Statistique et Probabilités

Utilisation de la loi normale 1/4
Utilisation de la loi normale et du théorème de Moivre-Laplace
Exercice 1 – Erreurs de mesure
On considère que la mesure de la résistance d’un conducteur, effectuée avec un ohmmètre, est une
variable aléatoire X qui suit une loi normale. Des relevés statistiques permettent d’estimer que, sur
l’ensemble des mesures, la moyenne est
82
ohms et l’écart-type
0,2
ohm.
On mesure à nouveau cette résistance.
1. Quelle est la probabilité qu’elle soit inférieure à 81 ohms ? comprise entre 81,7 et 82,5 ohms ?
2. Déterminer la valeur du réel r tel que
( ) 0,9P X r
.
3. Déterminer le réel h tel que
(82 82 ) 0,95P h X h    
.
Exercice 2 – Durée de vie d’un appareil (document ressource terminale)
La durée de vie d’un appareil est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale de
moyenne et d’écart-type inconnus. Les spécifications impliquent que 80 % des appareils aient une
durée de vie comprise entre 120 et 200 jours, et que 5 % de la production ait une durée de vie
inférieure à 120 jours.
1. Quelles sont les valeurs de la moyenne et de la variance
2
de cette variable aléatoire ?
2. Quelle est la probabilité d’avoir un appareil dont la durée de vie est comprise entre 200 jours et
230 jours ?
Exercice 3 – Gestion (application du théorème de Moivre-Laplace)
Le restaurant d’un bateau de croisière assure deux services successifs (à 19h30 et à 21h30) pour le
dîner de 1000 personnes. On suppose que chacune de ces 1000 personnes choisit, au hasard et de
manière indépendante, un des deux services. Le restaurant dispose de n places. Soit X la variable
aléatoire égale au nombre de personnes ayant choisi le premier service.
1. Quelle est la loi de X ? Quelle est son espérance μ ? son écart-type σ ?
2. En approchant la loi de la variable centrée réduite
X
Z
par une loi normale, déterminer le
plus petit entier possible n pour que la probabilité de ne pouvoir accepter à l’un des services
toutes les personnes se présentant soit inférieure à 0,01.
3. En fait 60 % des personnes en moyenne choisissent le deuxième service. Combien faut-il alors
prévoir de places au restaurant pour avoir les mêmes conditions ?
Exercice 4 – Carte de contrôle
Le principe des cartes de contrôle
Pour contrôler la qualité de production d’une chaîne qui remplit des pots de moutarde de 195 g
(masse affichée sur l’étiquette), on va :
- prélever des échantillons de taille 5 au cours de la fabrication ;
- mesurer, pour chaque échantillon, la masse de moutarde contenue dans chacun des 5 pots et
calculer la moyenne des valeurs obtenues ;
- vérifier si ces moyennes sont comprises entre des valeurs limites qu’on aura préalablement
déterminées ;
- agir en conséquence.
Comment définir les valeurs limites ?
On modélise ainsi le prélèvement d’un échantillon de 5 pots dans la chaîne de fabrication : on note
Xi (1 ≤ i ≤ 5), les variables aléatoires qui, à chaque pot prélevé, associent la masse de moutarde,
exprimée en gramme, qu’il contient. On suppose que les variables Xi suivent toutes une loi normale
d’espérance
195
et d’écart-type
2,5
.

Utilisation de la loi normale 2/4
On admet alors que la variable aléatoire
12345
55
X X X X X
M   
suit une loi normale
d’espérance
195
et d’écart-type
2,5
5
.
On définit les valeurs limites en fonction du risque de « fausse alerte » souhaité :
- la limite inférieure de contrôle (LIC) et la limite supérieure de contrôle (LSC) sont les
valeurs respectivement de la forme 195 – r et 195 + r (r réel positif) telles que :
5
( ) 0,998P LIC M LSC  
.
- la limite inférieure de surveillance (LIS) et la limite supérieure de surveillance (LSS) sont
les valeurs respectivement de la forme 195 – h et 195 + h (h réel positif) telles que :
5
( ) 0,95P LIS M LSS  
.
Comment agir en cours de fabrication ?
Si la valeur moyenne de l’échantillon est comprise entre les limites de surveillance, le processus de
fabrication est jugé satisfaisant.
Si la valeur moyenne de l’échantillon est comprise entre une limite de surveillance et une limite de
contrôle, on donne l’alerte et on prélève immédiatement un nouvel échantillon.
Si la valeur n’est pas comprise entre les limites de contrôle, on donne l’alerte, on arrête la
production et on procède  un réglage du processus de fabrication.
Ainsi :
- la probabilité de donner une fausse alerte, qui entraîne un autre prélèvement d’échantillon,
est égale à 5 % ;
- la probabilité de donner une fausse alerte, qui entraîne un arrêt de la production, est égale à
0,2 %. La fausse alerte est assez coûteuse.
Questions
1. Déterminer les valeurs exactes de la limite inférieure de surveillance (LIS) et de la limite
supérieure de surveillance (LSS) du processus de fabrication des pots de moutarde.
Déterminer les valeurs exactes de la limite inférieure de contrôle (LIC) et de la limite supérieure
de contrôle (LSC) du processus de fabrication des pots de moutarde.
2. On a prélevé 20 échantillons de 5 pots de moutarde. La figure 1 donne, pour chaque échantillon,
la moyenne des masses de moutarde contenues dans les pots. Les limites de contrôle et de
surveillance sont aussi représentées.
Figure 1 : Moyennes obtenues pour 20 échantillons de 5 pots de moutarde.

Utilisation de la loi normale 3/4
D’après les résultats obtenus sur la figure 1, combien de fois l’alerte avec prélèvement immédiat
d’un nouvel échantillon a-t-elle été donnée ? Combien de fois le processus a-t-il été arrêté ?
3. Suite à un déréglage du processus de fabrication, la moyenne µ de la loi normale que suivent les
variables aléatoires Xi (1 ≤ i ≤ 5) et
5
M
, subit un déréglage de + 4 grammes ; l’écart-type n’est
pas modifié.
Calculer la probabilité que la moyenne du prochain échantillon soit située  l’extérieur des
limites de contrôle.
Exercice 5 – Cartes de contrôle (approfondissement)
Le principe
Dans tous les processus de production, deux objets fabriqués n’ont jamais exactement les mêmes
caractéristiques mesurables (masse, dimensions etc.). Le contrôle d’un processus de production
consiste à vérifier la stabilité de la fabrication dans le temps, c’est-à-dire la stabilité des valeurs
d’une caractéristique choisie.
Pour cela, on prélève au hasard, parmi les objets fabriqués, des échantillons d’assez petite taille
(entre 2 et 8 objets le plus souvent) ; on mesure, dans chaque échantillon, la caractéristique de
chaque objet et on calcule la moyenne des mesures prises sur l’échantillon. On vérifie ensuite si ces
moyennes sont comprises entre des valeurs limites qu’on aura préalablement déterminées, puis on
agit en conséquence.
Comment définir les valeurs limites ?
On modélise ainsi le prélèvement d’un échantillon de n objets dans la chaîne de fabrication : on
note
n
X
(1 ≤ i ≤ n), les variables aléatoires qui, à chaque pot prélevé, associent la mesure de la
caractéristique choisie. On suppose que les variables Xi suivent toutes une loi normale d’espérance
et d’écart-type .
On admet alors que la variable aléatoire
1... n
nXX
Mn
suit une loi normale d’espérance et
d’écart-type
'n
.
On définit les valeurs limites en fonction du risque de « fausse alerte » souhaité :
- la limite inférieure de contrôle (LIC) et la limite supérieure de contrôle (LSC) sont les
valeurs respectivement de la forme
r
et
r
(r réel positif) telles que :
( ) 0,998
n
P LIC M LSC  
.
- la limite inférieure de surveillance (LIS) et la limite supérieure de surveillance (LSS) sont les
valeurs respectivement de la forme
h
et
h
(h réel positif) telles que :
( ) 0,95
n
P LIS M LSS  
.
Comment agir en cours de fabrication ?
Si la valeur moyenne de l’échantillon est comprise entre les limites de surveillance, le processus de
fabrication est jugé satisfaisant.
Si la valeur moyenne de l’échantillon est comprise entre une limite de surveillance et une limite de
contrôle, on donne l’alerte et on prélève immédiatement un nouvel échantillon.
Si la valeur n’est pas comprise entre les limites de contrôle, on donne l’alerte, on arrête la
production et on procède  un réglage du processus de fabrication.
Ainsi :
- la probabilité de donner une fausse alerte, qui entraîne un autre prélèvement d’échantillon,
est égale à 5 % ;
- la probabilité de donner une fausse alerte, qui entraîne un arrêt de la production, est égale à
0,2 %. Une fausse alerte est assez coûteuse.

Utilisation de la loi normale 4/4
Questions
1. Déterminer en fonction de , et n les valeurs exactes de la limite inférieure de surveillance
(LIS) et de la limite supérieure de surveillance (LSS) du processus de fabrication.
Déterminer en fonction de , et n les valeurs exactes de la limite inférieure de contrôle
(LIC) et de la limite supérieure de contrôle (LSC) du processus de fabrication.
2. Soit k un réel strictement positif.
Suite à un déréglage du processus de fabrication, la moyenne µ de la loi normale que suivent les
variables aléatoires Xi (1 ≤ i ≤ n) et Mn subit un déréglage de k unités ; l’écart-type n’est pas
modifié.
Montrer que la probabilité que la moyenne du prochain échantillon soit située  l’extérieur des
limites de contrôle est égale à
1 3,09 3,09
k n k n
PZ
, où Z est une variable
aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
3. Soit k un réel strictement positif.
Suite à un déréglage du processus de fabrication, la moyenne µ de la loi normale que suivent les
variables aléatoires Xi (1 ≤ i ≤ n) et Mn subit un déréglage de
k
unités ; l’écart-type n’est pas
modifié.
Montrer que la probabilité que la moyenne du prochain échantillon soit située  l’extérieur des
limites de contrôle est égale à
1 3,09 3,09
k n k n
PZ
, où Z est une variable
aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.