Licence L3-Enseignement – Alg`ebre pour l’arithm´etique et la g´eom´etrie 2013-2014
2. G´en´eralit´es sur les groupes - Groupes de matrices
1. Sous-groupes.
Exercice 2.1 1. Quels sont les sous-groupes de (Z,+) ?
2. D´eterminer tous les sous-groupes de (Z,+) contenant 12Z.
3. Soient m, n ≥1. Que vaut mZ∩nZ?
Exercice 2.2 Soit n∈N∗, on note Un(C) l’ensemble {z∈C|zn= 1}des racines
n-i`eme de l’unit´e. Montrer que Un(C) est une sous-groupe de (C∗,×).
On note U(C) l’ensemble {z∈C|∃k∈N∗, zk= 1}. Montrer que U(C) est un
sous-groupe de (C∗,×).
Exercice 2.3 1. Montrer que l’ensemble des matrices diagonales dans GL2(R)
forme un sous-groupe de GL2(R).
2. Est-ce encore le cas pour l’ensemble des matrices diagonalisables dans GL2(R) ?
(On pourra consid´erer les matrices A=1−1
0−1et B=1 0
0−1.)
3. Et pour l’ensemble des matrices trigonalisables dans GL2(R) ? (On pourra
consid´erer les matrices B=1 0
0−1et C=0 1
1 0 .)
4. Que peut-on dire si on remplace GL2(R) par GL2(C) ?
5. Que peut-on dire si on remplace GL2(R) par GLn(R) avec n > 2 ?
Exercice 2.4 Soit Gun groupe.
1. Soit a∈G. Montrer que Z(a) = {x∈G|xa =ax}est un sous-groupe de G.
2. Soit Sun sous-ensemble de G. Montrer que Z(S) = {x∈G|∀s∈S, xs =sx}
est un sous-groupe de G.
3. Montrer que Z(G) est un groupe ab´elien. On appelle Z(G) le centre de G.
Exercice 2.5 Soit Eun espace vectoriel de dimension finie nsur C.
1. Montrer que l’ensemble des homoth´eties de E,H={hλ:x7→ λx|λ∈C∗}est
un sous-groupe de GL(E).
2. Montrer que H⊂Z(GL(E)).
3. Soit u∈GL(E). Montrer que si pour tout x∈E,u(x) est colin´eaire `a xalors
uappartient `a H.