0.29 Mo - La Cosmologie précise, par Philippe Magne

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GPS et THÉORIE de la RELATIVITÉ
Philippe Magne
2007

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Introduction
Le but recherché est de montrer par des calculs très simples pourquoi la Relativité
Restreinte (RR) et la Relativité Générale (RG) permettent de justifier les dérives
temporelles des horloges atomiques embarquées à bord des 24 Satellites du GPS.
Dans la revue « Pour la Science » n0 326 Décembre 2004 page 42, paragraphe :
« Les tic-tac du GPS » il est écrit :
1. Que, par suite d’un effet de vitesse (RR) les horloges des 24 satellites du GPS
retardent de 7
s
par jour par rapport à une horloge située au sol
2. Que, par suite d’un effet gravitationnel (RG) les horloges des 24 satellites du
GPS avancent de 45
s
par jour par rapport à une horloge située au sol
Le bilan conduisant à une avance de
45 7 38 s  
Si, on ne corrige pas cet effet, il s’ensuit une erreur de positionnement de 11 km au
bout de 24 H, à l’endroit où l’on capture les signaux émis par les satellites.
Notations et données
C : vitesse de la lumière 2.99792458
8
10
m / s
D : durée d’une journée sur Terre 86400 s
V : vitesse des Satellites par rapport à la Terre, 14000 km /h ou
8
3.888 10 m/s
h : altitude moyenne des Satellites 20000 km ou
7
2 10 m
M : masse de la Terre
24
5.977 10 kg
R : rayon de la Terre
6
6.378164 10 km
G : Constante Universelle de la Gravitation ( CUG )
11
6.67269 10
rs : rayon de Schwarzschild de la masse terrestre
3
2
2GM 8.875 10 m
c
, voir Annexe
Effet de vitesse ( RR )
Appelons
'
t
le retard journalier, on peut l’obtenir à partir de la Transformation de
Lorentz-Poincaré :
2
'2
V
t D 1 D
c
Puisque
V
c
est petit, on peut écrire :
22
22
V 1 V
11
c 2 c
Donc
22
'22
V 1 V
t D 1 1 D
c 2 c
2
3
'8
1 3.888 10
t 86400 7.26 s
2 2.99792458 10
( il s’agit bien d’un retard )

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Effet gravitationnel
Pour mener ce calcul, considérons une horloge située à l’infini, c’est à dire ne baignant pas
dans un champ de gravitation.
Adoptons la notation
t
pour désigner l’intervalle de temps mesuré par cette horloge
pendant qu’il s’écoule un jour sur terre,
D 86400
secondes.
La RG permet de calculer la relation suivante :
s
r
D t 1 R
d’où
s
D
tr
1R
Rappelons les notations R = rayon terrestre,
s
r
= rayon de Schwarzschild de la masse
terrestre.
Maintenant, à une distance R + h, celle d’un satellite par rapport au centre de la Terre,
l’intervalle de temps
'
t
mesuré par une horloge embarquée à son bord est donné par la
relation :
's
r
t t 1 Rh
Le retard de cette horloge pendant une journée terrestre D est donné par :
ss
rr
t' D t 1 t 1
R h R
En remplaçant
t
par
s
Dr
1R
On obtient :
'ss
s
rr
D
t D 1 1
R h R
r
1R
S
'
s
r
1Rh
t D D 1
r
1R
Voyons maintenant les ordres de grandeur,
s
r
R
est de l’ordre de
39
6
8.875 10 10
6.378 10

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Posons
s
r
xR
et
s
r
yRh
'1y
t D D 1
1x
y
1 y 1 2
1 1 x
1
x2
1x 12
yx
t' D D 1 1 1
22
x y xy
t' D D 1 1
2 2 4
Si x et y sont de l’ordre de
9
10
alors
xy
est de l’ordre de
18
10
on peut négliger xy
'D
t D x y
2
Application numérique :
39
s6
r8.875 10
x 1.39 10
R 6.378164 10
39
s67
r8.875 10
y 0.336 10
R h 6.378 10 2 10
96
1.39 0.336
t' D 86400 10 45.53 10 s
22 
Ainsi, les horloges des satellites avancent par rapport à celles du sol de 45.53
s
à cause
de l’effet gravitationnel de la RG.
Bilan de l’avance compte tenu des deux effets ( RR + RG )
45. 53 - 7.26 = 38
s
( rappel, il s’agit bien d’une avance )
En multipliant cette avance par la vitesse de la lumière on obtient l’erreur cumulée
pendant une journée de 24 heures :
Environ 11 km
Conséqence : on retarde les horloges des satellites de 38
s
D’autres problèmes se sont posés pour le GPS, ils dépassent ce simple exposé.

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Annexe
Comment les formules qui permettent de calculer l’avance de
38 s
sont elles
déduites de la Relativité.
Rappelons que cette théorie est un ensemble d’énoncés traduisant l’invariance des
lois de la nature à l’égard des changements de référentiels spatio – temporels.
Concrètement, ce qu’on obtient ce sont les transformations qui affectent les
coordonnées des évènements.
Un événement, c’est ce qui se produit en un lieu donné et à un instant donné, il est
dont situé par ses coordonnées x, y, z, t.
D’une certaine façon les tic-tac du GPS sont des évènements répétitifs dont
l’intervalle temporel dépend du référentiel choisi.
Effet de vitesse
Il est traité dans le cadre de la Relativité Restreinte qui concerne les référentiels
d’inertie et postule la constance et l’isotropie de la vitesse de la lumière.
La transformation de Lorentz-Poincaré aboutit aux formules suivantes lorsqu’il s’ agit
de deux référentiels Oxyzt et O’x’y’z’t’, ce dernier étant animé d’une translation de
vitesse V dans le sens positif de l’axe des x.
2
2
x' Vt'
xV
1c
2
2
2
V
t' x'
c
tV
1c
y=y’ z=z’
Et réciproquement :
2
2
x Vt
x' V
1c
2
2
2
V
tx
c
t' V
1c
y’=y z’=z
On peut tirer de ces formules un intervalle élémentaire ( on négligera les égalités
y=y’ et z=z’ étant donné le mouvement choisi).
2 2 2 2 2 '2 '2
s c t x c t x   
Si
2
s0
l’intervalle est dit temporel, les évènements peuvent avoir une relation de
causalité et leur ordre de succession ne peut être inversé par un changement de
référentiel.
Si
2
s0
l’intervalle est dit spatial, aucun signal partant de l’un des évènements ne
peut atteindre l’autre ; il ne peut y avoir entre eux de relation de causalité et l’ordre
de leur succession dans le temps peut s’inverser lors d’un changement de
référentiel ( cause et corrélation ne peuvent être confondues )