P4TP3 RESOLUTION DE L’EQUATION DIFFERENTIELLE D’UNE CHUTE PAR LA METHODE D’EULER - Objectifs : Etablir l’équation différentielle d’un mouvement de chute verticale, la force de frottement étant donnée Connaître e principe de la méthode d’Euler pour la résolution de l’équation différentielle Utiliser un tableur pour appliquer la méthode d’Euler I. Expérience Une bille d'acier tombe verticalement dans de l'huile. Une vidéo de l'expérience est réalisée. Les données de l’expérience sont : Masse de la bille : m = 4,08 g ; Diamètre de la bille : d = 10,0 mm ; Volume de la bille V ; Masse volumique de la bille : ρ = 7563 kg.m-3 ; Masse volumique de l'huile : ρh = 920 kg.m-3 . Constante gravitationnelle à la surface de la Terre (intensité de la pesanteur) : g = 9,81 m.s-2 Entre les graduations 50mL et 500mL de l’éprouvette il y a une distance de 242 mm II. Etude de la chute Réaliser le pointage vidéo de la chute de la bille avec Latis : le fichier vidéo est « chute bille huile.avi » Représenter v=f(t) et déterminer la vitesse limite. III. Modélisation de la chute Selon le type de force de frottement f que l'on considère, l'équation différentielle du mouvement sur la vitesse s'écrit : ¿ ¿ IV. Calculer la valeur de la constante B Calculer, à partir des équations différentielles, les valeurs de A1 et A2 en prenant pour valeur de v la vitesse limite trouvée en II. ¿ En déduire l’expression l'expression des deux équations différentielles (modèles 1 et 2) Résolution par la méthode d’Euler 1) Principe de la méthode Pour des intervalles de temps ∆t "petits" on peut faire l'approximation suivante : ¿ En déduire l’expression de en fonction de a(t). ∆t est appelé pas d’itération de la méthode d’Euler. On choisira pour toute l’étude suivante : La notation t0 = 0s, t1=t0+∆t, t2=t1+∆t , ... un pas de ∆t = 0,020s ; une vitesse initiale v0 = v(t0) =0ms-1 2) Résolution du modèle 1 ¿ Écrire l’expression de a0 = a(t0), la calculer ¿ Écrire l’expression de v1 = v(t1), la calculer ¿ Écrire l’expression de a1=a(t1), la calculer ¿ Écrire l’expression de v2 = v(t2), la calculer ¿ Écrire l’expression de a2, la calculer t(en s) t0 = 0s v(t) en (ms-1) v0 = v(t0) =0ms-1 a(t) (en ms-2) a0 = t1 = 0 + 0,020 v1 = a1= t2= v2 a2 = Ces calculs peuvent être réalisés avec un ordinateur et un tableur Ouvrir le tableur d’open office « Euler.ods » se trouvant dans l’atelier Entrer la valeur du pas ∆t et les valeurs des constantes A1 et B dans les cellules correspondantes Glisser dans le tableur de Latis la vourve v=f(t) et recopier les valeurs des variables t et Vpointage dans les colonnes correspondantes de la feuille de calcul d’Open office. Écrire la formule de calcul pour calculer la vitesse du modèle 1 VMod_1 dans la cellule D11 (Utiliser la syntaxe $N°colonne$N°ligne pour fixer la cellule lors des recopies) Tirer la formule jusqu’à lacelluleD31 incluse. Vérifier les valeurs de VMod_1 affichées avec celles calculées "à la main". ¿ Le modèle en pour la force de frottement est-il satisfaisant ? Pourquoi ? 3) Reprendre le même travail sur le tableur pour le modèle 2 (utiliser la fonction PUISSANCE (nombre ; puissance) comme syntaxe pour calculer v2 ¿ Le modèle en pour la force de frottement est-il satisfaisant ? Pourquoi ? 4) Modèle 3 ¿ A partir des deux études précédentes, quelles inégalités peut-on envisager pour la valeur de n ? ¿ Exprimer puis calculer, à partir de l’équation différentielle, la valeurs de A3 en fonction de n et de vlim ¿ Écrire la formule de calcul pour calculer v3 et la recopier vers le bas ¿ Chercher la valeur de n donnant la meilleure modélisation ¿ Quelle est alors l’expression de la force de frottement ? calculer sa valeur en régime permanent ¿ Comparer le poids P de la bille à la valeur f + en régime permanent. Le résultat était il prévisible ? V. Equation différentielle Etablir le bilan des forces agissant sur la bille quelque soit t En appliquant la relation de la dynamique, retrouver les équations différentielles de la vitesse v de la bille en fonction du modèle des forces de frottements