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TRIGONOMETRIE
I-
RAPPEL ET DEFINITIONS :
C’
AB
AB'

AC
AC '
BC
B' C '
sin  

AC
AC '
BC
B' C '
tan  

AB
AB'
cos  
C

A
B
B’
1. Cercle trigonométrique :
Une unité de longueur étant choisie, on appelle cercle trigonométrique un cercle
centré en un point 0, de rayon 1, et sur lequel on a choisi un point A comme origine
pour la mesure des arcs, On lui associe le repère (O; OA; OB) avec OA  OB orienté
dans le sens direct.
On prend l’axe (OA) comme origine de la mesure des angles.
B
Q
O
y
M

P A
x
2. Mesure d’arcs – mesure d’angles :
Prenons un point M du cercle trigonométrique.
AM désigne un arc orienté.
Le radian est l’arc dont la longueur est égale au rayon.
Un angle de 1 radian est un angle au centre qui intercepte un arc de 1 radian.
La mesure l de la longueur d’un arc est donnée par l  R où R est le rayon et  la
mesure en radian de l’angle correspondant.
3. Angles de deux vecteurs
(OA; OM ) désigne un angle orienté des vecteurs OA et OM
M
O
A
C’est aussi l’angle des deux demi-droites de même origine O.
4. Quelques propriétés des angles orientés :
 Deux angles orientés (OA; OM ) et (OA; ON ) sont dits opposés si M et N sont
symétriques par rapport à la droite (OA)
y
M
O

x
N
Relation de Chasles :
Soient u et v deux vecteurs
Quel que soit w
(u; w)  (w; v)  (u; v)
5. Fonctions circulaires :
On considère l’application  qui, à tout angle  , fait correspondre le point M(x ; y)
du cercle trigonométrique tel que (OA; OM )  
 ( )  M  (OA; OM )  
B
y
Q
O
On a alors
OP
 OP  x
OM
PM
sin  
 PM  OQ  y
OM
cos  


OM  (cos  )i  (sin  ) j
PM AR

 AR
OP OA
 (  2 )  M
tan  
 (  2k )  M
cos(  2 )  cos 
sin(   2 )  sin 
M

P A
x
En appliquant le théorème de Pythagore au triangle OPM, on a
OM²=OP²+PM²
1  (cos )²  (sin  )²
ou
et
cos2   sin 2   1
 1  sin   1 et  1  cos  1
6. Angles associés :
i.
Angles opposés :
Deux angles  et  ' sont opposés si leurs images M et M’ par  sont symétriques par
rapport à l’axe (OA) (on écrit    ' )
M
y

O
 x
M’
On a
cos  '  cos(  )  cos 
sin  '  sin(  )   sin 
tan   tan(  )   tan 
ii.
Angles supplémentaires :
 et  ' sont supplémentaires si    '   , donc si  '    
y
 
O

x
cos  '  cos(   )   cos 
sin  '  sin(    )  sin 
tan  '  tan(    )   tan 
iii.
Angles complémentaires :
 et  ' sont complémentaires, si    ' 

2

y


2
O

x
cos  '  cos(
sin  '  sin(


tan  '  tan(
  )  sin 
2
2

2
  )  cos 
) 
1
 cot an
tan 
iv.
Angles dont la différence est 
C'est-à-dire    '   ou  '    
y
 


x
cos  '  cos(   )   cos 
sin  '  sin(    )   sin 
tan  '  tan(    )  tan 
, donc si  ' 

2

v.
Angles dont la différence est
C'est-à-dire    ' 

ou  ' 
2

2

2


y

2


x
cos  '  cos(
sin  '  sin(

2

tan  '  tan(
2

2
  )   sin 
  )  cos 
)  
1
tan 
7. Angles remarquables :

0
sin 
0
cos 

6
1
2

4
2
2
1
3
2
2
2
0
3
3
1
tan 

3

2
3
2
1
2
1
0
3
2
3
3
2
3
4
2
2
1

2

 3
-1

5
6
1
0
2
2  3
2
2

-1
3
0
3