Énoncer

Lycée Benjamin Franklin PTSI −2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Devoir surveillé n°1
Vendredi 26 septembre de 14h à 17h
Le barème prendra significativement en compte :
•la présentation ;
•la clarté des explications ;
•le soin porté à l’argumentation des réponses;
•la justesse du vocabulaire et des symboles employés.
Exercice 1 (Système linéaire 2×2à coefficients complexes)
Résoudre le système linéaire
½i z1−(1+2i)z2=2+i
(1+i)z1−i z2=1−i
d’inconnue (z1,z2) un couple de nombres complexes, en appliquant la méthode du pivot de Gauß.
Exercice 2 (Un calcul de somme)
1. Sommes géométriques
Soit qun nombre complexe différent de 1. Soit nun entier naturel. Énoncer et démontrer la formule
donnant la valeur de la somme
S(q,n) :=
n
X
k=0
qk
sans symbole Σ.
2. Puissances de j
On introduit le nombre complexe jdéfini par :
j:=−1
2+ip3 2.
(a) Calculer le module de j.
(b) Écrire jsous une autre forme.
(c) Calculer j0,j1,j2,j3.
(d) En déduire la valeur de jn, pour tout n∈N.
3. Application
Calculer la somme
S:=
2015
X
k=0
jk.
1

Exercice 3 (Autour de l’angle moitié)
1. Conjugaison complexe
(a) Énoncer la définition du conjugué zd’un nombre complexe z.
(b) Démontrer :
∀z1∈C∀z2∈Cz1z2=z1z2.
(c) Démontrer :
∀z∈C∗µ1
z¶=1 z.
(d) Démontrer :
∀z1∈C∀z2∈C∗µz1
z2¶=z1 z2.
2. Formules d’Euler
Énoncer et démontrer les formules d’Euler.
3. Angle moitié
Soient aet bdes nombres réels.
(a) Énoncer et démontrer le résultat sur la factorisation de eia +ei b (cf. angle moitié).
(b) Énoncer et démontrer le résultat sur la factorisation de ei a −eib (cf. angle moitié).
4. Application
Soit θ∈]−π,π[. On introduit le nombre
z(θ) :=1−eiθ
1+eiθ.
(a) Justifier que le nombre z(θ) est bien défini.
(b) Démontrer que z(θ) est imaginaire pur, sans calculer sa forme algébrique.
(c) Démontrer l’identité
z(θ)=−itanµθ
2¶.
Exercice 4 (Couronne envoyée dans une autre couronne par une homographie)
1. Inégalité triangulaire
(a) Démontrer :
∀z∈CRe(z)≤|z|.
(b) Énoncer l’inégalité triangulaire, puis démontrer l’inégalité de droite.
2. Application
Soit z∈Ctel que
2≤|z|≤4.
Établir l’inégalité 1
5≤¯
¯
¯
¯
5−z
i+z¯
¯
¯
¯≤9.
2

Exercice 5 (Un calcul de primitive)
1. Relation fonctionnelle des nombres eiθ, où θ∈R
Soient θ1et θ2des nombres réels. Compléter l’identité
ei(θ1+θ2)=...............
donnant la relation fonctionnelle des nombres eiθ, où θ∈R. On ne demande pas de démontration ici.
2. Formules d’addition pour cosinus
(a) Déduire de la question 1 une expression de cos(a+b) en fonction des cosinus et sinus de aet b, où
aet bsont des nombres réels.
(b) Déduire de 2.(a) une expression de cos(a−b) en fonction des cosinus et sinus de aet b, où aet b
sont des nombres réels.
3. Transformation d’un produit de cosinus
Déduire des résultats de la partie 2 une autre expression de cos(a)cos(b), où aet bsont des nombres
réels.
4. Application
Donner une primitive de la fonction
¯
¯
¯
¯
f:R→R
x7→ cos(5x)cos(3x).
Exercice 6 (Équations trigonométriques)
1. Résoudre l’équation
(E1) : cos(x)=0
d’inconnue x∈R.
2. Résoudre l’équation
(E2) : cos(x)=1
2
d’inconnue x∈R.
3. Résoudre l’équation
(E3) : cos(2x)+1=cos(x)
d’inconnue x∈R.
Exercice 7 (Système d’équations mettant en jeu des modules)
Déterminer l’ensemble des nombres complexes non nuls ztels que :
|z|= ¯
¯
¯
¯
1
z¯
¯
¯
¯=|1−z|.
On raisonnera par analyse-synthèse.
3

Exercice 8 (Une propriété de la somme de trois nombres complexes de module 1)
Soient z1,z2,z3trois nombres complexes de module 1. Démontrer l’identité
|z1+z2+z3|= |z1z2+z1z3+z2z3|.
4