1 Cartes

Probabilités
Générales
1
Cartes
1.
2.
3.
4.
2
Soit un jeu de 52 cartes. On tire 1 carte. Quelle est la probabilité :
de tirer 1 cœur ?
de tirer 1 figure ?
de tirer 1 cœur ou 1 figure ?
de tirer 1 figure et 1 neuf ?
Des yeux et-ou des cheveux
Sur 100 personnes: 40 personnes ont les yeux bleus, 45 personnes ont les cheveux blonds,
25 personnes ont à la fois les yeux bleus et les cheveux blonds. Quelle est la probabilité qu'un
individu pris au hasard parmi les 100 personnes ait les yeux bleus ou les cheveux blonds ?
3
Dépendance
Soient les événements A et
Les événements A et
4
B
B
tels que:
P ( A U B )=0,85, P ( A )=0,7, P ( B )=0,5
sont-ils indépendants ?
Probabilités conditionnelles
 La probabilité pour qu'un individu aux yeux bleus soit gaucher est de 1/7.
 La probabilité pour qu'un individu gaucher ait les yeux bleus est de 1/3.
 La probabilité pour qu'un individu n'ait pas des yeux bleus et ne soit pas gaucher est de
4/5.
Quelle est la probabilité pour qu'un individu pris au hasard ait des yeux bleus et soit
gaucher ?
5
Maladie
Dans une population :
 10 % des sujets sont atteints de la maladie
M
;
 90 % des sujets atteints de la maladie
S
 40 % des sujets porteurs du signe
M
portent le signe
S
sont atteints de la maladie
S
Quelle est la proportion parmi les sujets non atteints, qui ne portent pas le signe
6
;
M
.
?
De l’art d’être un bon étudiant
(examen mai 2007)
 Un étudiant a une attitude un peu désinvolte face à ses cours.
 Il n'étudie que pour 1/3 de ses examens, en les choisissant au hasard ;
 Par le passé, il a réussi 3 fois sur 4 les examens pour lesquels il avait étudié, tandis
qu'il n'a réussi qu'un examen sur 4 lorsqu'il n'étudiait pas.
 Cet étudiant a réussi son examen de mathématique.
Quelle est la probabilité qu'il ait étudié pour cet examen ?
7
Dépistage
(examen juin 2007)
Chaque don du sang est soumis à un test du SIDA. On suppose que :
 Ce test a une «efficacité» de 99%, correspondant à la probabilité que le test soit positif
pour une personne atteinte du SIDA.
 Il a un taux de «faux-positifs» de de 5%, correspondant à la probabilité que le test soit
positif pour une personne non atteinte.
 La probabilité d'être atteint du SIDA est 1/10000.
7.1
Quelle est la probabilité pour qu'une personne obtenant un test positif soit atteinte du
SIDA ?
7.2
Peut-on en conclure que ce test est réellement efficace, donc utile ?
8
Où il ne fait pas bon d’être très malade
(examen juin 2007)
D'après les statistiques concernant une maladie incurable, on sait que sur 100 malades :
 70 passent passent le cap de la 1re année (événement
 56 passent le cap de la 2è année (événement
 50 passent le cap de la 3è année (événement
B
C
)
)
A
)
8.1
Représenter graphiquement les événements
A
,
B
et
C
.
8.2
Rappeler l'expression de la probabilité conditionnelle
P ( B∣ A)
8.3
Calculer la probabilité, pour un malade ayant passé le cap de la 1re année, de passer le cap
de la 2è année.
8.4
Calculer la probabilité, pour un malade ayant passé le cap de la 2è année, de passer le cap
de la 3è année.
Variables aléatoires et distributions discrètes
1
Sexes
À chaque naissance, la probabilité d'avoir un garçon est
familles de 4 enfants.
P =0,53
. On s'intéresse aux
1.1
Quelle est l'espérance du nombre de garçons ?
1.2
Quelle est la probabilité pour que les 4 enfants soient de même sexe ?
1.3
Chaque chambre d'enfants contient au plus 2 enfants si ils sont de même sexe. Quelle est la
probabilité qu'il y ait 3 chambres d'enfants ?
1.4
Un immeuble de 20 appartements est entièrement occupé par des familles de 4 enfants.
Quelle est l'espérance du nombre de garçons dans immeuble ?
2
Pile ou face
Combien de fois faut-il lancer la pièce pour que la probabilité d'obtenir uniquement des «côté
face» soit inférieure à 1 % ?
3
Tricheur
Un tricheur a dans sa poche 2 pièces de monnaies dont l'une est normale et l'autre pipée, c'est à
dire que le «coté face» sort 2 fois sur 3.
Il prend l'une des deux pièces et obtient 4 «coté face» en 6 coups. Quelle est la probabilité qu'il
ait pris la pièce pipée ?
4
Pêche
Lors d'une pêche en mer, la probabilité de ramener 1 requin dans le chalut est de 1 %. En
admettant qu'il soit impossible de prendre simultanément plusieurs requins dans le chalut, quelle
r
est la probabilité de prendre
requins lorsque le nombre de chalutages
Calculer numériquement les premières probabilités.
n
est égal à 100 ?
5
Mucoviscidose
Chaque année en France, en moyenne par jour 2 enfants naissent atteints de mucoviscidose. Si il
n'y a pas d'effet saisonnier dans la distribution des naissances, quelle est la loi du nombre de
naissances journalières d'enfants malades ?
6
Grands nombres
A
0,01
La probabilité qu'un individu soit atteint de la maladie
vaut
et de la maladie
B
A
B
0,05
vaut
. Les 2 affections
et
sont indépendantes. Quelle est l'espérance
du nombre d'individus atteints de l'une ou l'autre maladie, dans un échantillon de 10000
personnes ? Quelle est la probabilité que 2 individus exactement soient atteints de l'une ou l'autre
maladie, dans un échantillon de 100 personnes ?
7
Groupe
Dans une population, 20% des individus ont les yeux bleus.Quelle est la probabilité pour
que, sur 10 personnes tirées au hasard, au moins 3 d'entre elles aient les yeux bleus ?
Loi no
rmale
1
1.
2.
3.
Sachant que
P (U >1,96 )
U=N ( μ=0, σ =1)
, calculer :
P (U<− 1,96 )
P (U >2,575 )
;
;
;
P (− 1,21< U <1,53 )
P (U <1,96 )
P (U <2,575 )
;
;
P (U<u)=0,10
P (U<u)=0,8
u
tel que
;
.
;
2
Sachant que
1.
2.
P ( X >4 )
X
et
P (4< X <7)
suit une loi normale,
P ( X <7 )
X=N ( μ=5, σ =2)
, calculer:
3
M=N ( μ =70, σ =7)
La masse en kg d'une personne adulte suit une loi normale
.
Quelle est probabilité qu'un groupe de 20 personnes montant dans un ascenseur dépasse la limite
de sécurité de cet ascenseur qui est de 1500 kg ?
4
En supposant que la distribution des revenus de la population d'un pays suive une loi
normale, avec une espérance 15 unités monétaires, calculer son écart type sachant que 10 % de la
population perçoit plus de 20 unités monétaires.
5
Pour des candidats à une section d'apprentissage, la distribution des notes dans un test est
32,3
8,5
normale avec une espérance égale à
et un écart type égal à
. On décide que 10 %
des sujets seront orientés ailleurs parce que leur niveau est trop haut, et que 30 % des sujets
seront orientés ailleurs parce que leur niveau est trop bas.
Entre quelles limites la note d'un candidat devra-t-elle se placer pour qu'il soit admis dans
la section d'apprentissage ?
6
Dans une population de veaux, la masse d'un animal pris au hasard est une variable
aléatoire
X
qui suit une loi normale d'espérance 500 kg et d'écart type 40 kg.
6.1
Si on prélève un échantillon de 80 veaux de cette population, quelles seraient les
espérances du nombre de veaux:
1. pesant plus de 560 kg ?
2. pesant moins de 480 kg ?
3. pesant entre 450 et 550 kg ?
6.2
On sélectionne pour la reproduction les 15% supérieurs en poids de la population. À partir
de quelle masse un animal sera sélectionné ?
Table de la loi normale centrée-réduite
La table indique, pour
u≥ 0
, la valeur
F( u)
de la fonction de répartition de la loi
2
F (x )=
normale
centrée
réduite
u <0, F (u)=1− F (− u)
.
définie
par:
1
u
− du
∫
2
√2π
.
Pour
F( u)
x1∣ue
La table retourne a valeur de
pour a valeur de
comme a somme des
valeurs figurant en tête de la igne et de a colonne correspondantes. Exemple:
u =0,83=0,8+ 0,03 →F (u)=0,7967
.
0,99903
3
N.B. : La notation 0,9 03 , par exemple, équivaut à
.