUATIONS DE LA GYROSCOPIE EXPRIMEES EN ANGLES D’EULER ......................................... 15
2.1
DESCRIPTION DU MONTAGE ......................................................................................................................... 15
2.1.1
La plate-forme ..................................................................................................................................... 15
2.1.2
Montage de cardan idéal..................................................................................................................... 15
2.1.3
Les paramètres .................................................................................................................................... 17
2.1.4
Les efforts en jeu ................................................................................................................................. 17
2.2
EQUATIONS DU MOUVEMENT A L’ORDRE 1 .................................................................................................. 18
2.2.1
Cas général ......................................................................................................................................... 18
2.2.2
Calcul du moment reçu par le gyroscope S3........................................................................................ 19
2.3
EXEMPLES CAPITAUX POUR LES TECHNIQUES INERTIELLES .......................................................................... 20
2.3.1
Gyroscopes de références inertielles ................................................................................................... 20
2.3.2
Accéléromètre gyroscopique ............................................................................................................... 21
2.3.3
Boîtier accélérométrique ..................................................................................................................... 22
2.4
RETOUR SUR LES SUSPENSIONS .................................................................................................................... 22
2.4.1
Suspension électrique .......................................................................................................................... 23
2.4.2
Suspension hydrodynamique ............................................................................................................... 23
2.4.3
Suspension dynamique accordée ......................................................................................................... 23
3
PRINCIPE D’UNE CENTRALE INERTIELLE ........................................................................................... 25
3.1
PRINCIPE DE REALISATION ........................................................................................................................... 25
3.1.1
Matérialisation du repère absolu Ra ................................................................................................... 26
3.1.2
Alignement et initialisation de la centrale........................................................................................... 27
3.1.3
Notion de plate-forme stabilisée.......................................................................................................... 29
3.2
MESURE DE LA ROTATION ............................................................................................................................ 29
3.3
LE NAVIGATEUR INERTIEL ........................................................................................................................... 30
3.3.1
Equipements nécessaires ..................................................................................................................... 30
3.3.2
Fonctionnement du navigateur ............................................................................................................ 31
3.3.3
Erreurs ................................................................................................................................................ 32
3.4
OU SE RENSEIGNER ?.................................................................................................................................... 33
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3.4.1
3.4.2
4
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Entreprises .......................................................................................................................................... 33
Spécialiste français et bibliographie ................................................................................................... 33
ACCELEROMETRES ..................................................................................................................................... 35
4.1
ACCELEROMETRE AVEC MASSE EN TRANSLATION........................................................................................ 35
4.1.1
Schéma ................................................................................................................................................ 35
4.1.2
Théorie ................................................................................................................................................ 36
4.1.3
Conclusion .......................................................................................................................................... 36
4.2
AUTRES PRINCIPES ....................................................................................................................................... 37
4.2.1
Accéléromètre à quartz ....................................................................................................................... 37
4.2.2
Accéléromètre à cordes vibrantes ....................................................................................................... 38
4.2.3
Accéléromètre pendulaire ................................................................................................................... 38
5
GYROMETRES ................................................................................................................................................ 39
5.1
PRINCIPE DU GYROSCOPE 1-AXE .................................................................................................................. 39
5.1.1
Description .......................................................................................................................................... 39
5.1.2
Equipements annexes .......................................................................................................................... 40
5.1.3
Relation fonctionnelle exacte .............................................................................................................. 40
6
5.2
LE GYROSCOPE INTEGRATEUR 1-AXE ........................................................................................................... 40
5.3
LE GYROMETRE............................................................................................................................................ 41
5.4
LE GYROMETRE LASER ................................................................................................................................. 41
PRINCIPE DE RELATIVITE D’EINSTEIN-GALILEE ............................................................................. 43
6.1
PRINCIPE DE RELATIVITE D’EINSTEIN-GALILEE ........................................................................................... 43
6.1.1
Notion de force spécifique ................................................................................................................... 43
6.1.2
Question posée par Einstein ................................................................................................................ 44
6.1.3
Réponse ............................................................................................................................................... 44
6.2
CONSEQUENCES DE CE PRINCIPE .................................................................................................................. 44
6.2.1
Commentaires ..................................................................................................................................... 44
6.2.2
Comment met-on en évidence g sur Terre ? ........................................................................................ 45
6.2.3
Qu’est-ce que l’état d’apesanteur ? .................................................................................................... 45
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1 NOTIONS DE GYROSCOPIE – COUPLE GYROSCOPIQUE
Nous présentons dans les cours qui suivent, les fondements de la gyroscopie. C'est une partie de la
mécanique classique souvent délaissée parce que très spécialisée, demandant un sens mécanique
inhabituel et nécessitant des approximations, au demeurant fort justifiées mais qui déplaisent quelquefois
au mécanicien quelquiefois trop mathématicien.
Les applications de la gyroscopie et à travers elle des techniques inertielles ont révolutionné les
systèmes de pilotage, de guidage et de navigation parce qu'offrant une autonomie totale de manœuvre
même à des distances considérables de la Terre ou dans des conditions d'environnement très sévères
(Rentrée de capsules, sous-marins,...).
1.1
Cadre de la gyroscopie ?
1.1.1 Cadre et hypothèses
En pratique, dès qu'un système comporte un corps tournant, on peut parler de gyroscopie. Cependant
l'expérience montre que les effets étonnants et réellement "utiles" n'apparaissent que dans deux
circonstances :
 Un solide unique est en mouvement de rotation, quelle que soit sa rotation, le mouvement n'est
pas alors perturbé par un autre système. Dans le cas particulier où le moment des forces
extérieures, calculé au centre d'inertie est nul, l'étude relève alors de la théorie de Poinsot1. On
peut alors rappeler qu'en particulier si la rotation axiale se fait autour du grand axe d'inertie,
l'orientation de cet axe reste fixe dans un repère inertiel. De plus dans le cas d'une grande
vitesse de rotation axiale, le mouvement présente alors une très grande stabilité, appelée
raideur gyroscopique qui se manifeste par des mouvements très lents de l'axe du gyroscope,
donc des vitesses angulaires très faibles et donc des accélérations angulaires encore plus
faibles. Nous conserverons cette hypothèse durant tout le cours, elle sera justifiée à posteriori.
 Le corps tournant appartient à un système complexe et présente :
-
soit un moment d'inertie axial très important,
-
soit une rotation axiale très rapide, par rapport aux rotations possibles des autres parties du
système,
-
soit les deux.
Dans tous les cas, on parlera d'un "moment cinétique H = I  important", avec une rotation de 250 à 3000
t/s et un moment cinétique de 10-3 à 1 N.m/s.
Intuitivement comparé à la quantité MV qui caractérise l'inertie en translation, ici c'est I qui caractérise
l'inertie en rotation.
1
Cf. SCAO – Vol 1, chapitre 1 – Mouvement de Poinsot
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1.1.2 Hypothèses et notations
1.1.2.1 Sur la forme du corps tournant (appelé gyro)
De toute évidence, il vaut mieux faire tourner un corps de révolution (Toupie) qu'un solide ayant 3
moments d'inertie différents.
Nous supposerons donc toujours que le "gyro" est de révolution axiale. L'axe de révolution sera toujours
noté Z, troisième axe d'un repère principal XYZ lié ou non au gyro. Le gyro sera noté S 3.
Matrice d’inertie du gyro dans le repère principal GXYZ :
A 0 0 


I S3 / GXYZ    0 A 0 
 0 0 C 
1.1.2.2 Sur le montage du gyro supposé entretenu
On appellera "carter" le solide S2 (pourquoi S2, tout simplement parce qu'en général un corps tournant S 3
est monté dans 2 armatures de Cardan, la première dite externe S1 et la deuxième dite interne S2), qui
porte le gyro au moyen de 2 paliers A et A'. Cette dénomination de carter est parfaitement adaptée
puisque le gyro doit être protégé des poussières et régulé en température. De plus la grande vitesse de
rotation présente un danger pour l'environnement extérieur.
Le gyro sera supposé entretenu, ce qui signifie que sa vitesse angulaire de rotation axiale r, par rapport
au carter reste constante dans le temps.
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Le carter s'appelle aussi "élément sensible", car c'est lui qui reçoit directement les effets du gyro et lui
seul est vraiment observable. Sa structure sera donc agrémentée d'équipements divers :
 Moteur d'entraînement du gyro,
 Alimentation électrique de ce moteur,
 Capteur de vitesse angulaire axiale,
 Asservissement de vitesse angulaire,
 Electronique de l'asservissement,
 Régulation de température ...
 Paliers A et A', supposés parfaits, c'est à dire sans frottement. Nous n'entrons pas encore dans
le détail de la suspension (à gaz, magnétique, accordée, roulement à billes ...).
1.1.2.3 Notations
La figure ci-dessus illustre les définitions, suivantes :
Référentiel inertiel ou galiléen
Ra
G pour le gyro
Centres d'inertie
G2 pour le carter S2
G* pour l'ensemble S* = S2 + S3
Masses
M pour S2, M pour S3
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



Vecteur rotation absolue de S2


 S2 / R a   c
Vecteur rotation de S3/Carter



 S3 / S 2   g  rZ

Couple gyroscopique défini plus loin

M p Fex / S 2  S3



Cg  C g   c
Rotation axiale absolue du gyro
R
Rotation transversale absolue

Moment cinétique de S2+S3
H
Moment cinétique de S2+S3=S* , S3 "calé" sur S2.
H*
Moment en P des forces extérieures sur S2+S3

1.1.2.4 Notion de "gyro calé sur le carter"
Plus loin, nous serons amenés à utiliser la notion de système avec gyro calé, bloqué sur son carter. Il
s'agira du système global S2+S3, dans lequel le gyro ne tourne pas par rapport à S 3. Autant dire, à paliers
"soudés".
Nous noterons S* ce système particulier, dans lequel le gyro est bloqué sur son support.
1.2
Mise en équations
1.2.1 Moment cinétique
Soit P un point quelconque, nous avons :
Erreur! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de
champs de mise en forme.
Résultat évident physiquement.
1.2.2 Théorème du moment cinétique
Appliquons le théorème du moment cinétique le plus général en P, en remarquant que le vecteur rZ est
constant dans un repère lié à S2.
 



d 

*






H
S

S

M
F
/
S

S

M

m
V
G

V
p
2
3
p
ex
2
3
a
a P 
 dt


 Ra


d 

  H p* S 2  S 3 
  c  Cr Z
 dt
 Ra
Finalement on obtient l'équation équivalente (à * près) :
 

 *



 d *







H
S

S

M
F
/
S

S

C




M

m
V
G

V
p
2
3
p
ex
2
3
g
c
a
a P 
 dt


 Ra
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1.2.3 Notion de couple gyroscopique
Par définition, on pose un nouveau vecteur appelé couple gyroscopique :



Cg  Cg  c
L'équation finale de 1.2.2 montre le résultat suivant considéré comme un théorème :
Théorème très général : en présence d’un gyroscope, on peut considérer ce gyroscope comme
bloqué sur son carter (Rotation "oubliée" ), à condition de rajouter au moment des forces
extérieures un moment supplémentaire, le couple gyroscopique, compensant les effets de la
rotation "oubliée".
 



 d *

 M p* Fex / S2  S3   M  m Va G *  Va P 
 dt H p S2  S3 

 Ra
où




Mp* Fex / S2  S3   Mp Fex / S2  S3   Cg  c
NB : Le lecteur aura bien remarqué que le mouvement de S2 reste inchangé, car la mise en équations est
strictement équivalente.
1.2.4 Interprétation du couple gyroscopique
Il faut essayer ici de faire "sentir" ce qu'est le couple gyroscopique. Tout d'abord, pour qui a lu la théorie
de Poinsot, on constate qu'un grand moment cinétique pour un solide de révolution totalement libre, crée
une très grande stabilité de ce mouvement. Le meilleur exemple en est la Terre dont la rotation reste
immuable avec son axe invariablement pointé vers l'étoile polaire.
On peut exprimer cette propriété en disant que le gyroscope possède une grande inertie et qu'il s'oppose
à toute action extérieure tendant à lui imposer une rotation transverse.
Précisément appelons  le vecteur rotation transverse, commun à S2 et au gyro S3. C'est le carter S2 qui
communique cette rotation à S3, par l'intermédiaire des paliers.
Le couple gyroscopique s'écrit donc aussi :






Cg  Cg  c  Cg    CrV
montrant qu'il est d'autant plus important que sa vitesse est grande et aussi proportionnel à l'attaque
imposée, .
Physiquement et grossièrement, pour créer une rotation transversale  portée par l'unitaire u, il faut
exercer un couple M porté par u. Le couple gyroscopique primaire Cg est alors porté par l'axe v.
Mécaniquement, il va donc créer une nouvelle rotation 1 autour de v, donc également transversale.
Que se passe-t-il alors ? Un couple secondaire Cg1 est crée, porté par l'axe opposé à u, tout simplement
pour "contrer" le couple initial M. Un peu plus loin, on montrera, et l'expérience le montre parfaitement,
que la première rotation  est complètement annihilée par cet effet gyroscopique.
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Ce n'est pas simple à imaginer et je le conçois. Mémorisez surtout l'effet secondaire.
On pourra cependant retenir une règle simple dite :
Règle du parallélisme des axes de rotation :
"Lorsqu'un gyroscope est soumis à une rotation (ou un moment) imposée, il réagit en créant un
couple gyroscopique et adoptant une rotation telle qu'elle ait tendance à 'envoyer' l'axe du
gyroscope sur l'axe de la rotation imposée, ou encore à aligner son axe sur celui de la rotation
transversale imposée".
1.2.5 Paradoxe gyroscopique
Nous sommes en mesure de justifier la dénomination de paradoxe gyroscopique, dans le comportement
"bizarre" d'un gyro.
En effet la mécanique classique nous dirait qu'un couple M ferait tourner le solide autour d'un axe
sensiblement de même sens que le couple. Or il n'en est rien, puisque la tendance au parallélisme de
l'axe moment et de l'axe de rotation gyro, montre que la rotation se fait à 90° de celle espérée. C'est le
paradoxe gyroscopique.
Explication : Si maintenant on considère que le le gyro peut être considéré comme "calé" sur son support,
à condition de lui appliquer le couple gyroscopique, la mécanique classique appliquée tout à fait
normalement à un solide sans rotation, donne la bonne interprétation, en considérant les conséquences
du couple gyroscopique.
1.3
Approximation gyroscopique
Considérons le gyroscope seul.
Hypothèse 1 : Le point de calcul est pris au centre d'inertie G du gyro
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Hypothèse 2 : Reprenant l'hypothèse de vitesses angulaires faibles et d'accélérations angulaires encore
plus faibles, on peut négliger les termes provenant de la dérivée de la rotation transverse.
Hypothèse 3 : Comme les paliers ne peuvent transmettre un moment porté par leur axe Z, le moment
imposé au gyro est transverse :



  
 

 dH 
 dZ 
 d 
 dZ

A

Cr

Cr



Z


 
 

c
 dt 

 Ra
 dt S2

 dt  Ra
 dt  Ra





 dH 

  Cg  c  Cg  MG * Fex / S3 
 dt 
Ra
THEOREME : Lorsqu'un gyroscope reçoit un moment, il réagit de manière à créer un couple
gyroscopique qui annule ce moment.



M * Fex / S3   Cg  0
G





Cg  Cg  c  Cg  
Nous confirmons donc les remarques faites sur le rôle du couple gyroscopique.
Cette formulation des équations de la gyroscopie est de loin la plus générale :
 Indépendante de tout système d'axes,
 Indépendante de tout paramétrage par des angles de rotation,
 Très claire sur le rôle du couple gyroscopique qui "contre" le moment imposé à S3, transmis par
l'intermédiaire des paliers.
Formulation équivalente :
En gyroscopie, on s'intéresse essentiellement au mouvement de l'axe gyro, suivi par des capteurs
angulaires qui transformeront plus tard un gyro en détecteur.
On a donc eu l'idée d'introduire un point P extrémité du moment cinétique principal H = Cr. Vue de G, la
dérivée du moment cinétique H apparaît comme la vitesse de P.
On pose donc :


  

 

 dH 
 dZ 
 dZ



V
P

Cr

Cr



Z


 
 

a
c
 dt S2

 dt  Ra
 dt  Ra





Va P   Cg  c  Cg  M * Fex / S3 
G
En conclusion, il vient une relation nouvelle (attention ! apparemment il y a un problème de dimension
entre vitesse et moment, mais il ne faut pas oublier que OP = Cr est un moment cinétique).
THEOREME : La vitesse de l'extrémité P du moment cinétique principal du gyroscope est égale au
moment en G des forces extérieures agissant sur le gyroscope.


Va P   M
G*
Fex / S3 
NB 1 : Cette approche de la gyroscopie est d'un grand secours pour la description physique des
phénomènes. Elle se prête moins bien aux développements analytiques.
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NB 2 : Le lecteur curieux pourra s'essayer à montrer que l'origine du couple gyroscopique réside dans les
forces d'inertie de Coriolis, dont le moment en G donne effectivement le couple gyroscopique.
Il s'agit donc bien d'une forme particulière d'inertie, mais l'origine mystérieuse des termes de Coriolis,
laisse le problème entier.
1.4
Notion de dérive
Pour créer le couple gyroscopique, le gyro s'impose une rotation transversale . En gyroscopie
instrumentale,  s'appelle la dérive ou encore la précession.
Cette dérive est tout à la fois :
 Une ennemie quand il s'agit d'utiliser le gyroscope comme moyen de pointage ou de références
d'axes inertiels (voir Poinsot)
 Utile lorsque, nous le verrons le gyroscope est utilisé comme détecteur, puisque le couple
gyroscopique mettra en évidence des perturbations externes ou des rotations à mesurer. (Voir
instruments de mesure)
Si l'on remarque que :

MG




Va P     CrZ  Cr  MG   
 r
Cr
On prouve à posteriori que plus le moment cinétique H = Cr du gyro est grand, plus la dérive est faible,
on comprend que l'on cherche à atteindre des vitesses de rotation très élevée, pour réduire la dérive.
1.5
Exemples
Pour alléger cette page, les exemples nombreux et divers sont fournis à part : VOIR EXEMPLES
PRATIQUES.
Nous ne donnons qu'un seul exemple significatif, car connu de tout le monde : la toupie.
Une toupie est lancée en rotation de vitesse angulaire r 0 autour de son axe principal Z. Mise en contact,
sans frottement, avec une surface plane horizontale, quel est son mouvement ?
On notera  l'angle de rotation autour de l'axe u, et  celui autour de l'axe vertical Za. On note OG = D, M
la masse et C l'inertie axiale de la toupie.
Dans le cadre de la gyroscopie, on peut affirmer que les vitesses et accélérations angulaires de  et 
sont petites. Dans ces conditions, l'accélération verticale de G est quasiment nulle et la réaction N est
identique au poids mg.
Typiquement, S* = S2+S3 =Toupie (S2 inexistant).
Le couple externe M* est porté par l'axe horizontal u et vaut mgDsin.
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1.5.1 Résolution physique
Si l'on introduit le point P extrémité su moment cinétique principal, la vitesse de P est donc portée par
l'axe horizontal u, orthogonal à Z. Donc l'angle  ne peut varier, ce qui entraîne que l'axe Z ne peut avoir
qu'un mouvement conique d'axe Za. C'est bien ce qui se passe en pratique.
Si l'on veut trouver la vitesse angulaire de précession autour de Z, on écrit que P décrit un cercle de
rayon Hsin. On obtient alors la précession :
 
mgD
Cr
1.5.2 Résolution classique
On s'appuie sur le couple gyroscopique, en posant une vitesse angulaire transversale  (dérive)
inconnue :

  u  Z

a





M * F / S   C  0  mgD sin u  Cr u  Cr  Z  u  0
ex
3
g
 G



C  C

g 
 g



Pour conclure simplement comme plus haut :
 
mgD
Cr
et   0
NB : Ce résultat est en partie le résultat moyen du mouvement dit de Lagrange et Poisson, que vous
retrouverez dans tout ouvrage de mécanique classique.
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2 EQUATIONS DE LA GYROSCOPIE EXPRIMEES EN
ANGLES D’EULER
Ce chapitre concerne l'étude fine d'un gyroscope S3, monté à 3 degrés de liberté (les spécialistes ne
parleraient que de 2 degrés de liberté, considérant la rotation propre axiale comme imposée) grâce à 2
armatures de Cardan. L'appareil est "le passager" d'une plate-forme stabilisée S0, d'orientation fixe dans
un repère inertiel.
2.1
Description du montage
2.1.1 La plate-forme
Dans l'immédiat disons simplement que c'est un solide S 0, emporté dans un véhicule (avion, sous-marin,
lanceur etc...), et conservant une orientation fixe par rapport à un repère inertiel. Ce qui ne veut pas dire
que S0 est en translation uniforme, simplement en translation quelconque, avec accélération et vitesse.
2.1.2 Montage de cardan idéal
On désigne ainsi, mais tout mécanicien le sait, un montage permettant à un solide S 3 de garder un point
fixe par rapport à un autre solide S0, tout en lui laissant 3 degrés de liberté. Ce qui nécessite :
 Une armature externe S1, mobile suivant l'angle  par rapport à S0, par une articulation rotoïde.
Eventuellement un équipement est placé sur S0, avec un capteur de vitesse, un capteur
d’angle, une électronique de traitement et un asservissement commandant un moteur M0
agissant sur l'axe de S1, pour exercer un couple moteur d'axe Z1.Tout ce qui concerne cette
armature aura l'indice 1.
 Une armature interne S2, mobile suivant l'angle  par rapport à S1, par une articulation rotoïde.
Eventuellement un équipement est placé sur S1, avec un capteur de vitesse, un capteur
d’angle, une électronique de traitement et un asservissement commandant un moteur M 1
agissant sur l'axe X2 de S2, pour exercer un couple moteur d'axe X2. Tout ce qui concerne cette
armature aura l'indice 2.
Définition : Le montage de Cardan est dit idéal lorsqu'il respecte deux conditions :
 Posséder des armatures extrêmement légères, de masse supposée négligeable et donc nulle.
 Disposer de paliers de montage, technologiquement sans frottement.
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S.C.A.O. – Volume IV
Dess Air & Espace
Ce qui est aisé pour les articulations S0-S1, S1-S2 puisque les mouvements relatifs seront lents mais plus
difficile pour l'articulation S2-S3 à cause de la très grande vitesse de la toupie S3. C'est ce qui justifie la
présence du système moteur asservi M2 qui a un double rôle : le premier de lancer la toupie en rotation,
le deuxième de faire en sorte que le couple moteur C m compense le couple de frottement Cf, pour
maintenir une vitesse angulaire constante.
Pour S3 : Cm + Cf = 0
NB : Ces 2 conditions vont assurer à la toupie S3 une suspension qui ne perturbe pas le mouvement de
S3 (pas d'inertie et donc pas de forces d'inertie).
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Remarque de mécanique capitale :
Soit un solide mobile sans frottement (paliers A et
A' parfaits), autour d'un axe D. Soit un point O
quelconque de l'axe de rotation.
Désignons par M0 le moment en O des forces de
liaison, dont nous ne savons rien sur la grandeur, la
répartition (ces caractéristiques dépendent du
mouvement).
L'hypothèse de paliers parfaits entraîne que le
torseur des actions de liaison calculé en O,
comporte une résultante inconnue R et un moment
inconnu M0, orthogonal à l'axe D.
Donc toute application des lois de la mécanique qui vise à obtenir une équation sans inconnue
supplémentaire oblige :
 à ne pas utiliser le théorème du centre d'inertie, pour ne pas faire apparaître les composantes
inconnues de la résultante, sauf si naturellement on cherche à les calculer.
 à n'utiliser le théorème du moment cinétique que calculé en O et en projection sur l'axe des
paliers, pour faire disparaître les composantes inconnues du moment.
2.1.3 Les paramètres
Classiquement, les 2 inconnues angulaires du mouvement sont :
 l'angle de précession , rotation de l'armature externe S1 par rapport à S0, se mesurant autour
de z1.
 l'angle de nutation , rotation de l'armature externe S2 par rapport à S1, se mesurant autour de
l'axe x2.
NB : L'angle de rotation propre , de S3 par rapport à S2, dont la dérivée est maintenu constante de
valeur r0, n'est pas un paramètre.
2.1.4 Les efforts en jeu
2.1.4.1 Les équipements
L'élément essentiel est l'armature interne S2 = Le carter = L'élément sensible = le solide, observé par
l'intermédiaire des angles  et  et de leurs dérivées premières.
Les armatures sont donc munies de capteurs angulaires et de capteurs de vitesse angulaire (par
exemple génératrice tachymétrique). Ces capteurs, reliés à une électronique adaptée, génèrent des
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ordres de commande des moteurs M0 agissant sur l'axe z1 de S1 et M1 agissant sur l'axe x2 de S2. Le
moteur M2, quant à lui contrôle la constance de la rotation toupie, à un niveau très élevé.
2.1.4.2 Les efforts en jeu dans ou sur le système S1+S2+S3
On distinguera 3 types d'efforts :
 Efforts connus, volontaires, soit de commande des moteurs M0, M1, M2, soit dus à des forces
connues, appliquées sur les armatures S1 ou S2. Il est impensable d'imaginer intervenir sur S3
qui tourne à très grande vitesse, dans un carter étanche.
 Efforts massiques connus, provenant d'un champ de gravitation, et agissant au centre d'inertie
de S3. Ces efforts seront pris en compte notamment lorsque le centre d'inertie G n'est pas au
point de suspension O.
 Efforts inconnus, provenant des contacts mutuels S0-S1, S1-S2, S2-S3, au niveau des paliers et
répercutant notamment une partie des efforts ci-dessus dans les diverses parties du système.
Ces efforts sont des efforts de liaison.
Notations :
Nous noterons respectivement M0(Fex/S3), M0(Fex/S2+S3), M0(Fex/S1+S2+S3), les moments extérieurs,
connus des efforts exercés sur les systèmes respectifs S3, S2+S3, S1+S2+S3, ceux de liaison non compris,
puisque dans les projections leur moment disparaît.
2.2
Equations du mouvement à l’ordre 1
Nous adoptons le cadre de la gyroscopie, en considérant que les dérivées de  et  sont très petites.
Leurs vitesses ne seront prises en compte que dans le calcul du couple gyroscopique.
2.2.1 Cas général
Nous appliquerons 2 fois le théorème du moment cinétique :
Système S1+S2
En O, en projection sur l'axe mobile X2
Système S1+S2+S3
En O, en projection sur l'axe fixe Z1
Nous pouvons affirmer que :





H 0 S1  S2  S3   H 0 S2  S3   H 0 S3   Cr 0 z2  Hz 2
et en dérivant dans le repère absolu, plusieurs formulations possibles :




 dH 0 S1  S 2  S 3  
 dH 0 S 2  S 3  
 dH 0 S 3  
 dz 


 H 2 




dt
dt
dt
 dt  Ra

 Ra 
 Ra 
 Ra
 dz 




 



 H  2    S2 / Ra   z 2   H c  z 2   c  Hz 2  C g
 dt  S2








 H z1  x 2  z 2  H  sinx 2  y 2  H sinx 2  Hy 2

Page 18



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2.2.1.1 Pour S1+S2+S3
La projection sur l'axe fixe z1 donne, compte tenu de la disparition du moment des forces de liaison :


 dH 0 S1  S 2  S 3  



 .z1  M 0 Fex / S1  S 2  S 3 .z1  H sin
dt

 R
a
2.2.1.2 Pour S2+S3
Un calcul analogue avec une projection sur l'axe x2 fournit :


 dH 0 S 2  S 3  



 .x 2  M 0 Fex / S 2  S 3 .x 2  H sin
dt

 R
a
2.2.1.3 Equations à l’ordre 1
Les problèmes de gyroscopie sont traités en pratique grâce aux 2 équations, dites de l'approximation
gyroscopique à l'ordre 1.


1 H sin  M 0 Fex / S2  S3 .x 2

2  H sin  M F / S  S  S .z
0
ex
1
2
3
1
NB 1 : De toute évidence ces équations font apparaître une singularité mathématique pour =0 ou .
Cette singularité provient de l'alignement de l'axe gyro et de celui z1 de l'armature externe. C'est une
configuration interdite en usage normal.
NB 2 : Le paradoxe gyroscopique réapparaît de manière évidente.
-
En effet pour "corriger" éventuellement l'angle , il faut utiliser l'équation (2) et donc exercer
un couple non pas sur x2 mais sur z1, c'est à dire le moteur M0 ;
-
Et pour "corriger" l'angle , il faut utiliser l'équation (1) et donc exercer un couple non pas
sur z1 mais sur x2, c'est à dire le moteur M1.
Certains résument cette propriété en disant du gyroscope :
"Donnez lui du , il vous rendra du  et réciproquement "
Précisément, c'est qui sera utilisé dans les opérations de réalignement d'un gyro.
2.2.2 Calcul du moment reçu par le gyroscope S3
On peut se demander vues les articulations S1 et S2, comment le gyro "voit" arriver sur lui les efforts
appliqués aux diverses parties.
Le calcul est simple en utilisant le théorème du moment cinétique appliqué à S 3 seul.




 dH 0 S 3  


 dz 
 H 2 
 C g  M 0 Fex / S 3   H sinx 2  Hy 2


dt
 dt  Ra

 R
a
Ce faisant on retrouve la formulation de l'approximation gyroscopique :



3 Cg  M0 Fex / S3   0
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Et en utilisant les équations (1) et (2), il vient le moment cherché :




 M 0 Fex / S1  S 2  S 3 .z1  
 
M 0 Fex / S 3   M 0 Fex / S 2  S 3 .x 2 x 2  
y 2
sin




NB 1 : Et là encore, il apparaît la singularité d'alignement de z1 et de l'axe gyro.
NB 2 : L'expression du moment montre bien qu'aucun couple n'existe sur l'axe gyro, puisque les
frottements sont compensés par le couple moteur.
2.3
Exemples capitaux pour les techniques inertielles
2.3.1 Gyroscopes de références inertielles
Admettons que le montage de Cardan soit idéal et le centrage de O parfait, c'est à dire que O est à la fois
le point de croisement des axes des articulations et le centre d'inertie du gyro.
Dans ces conditions en l'absence de tout couple moteur le gyro ne reçoit aucun couple et donc son axe
reste inertiellement fixe.
2.3.1.1 Mémorisation
C'est le premier usage d'un gyroscope monté à la Poinsot. Il permet la mémorisation d'une direction
absolue stellaire. Ainsi en mémorisant 2 directions de l'espace (la troisième étant le produit vectoriel des
2 autres), pointant 2 étoiles parfaitement connues, on peut donc disposer à bord de tout véhicule, d'un
repère de référence absolu.
Cette application est essentielle pour les voyages interplanétaires, les vols sans visibilité des avions, les
missions des sous marins etc...
2.3.1.2 Stabilisation d'une plate-forme inertielle
Supposons donc que l'on dispose de 3 gyroscopes parfaitement montés à la Poinsot et alignés sur des
directions absolues orthogonales, référencées par des étoiles bien connues d'un catalogue d'étoiles.
Comment pointer les gyros ? : Nous l'avons vu, il suffit de commander les couples adéquats pour faire
précessionner S2 en  et , jusqu'au bon alignement sur l'étoile choisie.
Comment isoler les gyros du solide à stabiliser ? : Grâce à des armatures supplémentaires, en plus de
celles déjà nécessaires au gyro lui même.
Comment stabiliser un solide (plate-forme) ? : Précisément au niveau des axes des
supplémentaires, on peut mesurer les rotations infinitésimales du solide par rapport aux gyros
rapport aux étoiles. La détection d'un écart angulaire traitée par un asservissement
commandera l'action d'un moteur qui annulera l'écart angulaire. Ainsi les axes plate-forme
toujours alignés sur ceux des gyros. C'est la notion de plate-forme stabilisée.
NB : On verra plus d'autres moyens de surveillance.
Page 20
anneaux
fixes par
adéquat,
resteront
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2.3.2 Accéléromètre gyroscopique
La deuxième grande application est celle de la mesure d'une accélération, ou de ce qui pourrait lui
ressembler.
2.3.2.1 Présentation
Le montage est le même que précédemment, à la différence que volontairement on déporte le centre
d'inertie G du gyro pour le rendre sensible aux accélérations du véhicule qui porte S0.
On souhaite mesurer l'accélération suivant l'axe z. Le rôle du moteur M 0 est alors de maintenir =0, en
exerçant un couple d'asservissement G(t) sur l'axe z 1 de l'armature externe. Il y a donc détection d'un
écart angulaire et commande du couple de contre réaction.
Faisons une figure avec l'œil pointant la flèche de l'axe x 2.
2.3.2.2 Mise en équations
Toujours la même méthode du théorème du moment cinétique appliqué en O, au système S 1+S2+S3, en
projection sur l'axe x2.
Deux difficultés apparaissent :
1. O n'est pas le centre d'inertie ;
2. O n'est pas un point fixe du repère galiléen Ra ;
Page 21
S.C.A.O. – Volume IV
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De plus, O étant différent de G, le moment en O des forces de gravitation n'est plus nul. On appelle 
l'accélération du champ de gravitation.




 dH 0 S1  S 2  S 3  



 .x 2  M 0 Fex / S1  S 2  S 3   mVa G   Va O  .x 2
dt

 Ra






H 0 S1  S 2  S 3   H 0 S3   H G S 3   OG  mVa G 


 dH 0 S 3  




 C g  OG  m a G   Hy 2  H sinx 2  Hx 2


dt

 Ra



  Cste  mVa G   Va O  .x 2  0


M 0 Fex / S1  S 2  S 3   OG  M


Le lecteur achèvera les calculs de projection qui conduisent à :



 

H
f1  f .z1   a   .z1 

mD
Commentaires : Cette relation est capitale car :
 Définition :Nous retrouverons plus loin cette notion
 

f  a 
"On appelle force spécifique f la différence entre l'accélération d'un véhicule et celle du champ
de gravitation."
 Elle montre que ce montage devient un accéléromètre, en effet, il suffit de mesurer avec un
tachymètre la vitesse angulaire de précession pour connaître la composante sur z 1 de la force
spécifique f.
 Elle permet aussi (ce sera confirmé pour d'autres appareils) de constater un principe dit principe
de relativité d’EINSTEIN-GALILEE, indiquant qu'on ne sait pas mesurer directement
l'accélération d'un véhicule, mais seulement sa force spécifique f.
 L'axe z1 de cet appareil s'appellera l'axe sensible de l'appareil.
2.3.3 Boîtier accélérométrique
Naturellement, si sur la plate-forme S0 on dispose de 3 systèmes identiques au précédent, fonctionnant
chacun avec un axe sensible sur l'un des axes inertiels x a, ya, za, on disposera alors d'un boîtier
accélérométrique qui délivrera la force spécifique associée au mouvement2.
2.4
Retour sur les suspensions
Nous avons maintenant bien compris que les couples parasites étaient source de dérives des
gyroscopes. On a donc essayé de réduire au maximum les résistances passives dans les articulations en
supprimant les contacts à frottement solide.
2
Voir le chapitre 3- Principe d’une centrale inertielle
Page 22
Dess Air & Espace
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2.4.1 Suspension électrique
Essentiellement destinés au pointage et référence d'orientation pour les centrales inertielles, ces
gyroscopes disposent :
 D'une toupie métallique (Béryllium par ex.), pleine (diamètre de l'ordre du cm) ou creuse
(diamètre de "cm), en rotation très rapide jusqu'à 3000 t/s, dans une enceinte où règne un vide
très poussé (5.10-8 mm Hg). L'usinage de la toupie est opéré au micron près.
 D'un ensemble d'électrodes (8 par ex.), gérées par une électronique de commande, créant un
champ électrique suffisant pour sustenter la bille jusqu'à des facteurs de charge de 10g.
Le champ électrique est naturellement utilisé pour le lancement, puis l'entretien du spin de la
toupie. Il participe aussi à l'amortissement d'éventuelles vibrations.
 D'une optoélectronique pour l'asservissement de l'axe et sa détection.
2.4.2 Suspension hydrodynamique
La toupie d'un tel gyroscope est montée sur une rotule sphérique solidaire du boîtier et comporte une
cavité sphérique épousant à quelques microns près la rotule.
L'entrefer de quelques microns est rempli d'un gaz peu dense (He ou H2). La rotation rapide du rotor
entraîne des surpressions locales qui sustentent la toupie.
Le lancement, l'entretien de la rotation et les détections de position sont de type électromagnétique.
Ces gyroscopes sont destinés aux navigateurs inertiels.
2.4.3 Suspension dynamique accordée
Cette suspension est très difficile à expliquer et je renvoie le lecteur à la SAGEM qui en fabrique depuis
toujours. Je n'indiquerai que le principe :
Les paliers des articulations S1-S2 et S2-S3 ne sont plus des roulements, mais remplacés par joints de
Hooke ou encore des barres de torsion élastiques.
Un calcul complexe montre qu'à une vitesse précise dite d'accord, la raideur des joints est compensée
(en valeur moyenne sur un tour) par le couple des forces d'inertie centrifuge et la suspension ne présente
plus alors aucune rigidité.
Les débattements de la toupie, en orientation, sont limités à quelques degrés.
La condition d'accord définissant la vitesse correcte relie les caractéristiques des barres de torsion et un
moment d'inertie particulier de l'anneau interne. On l'appelle la condition de Tuning et c'est ce qui donne
à la technique le nom de gyroscope accordé.
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S.C.A.O. – Volume IV
Remarques :
 Il y a disparition du liquide de flottaison, le gyro est dit "DRY GYRO".
 L'usage de ces gyros est réservé aux centrales inertielles.
 Les dérives peuvent être limitées à 0.001°/h.
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3 PRINCIPE D’UNE CENTRALE INERTIELLE
Ce chapitre est une application directe de tous les exposés de gyroscopie qui ont précédé.
Avec l'invention de véhicules très spéciaux, comme les fusées et les capsules spatiales, les sous-marins
ou plus classiquement les avions, sans parler des besoins spécifiques des militaires, il s'est imposé à
l'homme la nécessité de mettre au point des systèmes de navigation.
Que demande-t-on à un navigateur classique?
 De connaître tout ce qui concerne la trajectoire, la position, la vitesse, l'accélération ;
 De connaître l'attitude( orientation spatiale) du véhicule et les vitesses angulaires instantanées
autour d'axes liés au véhicule.
De toute évidence il n'a pas fallu attendre le XX ème siècle pour y parvenir, la preuve en est apportée par
toutes les expéditions maritimes ou terrestres de nos plus grands aventuriers ou explorateurs.
Est-ce un problème de précision? Non, essentiellement une question de sécurité pour les applications
civiles et de discrétion pour les militaires.
Que demande-t-on à un navigateur moderne? Essentiellement de fournir les informations précédentes
sans références externes ou du moins le minimum possible. En effet :
 Une capsule spatiale peut très bien se trouver derrière la lune et ne plus voir la terre ou se
trouver en alignement avec la Terre et le Soleil et donc être dans l'impossibilité de
communiquer avec la terre.
 Un avion doit pouvoir voler sans visibilité.
 Un avion militaire doit pouvoir pénétrer en territoire ennemi sans se faire repérer et donc sans
émettre ou recevoir quoi que ce soit.
 Un sous-marin est censé rester sous l'eau jusqu'à un mois, sans refaire surface et sans se faire
repérer. Etc...
Un navigateur moderne doit donc pouvoir travailler en autonomie complète, sans références extérieures.
Ceci n'exclut nullement la présence de systèmes annexes utilisant des références externes, pour des
recalages, des confirmations et une sécurité redondante.
3.1
Principe de réalisation
Tout repose sur le PRINCIPE DE RELATIVITE D'EINSTEIN-GALILEE qui indique que dans une capsule
spatiale, on est capable de mesurer dans un repère absolu Ra :
 Le vecteur rotation instantanée du véhicule.
 Le vecteur force spécifique f.
Dans un premier temps nous traitons des principes de fonctionnement et dans un deuxième des
problèmes posés et des moyens pour y pallier.
Page 25
S.C.A.O. – Volume IV
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3.1.1 Matérialisation du repère absolu Ra
3.1.1.1 Schéma de principe
Nous avons résolu déjà à maintes reprises le problème, grâce à 2 (3 par précaution) gyros montés à la
Poinsot, avec une suspension totalement isolée du véhicule, et pointant 3 directions stellaires choisies
dans un catalogue d'étoiles.
En général ce groupe de gyroscopes constitue le COEUR de la centrale inertielle, puisqu'il va servir de
référence pour les gyromètres et de référence pour stabiliser une plate-forme.
3.1.1.2 Montage réel détaillé
Ce sont les 2 gyros (gyro 1 et gyro 2) qui assurent le pointage des directions stellaires.
 Les moteurs couples MC1 et MC2 commandent l'orientation de l'axe Za du gyro 1
 Les moteurs couples MC3 et MC4 commandent l'orientation de l'axe Xa du gyro 2
NB 1 : On aura remarqué que ces gyros sont montés avec chacun 2 armatures dans le solide noir
appelée plate-forme.
NB 2 : Sans entrer dans trop de détails signalons que les axes gyros sont éventuellement reliés à des
axes de visée stellaire.
Nous avons donc "mémorisé" un repère de directions absolues.
En cas de dérives des gyros, des recalages sont prévus associés à des visées. Ces recalages
interviennent notamment chaque fois que des manœuvres importantes sont envisagées.
Page 26
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3.1.2 Alignement et initialisation de la centrale
La deuxième opération consiste à aligner la plate-forme (P) sur les directions stellaires, ou encore aligner
les axes plate-forme Xp, Yp, Zp sur les axes absolus.






ALIGNEMENT  X p  X a & Yp  Ya & Z p  Za


A l'instant initial, cette opération porte le nom d'initialisation de la centrale, et à un instant quelconque on
l'appellera asservissement de la plate-forme.
Tout repose sur une rotation d'erreur détectée par des PICK OFF (détecteurs d'écarts angulaires) placés
sur les articulations des axes en 1-2-3-4. Nous les noterons PO1,...,PO4.
(P) se décale par rapport aux gyros. On note  la rotation de (P) par rapport à Ra.
Page 27
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PO1 détecte  autour de Xp, PO2,  autour de Yp et PO3,  autour de Zp.
Les moteurs MO1, MO2, MO3, commandés par une électronique adaptée, génèrent des rotations autour
des 3 axes  autour de Z1,  autour de X2 et  autour de Y2.
La logique de l'asservissement est fondée sur :




 Erreur   X p   Y p   Z p




 Correction   Z1   X 2   Y2


 Erreur   Correction  0
Le lecteur a l'occasion de réviser ses connaissances sur les angles d'Euler, pour aboutir aux relations de
commande :
Page 28
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Les projections fournissent sans problème les relations de correction.
   cos    sin 
  
1
 sin   cos  
cos 
  
NB 1 : On retrouve toujours la même singularité pour =90° ou 270, lors de l'alignement des axes Z1 et
Y2 des 2 armatures de suspension de (P). La figure est réalisée avec =0°, en position nominale.
NB 2 : Le RESOLVER RS (en rouge sur la figure) est chargé de réaliser la combinaison linéaire de  et
.
NB 3 : On peut imaginer et c'est la tendance actuelle, une détection des écarts angulaires par des
gyromètres intégrateurs directement disposés sur la structure de (P), en STRAPDOWN et mesurant les
infimes écarts d'orientation de (P).
NB 4 : La centrale décrite est celle qui équipe le MIRAGE 2000, son nom UNI 52.
3.1.3 Notion de plate-forme stabilisée
Nous venons de montrer comment un solide (P) peut être immobilisé avec ses axes constamment
alignés sur ceux d'un repère absolu Ra. Un tel solide est appelé plate-forme stabilisée.
Dans la suite, nous la dessinerons comme un parallélépipède rectangle, en oubliant tous les
équipements nécessaires à sa stabilisation. Nous ne nous occuperons plus que de l'usage que l'on peut
en faire.
3.2
Mesure de la rotation
Continuant sur ce même schéma de centrale inertielle, montrons que la mesure de l'orientation et de la
vitesse angulaire est possible, grâce à des capteurs au niveau des articulations.
Page 29
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La plate-forme (en noir) étant stabilisée en permanence, des capteurs angulaires (potentiomètres en
rouge) et des capteurs de vitesse angulaire (génératrices tachymétriques en noir), disposés sur les
articulations des armatures de Cardan (en rose) mesurent en continu les angles d'orientation  et
leur vitesse angulaire.
Nous confirmons ainsi la possibilité de mesurer notamment le vecteur rotation absolu du véhicule dans
un repère galiléen. Une des affirmations du principe d'EINSTEIN-GALILEE est donc vérifiée.
La plate-forme sert donc ici de référence d'attitude.
3.3
Le navigateur inertiel
3.3.1 Equipements nécessaires
 Une plate-forme (P) stabilisée 3 axes, surveillée par exemple par 3 gyromètres ;
 Un boîtier accélérométrique lié à la plate-forme ;
 Un calculateur en temps réel ;
 Une mémoire logicielle de calcul du champ de gravitation en tout point de l'espace ;
 Les équipements d'affichage (ce que nous ne traiterons pas).
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3.3.2 Fonctionnement du navigateur
Le diagramme fonctionnel est le suivant :
Le cœur de la centrale avec ses accéléromètres, mesure comme prévu non pas l'accélération mais la
force spécifique du véhicule.
 

f  a 
C'est cette information qui "attaque" le calculateur qui traite l'information comme le détaille le schéma cidessous.
Le lecteur remarquera l'importance de l'initialisation en position et vitesse en début de calcul.
REMARQUE 1 : le lecteur aura observé le bouclage de contre réaction qui permet de retrouver
l'accélération absolue, grâce au calcul du champ de gravitation  de la position. Ce calcul est du ressort
d'un logiciel et d'une mémoire de la position des astres massiques pris en compte.
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REMARQUE 2 : Peut-être le lecteur n'aura-t-il pas réalisé qu'avant la première intégration, nous sommes
au temps t et qu'à la sortie des 2 intégrations, là où est initialisé le calcul du champ , le temps est
maintenant t+T, c'est avec un pas de temps d'avance. Ce fait est une cause d'erreurs divergentes sur
tous les calculs d'altitude.
Par exemple pour un vol horizontal, une centrale inertielle d'avion donnera d'excellents résultats en
latitude et longitude, mais l'altitude est beaucoup moins bonne d'autant plus que le temps d'intégration est
long.
En sortie de calculateur, le véhicule connaît son accélération absolue, sa vitesse absolue, le rayon
vecteur de sa position dans un référentiel absolu. En somme tout ce qu'il faut pour savoir où on est.
Le système portera le nom de NAVIGATEUR INERTIEL, le qualificatif d'inertiel provenant des propriétés
du gyroscope et de sa grande stabilité de pointage.
Rappelons ses qualités :
 Discrétion ;
 Autonomie totale ;
 Insensibilité
aux
brouillages,
conditions
météorologiques, environnement (sauf peut-être
température) ;
 Fonctionnement en continu, en tout lieu ;
 Insensible pratiquement au comportement du
véhicule porteur ;
 Bruit de fonctionnement inexistant ou très
faible ;
 Faible encombrement comme le montre la photo
ci-contre de la plate-forme.
3.3.3 Erreurs
Les gyroscopes sont soumis à des dérives qui conduisent à un mésalignement des axes plate-forme par
rapport aux axes absolus. Les accéléromètres présentent des erreurs de linéarité de seuil, de biais qui
augmentent les erreurs de la centrale.
3.3.3.1 Missions spatiales
Pour les missions spatiales, le problème est résolu en observant :
 Qu'en dehors des phases courtes de lancement, de corrections de trajectoire, de maintenance
d'orbite, les lois de la mécanique spatiale sont d'une extrême précision et que les modèles de
champ de gravitation sont aujourd'hui parfaits ! On n'a donc besoin du navigateur que durant les
phases motorisées, soit pour orienter le véhicule, soit pour un changement de vitesse.
 Que les dérives ont peu d'effet sur des temps courts ! Or c'est le cas souligné auparavant.
 Que les dérives à long terme qui pourraient affecter l'orientation de la plate-forme (P), peuvent
être supprimées par un recalage juste avant une manœuvre programmée !
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 Pour des missions longue durée ou à grandes distances comme les missions interplanétaires,
une navigation stellaire permet d'actualiser la position et la vitesse du véhicule, avant une
manœuvre.
3.3.3.2 Avions
Pour les avions, les vols sont de plus longue durée, du moins pour les avions civils, et un recalage
permanent est effectué, nous n'en dirons pas plus.
De plus, en aéronautique la centrale doit fournir une position relative à la Terre (Latitude, Longitude,
Altitude), le calculateur doit donc mémoriser le mouvement de la Terre par rapport aux étoiles (surtout en
rotation) pour restituer par différence la position relative.
De même le pilote d'un avion a besoin de connaître les angles classiques particuliers que sont le roulis, le
tangage, le lacet.
3.3.3.3 Classe d’un navigateur inertiel
La grandeur de la dérive limite la durée d'utilisation sans recalage. On distingue alors la qualité
technologique par le niveau de cette dérive :
 Classe engins : 0.1 à 0.01°/h
 Classe aéronautique : 0.01 à 0.001°/h
 Classe Sous-Marins : 0.001 à 0.0001°/h
3.4
Où se renseigner ?
3.4.1 Entreprises
Il faut citer la SAGEM (Société d'Applications Générales d'Electricité et de Mécanique) dont les activités
sont réparties en 3 domaines essentiels : http://www.sagem.com/fr/
 NAVIGATION-GUIDAGE-PILOTAGE
 TELEINFORMATIQUE
 EQUIPEMENTS INDUSTRIELS
La SAGEM est notamment spécialisée dans les gyromètres, gyroscopes flottants, gyroscopes accordés,
gyroscopes à suspension électrostatique (GSE), gyroscopes lasers, à fibres optiques, vibrants.
Egalement THOMSON-CSF SEXTANT http://www.sextant-avionique.com/fr/
3.4.2 Spécialiste français et bibliographie
Sans aucun doute, ses nombreuses publications ses cours le démontrent, c'est JC RADIX. Citons
comme publications :
Systèmes inertiels à composants liés Cépaduès 1980 JC RADIX
Navigation par inertie Dunod 1962 J CARPENTIER, JC RADIX, J BOUVET, G BONNEVALLE.
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4 ACCELEROMETRES
Nous avons déjà abordé le problème à 2 reprises :
 Avec l'étude de l'accéléromètre gyroscopique,
 Avec la présentation de la notion de force spécifique.
Rappelons et nous le confirmerons à nouveau qu'un accéléromètre ne mesurera que la force spécifique,
différence entre l'accélération absolue et le champ de gravitation.
 

f  a 
4.1
Accéléromètre avec masse en translation
Vous considérerez cette étude comme un exercice de mécanique classique. Voici le schéma
d'implantation de l'appareil.
4.1.1 Schéma
L'appareil (boîtier) est monté directement sur la structure du véhicule dont on veut mesurer l'accélération,
montage dit strapdown ou sur la plate-forme stabilisée d'une centrale inertielle.
Il fonctionne suivant le principe classique de la masse M, guidée en translation sismique.
Un ressort de raideur K crée un rappel élastique. Un DASH POT de constante f amortit les oscillations.
Un détecteur D mesure X et délivre une tension V=DX, qui est amplifiée avec un gain G.
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Le courant i = GDX commande un servo-moteur générant une force F qui agit sur la masse M, de telle
manière que le système travaille autour de zéro, c'est à dire X = 0 à chaque instant.
On note O la position de repos de la masse et M sa position courante.
 
  a O
L'accélération absolue du point O


   Véhicule/R a 
La rotation du véhicule par rapport à un référentiel absolu ; nulle
si le montage se fait sur la plate-forme.

R
La réaction des guides normale à l'axe X


  
f x     .X
La composante sur X de la force spécifique
4.1.2 Théorie
Le lecteur confirmera la plupart des calculs si nécessaires.

 d








a M   a O   XX  2  XX 
 XX   y2   z2 XX
dt




 
Ma M   M  R  KXX  fX X  FX


La projection de l'équation résultant de la loi fondamentale fournit :

  2X   2 X   2   2
X
y
z
0

F
X
 fx
M
f 

  2M 
où 

 2  K 
 0 M 
Naturellement c'est l'équation classique d'un système vibrant asservi. Donc si l'on admet un
asservissement parfait où X = 0 en permanence, on constate :
fx 


F
  y2   z2 X
M
Le terme parasite provenant des forces d'inertie générées par la rotation, incite à placer l'accéléromètre
sur une plate-forme stabilisée où ce terme disparaît.
On voit donc, dans ce cas là, que la force spécifique est mesurée suivant l'axe X, à une constante près
par la force F par :


  
F
f x     .X 
M
4.1.3 Conclusion
Nous confirmons à nouveau le principe de relativité d'Einstein-Galilée et montons que la force spécifique
est mesurable. Cette mesure s'opère en pratique au niveau de l'intensité i proportionnelle à la force F.
L'axe X s'appelle l'axe sensible.
Un boîtier qui renferme 3 dispositifs identiques disposés suivant les 3 axes du référentiel galiléen,
mesurera donc la force spécifique vectorielle, qui pourra ensuite être traitée dans une centrale inertielle
pour fournir position et vitesse.
L'accéléromètre est un composant de base de tout navigateur inertiel.
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4.2
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Autres principes
Sans entrer dans les détails techniques, citons simplement les principes, ce qui permettra au lecteur
curieux de se renseigner.
4.2.1 Accéléromètre à quartz
Une accélération suivant l'axe sensible, va comprimer un des cristaux et dilater l'autre, ce qui modifie
leurs propriétés électriques et mécaniques (fréquence, résistivité etc..), ces modifications sont exploitées
pour mesurer la force spécifique de manière différentielle.
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4.2.2 Accéléromètre à cordes vibrantes
Le principe est le même qu'en 4.2.1 : Une accélération suivant l'axe sensible modifie la tension de
chaque corde, l'une augmentant, l'autre diminuant de la même quantité. Il en résulte une variation des
fréquences de chaque corde, mesurées par des capteurs de fréquence.
On montre que la différence des tensions, proportionnelle à la force spécifique suivant l'axe sensible est
aussi proportionnelle à la différence des fréquences.
4.2.3 Accéléromètre pendulaire
Un pendule constitué d'une bobine inductive se déplace sous l'effet de la force spécifique, une bobine de
détection et un moteur couple d'asservissement permettent la mesure de cette force spécifique suivant
l'axe sensible du pendule.
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5 GYROMETRES
Le gyromètre apparaît comme l'élément fondamental de tout système de commande d'attitude, soit en
SCAO satellite soit dans les centrales inertielles de lanceur, d'avions, de sous-marins ou de satellites.
5.1
Principe du gyroscope 1-axe
5.1.1 Description
Un gyromètre est un capteur électromécanique, dont le carter (élément sensible) S2 possède un degré de
liberté en rotation (autour de l'axe X de sortie), par rapport à un boîtier dont on veut mesurer l'angle de
rotation autour d'un axe dit d'entrée Y.
Nous avons déjà souligné à maintes reprises, le rôle néfaste des couples parasites de frottement dans
les paliers (voir notion de paliers parfaits au paragraphe 2.1.2). Le gyroscope ci-dessus baigne dans un
liquide très visqueux, à une température de l'ordre de 60 à 80 °C, dont le rôle est double :
1- La viscosité importante sert d'amortissement.
2- La densité est telle que ce liquide de flottaison donne une poussée d'Archimède qui équilibre le
poids apparent. Ce qui réduit les efforts d'appui sur les paliers et donc les couples de frottement.
Un tel dispositif porte bien son nom de gyroscope flottant.
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5.1.2 Equipements annexes
Le carter S2 est "surveillé" par un asservissement constitué de capteurs angulaires (s autour de X),
commandant un moteur couple exerçant un couple de rappel Ks autour de l'axe X, proportionnel à
l'angle de rotation s.
5.1.3 Relation fonctionnelle exacte
Appelons e la rotation instantanée absolue du boîtier S1, autour de l'axe d’entrée Y.
Faisons l'hypothèse que ce système travaille sur de petits angles et des vitesses angulaires faibles.
Nous pouvons donc parfaitement utiliser le résultat de l'approximation gyroscopique de niveau 1.



M * Fex / S3   C g  0
G





C g  C g   c  C g  
Si I désigne le moment d'inertie de S2 autour de X, nous aurons en projection sur l'axe X, pour éliminer le
moment des efforts de liaison des paliers :


I s   x  fs  K s  C g  S 2 / R a  . X




S 2 / R a    x  s X   eY   z Z 
 

  C g . X  Cr 0 e

 g  r0 Z

Is  fs  K s  Cr 0 e  I x






Suivant le type d'asservissement, nous allons en tirer 2 applications capitales : Le gyromètre capteur de
vitesse angulaire ou le gyroscope capteur d'écart angulaire
5.2
Le gyroscope intégrateur 1-axe
Supposons cet appareil dédié à la surveillance d'une plate-forme, ce qui rappelons le, signifie des écarts
angulaires faibles et des vitesses angulaires encore plus faibles (x donc <<1).
L'amortissement est choisi très fort et le rappel élastique nul (K = 0).
L'équation de fonctionnement devient alors :
Is  fs  Cr0 e
Le passage en transformée de Laplace conduit aisément à :
Cr 

I
G 0
  F
f 
 s p 
G

t

   p   1  p
e
 e   e dt


0


Lorsque le système est stabilisé, il vient la relation caractéristique du capteur :
 s  G e  
Page 40
Cr 0
f
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Cette relation permet de considérer le gyroscope comme un capteur d'angle, et explique pourquoi une
centrale peut être surveillée par 3 capteurs de ce type, fonctionnant autour d'angles nuls.
VALEURS NUMERIQUES HABITUELLES :
5.3
-
Gain : G = 1 à 7
-
Constante de temps :  = 1.5 à 6
-
Dérives autorisant le classement des gyros en classe aéronautique et marine, avec des
dérives de l'ordre de 0.01°/h à 0.001°/h.
Le gyromètre
Autre usage et autre asservissement :
On suppose maintenant très grande une raideur K du couple de rappel :

f
  K

G
Cr 0
K
 
 p 
I 
G
 s


K
 e p  1  p  p 2


De plus, si on choisit un rappel très fort tel que  << 1, on obtient :
 s  G e  
Cr 0
e
K
Relation qui caractérise un gyromètre, appareil de mesure ou l'angle de sortie est proportionnel à la
vitesse angulaire d'entrée. Voilà qui confirme une des affirmations d'Einstein : nous sommes capables de
mesurer une vitesse de rotation sans référence extérieure.
5.4
Le gyromètre laser
Ce système ne relève pas de la gyroscopie. On ne peut cependant pas le passer sous silence. Les
explications que je donne ne sont qu'une "certaine vision simplifiée" du phénomène utilisé. Le lecteur
averti et désireux d'en savoir plus contactera la SAGEM ou les ouvrages spécialisés de M RADIX.
Essayons tout de même.
Un système d'électrodes ionise un milieu gazeux, dans un tube capillaire très rigide, souvent triangulaire.
L'ensemble optique avec des miroirs à chaque changement de direction oriente un système d'ondes de
résonance qui se propage dans le gaz.
En sortie, il se produit des franges d'interférences et un codeur optoélectronique analyse le système des
franges.
La théorie montre que ce système est directement relié à la vitesse angulaire du triangle autour d'un axe
normal à son plan. Le dispositif peut servir comme gyromètre ou comme gyroscope intégrateur détecteur
d'angle.
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S.C.A.O. – Volume IV
Dess Air & Espace
QUALITES ESSENTIELLES :
 Domaine de mesure très grand
 Linéarité et stabilité remarquables
 Totale insensibilité aux accélérations du véhicule porteur
 Erreur de mesure < 0.01 °/heure.
DEFAUT :
Encombrement important
USAGE : Centrales inertielles et composants montés en STRAPDOWN (directement sur la structure d'un
véhicule).
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6 PRINCIPE DE RELATIVITE D’EINSTEIN-GALILEE
Nous consacrons ce chapitre à la notion fondamentale de force spécifique, à la base des techniques
inertielles.
6.1
Principe de relativité d’Einstein-Galilée
6.1.1 Notion de force spécifique
Ra est un repère inertiel matérialisé par trois directions stellaires. Nous savons que 2 gyroscopes montés
à la Poinsot, avec des axes de rotation orthogonaux peuvent matérialiser un tel repère.
Une cabine est en mouvement dans le champ de gravitation  de l'ensemble des masses de l'univers
(seules les plus proches comptent).
La cabine est soumise à un ensemble de forces y compris la gravitation , qui lui procurent une
accélération absolue .
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On appellera force spécifique ou accélération statique ou accélération non-gravitationnelle le vecteur :
  
f  
6.1.2 Question posée par Einstein
Imaginons un véhicule totalement coupé du monde extérieur en ce qui concerne :
-
Les télécommunications ;
-
Les émissions d'onde de toute sorte ( électromagnétiques, acoustique etc....) ;
donc ne pouvant rien émettre ni rien recevoir, mais :
-
Autonome en énergie ;
-
Pouvant emporter tout type de connaissances (disques, livres, CDROM,.mémoire
informatique, …) ;
-
Pouvant utiliser tous moyens de calculs imaginables ;
-
Disposant de moyens expérimentaux de tout type, mais autonomes.
Que peut-on connaître du mouvement de ce véhicule ?
6.1.3 Réponse
"Principe de relativité de Galilée-Einstein"
Il est possible de mesurer à bord du véhicule deux vecteurs :

le vecteur rotation instantanée du véhicule par rapport au référentiel absolu,

le vecteur force spécifique f et rien d’autre.
CONFIRMATION : Dans le chapitre sur l'accéléromètre gyroscopique, nous avons montré l'existence
d'un dispositif expérimental, permettant la mesure de la force spécifique f.
6.2
Conséquences de ce principe
6.2.1 Commentaires
Ce principe montre notamment lors de missions spatiales et pour des vols balistiques, sous la seule
action du champ de gravitation, que l'on est incapable de mesurer quoi que ce soit de ce champ.
En clair que vous soyez en orbite autour de la Terre, de Mars, du Soleil etc... rien ne permet de "voir" la
différence. Dans tous les cas la cabine et les objets qu'elle contient sont "en chute libre", c'est l'état
d'apesanteur qui ne signifie nullement l'absence de gravitation, puisqu'il n'y a qu'elle qui agit.
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6.2.2 Comment met-on en évidence g sur Terre ?
Sur Terre, le contact avec le sol d'un objet immobile nous permet d'avoir accès à l'accélération de la
pesanteur, non pas en mesurant le poids, mais en mesurant la réaction du sol sur l'objet qui en est son
opposé.
C'est parce qu'un "peson" est tenu par une personne en contact avec le sol qu'il s'allonge, ce qu'il ne
ferait pas en état d'apesanteur dans un vol balistique spatial.
6.2.3 Qu’est-ce que l’état d’apesanteur ?
Considérons :
 Un véhicule habité S0, de masse M0, de centre d'inertie G0
 Un astronaute S de mass P, de centre d'inertie G à proximité immédiate de S 0 (dedans ou
dehors)
On suppose qu'à un instant initial t0, S et S0 ont même vitesse absolue et ne sont pas en interaction. On
note r0(t) et r(t) = r0(t) + R(t) les rayons vecteurs des 2 mobiles.  est l'accélération du champ de
gravitation au rayon r0(t).
La loi fondamentale appliquée à S et S0 donne simplement :


M 0 a G0   M 0  


 
  a G0   a G 

Ma G   M



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S et S0 ayant même accélération et même vitesse initiale, ont donc la même trajectoire à une translation
fixe près.


t a G0   a G 





  Va0 G0   Va G   R constant
t
0
t  t 0  Va G   Va G0 
Ainsi, vu de la cabine, l'astronautique et tout objet libre donne l'impression de "flotter" dans cette cabine.
Ceci par que les 2 objets "tombent" de la même manière dans le champ de gravitation .
REMARQUE : la réalité très fine est que si G et Go sont décalés, le champ  n'est pas exactement le
même en ces deux points et donc au bout de plusieurs périodes vous verriez l'astronaute se rapprocher
des parois de la cabine.
On parlera donc d'un état de microgravité. Etat qui intéresse beaucoup les industriels.
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