License de Mathématiques Année Universitaire 2012-2013 Algèbre : Série 4 Exercice 1 : Question du cours Soient G un groupe, N un sous-groupe normal et π : G → G/N l’application quotient. Soit f : G → H un homomorphisme tel que N ⊆ Ker(f ). Montrer qu’il existe un unique homomorphisme f¯ : G/N → H tel que f = f¯ ◦ π, c’est-à-dire que le diagramme suivant commute : / G/N z z z f zz ¯ z |zz ∃!f G π H – Montrer que si Ker(f ) = N , alors f¯ est injectif. – Montrer que si f est surjectif, alors f¯ est surjectif. Exercice 2 Soit k un corps commutatif. Soit G un sous-ensemble de GL3 (k) de la forme : 1 x z 0 1 y G= : x, y, z ∈ k . 0 0 1 1. Montrer que G est un groupe. Ce groupe s’appelle le groupe de Heisenberg et on le note G = Heis(k). 2. Trouver le centre de Heis(k). Exercice 3 Trouver les centres des groupes GLn (R), O(n) et SO(n). Exercice 4 1. Trouver les classes de conjugaisons de Dn . En déduire le centre de Dn . 2. Décrire le sous-groupe des commutateurs et l’abélianisé de Dn . 3. Même questions avec le groupe Q8 . Exercice 5 1. Trouver le centre Z(GL2 (C)) de groupe GL2 (C). On note GL2 (C)/Z(GL2 (C)) =: P GL2 (C). Justifier que c’est bien l’ensemble des transformations de Möbius vu à l’exercice 7 de la série 3. 2. Montrer que P GL2 (C) est isomorphe à SL2 (C)/Z(SL2 (C)) =: P SL2 (C). Exercice 6 n Soit n ≥ 6 tel que n = 2q avec q un nombre impair. Posons H = hs, r2 i et Z = {1, r 2 }, où s est une réflexion et r est une rotation dans Dn . 1. Montrer que H ' D n2 et Z est un sous-groupe normal de Dn . 2. Montrer qu’il existe un isomorphisme f : H × Z → Dn . 3. En déduire que Dn ' D n2 × Z/2Z. Exercice 7 Soit G un groupe engendré par a et b tels que an = 1 pour un entier n ≥ 3, b2 = 1 et bab = a−1 . Montrer qu’il existe un homomorphisme surjectif f : Dn → G. Montrer de plus si |G| = 2n, alors cet homomorphisme est un isomorphisme. Exercice 8 1. Soit n ≥ 3. Posons ∆n = ±1 x 0 1 : x ∈ Z/nZ . Montrer que ∆n est un sous-groupe de GL2 (Z/nZ), isomorphe à Dn . 2. Montrer que, si G est un groupe non-abélian fini engendré par deux éléments d’ordres 2, alors G est isomorphe à un groupe diédral. Exercice 9 On note D∞ = ha, b|b2 = 1, bab−1 = a−1 i le groupe dihédral infini. Trouver le centre, le sous-groupe des commutateurs et l’abélianisé de D∞ . Exercice 10 Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On note : HK = {hk | h ∈ H et k ∈ K} KH = {kh | h ∈ H et k ∈ K}. 1. Montrer que HK est un sous groupe de G si et seulement si HK = KH. 2. On suppose K G. Montrer que : (a) HK est un sous-groupe de G (et donc HK = KH) (b) H ∩ K H et K HK. (c) le deuxième théorème d’isomorphisme H/H ∩ K ' HK/K. (Indication : Considérer le morphisme de groupes de H dans HK/K). Exercice 11 Démontrer le troisième théorème d’isomorphisme : Soit K et N deux sous-groupes normaux de G avec N < K. Alors on a : K/N G/N et (G/N ) ' G/K. (K/N ) Exercice 12 Soit G un groupe. Pour tout x ∈ G on note φx : G → G l’automorphisme intérieur défini par φx (g) = xgx−1 . On note Int(G) l’ensemble des automorphismes intérieurs. 1. Montrer que Int(G) est un sous-groupe normal de Aut(G). Que se passe-t-il lorsque G est abélien ? 2. Montrer que le noyau Z(G) de l’application canonique ϕ : G → Aut(G), x 7→ φx est un sous-groupe normal de G et qu’il est abélien. Décrire ce sous-groupe appelé centre de G. 3. Montrer que Int(G) ' G/Z(G). Exercice 13 1. Calculer Aut(Z) et Int(Z). 2. Quels sont les générateurs de Z/n ? Quel est le cardinal de Aut(Z/n) ? 3. Si G fini d’ordre n, montrer que Aut(G) est isomorphe à un sous-groupe de Sn−1 , le groupe des permutations de n − 1 éléments (i.e. bijections d’un ensemble de n − 1 éléments). Exercice 14 Soit H, K deux sous-groupes de G. Montrer que les asertions suivantes sont équivalentes : 1. H, K sont normals dans G, HK = G et H ∩ K = {1}. 2. (a) pour tout h ∈ H et k ∈ K, hk = kh ; (b) pour tout g ∈ G, il existe unique h ∈ H et k ∈ K tel que g = hk. 3. L’application H × K → G ; (h, k) 7→ hk est un isomorphisme. Exercice 15 Montrer que 1. Si G est un groupe non abélien, alors Int(G) n’est pas cyclique. 2. Si G est un groupe non abélien fini tel que |G| = pk avec k ∈ N, alors p2 divise |Int(G)|. 3. Le centre d’un groupe non abélien d’ordre p3 possède exactement p éléments. Exercice 16 Montrer que G est résoluble si et seulement s’il existe une suite finie décroissante de sous-groupes de G : 1 Hn Hn−1 · · · H1 H0 = G tel que Hi /Hi+1 est abélian pour tout i.