soutenance

Sous-groupes
Mesures
Géométrie des variétés, des espaces de mesures
et des espaces de sous-groupes
Benoît Kloeckner
Université de Grenoble I, Institut Fourier
3 décembre 2012
Variétés
Sous-groupes
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Fil rouge
Dans les trois sujets présentés mon but est d’étudier la forme
(géométrie ou topologie) d’espaces de nature différentes :
3 variété riemannienne ;
2 espace métrique −→ ensemble de mesures de probabilités ;
1 groupe topologique −→ ensemble des sous groupes.
Sous-groupes
Mesures
Sommaire
1
Sous-groupes euclidiens
2
Géométrie et dynamique des espaces de Wasserstein
3
Courbure, volume et isopérimétrie
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Sommaire
1
Sous-groupes euclidiens
2
Géométrie et dynamique des espaces de Wasserstein
3
Courbure, volume et isopérimétrie
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Espace de Chabauty
G groupe topologique
C(G) ensemble des sous-groupes fermés
Topologie de Chabauty
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Espace de Chabauty
G groupe topologique
Groupes proches
C(G) ensemble des sous-groupes fermés
Topologie de Chabauty
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Espace de Chabauty
G groupe topologique
Groupes lointains
C(G) ensemble des sous-groupes fermés
Topologie de Chabauty
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Espace de Chabauty
G groupe topologique
Groupes proches
C(G) ensemble des sous-groupes fermés
Topologie de Chabauty
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Espace de Chabauty
G groupe topologique
Groupes lointains
C(G) ensemble des sous-groupes fermés
Topologie de Chabauty
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Espace de Chabauty
G groupe topologique
C(G) ensemble des sous-groupes fermés
Topologie de Chabauty
Pour chaque point Γ ∈ C(G) une base de voisinages est donnée
par les ensembles de sous-groupes
VK,U (Γ) = Γ0 ∈ C(G) Γ ∩ K ⊂ Γ0 · U et Γ0 ∩ K ⊂ Γ · U
où K parcourt les parties compactes de G et U parcourt les voisinages du neutre.
Sous-groupes
Mesures
Pourquoi s’intéresser à ces espaces ?
Motivations pour étudier la topologie de Chabauty :
C(G) est compact :
{réseaux} ⊂ C(G) compactifie l’espace des réseaux de G ;
l’application x 7→ Stab(x) ⊂ G = Isom(X) permet de
compactifier un espace métrique X.
C(G) paramètre des espaces naturels :
réseau de Rn
↔ tore plat muni d’un repère
sous-groupe libre ↔ surface hyperbolique non comde PSL(2; R)
pacte munie d’un repère
Questions intrigantes : on connait très peu de choses.
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Cas où on sait décrire C(G)
R
C(R) ' [0, 1].
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Cas où on sait décrire C(G)
R
C(R) ' [0, 1].
R2 (Hubbard-Pourezza 1979)
C(R2 ) ' S4 .
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Cas où on sait décrire C(G)
R
C(R) ' [0, 1].
R2 (Hubbard-Pourezza 1979)
C(R2 ) ' S4 .
Heisenberg3 (Brison-de la Harpe-Kleptsyn 2009)
Description de C(Heisenberg3 ) par recollement.
On ne sait pas s’il est simplement connexe.
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Cas où on sait décrire C(G)
R
C(R) ' [0, 1].
R2 (Hubbard-Pourezza 1979)
C(R2 ) ' S4 .
Heisenberg3 (Brison-de la Harpe-Kleptsyn 2009)
Description de C(Heisenberg3 ) par recollement.
On ne sait pas s’il est simplement connexe.
R × Z (Haettel 2010)
Description par recollement.
π1 C(R × Z) est non-dénombrable.
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Principal résultat
Théorème (K. 2009)
C(Rn ) est simplement connexe.
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Principal résultat
Théorème (K. 2009)
C(Rn ) est simplement connexe.
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Principal résultat
Théorème (K. 2009)
C(Rn ) est simplement connexe.
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Principal résultat
Théorème (K. 2009)
C(Rn ) est simplement connexe.
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Principal résultat
Théorème (K. 2009)
C(Rn ) est simplement connexe.
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Principal résultat
Théorème (K. 2009)
C(Rn ) est simplement connexe.
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Principal résultat
Théorème (K. 2009)
C(Rn ) est simplement connexe.
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Principal résultat
Théorème (K. 2009)
C(Rn ) est simplement connexe.
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Principal résultat
Théorème (K. 2009)
C(Rn ) est simplement connexe.
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Principal résultat
Théorème (K. 2009)
C(Rn ) est simplement connexe.
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Principal résultat
Théorème (K. 2009)
C(Rn ) est simplement connexe.
Variétés
Sous-groupes
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Principal résultat
Théorème (K. 2009)
C(Rn ) est simplement connexe.
Idée de démonstration : stratifier l’espace et utiliser la topologie
locale.
Zn ?



R × Zn−1
?




···



Rn−1 ×? Z
Rn



??
?




Rn−1
??
?
Zn−1?
??

?? 

···
···
···
??
??
· · ·?
??
??
??
??
??




R
Z?
??
??
0
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Mesures
Variétés
Perspectives
1
Étudier la topologie de l’espace des sous-groupes libres de
type fini de PSL(2; R) (en particulier la simple connexité) ;
2
en déduire des informations sur l’espace des surfaces
hyperboliques non-compactes de topologie finie avec un
point marqué, pour la convergence de Gromov-Hausdorff
pointée ;
3
généraliser aux groupes libres de type quelconque et
surfaces hyperboliques non-compactes générales.
Sous-groupes
Mesures
Sommaire
1
Sous-groupes euclidiens
2
Géométrie et dynamique des espaces de Wasserstein
3
Courbure, volume et isopérimétrie
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Transport optimal
X espace métrique,
µ0 , µ1 mesures de probabilité sur X (« tas de sables »).
Z
2
W2 (µ0 , µ1 ) := inf
d(x, y)2 Π(dx dy)
Π couplage
de µ0 ,µ1
X×X
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Transport optimal
X espace métrique,
µ0 , µ1 mesures de probabilité sur X (« tas de sables »).
Z
2
W2 (µ0 , µ1 ) := inf
d(x, y)2 Π(dx dy)
Π couplage
de µ0 ,µ1
X×X
La borne inférieure est atteinte, un couplage la réalisant est appelé
un plan de transport optimal.
μ0
Π
μ1
Sous-groupes
Mesures
Transport optimal
X espace métrique,
µ0 , µ1 mesures de probabilité sur X (« tas de sables »).
Z
2
W2 (µ0 , µ1 ) := inf
d(x, y)2 Π(dx dy)
Π couplage
de µ0 ,µ1
X×X
L’espace de Wasserstein de X est
Z
2
d(x0 , y) µ(dy) < ∞
W2 (X) := µ proba sur X X
muni de la distance W2 .
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Questions sur l’espace de Wasserstein
En transport optimal classique :
existence et unicité du couplage optimal dans des
généralisations ;
régularité du couplage optimal ;
informations sur la géométrie de X ;
robustesse de la distance . . .
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Questions sur l’espace de Wasserstein
En transport optimal classique :
existence et unicité du couplage optimal dans des
généralisations ;
régularité du couplage optimal ;
informations sur la géométrie de X ;
robustesse de la distance . . .
Questions de géométrie intrinsèque de W2 (X) :
quel groupe d’isométrie ?
quels espaces s’y plongent (isométriquement, bi-lipschitz,
etc.) ?
dans quels espaces se plonge-t-il ?
quelle « taille » ?
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Isométries
Une isométrie φ de X induit une isométrie φ# de W2 (X) en
poussant les mesures :
φ# µ(A) = µ(φ−1 (A)).
On obtient un morphisme
# : Isom(X) ,→ Isom(W2 (X)).
Théorème (Bertrand-K.)
Si X est un arbre qui n’est pas une droite, ou une variété de
Hadamard, alors # est un isomorphisme.
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Isométries
Théorème (K. 2010)
Pour X = Rn , # n’est pas surjective ;
si n > 1, pour tout µ et toute isométrie Φ de W2 (Rn ) il y a
une isométrie φµ de Rn telle que Φ(µ) = φµ# µ ;
ceci est faux pour n = 1 : W2 (R) a des isométries
« exotiques ».
Sous-groupes
Mesures
Rang
On suppose que X est un espace globalement CAT(0).
Le rang de X (ou W2 (X)) est la dimension maximale d’un
espace euclidien s’y plongeant isométriquement.
Proposition
W2 (R) et donc W2 (X) contient :
des images bi-lipschitz de Rn pour tout n ;
des boules euclidiennes de dimension et diamètres
arbitraires.
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Rang
On suppose que X est un espace globalement CAT(0).
Le rang de X (ou W2 (X)) est la dimension maximale d’un
espace euclidien s’y plongeant isométriquement.
Proposition
W2 (R) et donc W2 (X) contient :
des images bi-lipschitz de Rn pour tout n ;
des boules euclidiennes de dimension et diamètres
arbitraires.
Théorème (Bertrand-K. à paraître)
Si X a la propriété de visibilité (p.ex. CAT(−1)) alors W2 (X)
est de rang 1.
Idée de démonstration : on construit un bord à W2 (X), et on
montre qu’il ne contient pas le bord de R2 .
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Systèmes dynamiques expansifs
On considère les autorevêtements du cercle
×n : x 7→ nx
mod 1,
n∈N
et leur action sur les mesures de probabilité.
Point fixe commun : la mesure de Lebesgue λ.
Conjecture de Furstenberg : aucune autre mesure sans atome
n’est invariante par ×2 et ×3.
L’espace de Wasserstein fournit une structure différentielle qui
permet de définir
Dλ (×n# ).
Sous-groupes
Mesures
Systèmes dynamiques expansifs
Théorème (K. 2012)
Calcul de Dλ (×n# ) et de son spectre.
Il y a des vecteurs tangents à W2 (S1 ) en λ simultanément
invariants par les Dλ (×n# ).
Ainsi il n’y a pas d’obstruction d’ordre 1 à la déformation de λ
parmi les mesures invariantes simultanément par les ×n.
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Quelques questions ouvertes
1
Existe-t-il des espaces X, Y non isométriques tels que
W2 (X) ' W2 (Y ) ?
2
Si X est CAT(0), le rang de W2 (X) est-il toujours égal à
celui de X ?
3
Quel est le module de continuité du formalisme
thermodynamique ?
4
Peut-on appliquer les méthodes utilisées pour ×n à des
sytèmes dynamiques hyperboliques plus généraux ?
5
Peut-on utiliser le calcul différentiel dans W2 pour
contredire la conjecture de Furstenberg ?
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Sommaire
1
Sous-groupes euclidiens
2
Géométrie et dynamique des espaces de Wasserstein
3
Courbure, volume et isopérimétrie
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Inégalités de Bishop et de Günther
M une variété riemannienne,
Nκn le modèle à courbure constante κ.
Théorème (Bishop)
Si Ric > κ(n − 1)g alors pour tout x ∈ M et tout r 6 inj(x) on a
Vol(B(x, r)) 6 Vol(Bκ (r)).
Théorème (Günther)
Si K 6 κ alors pour tout x ∈ M et tout r 6 inj(x) on a
Vol(B(x, r)) > Vol(Bκ (r)).
Sous-groupes
Mesures
Plan hyperbolique complexe
Dans CH2 , les courbures sectionnelles sont −1, −1 et −4 donc
Z r
sinh(2t)
π 2 4r
Vol(B(r)) =
2π 2 sinh2 (t)
dt ∼
e
2
32
0
mais les inégalités de Bishop et Günther donnent seulement
e3
√
2r
& Vol(B(r)) & e3r .
p
p
p
Le taux de croissance est 4 = −(−1) + −(−1) + −(−4),
on introduit donc
p
√
Ric(0, u) = Tr −R(u, ·, u, ·).
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Courbure de Ricci radicielle
Si K 6 ρ, on note plus généralement
p
√
Ric(ρ, u) = Tr ρ − R(u, ·, u, ·).
Théorème (K.-Kuperberg)
√
√
Si K 6 ρ et Ric(ρ, u) > (n − 1) ρ − κ, alors pour tout x et
π
tout r 6 min inj(x), 2√
ρ
Vol(B(x, r)) > Vol(Bκ (r)).
l’hypothèse de courbure est plus faible que K 6 κ ;
le résultat est asymptotiquement optimal pour CHm , HHm ,
OH2 ;
on a une conclusion plus forte, sur la dérivée logarithmique
du jacobien de l’exponentielle ;
applications en courbure négative ou nulle : bas du spectre,
inégalités isopérimétriques linéaires.
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Inégalités isopérimétriques classiques
Bκn (V ) la boule de volume V dans Nκn .
M une variété à bord de volume VM et de volume de bord AM .
Inégalité isopérimétrique dans Nκn
Si M est un domaine de Nκn , alors
AM > Vol(∂Bκn (VM )).
Plus κ est petit, plus cette inégalité est contraignante.
Problème isopérimétrique de Weil
Si M est un domaine d’une variété simplement connexe N
vérifiant K 6 κ 6 0, a-t-on
AM > Vol(∂Bκn (VM )) ?
Sous-groupes
Mesures
Cas connus
n = 2, κ = 0 (Weil 1926) ;
n = 2, κ 6 0 (notamment Aubin 1976) ;
n = 4, κ = 0 (Croke 1984) ;
n = 3, κ 6 0 (Kleiner 1992) ;
résultats pour les domaines très petits
(Johnson-Morgan 2000, Druet 2002).
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Principaux résultats
On suppose n = 2 ou 4.
Théorème (K.-Kuperberg)
Soient κ > 0, M une variété à bord uniquement géodésique avec
K 6 κ. Si VM 6 κ−n/2 ωn /2, alors
AM > Vol (∂Bκn (VM )) .
Théorème (K.-Kuperberg)
Soient κ < 0, M un domaine dans une variété simplement
connexe N avec K 6 κ.
Si n = 4, on suppose de plus que pour des fonctions explicites
f, g 6 1,
1
f (diam M )g(VM ) 6 .
2
Alors
AM > Vol (∂Bκn (VM )) .
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Remarques
La démonstration utilise la méthode de Croke et la dualité
en optimisation linéaire ;
les hypothèses
√ peuvent être affaiblies, notamment en faisant
intervenir Ric ;
le seul cas d’égalité est M = Bκn (VM ) ;
pour n = 2, κ = 0 on obtient une inégalité ponctuelle
impliquant le théorème de Weil par intégration.
Sous-groupes
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Variétés
Le problème du Petit Prince
Comment maximiser la gravité ressentie étant donné le volume
de la planète et sous la contrainte K 6 0 ?
p
νp
G
M
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Mesures
Le théorème du Petit Prince
M un domaine dans une surface N simplement connexe à
courbure négative.
Champ « de gravitation » issu de x noté Gx défini par :
Gx est radial rentrant ;
div Gx = −δx .
B le disque euclidien de même volume que M .
Théorème (K.-Kuperberg)
Pour tous points p ∈ ∂M et q ∈ ∂B on a
Z
Z
Gx · νp dx 6
Gy · νq dy
M
B
Variétés
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Perspectives
1
Lohkamp : toute variété de dimension > 3 admet une
métrique avec Ric < 0 ; peut-on montrer qu’un tore n’a pas
de métrique avec K 1, Ric −1 et diam 1 ?
2
Donner des inégalités asymptotiques de la forme
β2
AM > a1 VM + aβ2 VM
+ ...
pour les grands domaines d’une variété vérifiant K 6 κ < 0.
3
Étudier l’inégalité isopérimétrique de CH2 .
Sous-groupes
Mesures
Variétés
Autres directions
Projets en cours :
Avec François Durand, Fabien Mathieu et Ludovic Noirie :
géométrie de l’espace des utilités pour des systèmes de
vote ;
Avec Rafe Mazzeo : géométrie asymptotique des surfaces
minimales de H2 × R.