Angles au centre – Angles inscrits – Polygones réguliers

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Angles au centre – Angles inscrits – Polygones réguliers
I – Angles au centre – Angles inscrits :
1. Définitions :
a. Dans un cercle un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du
cercle.
L’arc intercepté par un angle au centre est l’arc de cercle compris entre les
côtés de cet angle.
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L’angle au centre CAB intercepte
l’arc de cercle CB
b. Dans un cercle un angle inscrit est un angle dont le sommet est un point du
cercle et dont les côtés coupent ce cercles.
L’arc intercepté par un angle inscrit est l’arc de cercle compris entre les
côtés de cet angle.
L’angle inscrit BDC intercepte
l’arc de cercle BC.
L’angle inscrit CAB intercepte
l’arc de cercle CB.

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2. Propriétés :
a. Dans un cercle, la mesure d’un angle au centre est le double de celle d’un
angle inscrit qui intercepte le même arc.
b. Dans un cercle, tous les angles inscrits qui interceptent le même arc ont la
même la mesure.
AMC et AOC interceptent le même
arc de cercle AC donc
AMC =
1
2!AOC
AOC =2!AMC
et AMC=ADC
Démonstration :
Premier cas de figure :
[MD] diamètre de (C) issu de M.
Dans AMO isocèle en O
AMD =
1
2180 −MOA !!
et!!AOD =180 −MOA!!!
donc!AMD =
1
2AOD
Deuxième cas de figure :
A et B sont de part et d’autre du diamètre [MD]
Dans AMO isocèle en O
AMB =AMD +DMB =
1
2AOD +DOB =
1
2AOB!
Troisième cas de figure :
A et B sont de part et d’autre du diamètre [MD]
Dans AMO isocèle en O
AMB =AMD −DMB =
1
2AOD −DOB =
1
2AOB
La propriété b. découle de la propriété a.

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II – Polygones réguliers
1. Définition
Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont même longueur et dont
tous les angles intérieurs ont même mesure
2. Propriétés
a. Tout polygone régulier est inscriptible dans un cercle dont le centre est appelé
centre du polygone.
Pour aller plus loin : Démonstration :
Soit ABCDEFG…. un polygone régulier
Appelons O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, (OA = OB = OC)
Le but est de montrer que D est sur ce cercle quand on l’aura montré pour D, ce sera vrai pour
tout autre sommet (peu importe leur nombre)
D’après la définition du polygone régulier, ABC!=!BCD = α et AB = AC
donc ABC est isocèle en B
donc la médiatrice (OB) de [AC] est également la bissectrice de l’angle ABC! = α
O, centre du cercle circonscrit à ABC est sur la médiatrice de [BC] donc OBC isocèle en O
donc!BCO!=!OBC =
α
2!or!BCD =BCO +OCD =α!!donc!!!BCO =OCD =
α
2
Donc (OC) est la bissectrice de BCD
Or BCD isocèle en C, donc (OC) la bissectrice de BCD est médiatrice de [BD],
donc OB = OD donc D est sur le cercle de centre O, de rayon OC= OB=OA CQFD
b. Les angles au centre d’un polygone régulier à n côtés ont pour mesure 360
n

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3. Exemples
Le carré
avoir construire un carré ABCD à partir de
son centre I et du sommet A.
On trace le cercle de centre I de rayon IA
C est diamétralement opposé à A,
B et D sont les intersections du cercle avec la
médiatrice de [AC].
AOB =
360°
4=90°
L’hexagone
Savoir construire un hexagone ABCDEF
régulier à partir de son centre I et le sommet
A ;
On trace le cercle de centre I et de rayon IA.
On trace un arc de cercle de centre A, de
rayon IA. Son intersection donne B. On
continue ainsi en pointant sur chaque
nouveau sommet en tournant dans le même
sens.
AOF =
360°
6=60°