Arith 97-exos

Exercices d’arithmétique
1. [0] Dans quelle base a-t-on “10” + “10” = “10” × “10” ?
14. En base cinq “abcd” = “dcba” × b + a. Trouver les chiffres a, b, c, d.
15. [0] On cherche le dividende et le diviseur d’une division. Le dividende
est inférieur à 4000. Le quotient est 82, le reste 47.
352 4242 242424 32032
,
,
,
44 2828 323232
7
2. [0] Ecrire en chiffres 1 + 3 + 32 + 34 + 38, en base trois, puis en base neuf.
16. Simplifier
3. [0] En base seize, les chiffres sont 0, 1, …, 9, A, B, …, F.
Quelle est l’écriture chiffrée de (43 – 1)(43 + 1) en base seize ?
17. [] Trouver des nombres de deux chiffres qui divisés par 37 donnent un
quotient égal au reste.
4. [0] En quelle base a-t-on “82” = “3” × “28” ?
5. Transcrire en base douze les nombres 1789(dix), et 1000(dix).
Transcrire en base dix les nombres “1789”(douze) et “1000”(douze).
6. Montrer que dans toute base, le nombre “10101” est divisible par “111”.
7. Quels nombres s’écrivent à la fois “abc”(sept) et “cba”(onze) ?
8. En quelle base a-t-on “35” + “13” = “51” ?
18. [0 ] Compléter la division
6 ! 6 !6
6! 6
19.Trouver le plus petit nombre entier qui divisé successivement par 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10 donne comme reste 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
20. Montrer que pour aucune valeur de n, le nombre n2 + n + 1 ne peut être
multiple de 1994.
21. Trouver un nombre “abc” tel que “abc”–“cba” s’écrive avec les trois
chiffres a, b, c.
9. [0] Ecrire en base douze le nombre qui s’écrit 144 en base dix.
Ecrire en base dix le nombre qui s’écrit “1000” en base douze.
22. Remplacer chaque lettre par un chiffre dans la multiplication suivante :
E L L E x E S T = S I M PL E
Les chiffres de la base douze étant 0, 1, 2, …, 9, A, B, écrire en base dix le
produit A × B.
23. Un nombre s’écrit  . En ajoutant ses chiffres, on trouve . en
10. En base quatre, deux nombres ont pour somme “33” et pour produit ajoutant les chiffres de ce dernier, on trouve . Trouver tous les chiffres
cachés.
“312”. Lesquels ?
11. En quelle base est-ce que “221”ד122”= “33012” ?
24. [0] En base dix, A = “1xxy”. Trouver les chiffres x et y sachant que A
est multiple de 9 et de 5 ?
12. En quelle base est-ce que “2222” = “22” × “101” ?
13. En quelle base “10000” = “222” × “20” + “10” ?
F.Boule : Exercices d’arithmétique
25. [0] En base dix, B = “37x28y”. Trouver les chiffres x et y sachant B
divisible par 6 et par 45.
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26. Quels sont les multiples de 7 qui s’écrivent “abba” ?
Trouver les chiffres a et b, et les nombres K <100 tels que “bb” × K = “abba”
34. Quel est le chiffre des unités du nombre obtenu en multipliant entre eux
les nombres impairs entre 1 et 93 ? Justifier.
35. Quel est le chiffre des unités de 3737 ?
27. Décomposer 111 111 en produit de facteurs premiers. Montrer que 888
888 est divisible par 37.
28. Ecrire 4 chiffres consécutifs décroissants (Ex. 8765). Soit A ce nombre.
Retrancher A renversé (chiffres écrits dans l’ordre inverse). Le résultat est
toujours 3087. Pourquoi ?
29. Trouver un nombre de 4 chiffres tel que le nombre renversé soit son
produit par 4.
30. Trouver le plus petit nombre de 4 chiffres égal à 107 fois la somme de
ses chiffres.
36. Trouver un nombre de trois chiffres égal au cube de la somme de ses
chiffres (base dix).
37. Soient deux nombres consécutifs a et b, et c leur produit c=ab. Montrer
que a2 + b2 + c2 est le carré d’un impair.
38. Montrer que le produit de 4 entiers consécutifs est un multiple de 24.
39. Montrer que le produit de 4 entiers consécutifs augmenté de 1 est un
carré parfait.
40. [0] Un nombre de trois chiffres s’écrit “aba” (base dix). La somme de ses
31. Prendre un nombre A de trois chiffres. Renverser l’ordre des chiffres, on chiffres s’écrit “bc”.
obtient B (exemple : A=721, B=127). Soustraire le plus petit du plus grand; La somme des chiffres de ce dernier est “b”. Quel est ce nombre ?
résultat C. Renverser C, on obtient D.
Ajouter C et D. On obtient 1089. Pourquoi ?
41. Vous gagnerez 100€ si vous êtes capable de produire une somme de 5€
composée uniquement de pièces de 50c, de 20c et de 5c, au nombre total de
32. [0] Un nombre A s’écrit avec trois chiffres. En permutant dizaines et 20 pièces.
unités, on obtient le nombre B; en permutant dizaines et centaines, le nombre Etudier le même problème avec une somme de 3€, ou encore de 2€ (avec
C, et en permutant unités et centaines, le nombre D.
toujours 20 pièces).
Sachant que A – B = 18 et C – A = 360, calculer D – A.
Montrer que A est un multiple de 3; trouver A sachant qu’il est multiple de 9 42. Voici un moyen de savoir si un nombre est divisible par 7 : Barrer le
(plusieurs solutions).
chiffre des unités et retrancher du nombre restant le double du chiffre barré;
recommencer tant que c’est possible; si l’on obtient un multiple de 7, le
33. [0] Soit A un nombre de trois chiffres; par exemple 763. On le réécrit à nombre de départ est divisible par 7. Pourquoi ?
droite de lui-même (on obtient 763763). On divise successivement par 7,
puis par 11, puis par 13. Combien obtient-on ?
42 bis.[0] Voici un autre moyen encore plus rapide (pour les très grands
On recommence avec 691; donner le résultat.
nombres) : barrer les deux derniers chiffres et retrancher du nombre restant le
Quelle proposition générale peut-on énoncer ?
décuple du nombre barré; recommencer tant que c’est possible; si l’on
La démontrer.
obtient un multiple de 7, le nombre de départ était divisible par 7. Pourquoi ?
F.Boule : Exercices d’arithmétique
2
43. Montrer que quelque soit n, le nombre n3 est de la forme 7k, ou 7k+1, ou
7k–1.
Eléments de solutions :
1. En base k, “10” représente k. L’équation devient : k + k = k2, donc k=2
44. Les trois enfants de M.Martin jouent avec d’autres enfants dans la cour.
8 7 6 5 4 3 2 1 0
4 3 2 1 0
2.
3 3 3 3 3 3 3 3 3
9 9 9 9 9
M.Dupont lui demande leur âge : le produit est 36, et la somme est le numéro
1 0 1 1 4
1 0 0 0 1 0 1 1 1
de la maison d’en face. Dupont : –il me manque un renseignement. Martin :
3. (43–1)(43+1) = 46–1 = prédécesseur de 163, c’est à dire de “1000”. C’est ”FFF”.
– c’est vrai; l’aînée est une fille ». Quels sont les âges des enfants ?
45. Trouver un nombre carré de 4 chiffres dont le renversé soit aussi
un carré.
[Montrer d’abord qu’une somme de carrés n’est divisible par 11 que si chaque nombre est
divisible par 11, puis que la somme d’un entier d’un nombre pair de chiffres et de son
renversé est un multiple de 11]
4. En base k, “82” représente 8k+2. Equation : 8k+2 = 3(2k+8) . D’où k=11
5.
1 7 8 9 12
5 8 1 4 9 12
1 0 9 2 9 12 12
1
5 0 1 12
1 0
Résultat : “1051”
1000 12
40 83 12
4 11 6 12
6 0
Résultat : “6B4”
6. En base k, “10101” représente k4 +k2 +1 que l’on peut factoriser en (k2 +k +1)(k2 –k +1)
_____________________
[0] : donné à l’écrit du Concours P.E. depuis 1992.
 : Un peu difficile…
Le premier facteur s’écrit “111”, dans n’importe quelle base.
7. “abc”(sept) = c +7b +49a “cba”(onze) = a +11b +121c.
Equation : c +7b +49a = a +11b +121c. Soit 12a = b +30c (a,b,c tous <7).
On teste successivement a = 1,… Solutions: “361” & “502”
8. L’équation en base k représente : (3k +5) + (k +3) = 5k +1. D’où k=7
9. 144 = 122 représenté par 100(douze). 1000(douze) = 123 = 1728
A x B = “10” x “11”=“110”
10. En base quatre A + B= “33”=15(dix) ; AxB=“312” = 54(dix). Connaissant somme et
produit, on écrit l’équation X2 –SX +P = X2 –15X +54 = 0 ; dont les solutions sont 6 et 9.
Il reste à les transcrire en base quatre : “12” et “21”.
11. En base k, cette équation représente (2k2 +2k +1) x (k2 +2k +2) = 3k4 +3k3 +k +2
Développée et ordonnée : –k3 +3k2 +9k +5 = 0. k=–1 est solution évidente double. On peut
donc mettre en facteur (k+1)(k+1). La troisième solution est k=5.
12. L’équation en base k représente : 2k3 +2k2 +2k +2 = (2k+2)(k2+1)
Développée et simplifiée : k3 +k2 +k +1 = k3 +k2 +k +1, vrai en toute base.
F.Boule : Exercices d’arithmétique
13. L’équation en base k représente : k4 = 2(k2 +k +1) x k + k, soit k3 = 4k2 + 4k + 5 k≥3.
On essaye les valeurs suivantes. k=5 convient.
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14. L’équation en base cinq représente : d +5c +25b +125a = (125d +25c +5b +a) x b + a
b>1. Si d>1, le résultat aurait 5 chiffres. Donc d=1; donc a≥2; b peut valoir 2, 3 ou 4.
b=2 conduit à : 122a = 279 + 45c qui ne permet aucune solution;
b=4 conduit à : 120a = 479 + 95c, non plus. Reste b=3, soit 121a = 344 + 70c
d’où a=4 et c=2. Solution “4321”
15. A = B x q + r , et 0 ≤ r < B. r = 47, donc B ≥ 48. La plus petite valeur pour A est 3983.
26. “abba” représente 1001a + 110b. 1001 est multiple de 7. Donc b vaut 7, et a est libre.
“bb” x K = “abba”. Si a = 1, 1771/77 = K = 23. Autres valeurs : 46, 69, 92.
27. Le nombre 111 111 est décomposable en 1001 x 111, soit 7 x 143 x 3 x 37
28. A = “(a+3) (a+2) (a+1) a” = 1000(a+3) +100(a+2) +10(a+1) +a
B = “a (a+1) (a+2) (a+3)” = 1000a +100(a+1) +10(a+2) +(a+3)
A–B = 3000 + 100 – 10 – 3 = 3100–13 = 3087.
16. 352 = 8x44 ; 4242 = 42 x 101 et 2828=28 x101 ; 242424=24 x 10101, 32032=4576 x 7
17. A = B x q + r , et 0 ≤ r < B. B=r, donc A=(B+1)x r. Donc A = 38 ou 76, ou 114…
18. Soit “6 A 6“ = “B 6” x 6 + “6 C”. C=6. Donc 600 + 10A + 6 = (10B +6)x 6 + 60+C
D’où C=0
En simplifiant 51 = 6B–A. B=9 et A = 3 Vérification : 636 = 96×6 + 60
19. Le nombre A cherché, augmenté de 1, est divisible par 2, 3, 4, …, 9, 10. Donc par leur
PPCM 23 x 32 x 5 x 7 = 504. Donc A = 503.
20. Si A = n2 + n + 1 = 1994k, il est pair. Donc n2+n est impair; or n(n+1) toujours pair.
21.“abc”–“cba” représente 100a +10b +c –100c -10b –a = 99(a–c). Pour connaître son
écriture chiffrée, il faut décomposer une centaine : 99(a–c) = 100(a–c) + 100–10 + 10-(a–c)
On obtient ainsi (a–c) centaines, 9 dizaines, 10–a+c unités. On vérifie que a–c–1 = a et a–c–
1 = b sont impossibles. Donc a–c–1 = c. Le chiffre des dizaines, 9, ne peut être b; c’est donc
a=9. Donc c=4. Reste b=5. 954 – 459 = 495
22. A = “ELLE”, B = ”EST”, C =”SIMPLE”. Si E>4 AxB aura 7 chiffres.
Donc E = 1, 2 ou 3. Mais le produit de E par T est terminé par E, et T≠E. Donc E=2 ou 3
L’hypothèse E=3 & T=1 implique 960960 < AB < 1589214. Donc S=9; mais alors
390≤B≤399, ce qui est impossible.
Reste E= 2. Valeurs possibles pour B : 241, 251, 261, 271, 281, 246, 256, 276, 286
et pour A : 2002, 2112, …2992. En testant, on ne trouve que 2552 x 276 acceptable.
29. “abcd” = 4 x “dcba”. a>d. De plus d = 1 ou 2 (sinon produit >10000). Mais d pair.
Donc d = 2. Donc a = 8 ou 9. Mais a=9 imposerait d=6 (produit par 4)
Donc a = 8. 8000 + 100b + 10c + 2 = 4 (2000 + 100c + 10b + 8), soit 2b = 13c +1
c = 1 Donc b = 7. Seule solution : 8712
30. “abcd” représente 1000a + 100b +10c +d = 107 (a + b + c + d)
Soit : 893a = 7b + 97c + 106 d. D’où a = 1 ou 2.
Supposons a = 1. Les multiples de 107 supérieurs à 1000 :
1070, 1177, 1284, 1391, 1498, 1605, 1712, 1819, 1926. Cette dernière solution convient.
31. A = “abc”, et B = ”cba”. Donc A–B = 99 (a–c). En dégageant une centaine, le nombre
s’écrira : 100(a–c–1) + 100–10 + 10–a+c : (a–c–1) centaines, 9 dizaines, (10–a+c) unités
Ce nombre renversé s’écrit (10–a+c) centaines, 9 dizaines, (a–c–1) unités. La somme est de
9 centaines, 18 dizaines, et 9 unités, soit 1089.
32. A = “abc” ; B = “acb” ; C = “bac” ; D = “cba”
A–B = 18 donne 9 (b–a) = 18, soit b–a = 2 C–A = 360 donne b–c = 4
Si A multiple de 9, alors a+b+c = 9k, soit a +(a+2) +(a–2) = 9k Deux solutions: a=3 & a=6
Soit 362 et 684.
33. “abcabc” est le produit de “abc” par 1001, qui est égal à 7 x 11 x 13
34. A = (1x 3 x 5 x 7 x 9) x (11 x …19) x … x 91 x 93
Le résultat de la 1° parenthèse est terminé par 5, le suivant aussi… A est terminé par 5.
23. Les hypothèses s’écrivent :  +  +  = 10  +  ;  +  = . Donc  = 0. Il
reste  +  = 9  . Donc  = 1 et  +  = 9. Solutions : 712, 613, 514, 415, 316, et 217.
35. 370 terminé par 1; 371 par 7 ; 372 par 9 ; 373 par 3 ; 374 terminé par 1. Période : 4
Donc 374 est terminé comme 370 par 1; et 3737 comme 371 par 7.
24. A = “1xxy”. Si A multiple de 9, alors 1+x+x+y = 9k; de plus y = 0 ou 5.
Si y=0 alors 2x + 1 = 9k, et x=4. Si y=5 alors 2x + 6 = 9k, et x=6. Solutions 1440 et 1665
36. A = “abc” = (a+b+c)3. Les cubes possibles de 3 chiffres sont 125, 216, 343, 512, 729.
Seul 512 = 8 3 convient.
25. B = “37x28y”. y est pair et 3+7+x+2+8+y=9k, soit x+y+2=9k ; y vaut 0 ou 5.
Donc y = 0 ; par suite x+2 = 9k. Donc x=7. B = 377280
37. b = a+1 et c = ab = a (a+1). Alors a2 +b2 +c2 = a4 +2a3 +3a2 +2a +1. C’est un polynome
F.Boule : Exercices d’arithmétique
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symétrique. Il se factorise en (a2 + a + 1)2
38. A = a (a+1) (a+2) (a+3). L’un au moins des facteurs est multiple de 3. Deux sont pairs,
dont un multiple de 4. Donc A divisible par 2 x 3 x 4 = 24
39. Exemple : 5 x 6 x 7 x 8 +1 = 412. Soit B = a (a+1) (a+2) (a+3). a (a+3) est pair = 2k
(a+1) (a+2) = a2 +3a + 2 = 2k +2. Or 2k (2k+2) +1 = (2k+1) 2
40. N = 100a + 10b + a De plus 2a + b = 10b +c et b + c = b. Donc c = 0
D’où 2a = 9b. Donc a = 9 & b = 2. Solution : 929
41. X, Y, Z nombres de pièces de chaque sorte. X + Y + Z = 20.
En centimes : 50X + 20Y + 5Z = 500 soit 10X + 4Y + Z = 100.
Par différence : 9X + 3Y = 80. C’est impossible puisque 9X + 3Y est multiple de 3.
42. Retrancher x unités et 2x dizaines, c’est retirer un multiple de 21 (donc de 7)
Retrancher “xy” unités et “xy” milliers, c’est retirer un multiple de 1001, donc de 7.
43. Les restes possibles de n modulo 7 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ceux de n2 sont
respectivement 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1. Ceux de n3 : 0, 1, 1, 6, 1, 6, 6. Donc n3=7k ou 7k±1
44. Voici les décompositions de 36 avec leur somme :1x2x18 [21], 1x3x12 [16], 1x4x9 [14],
1x6x6 [13], 2x2x9 [13], 2x3x6 [11]. S’il manque un renseignement, c’est qu’il y a deux
décompositions de même somme : 13. Mais il y a une aînée; c’est donc 9, 2, 2
45. Les restes modulo 11 sont 0, 1, …,10. Les restes d’un carré modulo 11 sont 0, 1, 3, 4, 5
ou 9. Une somme de carrés ne peut donc être divisible que si chaque carré est divisible par
11. “abcd” + “cbda” = 1001 (d+a) + 110 (b+c). Donc divisible par 11. Donc ”abcd” et
”cbda” le sont aussi. Un carré ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. C’est donc aussi
le premier chiffre de l’autre. Mais si c’était 5, ce serait 25. Donc le retourné commencerait
par 52; or il n’y a pas de carré entre 5200 et 5300. Reste pour premiers chiffres 1, 4, 6 ou 9
et pour intervalles : [1000,2000], [2000, 5000], (6000, 7000], (9000, 10000]. La racine doit
être divisible par 11. Les seuls candidats restants sont 33, 44, 66, 99.
En effet 332 = 1089 et 992 = 9801.
F.Boule / IUFM Dijon
F.Boule : Exercices d’arithmétique
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