Récréation arithmétique avec Fermat - Les

Récréation arithmétique avec Fermat :
English v. : www.happy-arabia.net/Fermat-en.pdf
Théorème :
L’égalité 1 = (z/y)n - (x/y)n (1),
où x, y, z et n sont des entiers positifs, est impossible pour n>2 .
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Essai de démonstration par une voie de l’arithmétique :
Résumé :
De l’égalité (1) on déduit l’égalité générique : 2k = un - vn ,
où u, v, k et n sont des entiers positifs.
Cette égalité est impossible pour n>2 .
Et par suite, l’égalité (1) est impossible pour n>2 .
L’égalité (1) peut s’écrire aussi : zn = xn + yn , où x, y, z et n sont
des entiers positifs.
Démonstration :
Etablissement de l’égalité 2k = un - vn :
L’égalité (1) peut s’écrire en binaire :
(2) 1 = (z/y)n - (x/y)n , où 1, (z/y)n et (x/y)n sont en binaire.
Les développements décimaux binaires de (z/y)n et de (x/y)n sont
de même longueur et sont illimités (périodiques à partir d’un certain
rang) ou limités.
Avec z>y>x, on a zn<2yn, 1<(z/y)n<2 et (x/y)n<1.
La partie entière de (z/y)n est égale à 1, la partie entière de (x/y)n est
égale à 0. Les parties décimales de (z/y)n et de (x/y)n sont égales.
En posant, avec z>y>x, b = partie décimale binaire de x/y (les zéros de
tête sont conservés dans toutes les opérations de multiplication et
d’addition, ces zéros de position relative sont significatifs) et

a = partie décimale binaire de z/y, la partie entière de (x/y)n est égale
à 0 et celle de (z/y)n est égale à 1.
L’égalité (2) peut s’écrire :
(3) 1 = (1.a)n - (0.b)n = (1a/(10)d)n - (0b/(10)d)n
où 10 est 2 en binaire et d est la longueur de décalage, d est un entier
qui peut être infini et dans ce cas : limite 1a/(10^d) = 1.a .
Les nombres 1a et 0b (les zéros de tête sont conservés) ont même
longueur et s’ils sont infinis, ils sont nécessairement périodiques à
partir d’un certain rang.
De l’égalité (3), on obtient
(4) (10)dn = (1a)n - (0b)n ,
et, après conversion dans la base 10, on a l’égalité générique :
(5) 2k = un - vn , où u, v, k et n sont des entiers positifs et n>2 .
Remarque : v peut comporter un ou plusieurs zéros de tête.
Ces zéros sont significatifs.
Les nombres u et v sont supposés impairs, si nécessaire après
division par 2rn.
Comme tout entier n>2 est un multiple de 4 ou d’un nombre impair,
il suffit de considérer l’égalité (5) pour n=4 et pour n impair.
Pour n = 4, l’égalité (5) devient :
(6) 2k = u4 - v4 , où u, v et k sont des entiers positifs.
Comme 2k = u4 - v4 = (u2 - v2) (u2 + v2) ,
on a nécessairement : u2 + v2 = 2α , u2 - v2 = 2β , α > β et α + β = 4 .
D’où 2u2 = 2α + 2β , 2v2 = 2α - 2β et, avec u et v impairs, β=1, α = 3,
et u2 - v2 = 2 , égalité impossible puisque la différence entre deux
carrés parfaits distincts est supérieure à 2.

Donc l’égalité 2k = u4 - v4 , où u, v et k sont des entiers positifs, est
impossible.
Pour n impair, l’égalité (5) peut s’écrire :
(7) 2k = un - vn = (u - v)(∑i=n-1 i=0 ui v(n-1)-i),
Comme u , v et n sont impairs, (∑i=n-1 i=0 ui v(n-1)-i) est un nombre
impair supérieur à l’unité et, par conséquent, l’égalité (7) est
impossible pour n impair > 2.
Donc l’égalité générique 2k = un - vn , où u, v, k et n sont des entiers
positifs, est impossible pour n>2.
Par conséquent, l’égalité : 1 = (1.a)n - (0.b)n est impossible pour n>2.
Et par suite, l’égalité 1 = (z/y)n - (x/y)n, où x, y, z et n sont des entiers
positifs, est impossible pour n>2.
Remarque :
Il est possible d’utiliser d’autres bases pour le développement
décimal. La base 10 conduit à l’égalité générique 10k = un - vn .
Mais la base 2 est plus économique, car le nombre 2 est pair et
premier, ce qui a permis des calculs plus simples.
Théorème de Fermat-Wiles (1994) :
L’égalité zn = yn + xn , où x, y, z et n sont des entiers, est impossible
pour n>2.
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf
Ahmed IDRISSI BOUYAHYAOUI
INPI - Paris