MA401 : Probabilités TD3 Exercice 1 Une compagnie aérienne

MA401 : Probabilit´es TD3
TD3
Exercice 1 Une compagnie a´erienne ´etudie la r´eservation sur l’un de ses vols. Une place donn´ee est libre le jour d’ouverture
de la r´eservation et son ´etat ´evolue chaque jour jusqu’`a la fermeture de la r´eservation de la mani`ere suivante : si la place est
r´eserv´ee le jour k, elle le sera encore le jour k+ 1 avec la probabilit´e 9
10. Si la place est libre le jour k, elle sera r´eserv´ee le
jour k+ 1 avec la probabilit´e 4
10.
Pour kentier positif, on note rkla probabilit´e que la place soit r´eserv´ee le jour k. On suppose que r0= 0.
1. Exprimer rk+1 en fonction de rk.
2. En d´eduire l’expression explicite de rken fonction de ket calculer lim
n→+∞
rn=r.
Exercice 2 Deux urnes U1et U2contiennent des boules blanches et noires. L’urne U1contient 13 boules blanches et 5
boules noires, l’urne U2contient 10 boules blanches et 12 boules noires. On effectue un premier tirage dans une urne choisie
au hasard et on remet la boule obtenue dans son urne d’origine.
Si l’on obtient une boule blanche (resp. noire), le 2`eme tirage se fait dans U1(resp. U2).
Au i`eme tirage, si la boule obtenue est blanche (resp. noire), le (i+1)`eme tirage se fait dans U1(resp. U2).Soit Bil’´ev`enement :
”on obtient une boule blanche au i`eme tirage”.
1. Calculer P(B1) et P(B2).
2. Exprimer P(Bn) en fonction de P(Bn−1).
3. Montrer que la suite P(Bn) converge et d´eterminer sa limite. Interpr´etation.
Exercice 3 Soit aun r´eel appartenant `a ]0,1
2[.
Dans une bourse de valeurs, un titre donn´e peut monter, rester stable ou baisser.
Dans un mod`ele math´ematique, on consid`ere que :
– le premier jour le titre est stable.
– si un jour nle titre monte, le jour n+ 1,il montera avec la probabilit´e 1 −2a, restera stable avec la probabilit´e aet
baissera avec la probabilit´e a.
– si un jour n le titre est stable, le jour n+ 1 il montera avec la probabilit´e a, restera stable avec la probabilit´e 1 −2aet
baissera avec la probabilit´e a.
– si un jour n le titre baisse, le jour n+ 1 il montera avec la probabilit´e a, restera stable avec la probabilit´e aet baissera
avec la probabilit´e 1 −2a.
On note Mn(resp. Sn, resp. Bn) l’´ev´enement ” le titre donn´e monte (resp. reste stable, resp. baisse) le jour n”.
1. On pose pn=P(Mn), qn=P(Sn) et rn=P(Bn).
(a) Expliciter pn+1 (resp. qn+1) en fonction de pn,qn, rn.
(b) Que vaut pn+qn+rn? En d´eduire l’expression de rnen fonction de pnet qn.
2. Montrer que les suites pet qsont arithm´etico-g´eom´etrique.
3. En d´eduire pn,qnpuis rnen fonction de n.
Donner la limite de ces trois suites et interpr´eter le r´esultat.
Exercice 4 Deux pi`eces Aet Bsont reli´ees entre elles par une porte ouverte. Seule la pi`ece Bposs`ede une issue vers
l’ext´erieur. Une guˆepe initialement dans la pi`ece Avoudrait sortir `a l’air libre. Son trajet ob´eit aux r`egles suivantes :
– Lorsqu’elle est en Aau temps t=n, alors, au temps t=n+ 1, elle reste en Aavec une probabilit´e ´egale `a 1
3, ou elle
passe en Bavec une probabilit´e ´egale `a 2
3
– Lorsqu’elle est en Bau temps t=n, alors, au temps t=n+ 1, elle retourne en Aavec une probabilit´e ´egale `a 1
4, ou
elle reste en Bavec une probabilit´e ´egale `a 1
2, ou elle sort `a l’air libre avec une probabilit´e ´egale `a 1 4.
Au temps t= 0, la guˆepe est en A.Lorsqu’elle est sortie, elle ne revient plus.
On note An(resp. Bn, resp. Sn) les ´ev´enements : An“`a l’instant t=n, elle est en A”
Bn: `a l’instant t=n, elle est en B”Sn: ” `a l’instant t=n, elle sort ”
et an, bn, snleurs probabilit´es respectives.
1. Calculer a0, b0, s0, a1, b1, s1.
2. (a) Exprimer an+1 et bn+1 en fonction de anet bn.
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(b) V´erifier que la suite ud´efinie par ∀n>0, un=6
10an−3 10bnest constante.
(c) Montrer que la suite vd´efinie par ∀n>0, vn=4
10an+3 10bnest g´eom´etrique de raison 5 6.
En d´eduire l’expression de vnen fonction de n.
(d) Donner l’expression de anet bnen fonction de n
3. Justifier que ∀n>2, sn=1
4bn−1. En d´eduire snen fonction de n.
Exercice 5 Une boite Acontient deux jetons portant le num´ero 0 et une boite Bcontient deux jetons portant le num´ero 1.
On tire au hasard un jeton dans chaque boite et on les ´echange. On recommence cette op´eration nfois. On s’int´eresse `a la
somme des jetons contenus dans l’urne A`a l’instant t=n. Pour cela, on introduit les ´ev`enements :
Pn: ” la somme des jetons contenus dans l’urne A`a l’instant t=nvaut 0 ”
Qn: ” la somme des jetons contenus dans l’urne A`a l’instant t=nvaut 1 ”
Rn: ” la somme des jetons contenus dans l’urne A`a l’instant t=nvaut 2 ”
On pose ´egalement pn=P(Pn), qn=P(Qn) et rn=P(Rn).
1. Calculer p0, q0, r0, p1, q1, r1.
2. Exprimer pn+1 (resp. qn+1,resp. rn+1) en fonction de pn, qn, rn
3. Montrer que ∀n>0, qn+2 =1
2qn+1 +1 2qn.
4. En d´eduire l’expression de qnen fonction de npuis celle de pnet de qn.
5. D´eterminer les limites des trois suites. Interpr´etation.
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PHEC1 Correction feuille d’exercices 10 2004-2005
correction de l’exercice 1
1. On introduit l’évènement Rk: " la place est réservée le jour k" et donc p(Rk) = rk:
Le système (Rk; Rk)est un système complet d’évènements et l’on a :
p(Rk+1) = p(Rk\Rk+1 ) + p(Rk\Rk+1) = p(Rk)pRk(Rk+1) + p(Rk)pRk(Rk+1)
=9
10p(Rk) + 4 10p(Rk)
Justi…cation des calculs de probabilités conditionnelles :
pRk(Rk+1): l’évènement Rkest réalisé, donc la place est réservée le jour k; et l’on souhaite que la place soit encore
réservée le jour k+ 1:D’après l’énoncé, la probabilité de réalisation de cet évènement est 9
10:
pRk(Rk+1): l’évènement Rkest réalisé, donc la place est libre le jour k; et l’on souhaite que la place soit réservée le
jour k+ 1:D’après l’énoncé, la probabilité de réalisation de cet évènement est 4
10
En remarquant ensuite que p(Rk) = rket p(Rk) = 1 p(Rk) = 1 rk;on obtient
8k2N; rk+1 =9
10rk+4 10(1 rk) = 1 2rk+2 5.
2. La suite rest arithmético-géométrique.
Recherche de la constante L:
L=1
2L+2 5,1 2L=2 5,L= 2 2 5=4 5
On introduit alors la suite udé…nie par : 8k2N; uk=rk4
5,rk=uk+4 5:
8k2N; uk+1 =rk+1 4
5=1 2rk+2 54 5=1 2(uk+4 5)2 5=1 2uk
La suite uest géométrique de raison 1
2;ce qui nous permet d’écrire
8k2N; uk=1
2ku0,rk4 5=1 2kr04 5,rk=4 54 52ket r= lim
k!+1rk=4
5
Remarque : rk!
k!+1
4
5signi…e qu’à long terme, c’est-à-dire après un grand nombre de jours, la probabilité qu’une
place donnée soit réservée est environ égale à 4
5= 0:8autrement il y a environ 80 % de chance pour qu’une place
donnée soit réservée.
correction de l’exercice 2
1. Calcul de P(B1): Pour obtenir la boule blanche au premier tirage, on doit déjà choisir l’urne. Etant donné que l’on
a le choix de l’urne U1ou U2;on introduit les évènements A: " piocher dans l’urne U1" et B" piocher dans l’urne U2
" Il s’agit clairement d’un système complet d’évènements et l’on a :
P(B1) = P(A \ B1) + P(B \ B2) = P(A)PA(B1) + P(B)PB(B1) = 1
213 18 +1 210 22 =233 396 )P(B1) = 233 396
Justi…cation des calculs de probabilités :
P(A)et P(B): Le choix de chaque urne étant équiprobable donc P(A) = P(B) = 1
2
PA(B1): l’évènement Aest réalisé, c’est-à-dire que l’on a choisi l’urne U1pour piocher la boule, et l’on souhaite
piocher une boule et que cette boule soit blanche. Autrement dit, il s’agit de calculer la probabilité de piocher une boule
blanche en un tirage dans l’urne U1qui contient 13 boules blanches et 5boules noires donc PA(B1) = 13
13 + 5 =13 18
PB(B1): l’évènement Best réalisé, c’est-à-dire que l’on a choisi l’urne U2pour piocher la boule, et l’on souhaite
piocher une boule et que cette boule soit blanche. Autrement dit, il s’agit de calculer la probabilité de piocher une boule
blanche en un tirage dans l’urne U2qui contient 10 boules blanches et 12 boules noires donc PB(B1) = 10
10 + 12 =10 22
Calcul de P(B2): Pour obtenir une boule blanche au second tirage, on doit savoir dans quelle urne on doit piocher
au second tirage, autrement dit, on doit savoir qu’elle est la boule piochée au premier tirage (on pioche soit une boule
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PHEC1 Correction feuille d’exercices 10 2004-2005
blanche, soit une boule noire ce qui est la même chose que de piocher une boule non blanche). On introduit alors le
système complet d’évènements (B1; B1)ce qui nous donne
P(B2) = P(B1\B2) + P(B1\B2) = P(B1)PB1(B2) + P(B1)PB1(B2) = 233
396 13 18 + (1 233 396)10 22 =47 989 78 408
Justi…cation des calculs de probabilités conditionnelles :
PB1(B2): l’évènement B1est réalisé, c’est-à-dire qu’une boule blanche est piochée au premier tirage donc on pioche
la seconde boule dans l’urne U1;et on souhaite piocher une boule blanche au second tirage. Ainsi il s’agit de calculer
la probabilité de piocher une boule blanche dans l’urne U1donc PB1(B2) = 13
18
PB1(B2): l’évènement B1est réalisé, c’est-à-dire qu’une boule noire est piochée au premier tirage donc on pioche la
seconde boule dans l’urne U2;et on souhaite piocher une boule blanche au second tirage. Ainsi il s’agit de calculer la
probabilité de piocher une boule blanche dans l’urne U2donc PB1(B2) = 10
22
2. Pour obtenir une boule blanche au n-ième tirage, on doit savoir dans quelle urne on doit piocher au n-ième tirage,
autrement dit, on doit savoir qu’elle est la boule piochée au (n1)-ième tirage (on pioche soit une boule blanche, soit
une boule noire). On introduit alors le système complet d’évènements (Bn1; Bn1)ce qui nous donne
P(Bn) = P(Bn1\Bn) + P(Bn1\Bn) = P(Bn1)PBn1(Bn) + P(Bn1)PBn1(Bn) = 13
18P(Bn1) + 10 22P(Bn1)
=13
18P(Bn1) + 10 22(1 P(Bn1)) = 13 18 10 22P(Bn1) + 10 22 =53 198P(Bn1) + 10 22 =53 198P(Bn1) + 5 11
et l’expression de P(Bn)en fonction de P(Bn1)est
8n2N; P (Bn) = 53
198P(Bn1) + 5 11
3. La suite (P(Bn))n2Nest arithmético-géométrique.
Calcul de la constante L:
L=53
198L+5 11 ,145 198L=5 11 ,L=198 145 5 11 =18 29
On introduit la suite udé…nie par : 8n2N; un=P(Bn)19
29 ,P(Bn) = un+19 29
un+1 =P(Bn+1)19
28 =53 198P(Bn1) + 5 11 18 29 =53 198 un+18 2953 319 =53 198un
La suite uest géométrique de raison 53
198 donc on a
8n2N; un=53
198n1
u1,P(Bn)18
29 =53 198n1P(B1)18 29
,P(Bn) = 18
29 371 11 484 53 198n1
)lim
n!+1P(Bn) = 18
29
Remarque : on exprimer unen fonction de u1et non de u0car P(B0)n’est pas dé…nie mais P(B1)a un sens et est
dé…nie.
Interprétation : Après un nombre su¢ samment grand de tirages, la probabilité de piocher une boule blanche à un
tirage quelconque est environ égale à 18
29 '0:621103;c’est-à-dire qu’après un nombre su¢ samment grand de tirages,
on a environ 62,1 % de chance de piocher une boule blanche à un tirage
correction de l’exercice 3
1. (a) L’évolution du titre à l’instant t=n+1 dépendant clairement de l’évolution du titre à l’instant t=n; on introduit
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naturellement le système complet d’évènements (Mn; Sn; Bn);ce qui nous donne
P(Mn+1) = P(Mn\Mn+1 ) + P(Sn\Mn+1 ) + P(Bn\Mn+1)
=P(Mn)PMn(Mn+1) + P(Sn)PSn(Mn+1 ) + P(Bn)PBn(Mn+1 )
= (1 2a)P(Mn) + aP (Sn) + aP (Bn)
P(Sn+1) = P(Mn\Sn+1 ) + P(Sn\Sn+1 ) + P(Bn\Sn+1)
=P(Mn)PMn(Sn+1) + P(Sn)PSn(Sn+1 ) + P(Bn)PBn(Sn+1 )
=aP (Mn) + (1 2a)P(Sn) + aP (Bn)
P(Bn+1) = P(Mn\Bn+1 ) + P(Sn\Bn+1 ) + P(Bn\Bn+1)
=P(Mn)PMn(Bn+1) + P(Sn)PSn(Bn+1 ) + P(Bn)PBn(Bn+1 )
=aP (Mn) + aP (Sn) + (1 2a)P(Bn)
ce qui nous fournit les relations de récurrence demandées
8n2N;8
<
:
pn+1 = (1 2a)pn+aqn+arn
qn+1 =apn+ (1 2a)qn+arn
rn+1 =apn+aqn+ (1 2a)rn
Justi…cation des calculs de probabilités conditionnelles :
PMn(Mn+1): l’évènement Mnest réalisé, donc le titre a monté le jour n; et l’on souhaite la réalisation de
l’évènement Mn+1;c’est-à-dire que le titre monte le jour n+ 1:Autrement dit, il s’agit de calculer la probabilité
que, si le titre a monté le jour t=n; le cours monte le jour n+ 1:Cette probabilité vaut (1 2a)d’après l’énoncé.
Les autres probabilités se calculent de la même façon et elles ne posent aucune di¢ culté.
(b) Puisque le système d’évènements (Mn; Sn; Bn)est complet, on a
P(Mn) + P(Sn) + P(Bn) = 1 ,pn+qn+rn= 1 )rn= 1 pnqn
2. La combinaison des identités démontrées aux questions (1)a. et (1).b nous fournissent les identités suivantes
pn+1 = (1 2a)pn+aqn+a(1 pnqn)
qn+1 =apn+ (1 2a)qn+a(1 pnqn),pn+1 = (1 3a)pn+a qn+1 = (1 3a)qn+a
3. Puisque pet qvéri…ent la même relation de récurrence, nous allons simplement e¤ectuer le calcul pour pet nous
donnerons directement le résultat pour q
Recherche de la constante L
L= (1 3a)L+a,3aL =a,
a6=0 L=a
3a=1 3
On introduit la suite udé…nie par
8n2N; un=pn1
3,pn=un+1 3
On a alors
un+1 =pn+1 1
3= (1 3a)pn+a1 3= (1 3a)(un+1 3) + a1 3= (1 3a)un
La suite uest géométrique de raison 13a; ce qui nous permet d’écrire
8n2N; un= (1 3a)nu0,pn1
3= (1 3a)n(p01 3), 8n2N; pn=1 3+ (1 3a)n(p01 3)
et par conséquent,
8n2N; qn=1
3+ (1 3a)n(q01 3)
Détermination des di¤érentes limites :
D’après l’énoncé, on a 0< a < 1, ce qui nous donne
0< a < 1
2,0<3a < 3 2, 3 2<3a < 0,13 2<13a < 1, 1 2<13a < 1
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