Le dipôle (R,L)

Le dipôle (R,L).
Introduction.
Après le condensateur, on étudiera ici le comportement et les caractéristiques électriques d’un
autre dipôle très fréquemment utilisé en électricité et en électronique : la bobine.
I.
Caractéristiques électriques d’une bobine.
1. Constitution et représentation d’une bobine.
1.a. Constitution.
Une bobine est constituée par l’enroulement d’un fil conducteur, recouvert d’un vernis
isolant, sur la circonférence d’un cercle ou d’un cylindre (solénoïde).
2.b. Représentation.
Une bobine est symboliquement représentée par la schématisation suivante :
B
●
A
●
Une bobine est un dipôle.
2. Comportement électrique d’une bobine.
2.a. Expérience de mise en évidence.
On réalise le montage suivant :
K
R
E
L1
L2
L1 et L2 sont deux lampes identiques, le conducteur ohmique a une résistance R égale à la
résistance du fil conducteur constituant l’enroulement de la bobine.
1
La fermeture de l’interrupteur K permet d’allumer L1 et L2, le courant électrique circulant à
travers la bobine pour L1 et à travers le conducteur ohmique pour L2.
2.b. Observation.
Lorsque l’on ferme l’interrupteur K la lampe L2 s’éclaire instantanément, alors que la lampe
L1 s’allume avec un certain retard par rapport à la lampe L2.
Après quelques instants, les lampes L1 et L2 brillent avec le même éclat.
2.c. Interprétation qualitative.
Lorsque l’on ferme l’interrupteur K, l’intensité de courant passe de la valeur nulle a sa valeur
maximale Imax.
Dans la branche du circuit comportant le conducteur ohmique cette transition est instantanée.
Dans la branche comportant la bobine cette transition prend un certain temps : on observe un
régime transitoire.
On dit que la bobine a tendance à s’opposer à l’augmentation de l’intensité de courant ou, de
façon générale, que la bobine a pour effet de s’opposer aux variations de l’intensité de
courant.
A la fin du régime transitoire l’intensité de courant a atteint sa valeur maximale Imax et reste
alors constante.
La lampe L1 brille de façon identique à la lampe L2 ; la bobine se comporte alors comme un
simple conducteur ohmique de résistance r =R.
3. Relation caractéristique entre la tension aux bornes d’une bobine et l’intensité de
courant qui la traverse.
3.a. Expérience.
On réalise le montage suivant :
i
Générateur
de signaux
A
●
Y1
B●
r’
●
C
Y2
On choisie un sens positif de circulation du courant dans le circuit (voir schéma).
La voie Y1 de l’oscilloscope permet de visualiser la tension uAB aux bornes de la bobine.
2
La voie Y2 de l’oscilloscope mesure la tension uCB aux bornes du conducteur ohmique.
Pour être en cohérence avec le sens positif de circulation choisi, il faut visualiser la tension
uBC. Pour ce faire on enfonce la touche « - Y2 » de l’oscilloscope, on visualise alors sur la voie
Y2 la tension - uCB = uBC.
Or uBC = r’ i
On visualise en fait sur la voie Y2, à une constante de proportionnalité près, l’intensité
du courant électrique qui parcourt le circuit.
3.b. Observations.
On règle le générateur de signaux de façon à ce qu’il délivre une tension triangulaire (ou « en
dents de scie »).
L’écran de l’oscilloscope donne alors l’image suivante (appelée oscillogramme) :
Y2
Y1
On observe sur Y2 que l’intensité de courant i (t) est une fonction « en dents de scie », c'est-àdire linéaire par partie.
On observe sur Y1 que la tension uAB (t) aux bornes de la bobine est une fonction
« créneaux », c'est-à-dire constante par partie.
3.c. Interprétation.
On constate plus précisément que la fonction uAB (t) est constante et positive lorsque la
fonction i (t) est linéaire croissante ; et que uAB (t) est constante et négative lorsque i (t) est
linéaire décroissante.
La fonction uAB (t) a donc les mêmes caractéristiques que la fonction dérivée de i(t) c'est-àdi
dire
.
dt
On peut donc faire l’hypothèse d’une relation de la forme :
di
uAB (t) = k
, où k est une constante positive.
dt
Cette hypothèse est confirmée lorsque l’on observe les oscillogrammes obtenus lorsque le
générateur de signaux délivre une tension créneaux ou une tension sinusoïdale.
3.d. Cas général.
Les études théoriques et expérimentales démontrent que la relation caractéristique aux bornes
d’une bobine est de la forme :
3
u = ri + L
di
dt
Où u est la tension aux bornes de la bobine, r la résistance de la bobine (résistance du fil
conducteur constituant l’enroulement) et L une constante positive, caractéristique de la
bobine étudiée, appelée l’inductance de la bobine.
Dans cette relation u est exprimé en volts, i en ampère et r en ohms. L’inductance s’exprime
alors en Henry (H).
Une inductance de 1 H correspondant à une valeur relativement importante, on utilise
fréquemment les sous multiples : 1 mH = 10-3 H ; 1µH =10-6 H.
u et i sont des grandeurs algébriques définies en fonction de l’orientation du circuit :
i
B
●
A
●
u
u = uAB
i
B
●
A
●
u
u = uBA
Remarque :
Dans l’expérience réalisée au 3.a. les réglages étaient effectués de façon à ce que le terme
di
di
di
« ri » soit négligeable devant le terme « L
» ; on avait donc: u = ri + L
≈L
dt
dt
dt
di
et on a pu observer qu’alors u était proportionnelle à
.
dt
3.e. Quelques conséquences.
-
Régime permanent.
Quelques instants après la fermeture d’un circuit contenant une bobine le
régime transitoire est terminé, le courant a atteint sa valeur Imax et reste alors
constant. On dit que le régime permanent est établi.
On a donc, lorsque le régime permanent est établi :
i (t) = Imax = constante
di
On en déduit que
= 0 et donc que la tension aux bornes de la bobine a pour
dt
di
expression : u = ri + L
= ri + 0 = ri.
dt
En régime permanent la bobine se comporte comme un simple conducteur
ohmique.
4
On peut utiliser cette propriété pour mesurer expérimentalement la résistance
d’une bobine (utilisation d’un ohmmètre par exemple).
-
Surtension aux bornes d’une bobine.
Si l’intensité de courant parcourant une bobine varie brutalement, la dérivée
di
peut prendre une valeur très importante, la tension u aux bornes de la
dt
bobine peut alors être très élevée : c’est le phénomène de surtension.
Ce phénomène peut être mis à profit pour amorcer le fonctionnement de
certains systèmes électriques (starter d’un tube néon).
-
Etincelle de rupture.
Lorsqu’on ouvre l’interrupteur d’un circuit comportant une bobine, on tend à
annuler instantanément l’intensité de courant qui parcourt la bobine.
La bobine s’oppose à cette brusque variation de l’intensité en ionisant l’air au
niveau de l’interrupteur (génération d’une étincelle de rupture), ce qui prolonge
pendant un bref instant le passage du courant électrique.
Les étincelles de ruptures peuvent endommager les interrupteurs ou les relais
électriques. On cherche à les éviter en mettant en parallèle avec l’interrupteur une
diode et une résistance, ou un condensateur, qui vont éviter la rupture brutale du
courant.
II.
Etablissement d’un courant dans un dipôle (R,L) soumis à un
échelon de tension.
Voir Travaux Pratiques.
III.
Etude analytique de l’établissement et de l’annulation du courant
dans un dipôle (R,L) soumis à un échelon de tension.
1. Le circuit étudié.
On étudie le montage suivant :
K
i A
●
(L,r)
B●
E
r’
●
C
5
La fermeture de l’interrupteur K permet l’établissement du courant électrique dans le dipôle
(R,L).
On se propose de déterminer l’évolution temporelle de l’intensité de courant ; soit la
fonction i (t).
La fermeture de l’interrupteur est prise pour instant initial t = 0.
2. Etude de l’établissement du courant.
On choisie un sens positif de circulation du courant dans le circuit (voir schéma).
2.a. Loi d’Ohm aux bornes du conducteur ohmique.
uR = r’ i
Compte tenu du sens positif de circulation choisi : uR = uBC ; D’où :
uBC = r’ i
2.b. Relation caractéristique aux bornes de la bobine.
di
dt
Compte tenu du sens positif de circulation choisi : uC = uAB ; D’où :
uC = ri + L
uAB = ri + L
di
dt
2.c. Loi d’additivité des tensions.
uAB + uBC = uAC
Or, les points A et C étant respectivement reliés aux bornes positive et négative du générateur
de tension :
uAC = E ; D’où, en utilisant les relations précédemment établies :
di
+ r’i = E ;Soit :
dt
di
(r + r’) i + L
= E ; Soit en posant R = r + r’ (R est la résistance totale du dipôle (R,L)) :
dt
di
L di
E
L
+ Ri = E ; Où encore
+i=
dt
R dt
R
ri + L
Soit en posant
τ
τ=
L
:
R
di
E
+i=
dt
R
Cette relation constitue l’équation différentielle d’évolution temporelle de l’intensité de
courant dans le dipôle (R,L) lors de l’établissement du courant.
6
2.d. Solution de l’équation différentielle.
On montre mathématiquement que la solution de cette équation différentielle est une fonction
de la forme :

t
i (t) = A e  + B
où A et B sont deux constantes.
On se propose de vérifier que cette fonction est effectivement solution de l’équation
différentielle et de déterminer les valeurs des constantes A et B.
On a :
t
t

di
1
A 
e
= A e  (- ) + 0 = dt


En introduisant les expressions de i (t) et
t
di
dans l’équation différentielle, on obtient :
dt
t

A 
E
e )+A e  +B=
τ (
R
=0
D’où :
B=
E
R
Pour que i (t) soit solution de l’équation différentielle, la fonction doit donc être de la forme :

t
E
i (t) = A e  +
relation 1
R
On obtient la valeur de la constante A en utilisant les conditions initiales de
l’établissement de courant.
A t = 0 on ferme l’interrupteur K, on a alors i (0) = 0
Or d’après la relation 1 :

0
E
E
i (0) = A e  +
=A+
R
R
E
E
A+
=0
; soit A = R
R
D’où l’expression de i (t) :
; on a donc finalement :
t
E 
E
e
i (t) = +
R
R
t

E
i (t) =
(1- e  )
R
On constate que lorsque t tend vers l’infini i (t) tend vers
E
.
R
7
E
s’identifie donc à l’intensité de courant en régime permanent que l’on notera I max ou
R
I0 .
On peut donc écrire :

t
i (t) = I0 ( 1 - e  )
Cette fonction décrit l’évolution temporelle de l’intensité de courant circulant dans le
dipôle (R,L) lors de l’établissement du courant.
Remarque :
E
E
=
r  r'
R
On retrouve ici qu’en régime permanent la bobine se comporte comme un simple
conducteur ohmique de résistance r, ici associé en série avec le conducteur ohmique de
résistance r’.
I0 =
2.e. Graphe de la fonction i (t).
On a i (0) = 0.
Par ailleurs lorsque t tend vers l’infini, i (t) tend vers I0 =
E
. La courbe présente donc une
R
asymptote horizontale d’ordonnée I0.
Le graphe a donc l’allure suivante :
i
I0
0
t
On retrouve le graphe obtenu lors de l’étude expérimentale de l’établissement du
courant dans le dipôle (R,L).
8
2.f. Constante de temps du dipôle (R,L).
On détermine la valeur de i (t) pour t = τ ; on a alors :

i (τ) = I0 (1 - e  ) = I0 (1 – e-1) = 0,63 I0 = 63% I0 = 63% Imax

On retrouve la définition de la constante de temps introduite lors de l’étude
expérimentale.
L
Le quotient
= τ correspond donc à la constante de temps du dipôle (R,L).
R
3. Etude de l’annulation de courant dans le dipôle (R,L).
3.a. Le circuit étudié.
On étudie le montage suivant :
K
i A
●
(L,r)
B●
E
r’
●
C
A L’ouverture de l’interrupteur K, le courant continue à circuler dans le dipôle (R,L), grâce à
la diode placée en parallèle au dipôle (R,L).
L’ouverture de l’interrupteur K est pris pour instant initial t =0.
On se propose d’établir l’expression de la fonction i (t) lors de l’annulation du courant.
On conserve le sens positif de circulation du courant choisi lors de l’établissement du courant.
3.b. Loi d’Ohm aux bornes du conducteur ohmique.
uR = r’ i
Compte tenu du sens positif de circulation choisi : uR = uBC ; D’où :
uBC = r’ i
9
3.c. Relation caractéristique aux bornes de la bobine.
di
dt
Compte tenu du sens positif de circulation choisi : uC = uAB ; D’où :
uC = ri + L
di
dt
uAB = ri + L
3.d. Loi d’additivité des tensions.
uAB + uBC = uAC
Or, les points A et C étant court-circuités (on suppose que la diode a une résistance
négligeable) :
uAC = 0 ; D’où, en utilisant les relations précédemment établies :
di
+ r’i = 0 ; Soit :
dt
di
(r + r’) i + L
= 0 ; Soit en posant R = r + r’ (R est la résistance totale du dipôle (R,L)) :
dt
di
L di
L
+ Ri = 0 ; Où encore
+i=0
dt
R dt
ri + L
τ=
Soit en posant
τ
L
:
R
di
+i=0
dt
Cette relation constitue l’équation différentielle d’évolution temporelle de l’intensité de
courant dans le dipôle (R,L) lors de l’annulation du courant.
3.e. Solution de l’équation différentielle.
On montre mathématiquement que la solution de cette équation différentielle est une fonction
de la forme :

t
i (t) = A e  + B
où A et B sont deux constantes.
On se propose de vérifier que cette fonction est effectivement solution de l’équation
différentielle et de déterminer les valeurs des constantes A et B.
On a :
t
t

di
1
A 
e
= A e  (- ) + 0 = dt


10
En introduisant les expressions de i (t) et
t
di
dans l’équation différentielle, on obtient :
dt
t

A 
e )+A e  +B=0
τ (
=0
D’où :
B=0
Pour que i (t) soit solution de l’équation différentielle, la fonction doit donc être de la forme :
t

i (t) = A e 
relation 1
On obtient la valeur de la constante A en utilisant les conditions initiales de l’annulation
de courant.
A t = 0 on ouvre l’interrupteur K, on a alors i (0) = I0
Or d’après la relation 1 :

0
i (0) = A e  = A
; on a donc finalement :
A = I0
D’où l’expression de i (t) :

i (t) = I0
t
e 
Cette fonction décrit l’évolution temporelle de l’intensité de courant circulant dans le
dipôle (R,L) lors de l’annulation du courant.
3.f. Graphe de la fonction i (t).
On a i (0) = I0.
Par ailleurs lorsque t tend vers l’infini, i (t) tend vers 0. Le graphe a donc l’allure suivante :
i
I0
t
11
3.g. Constante de temps du dipôle (R,L).
On détermine la valeur de i (t) pour t = τ ; on a alors :

i (τ) = I0 e  = I0 e-1 = 0,37 I0 = 37% I0 = 37% Imax

L
correspond au temps nécessaire pour que l’intensité de courant
R
ait chutée à 37% de sa valeur lors de l’annulation du courant.
La constante de temps τ =
4. Analyse dimensionnelle du quotient
L
.
R
On a établie la relation :
L
τ=
R
Cette relation indique que le quotient d’une inductance par une résistance est un temps ; on
L
dit que le quotient à la dimension d’un temps. On écrit alors :
R
L
[ ] = [T]
R
dimension de
L
R
dimension du temps
On se propose de retrouver ce point en conduisant une analyse dimensionnelle du quotient
L
,
R
C'est-à-dire en utilisant les « formules » physiques connues.
La loi d’ohm se formule sous la forme : u = Ri
; on peut en déduire :
1
i
= ,
u
R
1
a la dimension d’une intensité divisée par une tension ; soit :
R
1
[I ]
[ ]=
= [I] [U]-1
relation 1
R
[U ]
La relation caractéristique d’une bobine idéale (r = 0) s’exprime sous la forme :
di
u
u=L
; soit L =
di
dt
dt
Une inductance a donc la dimension d’une tension que divise la dérivée d’une intensité ; soit :
[L] = [U] ([I] [T]-1)-1 = [U] [I]-1 [T]
relation 2
On déduit des relations 1 et 2 la dimension du quotient
L
:
R
12
L
] = [U] [I]-1 [T] [I] [U]-1
R
Soit, après simplification :
[
[
L
] = [T]
R
On a ainsi retrouvé par analyse dimensionnelle que le quotient
L
a bien la dimension
R
d’un temps.
IV.
Energie emmagasinée par une bobine parcourue par un courant.
1. Expérience préliminaire.
On considère le circuit d’annulation de courant étudié au III.3.a.. Si l’on utilise une diode
électroluminescence (LED), celle-ci s’éclaire quelques instants durant l’annulation de courant.
Lorsque la bobine est parcourue par un courant elle emmagasine de l’énergie qui est convertie
en énergie lumineuse par la diode lorsque le courant s’annule.
2. Expression de l’énergie emmagasinée dans la bobine.
On démontre mathématiquement que l’énergie emmagasinée par une bobine d’inductance L
parcourue par un courant d’intensité i a pour expression :
EB =
1 2
Li
2
Dans cette expression, EB est obtenu en joules si L est exprimé en henrys et i en ampères.
Remarque :
Cette expression est constamment valable, que le circuit soit en régime permanent ou en
régime transitoire d’établissement ou d’annulation de l’intensité de courant.
3. Conséquence.
L’énergie emmagasinée dans la bobine ne peut être acquise ou restituée instantanément car
l’énergie mise en jeu serait alors infinie ; l’intensité de courant ne peut donc jamais être
discontinue dans un circuit comportant une bobine.
4. Remarque.
Contrairement à un condensateur, une bobine ne peut stocker de l’énergie pendant un temps
important, l’énergie emmagasinée dans la bobine étant progressivement convertie en énergie
thermique par effet joule au niveau des conducteurs ohmiques contenus dans le circuit (sauf
en état de supraconductivité !).
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