P4TP3 RESOLUTION DE L`EQUATION DIFFERENTIELLE D`UNE

P4TP3 RESOLUTION DE L’EQUATION DIFFERENTIELLE D’UNE CHUTE
PAR LA METHODE D’EULER
Objectifs :
- Etablir l’équation différentielle d’un mouvement de chute verticale, la force de frottement
étant donnée
- Connaître e principe de la méthode d’Euler pour la résolution de l’équation différentielle
- Utiliser un tableur pour appliquer la méthode d’Euler
I. Expérience
Une bille d'acier tombe verticalement dans de l'huile. Une vidéo de l'expérience est réalisée.
Les données de l’expérience sont :
 Masse de la bille : m = 4,08 g ;
 Diamètre de la bille : d = 10,0 mm ;
 Volume de la bille V ;
 Masse volumique de la bille : ρ = 7563 kg.m-3 ;
 Masse volumique de l'huile : ρh = 920 kg.m-3 .
 Constante gravitationnelle à la surface de la Terre (intensité de la pesanteur) : g = 9,81 m.s-2
 Entre les graduations 50mL et 500mL de l’éprouvette il y a une distance de 242 mm
II. Etude de la chute
 Réaliser le pointage vidéo de la chute de la bille avec Latis : le fichier vidéo est « chute bille
huile.avi »
 Représenter v=f(t) et déterminer la vitesse limite.
III. Modélisation de la chute
Selon le type de force de frottement f que l'on considère, l'équation différentielle du
mouvement sur la vitesse s'écrit :
¿ Calculer la valeur de la constante B
¿ Calculer, à partir des équations différentielles, les valeurs de A1 et A2 en prenant pour
valeur de v la vitesse limite trouvée en II.
¿ En déduire l’expression l'expression des deux équations différentielles (modèles 1 et
2)
IV. Résolution par la méthode d’Euler
1) Principe de la méthode
Pour des intervalles de temps ∆t "petits" on peut faire l'approximation suivante :
¿ En déduire l’expression de en fonction de a(t).
∆t est appelé pas d’itération de la méthode d’Euler.
On choisira pour toute l’étude suivante :
La notation t0 = 0s, t1=t0+∆t, t2=t1+∆t , ...
un pas de ∆t = 0,020s ;
une vitesse initiale v0 = v(t0) =0ms-1

2) Résolution du modèle 1
¿ Écrire l’expression de a0 = a(t0), la calculer
¿ Écrire l’expression de v1 = v(t1), la calculer
¿ Écrire l’expression de a1=a(t1), la calculer
¿ Écrire l’expression de v2 = v(t2), la calculer
¿ Écrire l’expression de a2, la calculer
t(en s)
v(t) en (ms-1)
a(t) (en ms-2)
t0 = 0s
v0 = v(t0) =0ms-1
a0 =
t1 = 0 + 0,020
v1 =
a1=
t2=
v2
a2 =
 Ces calculs peuvent être réalisés avec un ordinateur et un tableur
Ouvrir le tableur d’open office « Euler.ods » se trouvant dans l’atelier
 Entrer la valeur du pas ∆t et les valeurs des constantes A1 et B dans les cellules
correspondantes
 Glisser dans le tableur de Latis la vourve v=f(t) et recopier les valeurs des
variables t et Vpointage dans les colonnes correspondantes de la feuille de calcul
d’Open office.
 Écrire la formule de calcul pour calculer la vitesse du modèle 1 VMod_1 dans la cellule
D11 (Utiliser la syntaxe $N°colonne$N°ligne pour fixer la cellule lors des recopies)
 Tirer la formule jusqu’à lacelluleD31 incluse. Vérifier les valeurs de VMod_1
affichées avec celles calculées "à la main".
¿ Le modèle en pour la force de frottement est-il satisfaisant ? Pourquoi ?
3) Reprendre le même travail sur le tableur pour le modèle 2 (utiliser la fonction PUISSANCE
(nombre ; puissance) comme syntaxe pour calculer v2
¿ Le modèle en pour la force de frottement est-il satisfaisant ? Pourquoi ?
4) Modèle 3
¿ A partir des deux études précédentes, quelles inégalités peut-on envisager pour
la valeur de n ?
¿ Exprimer puis calculer, à partir de l’équation différentielle, la valeurs de A3 en
fonction de n et de vlim
¿ Écrire la formule de calcul pour calculer v3 et la recopier vers le bas
¿ Chercher la valeur de n donnant la meilleure modélisation
¿ Quelle est alors l’expression de la force de frottement ? calculer sa valeur en
régime permanent
¿ Comparer le poids P de la bille à la valeur f + en régime permanent. Le résultat
était il prévisible ?
V. Equation différentielle
 Etablir le bilan des forces agissant sur la bille quelque soit t
 En appliquant la relation de la dynamique, retrouver les équations différentielles de la vitesse
v de la bille en fonction du modèle des forces de frottements