Les équations de Maxwell

I Postulats de l’électromagnétisme
A) Postulat de Lorentz
Dans un référentiel R galiléen, une charge q animée d’une vitesse
v
est soumise à
une force, appelée force de Lorentz :
)( BvEqFL
Ce postulat définit en même temps
E
et
B
(qui, on le verra plus tard, dépendent
du référentiel)
B) Postulat de Maxwell
Dans un référentiel R galiléen, une distribution de charges
),( tr
et de courant
),( trj 
produisent un champ électrique
E
et un champ magnétique
B
qui satisfont les
équations suivantes :
1) A la divergence
0
 E
, équation de Maxwell–Gauss (MG)
0 B
, équation de Maxwell–Flux (
M
)
2) Au rotationnel
t
B
E
, équation de Maxwell–Faraday (MF)
 t
E
jB
00
, équation de Maxwell–Ampère (MA)
C) Discussion
 C’est un système d’équations différentielles, qui à partir d’une distribution de
charges et de courant permet de déterminer
BE ,
dans tout l’espace à chaque
instant.
 Dans les conditions réelles (les distributions sont d’extension finie), on impose
en plus
0lim 
E r
,
0lim 
B r
Remarque : Si
E
est solution des équations de Maxwell, alors
0
EE  
où
0
E
est
un champ uniforme et stationnaire est aussi solution.
 On retrouve les équations de l’électrostatique et de la magnétostatique.
 Ce sont des équations macroscopiques, mais elles sont toujours valables
lorsqu’on se place à l’échelle microscopique.
 Ces équations sont valables aussi dans les milieux :
liélibre
,
liélibre jjj  
 On a deux grands groupes d’équations de Maxwell :
- Les équations à la divergence, qui ne couplent pas
E
et
B
- Les équations au rotationnel, qui couplent
E
et
B
.
Ainsi, dans le cas général, on ne peut pas découpler les deux champs. (C’est
pourquoi on parle d’un champ électromagnétique)
 Ces équations sont relativistes.
Les équations de Maxwell

Relativité galiléenne : Toutes les lois de la mécanique sont invariantes par
changement de référentiel galiléen.
Relativité einsteinienne : Toutes les lois de la physique sont invariantes par
changement de référentiel galiléen.
On va voir que le postulat de l’électromagnétisme implique nécessairement que la
vitesse de la lumière est la même dans tout référentiel galiléen.
II Contenu physique des équations de Maxwell
A) Conservation de la charge
Equation de Maxwell–Ampère :
 t
E
jB
00
Ainsi, en passant à la divergence :
 tE jB
00
)(0
Mais
tt E
0
, donc l’équation devient
0
j
t
Ainsi, les équations de Maxwell sont compatibles avec le postulat de conservation
de la charge (qui est en fait un postulat indépendant : on a fait en sorte dans les
équations que ce postulat soit vérifié)
B) Equation de Maxwell–Gauss
On a
0
 E
, donc
dSdE
0
1
Le théorème de Gauss est donc toujours satisfait.
C) Equation de Maxwell–Flux
On a
0 B
Donc
B
est toujours à flux conservatif.
On remarque qu’on n’a pas d’analogue de pour un champ magnétique : on n’a
jamais mis en évidence de « charge magnétique ».
D) Equation de Maxwell–Faraday
On a
t
B
E
(Homogène !)
 En général,
E
n’est pas à circulation conservative, et ne dérive donc pas d’un
potentiel scalaire.
 On a ainsi deux sources de champ
E
:
- Les charges
- La variation de
B
On verra que c’est à l’origine de phénomènes d’induction électromagnétique et de
propagations des ondes électromagnétiques.
 Structure de
E
:
On peut écrire
21 EEE  
, où
1
E
serait le champ produit par des charges, et
2
E
par
B
:
0
1
 E
, et
0
1
  E
; on retrouve bien un champ électrostatique

0
2 E
, et
t
B
E
2
; on trouve un champ qui a une structure
magnétostatique.
On donne à
1
E
le nom de champ longitudinal, et à
2
E
celui de champ transversal.
Justification des noms : en transformée de Fourier, les équations deviennent :
0
1
 Eki
, et
0
2 Eki 
 Absence de courants magnétiques :
On a
t
E
jB
t
B
E
000
Il n’y a donc pas d’équivalent du terme
j
0
dans
E
(si on réussit à mettre en
évidence des « charges magnétiques », il y aura sûrement un terme à ajouter…)
E) Equation de Maxwell–Ampère
 t
E
jB
00
 Théorème d’Ampère :
Il n’est plus vérifié ici :
On aura dans le cas général
 Sd
t
E
IldB e
000
 Sources de
B
:
- Le courant
j
- La variation de
E
Il est moins intéressant de séparer
B
en deux champs ici.
 « Courant de déplacement »
- Définition :
t
E
0
est homogène à une densité de courant (mais n’est pas une densité de
courant). On peut donc noter
t
E
jD
0
On peut alors appliquer le théorème d’Ampère avec une intensité embrassée
« généralisée »
- Nécessité du terme de déplacement :
o Sous forme locale :
jB 
0
n’est pas compatible avec le postulat de conservation de la charge en
général :
On a en effet
jB 
  0
0
, et donc
0 j
ce qui est faux en général.
Il faut donc ajouter quelque chose en général.
L’équation de Maxwell–Gauss et le postulat de conservation de la charge
permettent de trouver l’équation de Maxwell–Ampère.
o Sous forme globale : exemple de contradiction si on ne tient pas compte du
terme supplémentaire :
I
On a
 SdBldB 
(1) Si on suppose que
jB 
0
:

On aura pour la surface en noir
ISdjSdB 00
11
Et pour la surface en rouge
0
22 0   SdjSdB 
Ce qui est contradictoire puisque les deux surfaces s’appuient sur le même contour
(2) En prenant en compte le terme
t
E
jB 
000
On a
ISd
t
E
jSdB 0
0
00
11 )(
Et
22 )( 0
0
0Sd
t
E
jSdB 
Si on suppose que le condensateur est sans effet de bord, on aura
x
uE 
0
Et donc
0
Q
SdE 
Et comme
I
t
Q
, on aura
ISd
t
E000
2
F) Théorème de superposition
Si une distribution
),( 11 j
produit un champ
),( 11 BE 
Et une distribution
),( 22 j
un champ
),( 22 BE 
Alors
)..,..( 2121 jj 
produira un champ
)..,..( 2121 BBEE 
Remarque :
Le « principe » de superposition vu en électrostatique est devenu ici un théorème.
G) Couplage entre
E
et
B
.
1) Champ électromagnétique
Les équations de Maxwell–Faraday et Maxwell–Ampère montrent que les
champs
E
et
B
sont couplés. On a donc affaire à un individu physique, le champ
électromagnétique, et qui contient deux composantes, à savoir
E
et
B
(C’est comme en mathématique pour des vecteurs : un vecteur est composé
de plusieurs composantes, qui n’ont aucun sens séparément)
En régime stationnaire, il n’y a plus de couplage
(Pour reprendre l’analogie, c’est comme si on se restreignait à une droite)
2) Transformation des champs
 Position du problème :
On considère deux référentiels galiléens R et R’, où R’ est en translation à la
vitesse
V
par rapport à R.
On note
BE ,
le champ correspondant dans R,
',' BE 
dans R’.
- Dans R, on a la force de Lorentz
)( BvEqF 
- Dans R’, on a la force de Lorentz
)'''('' BvEqF 
 Conservation de la charge :
'qq 
 Transformation galiléenne :

- Formule de composition :
En relativité galiléenne,
'FF  
,
Vvv 
  '
Donc
'''' BvEBVBvE 
et ce
'v
Par identification, on a donc
BVEE  '
et
BB  '
- Discussion :
On considère un fil infini uniformément chargé de masse linéique se
déplaçant à la vitesse
V
Etude :
Dans R’, le fil est fixe et donc
r
u
r
E
0
2
'
,
0'B
Dans R,
'
20Bu r
V
B
- Conclusion : les formules de relativité galiléenne ne s’appliquent pas.
L’électromagnétisme est donc par essence relativiste.
 Transformation einsteinienne :
On a en général
'FF  
,
Vvv 
  '
On admet que
E
c
V
BcBc
Bc
c
V
EE
'
'
Remarque :
On voit ici qu’il aurait été plus commode de définir initialement le champ
magnétique comme étant «
Bc
», et qui aurait été en plus homogène à
E
.
On obtient ainsi des formules symétriques.
Elles sont valables seulement au premier ordre en
c
V
.
Dans l’exemple précédent :
On aura
r
u
r
EBc
c
V
EE 
0
.2
'''
Et
rz u
r
u
c
V
E
c
V
BcBc 
0
.2
''
Donc
u
r
V
u
rc
V
B
22 0
0
2
Remarque :
En fait, toute formule faisant intervenir la vitesse de la lumière est
nécessairement relativiste, et donc c’est la même chose pour
0
ou
0
(qui,
comme on va le voir, vérifient
1
2
00 c
)
3) Propagation des champs
On a
t
B
E
Et
 t
E
jB
00
 Pour
E
: