grande valeur possible de p(r).

Epreuve de Mathématiques
Terminale S
Options Physique et Biologie
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1 Commun à tous les élèves 5 points
→ →
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u , v ).
On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à mesure, les points introduits
dans le texte (unité graphique : 2 cm).
1) a) Résoudre l'équation (E) : z2 - 2 3z + 4 = 0.
b) On considère les nombres complexes z1 = 3 + i et z2 = 3 - i et on désigne par M et
N les points d'affixes respectives z1 et z2. Déterminer le module et l'argument de z1 et z2 ;
placer M et N sur la figure.
c) Déterminer les affixes des points Q et P images respectives de M et N par la translation
→
→
de vecteur w = -2 u . Placer P et Q sur la figure.
Montrer que MNPQ est un carré.
2) Soit R le symétrique de P par rapport à O, E l'image de P par la rotation de centre O et
π
d'angle 2, S l'image de E par l'homothétie de centre O et de rapport 3.
Placer ces points sur la figure.
Calculer les affixes de R et de S. Montrer que S appartient au segment [MN].
3) On pose α = 2 - 3.
a) Montrer que 1 + α2 = 4α et 1 - α2 = 2α 3.
→
→
b) Exprimer les affixes Z de PR et Z' de PS en fonction de α.
π
i
Z
c) Montrer que | Z | = | Z' | et
=e 3.
Z'
d) Déduire des questions précédentes la nature du triangle PRS.
Exercice 2 A traiter par les élèves n'ayant pas choisi l'option mathématiques 5 points
On se propose de démontrer qu'il existe une seule fonction f dérivable sur
vérifiant la
condition :
f (-x) f ' (x) = 1 pour tout nombre réel x
(C) f (0) = -4
(où f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f ) et de trouver cette fonction.
1) On suppose qu'il existe une fonction f dérivable satisfaisant à la condition (C) et on
considère alors la fonction g définie sur par g(x) = f (-x)f (x).
a) Démontrer que la fonction f ne s'annule pas sur .
b) Calculer la fonction dérivée de la fonction g.
c) En déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur.
1
d) On considère l'équation différentielle (E) : y' = 16 y.
Montrer que la fonction f est solution de cette équation.
2) a) Résoudre l'équation différentielle (E).
b) Question de cours
Montrer que les fonctions données dans le 2) a) sont les seules solutions de l'équation (E).
c) Démontrer qu'il existe une unique solution de l'équation différentielle (E) prenant la valeur
- 4 en 0.
3) Déduire des questions précédentes qu'il existe une seule fonction dérivable sur satisfaisant
la condition (C) et préciser quelle est cette fonction.
Exercice 3 Commun à tous les élèves 5 points
On dispose de deux urnes a et b contenant des boules blanches ou rouges indiscernables au
toucher. L'épreuve consiste à choisir une urne parmi les urnes a et b proposées (le choix de
l'urne est effectué au hasard, les deux choix sont équiprobables) puis à effectuer le tirage d'une
boule dans l'urne choisie.
On note A l'événement "l'urne a est choisie", B l'événement "l'urne b est choisie" et R
l'événement "une boule rouge est obtenue au tirage".
On note pA(R) la probabilité conditionnelle de l'événement R par rapport à l'événement A.
1) Dans cette question, l'urne a contient une boule rouge er quatre boules blanches, l'urne b
contient quatre boules rouges et deux boules blanches.
a) Déterminer les probabilités suivantes : p(A) , pA(R) , p(A ∩ R).
13
b) Montrer que p(R) = 30.
c) Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité que l'urne choisie soit
l'urne a ?
2) Dans cette question ,on suppose que l'urne a contient quatre boules blanches et l'urne b
deux boules blanches. L'urne a contient en outre n boules rouges (où n désigne un entier
naturel inférieur ou égal à 5), l'urne b en contient (5 - n).
a) Exprimer pA(R) et pB(R) en fonction de n.
-n2 + 4n + 10
b) Démontrer que p(R) = (4 + n)(7 - n)
c) On sait que n ne prend que six valeurs entières.
Déterminer la répartition des cinq boules rouges entre les urnes a et b donnant la plus
grande valeur possible de p(R).
Exercice 4 Commun à tous les élèves 5 points
Partie A
Etude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur par : g(x) = ex(1 - x) + 1.
1) Etudier le sens de variation de g.
2) Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [1,27 ; 1,28] ;
on note α cette solution.
3) Déterminer le signe de g(x) sur ]-∞;0].
Montrer que g(x) > 0 sur [0;α[ et g(x) < 0 sur ]α;+∞[.
Partie B
Etude de la fonction f définie sur
x
par : f(x) = ex + 1 + 2
→ →
On désigne par (Cf ) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O, i , j ) ; unités
graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.
1) Déterminer la limite de f en +∞ et interpréter graphiquement ce résultat.
2) a) Déterminer la limite de f en -∞.
b) Démontrer que la droite (d) d'équation y = x + 2 est une asymptote pour (Cf ).
c) Etudier la position de (Cf ) par rapport à (d).
3) a) Montrer que la fonction dérivée de f a même signe que la fonction g étudiée dans le A.
b) Montrer qu'il existe deux entiers p et q tels que f(α) = pα + q.
c) Dresser le tableau des variations de la fonction f.