Université Claude Bernard - Lyon 1 Licence “Mathématiques générales et applications” UE Algèbre I - Structures fondamentales Semestre automne 2014-2015 TD n◦ 6 Exercice 1. Déterminer si les couples qui suivent forment des bases du plan. Lorsque ce ne sont pas des bases, écrire explicitement la relation entre les vecteurs. Lorsque ce sont des bases donner les coordonnées des vecteurs ~i, ~j de la base canonique. 1. ((0,0),(0,0)) 2. ((0,1),(1,1)) 3. ((2,4),(1,2)) 4. ((0,0),(1,0)) Exercice 2. Résoudre en (x, y) ∈ R2 les systèmes qui suivent. x+y = 5 1. . y = 2 2x + 2y = 1 . 2. 3x + 3y = 2 x + 3y = 5 . 3. 2x + y = 2 2x + 2y = 5 . 4. 8x + 8y = 20 Exercice 3. Soit B la base canonique de R2 et ~u, ~v deux vecteurs de coordonnées respectives (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ). On rappelle que DetB (~u, ~v ) = x1 y2 − y1 x2 . Pour tous vecteurs ~u, ~v , ~s de R2 et tout λ ∈ R, montrer : 1. DetB (~v , ~u) = −DetB (~u, ~v ) 2. DetB (~u, ~u) = 0 3. DetB (λ~u, ~v ) = DetB (~u, λ~v ) = λDetB (~u, ~v ). 4. DetB (~u, ~v + ~s) = DetB (~u, ~v ) + DetB (~u, ~s). 5. DetB (~u, ~v + λ~u) = DetB (~u, ~v ). Exercice 4. Étudier si les applications suivantes sont linéaires ou pas. Lorsque c’est le cas, calculer le noyau ker f . 1. f (x, y) = (y − 3, x + y), √ 2. f (x, y) = (2x − ( 2)y, y3 ), 3. f (x, y) = (0, x2 + y 2 ) Exercice 5. Soit B = (~i, ~j) la base canonique de R2 et ~u, ~v deux vecteurs de R2 . 1. Montrer que l’application f : R2 → R2 , f (~x) = x1 ~u + x2~v où (x1 , x2 ) sont les coordonnées de ~x dans la base canonique est une application linéaire. 2. Montrer que c’est l’unique application linéaire f telle que f (~i) = ~u et f (~j) = ~v . Exercice 6. Trouver une infinité d’isomorphismes f : R2 → R2 tels que f (1, 1) = (1, 2). 1 Exercice 7. Soit f l’application linéaire dont la matrice dans la base canonique est 4 4 −1 0 1. Trouver des vecteurs ~u et ~v de R2 tels que ~u 6= 0, f (~u) = 2~u et f (~v ) = ~u + 2~v . 2. Soient ~u et ~v des vecteurs de R2 tels que ~u 6= 0, f (~u) = 2~u et f (~v ) = ~u + 2~v . Montrer que (~u, ~v ) est une base de R2 . Écrire la matrice de f dans cette base. Exercice 8. Soit f : R2 → R2 une application linéaire telle que f ◦ f ◦ f = id. On suppose qu’il existe un vecteur non nul ~u tel que f (~u) est colinéaire à ~u. 1. Montrer que f (~u) = ~u. 2. Soit ~v un vecteur non colinéaire à ~u. Posons f (~v ) = a~u + b~v et notons A la matrice de f dans la base (~u, ~v ). Écrire la matrice A et calculer A3 . En déduire f (~v ) = ~v . 3. Montrer que f = id. Exercice 9. Soit f : R2 → R2 l’application définie par f (x, y) = (2x − y, 3x + 2y). 1. Montrer que f est un isomorphisme. 2. Donner la matrice de f dans la base canonique. 3. Calculer f −1 . a b c d étant le nombre trA = a + d. Exercice 10. Soit A = une matrice à coefficients dans R. On définit la trace de A comme 1. Calculer la matrice A2 − (trA)A + (det A)I. 2. On suppose la matrice A inversible. Montrer que la matrice A−1 est combinaison linéaire de I et A. Exercice 11. Soit D1 la droite de R2 d’équation x + y = 0 et soit D2 la droite de R2 d’équation 3x + y = 0. Notons s la symétrie de R2 par rapport à D1 parallèlement à D2 . 1. Quelle est la matrice de s dans la base canonique ? 2. Montrer que s est une application bijective. 3. Soit D la droite de R2 d’équation 2x − y = 0. Trouver une équation de s(D). Exercice 12. 1. Montrer que l’application f : R2 → R2 définie par f (x, y) = (4x − 2y, 6x − 3y) est la projection sur E1 parallèlement à E2 où E1 et E2 sont les droites de R2 d’équations respectives 3x − 2y = 0 et 2x − y = 0. 2. Soit D1 la droite de R2 d’équation x − y = 0 et D2 la droite de R2 d’équation x + y = 0. Calculer l’image du vecteur (x, y) par la symétrie par rapportà D1 parallèlement à D2 . cos θ − sin θ . sin θ cos θ 1. Montrer que l’on a (R(θ))n = R(nθ) pour tout θ ∈ R et pour tout n ∈ N. Exercice 13. Pour tout nombre réel on pose R(θ) = 2. Soient a, b des nombres réels. On suppose b 6= 0 et on considère la matrice a −b A= . b a Montrer qu’il existe un unique nombre λ > 0 et un unique θ ∈]0, 2π[ tels que A = λR(θ). √ n −1 − 3 √ 3. Calculer pour tout n ∈ N. 3 −1 2