0.29 Mo - La Cosmologie précise, par Philippe Magne

GPS
et
THÉORIE de la RELATIVITÉ
Philippe Magne
2007
1
Introduction
Le but recherché est de montrer par des calculs très simples pourquoi la Relativité
Restreinte (RR) et la Relativité Générale (RG) permettent de justifier les dérives
temporelles des horloges atomiques embarquées à bord des 24 Satellites du GPS.
Dans la revue « Pour la Science » n0 326 Décembre 2004 page 42, paragraphe :
« Les tic-tac du GPS » il est écrit :
1. Que, par suite d’un effet de vitesse (RR) les horloges des 24 satellites du GPS
retardent de 7 s par jour par rapport à une horloge située au sol
2. Que, par suite d’un effet gravitationnel (RG) les horloges des 24 satellites du
GPS avancent de 45 s par jour par rapport à une horloge située au sol
Le bilan conduisant à une avance de 45  7  38s
Si, on ne corrige pas cet effet, il s’ensuit une erreur de positionnement de 11 km au
bout de 24 H, à l’endroit où l’on capture les signaux émis par les satellites.
Notations et données
C : vitesse de la lumière 2.99792458 108 m / s
D : durée d’une journée sur Terre 86400 s
V : vitesse des Satellites par rapport à la Terre, 14000 km /h ou 3.888  108 m / s
h : altitude moyenne des Satellites 20000 km ou 2  107 m
M : masse de la Terre 5.977  1024 kg
R : rayon de la Terre 6.378164  106 km
G : Constante Universelle de la Gravitation ( CUG ) 6.67269  10 11
2GM
 8.875  10 3 m , voir Annexe
rs : rayon de Schwarzschild de la masse terrestre
2
c
Effet de vitesse ( RR )
Appelons t ' le retard journalier, on peut l’obtenir à partir de la Transformation de
t '  D  1 
Lorentz-Poincaré :
Puisque
Donc
V2
D
c2
V
V2
1 V2
est petit, on peut écrire : 1  2  1   2
c
c
2 c
 V2

1 V2
t '  D  1  2  1    2  D
c
2 c


2

1 
3.888  103
t    
 86400  7.26s ( il s’agit bien d’un retard )
8 
2  2.99792458  10 
'
2
Effet gravitationnel
Pour mener ce calcul, considérons une horloge située à l’infini, c’est à dire ne baignant pas
dans un champ de gravitation.
Adoptons la notation t pour désigner l’intervalle de temps mesuré par cette horloge
pendant qu’il s’écoule un jour sur terre, D  86400 secondes.
La RG permet de calculer la relation suivante :
D  t  1 
rs
d’où t 
R
D
1
rs
R
Rappelons les notations R = rayon terrestre, rs = rayon de Schwarzschild de la masse
terrestre.
Maintenant, à une distance R + h, celle d’un satellite par rapport au centre de la Terre,
l’intervalle de temps t ' mesuré par une horloge embarquée à son bord est donné par la
relation :
t '  t  1 
rs
Rh
Le retard de cette horloge pendant une journée terrestre D est donné par :
t ' D  t  1 
En remplaçant t par
D
1
On obtient :
rs
r
 t  1  s
Rh
R
rs
R
t '  D 

r
r 
  1 s  1 s 
Rh
R 
r 
1 s 
R
D


r
 1 S

R  h  1
t '  D  D  


r
1 s


R


rs
8.875  103
 109
Voyons maintenant les ordres de grandeur,
est de l’ordre de
6
6.378  10
R
3
Posons x 
rs
r
et y  s
R
Rh
 1 y

t '  D  D  
 1
 1 x



1 y  1
y
2
1
1 x
1

1
x
2
 1
x
2
 y  
x 
t ' D  D    1     1    1
 2   2  
x y xy 

t ' D  D   1   
 1
2 2 4


Si x et y sont de l’ordre de 10 9 alors xy est de l’ordre de 1018 on peut négliger xy
t '  D 
D
 x  y
2
Application numérique :
x
rs
8.875  103

 1.39  109
R 6.378164  106
y
rs
8.875  103

 0.336  109
R  h 6.378  106  2  107
 1.39 0.336 
t ' D  86400  

 10 9  45.53  10 6 s

2 
 2
Ainsi, les horloges des satellites avancent par rapport à celles du sol de 45.53 s à cause
de l’effet gravitationnel de la RG.
Bilan de l’avance compte tenu des deux effets ( RR + RG )
45. 53 - 7.26 = 38 s ( rappel, il s’agit bien d’une avance )
En multipliant cette avance par la vitesse de la lumière on obtient l’erreur cumulée
pendant une journée de 24 heures :
Environ 11 km
Conséqence : on retarde les horloges des satellites de 38 s
D’autres problèmes se sont posés pour le GPS, ils dépassent ce simple exposé.
4
Annexe
Comment les formules qui permettent de calculer l’avance de 38s sont elles
déduites de la Relativité.
Rappelons que cette théorie est un ensemble d’énoncés traduisant l’invariance des
lois de la nature à l’égard des changements de référentiels spatio – temporels.
Concrètement, ce qu’on obtient ce sont les transformations qui affectent les
coordonnées des évènements.
Un événement, c’est ce qui se produit en un lieu donné et à un instant donné, il est
dont situé par ses coordonnées x, y, z, t.
D’une certaine façon les tic-tac du GPS sont des évènements répétitifs dont
l’intervalle temporel dépend du référentiel choisi.
Effet de vitesse
Il est traité dans le cadre de la Relativité Restreinte qui concerne les référentiels
d’inertie et postule la constance et l’isotropie de la vitesse de la lumière.
La transformation de Lorentz-Poincaré aboutit aux formules suivantes lorsqu’il s’ agit
de deux référentiels Oxyzt et O’x’y’z’t’, ce dernier étant animé d’une translation de
vitesse V dans le sens positif de l’axe des x.
V
t ' 2 x '
x ' Vt '
c
y=y’
z=z’
x
t
2
V
V2
1 2
1 2
c
c
Et réciproquement :
V
t 2 x
x  Vt
c
y’=y z’=z
x' 
t' 
2
V
V2
1 2
1 2
c
c
On peut tirer de ces formules un intervalle élémentaire ( on négligera les égalités
y=y’ et z=z’ étant donné le mouvement choisi).
s2  c 2 t 2  x 2  c 2 t ' 2  x ' 2
Si s2  0 l’intervalle est dit temporel, les évènements peuvent avoir une relation de
causalité et leur ordre de succession ne peut être inversé par un changement de
référentiel.
Si s2  0 l’intervalle est dit spatial, aucun signal partant de l’un des évènements ne
peut atteindre l’autre ; il ne peut y avoir entre eux de relation de causalité et l’ordre
de leur succession dans le temps peut s’inverser lors d’un changement de
référentiel ( cause et corrélation ne peuvent être confondues )
5
Maintenant, faisons, x’=0 et remarquons, étant dnnées les hypothèses concernant le
mouvement du référentiel O’, que OO’ = x = Vt
s2  c 2 t 2  V 2 t 2  c 2 t ' 2
t'  t 1 
V2
c2
Si t  D , durée d’une journée mesuré sur Terre soit 86400 secondes , le retard des
horloges des satellites est donn é par :
t '  D 1 
V2
D
c2
Effet gravitationnel (calculé à ma façon)
Le fait que les satellites du GPS se meuvent à une altitude h de l’ordre de 20000 km,
c’est à dire à 20000+ Rayon de la Terre = 20000+6671 = 26671km du centre de
gravité de la Terre, soit environ quatre fois la distance au centre de la Terre des
horloges terrestres, le champ de gravitation est plus faible, et ainsi les horloges des
satellites avancent par rapport à celles sur Terre.
Cet effet gravitationnel est à traiter dans le cadre de la Relativité Générale.
La RG est née d’une heureuse idée d’Einstein, à savoir que les effets d’un champ de
gravitation sont équivalents à ceux d’un mouvement accéléré.
Nous allons utiliser cette idée d’une façon simplifiée pour éviter le formalisme
classique et lourd de la RG.
 du point de vue du calcul différentiel, on peut dire qu’un mouvement
accéléré est uniforme seulement pendant de très petits intervalles de
temps, ce qui revient à accepter le concept de vitesse instantanée.
Plaçons nous alors dans le cas d’une très petite masse d’épreuve« m »ne perturbant
pas le champ de gravitation, en chute libre depuis l’infini, vers une masse M.
6
Sans vitesse initiale, ce mouvement se poursuit à énergie nulle, ce que l’on peut
exprimer par le fait que la somme de son énergie cinétique W K et de son énergie
potentielle W P est nulle. A la distance r de M on trouve :
1
GMm
mv 2 
0
2
r

WK

Wp
v : est la vitesse instantanée de « m » par rapport à la masse M supposée ponctuelle
G : est la constante universelle de la gravitation
Cette équation est simplifiable par « m », car, rappelons le, en plus, « m » n’est pas
sensée contribuer au champ de gravitation. On se souviendra aussi que dans le vide
tous les corps tombent de la même façon, cela fut vérifié par les astronautes qui ont
foulé le sol de la lune.
v 2 GM
Il vient :

0
2
r
Une question se pose maintenant, à quelle distance « r » du centre de M la vitesse
« v » devient elle égale à celle de la lumière ?
Remplaçons « v » par « c » dans l’équation ci-dessus :
2GM
r 2
On trouve
cette distance particulière porte le nom de Rayon de
c
Schwarzschild, notation rs  8.875  103 m pour la Terre. Maintenant on peut
paramétrer la trajectoire radiale comme le montre la figure ci-dessous.
A toute distance r, l’effet de la gravitation est traduit en rapport
V 2 rs

c2
r
7
Modélisation
8
L’ horloge H0 au sol indique un temps t0  t   1 
rs
R
d’où t  
t0
1
rs
R
L’ horloge H' d’un satellite situé à la distance R  h du centre de la Terre indique
t '  t  1
rs
Rh
On en déduit le rapport des temps indiqués par l’horloge H’ et par l’horloge H0 :
'
t

t0
1
rs
R  rs
1
rs
R
Si l’horloge au sol H0 indique pour un jour terrestre D = 86400 secondes, celle à la
distance R+h indique :
D
rs
Rh
r
1 s
R
1
L’horloge des satellites qui sont à la distance R+h du centre de la Terre avance donc
de :


r
 1 s

R  h  1
D


r
1 s


R


9