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Proposition : Si L est une autre base de E, alors, pour toute famille (~u1 , . . . , ~un ) de n vecteurs de E, on a
detL (~u1 , . . . , ~un ) = detL (B) detB (~u1 , . . . , ~un ) .
Démonstration : L’application
(~u1 , . . . , ~un ) 7−→ detL (~u1 , . . . , ~un )
vérifie les propriétés 1 et 2 du théorème précédent, elle est donc proportionnelle à det B (·), c’est à dire qu’il existe
un réel α tel que pour tous vecteurs ~u1 , . . . , ~un ,
detL (~u1 , . . . , ~un ) = αdetB (~u1 , . . . , ~un ) .
On calcule α en prenant (~u1 , . . . ~un ) = B. cqfd
Proposition : Soit B une base de E (de dimension n), (~u1 , . . . , ~un ) une famille de E. Alors, pour tout i < j,
detB (~u1 , . . . , ~ui , . . . , ~uj , . . . , ~un ) =
− detB (~u1 , . . . , ~uj , . . . , ~ui , . . . , ~un ) .
Démonstration : D’après la définition d’un déterminant, nous avons
detB (~u1 , . . . , ~ui + ~uj , . . . , ~ui + ~uj , . . . , ~un ) = 0.
Mais en utilisant la linéarité, nous avons
detB (~u1 , . . . , ~ui + ~uj , . . . , ~ui + ~uj , . . . , ~un ) =
detB (~u1 , . . . , ~ui , . . . , ~ui , . . . , ~un )
+ detB (~u1 , . . . , ~ui , . . . , ~uj , . . . , ~un )
+ detB (~u1 , . . . , ~uj , . . . , ~ui , . . . , ~un )
+ detB (~u1 , . . . , ~uj , . . . , ~uj , . . . , ~un ) .
En utilisant une nouvelle fois que si deux vecteurs sont égaux le déterminant est nul, nous obtenons finalement
que
detB (~u1 , . . . , ~ui + ~uj , . . . , ~ui + ~uj , . . . , ~un ) =
detB (~u1 , . . . , ~ui , . . . , ~uj , . . . , ~un )
+ detB (~u1 , . . . , ~uj , . . . , ~ui , . . . , ~un ) = 0.
cqfd
Proposition : Soit B une base de E (de dimension n), (~u1 , . . . , ~un ) une famille de E. Alors, pour tout i < j,
detB (~u1 , . . . , ~ui , . . . , ~uj , . . . , ~un ) = −detB (~u1 , . . . , ~uj , . . . , ~ui , . . . , ~un ) .
Démonstration : D’après la définition d’un déterminant, nous avons
detB (~u1 , . . . , ~ui + ~uj , . . . , ~ui + ~uj , . . . , ~un ) = 0.
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Mais en utilisant la linéarité, nous avons
detB (~u1 , . . . , ~ui + ~uj , . . . , ~ui + ~uj , . . . , ~un ) =
detB (~u1 , . . . , ~ui , . . . , ~ui , . . . , ~un )
+ detB (~u1 , . . . , ~ui , . . . , ~uj , . . . , ~un )
+ detB (~u1 , . . . , ~uj , . . . , ~ui , . . . , ~un )
+ detB (~u1 , . . . , ~uj , . . . , ~uj , . . . , ~un ) .
En utilisant une nouvelle fois que si deux vecteurs sont égaux le déterminant est nul, nous obtenons finalement
que
detB (~u1 , . . . , ~ui + ~uj , . . . , ~ui + ~uj , . . . , ~un ) =
detB (~u1 , . . . , ~ui , . . . , ~uj , . . . , ~un )
+ detB (~u1 , . . . , ~uj , . . . , ~ui , . . . , ~un ) = 0.
cqfd
Proposition : Soit B une base de E (de dimension n), (~u1 , . . . , ~un ) une famille de E. Si la famille (~u1 , . . . , ~un ) est
liée, alors
detB (~u1 , . . . , ~un ) = 0.
Démonstration : La famille étant liée, il existe un indice i tel que ~ui s’exprime comme combinaison linéaire des
autres :
X
λj · ~uj .
~ui =
j6=i
Alors, par linéarité du déterminant, nous avons
detB (~u1 , . . . , ~ui , . . . , ~un )


X
λj · ~uj . . . , ~un 
= detB ~u1 , . . . , ,
j6=i
=
X
detB (~u1 , . . . , ~uj , . . . , ~un ) .
j6=i
Or, dans chaque déterminant de la dernière somme, le vecteur ~uj apparaı̂t deux fois, le déterminant est donc
nul. cqfd
Proposition : Soit B une base de E (de dimension n), (~u1 , . . . , ~un ) une famille de E. Le déterminant de cette
famille dans la base B reste inchangé si on ajoute à l’un des vecteurs une combinaison linéaire des autres.
Autrement dit, pour tout indice j,


X
detB (~u1 , . . . , ~uj , . . . , ~un ) = detB ~u1 , . . . , ~uj +
λi · ~ui , . . . , ~un 
i6=j
Démonstration : Fixons un indice i et soit ~x obtenu par combinaison linéaire des vecteurs
(~uj , j 6= i). Alors, la famille (~uj , j 6= i) ∪ {~x} est liée. Nous avons alors
detB (~u1 , . . . , ~ui + ~x, . . . , ~un )
= detB (~u1 , . . . , ~ui , . . . , ~un )
+ detB (~u1 , . . . , ~x, . . . , ~un )
= detB (~u1 , . . . , ~ui , . . . , ~un )
d’après la proposition précédente, ce qui achève la poreuve. cqfd
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Théorème : Si (~u1 , . . . , ~un ) est une famille de n vecteurs de E (de dimension n) muni d’une base B, les propriétés
suivantes sont équivalentes :
• (i) detB (~u1 , . . . , ~un ) 6= 0.
• (ii) La famille (~ui , 1 ≤ i ≤ n) est une base de E.
Démonstration : Remarquons tout d’abord que la famille
(~ui , 1 ≤ i ≤ n) ayant le même nombre d’éléments que la dimension de E, c’est une base si et seulement si elle
est libre.
(i) =⇒ (ii).
Nous avons montré précédemment que si la famille est liée, le déterminant est nul, ce qui est exactement la
contraposée
de (i) =⇒ (ii).
(ii) =⇒ (i).
Supposons que B 0 = (~u1 , . . . , ~un ) est une base de E. Alors, nous savons qu’il existe un réel λ tel que
detB0 (·) = λdetB (·) .
En particulier,
1 = detB0 (~u1 , . . . , ~un ) = λdetB (~u1 , . . . , ~un )
et donc
detB (~u1 , . . . , ~un ) 6= 0.
cqfd
Définition :
Le réel λ est appelé déterminant de f . Il ne dépend pas de la base choisie. Il est noté det (f ).
Démonstration : Unicité : Supposons qu’un tel λ existe. Soit B = (~e1 , . . . , ~en ) une base de E. Alors, nous avons
detB (f (~e1 ), . . . , f (~en )) = λdetB (~e1 , . . . , ~en ) = λ,
ce qui prouve l’unicité.
Existence : Soit B0 une base de E fixée. Alors l’application
ϕ : (~u1 , . . . , ~un ) 7−→ detB0 (f (~u1 ), . . . , f (~un ))
vérifie les deux premières conditions du théorème ??. Elle est donc proportionnelle à det B0 . Autrement dit, il
existe un réel λ tel que, pour toute famille (~u1 , . . . , ~un ) de vecteurs de E,
detB0 (f (~u1 ), . . . , f (~un )) = λdetB0 (~u1 , . . . , ~un ) .
Soit B une autre base de E. Alors, nous savons que
detB (·) = detB0 (·) detB (B0 ) .
En multipliant l’égalité obtenue pour B0 par detB (B0 ) nous obtenons
detB (f (~u1 ), . . . , f (~un )) = λdetB (~u1 , . . . , ~un ) ,
ce qui prouve le résultat. cqfd
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Proposition : Soit f un endomorphisme de E. Alors, f est bijectif si et seulement si det (f ) 6= 0 et dans ce cas,
det f −1 =
1
·
det (f )
Démonstration : Soit B = (~e1 , . . . , ~en ) une base de E. Alors, nous avons
det (f ) = detB (f (~e1 ), . . . , f (~en )) .
Donc, det (f ) 6= 0 si et seulement si la famille (f (~e1 ), . . . , f (~en )) est une base autrement dit, si et seulement si f
est bijectif.
Nous avons alors
det (f ) det f −1 = det f ◦ f −1 = det (Id) = 1.
cqfd
Proposition : Soit (S) un système linéaire admettant une solution ~x0 . Notons F0 l’ensemble des solutions du
système homogène associé. Alors l’ensemble F des solutions du système (S) est
o
n
F = ~x0 + ~x ~x ∈ F0 .
Démonstration : Soit ~y une solution de (S) de repré sentation matricielle Y . Alors, nous avons
AY = B
et AX0 = B
soit
A(Y − X0 ) = 0
ce qui montre que ~y − ~x0 ∈ F0 .
Réciproquement, si ~y = ~x0 + ~x avec ~x ∈ F0 , alors
AY = AX + AX0 = 0 + B = B
et donc ~y ∈ F. cqfd