Alg`ebre : Série 4

License de Mathématiques
Année Universitaire 2012-2013
Algèbre : Série 4
Exercice 1 : Question du cours
Soient G un groupe, N un sous-groupe normal et π : G → G/N l’application quotient. Soit f :
G → H un homomorphisme tel que N ⊆ Ker(f ). Montrer qu’il existe un unique homomorphisme
f¯ : G/N → H tel que f = f¯ ◦ π, c’est-à-dire que le diagramme suivant commute :
/ G/N
z
z
z
f
zz ¯
z
|zz ∃!f
G
π
H
– Montrer que si Ker(f ) = N , alors f¯ est injectif.
– Montrer que si f est surjectif, alors f¯ est surjectif.
Exercice 2
Soit k un corps commutatif. Soit G un sous-ensemble de GL3 (k) de la forme :



 1 x z



0 1 y
G=
: x, y, z ∈ k .


0 0 1
1. Montrer que G est un groupe. Ce groupe s’appelle le groupe de Heisenberg et on le note
G = Heis(k).
2. Trouver le centre de Heis(k).
Exercice 3
Trouver les centres des groupes GLn (R), O(n) et SO(n).
Exercice 4
1. Trouver les classes de conjugaisons de Dn . En déduire le centre de Dn .
2. Décrire le sous-groupe des commutateurs et l’abélianisé de Dn .
3. Même questions avec le groupe Q8 .
Exercice 5
1. Trouver le centre Z(GL2 (C)) de groupe GL2 (C). On note
GL2 (C)/Z(GL2 (C)) =: P GL2 (C).
Justifier que c’est bien l’ensemble des transformations de Möbius vu à l’exercice 7 de la
série 3.
2. Montrer que P GL2 (C) est isomorphe à SL2 (C)/Z(SL2 (C)) =: P SL2 (C).
Exercice 6
n
Soit n ≥ 6 tel que n = 2q avec q un nombre impair. Posons H = hs, r2 i et Z = {1, r 2 }, où s est
une réflexion et r est une rotation dans Dn .
1. Montrer que H ' D n2 et Z est un sous-groupe normal de Dn .
2. Montrer qu’il existe un isomorphisme f : H × Z → Dn .
3. En déduire que
Dn ' D n2 × Z/2Z.
Exercice 7
Soit G un groupe engendré par a et b tels que an = 1 pour un entier n ≥ 3, b2 = 1 et bab = a−1 .
Montrer qu’il existe un homomorphisme surjectif f : Dn → G.
Montrer de plus si |G| = 2n, alors cet homomorphisme est un isomorphisme.
Exercice 8
1. Soit n ≥ 3. Posons
∆n =
±1 x
0 1
: x ∈ Z/nZ .
Montrer que ∆n est un sous-groupe de GL2 (Z/nZ), isomorphe à Dn .
2. Montrer que, si G est un groupe non-abélian fini engendré par deux éléments d’ordres 2,
alors G est isomorphe à un groupe diédral.
Exercice 9
On note
D∞ = ha, b|b2 = 1,
bab−1 = a−1 i
le groupe dihédral infini. Trouver le centre, le sous-groupe des commutateurs et l’abélianisé
de D∞ .
Exercice 10
Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On note :
HK = {hk | h ∈ H et k ∈ K}
KH = {kh | h ∈ H et k ∈ K}.
1. Montrer que HK est un sous groupe de G si et seulement si HK = KH.
2. On suppose K G. Montrer que :
(a) HK est un sous-groupe de G (et donc HK = KH)
(b) H ∩ K H et K HK.
(c) le deuxième théorème d’isomorphisme
H/H ∩ K ' HK/K.
(Indication : Considérer le morphisme de groupes de H dans HK/K).
Exercice 11
Démontrer le troisième théorème d’isomorphisme :
Soit K et N deux sous-groupes normaux de G avec N < K. Alors on a :
K/N G/N
et
(G/N )
' G/K.
(K/N )
Exercice 12
Soit G un groupe. Pour tout x ∈ G on note φx : G → G l’automorphisme intérieur défini par
φx (g) = xgx−1 . On note Int(G) l’ensemble des automorphismes intérieurs.
1. Montrer que Int(G) est un sous-groupe normal de Aut(G). Que se passe-t-il lorsque G est
abélien ?
2. Montrer que le noyau Z(G) de l’application canonique ϕ : G → Aut(G), x 7→ φx est un
sous-groupe normal de G et qu’il est abélien. Décrire ce sous-groupe appelé centre de G.
3. Montrer que Int(G) ' G/Z(G).
Exercice 13
1. Calculer Aut(Z) et Int(Z).
2. Quels sont les générateurs de Z/n ? Quel est le cardinal de Aut(Z/n) ?
3. Si G fini d’ordre n, montrer que Aut(G) est isomorphe à un sous-groupe de Sn−1 , le groupe
des permutations de n − 1 éléments (i.e. bijections d’un ensemble de n − 1 éléments).
Exercice 14
Soit H, K deux sous-groupes de G. Montrer que les asertions suivantes sont équivalentes :
1. H, K sont normals dans G, HK = G et H ∩ K = {1}.
2. (a) pour tout h ∈ H et k ∈ K, hk = kh ;
(b) pour tout g ∈ G, il existe unique h ∈ H et k ∈ K tel que g = hk.
3. L’application H × K → G ; (h, k) 7→ hk est un isomorphisme.
Exercice 15
Montrer que
1. Si G est un groupe non abélien, alors Int(G) n’est pas cyclique.
2. Si G est un groupe non abélien fini tel que |G| = pk avec k ∈ N, alors p2 divise |Int(G)|.
3. Le centre d’un groupe non abélien d’ordre p3 possède exactement p éléments.
Exercice 16
Montrer que G est résoluble si et seulement s’il existe une suite finie décroissante de sous-groupes
de G :
1 Hn Hn−1 · · · H1 H0 = G
tel que Hi /Hi+1 est abélian pour tout i.