Ch 14. Matrices. 1 Définitions

PTSI2 – 2016/2017 – Maths
Lycée La Martinière-Monplaisir – Lyon
Ch 14. Matrices.
K désigne R ou C. n, p, q, r désigneront des entiers de N∗ .
1
Définitions
1.a
L’ensemble Mn,p (K)
Définition :
Soit n ∈ N∗ et p ∈ N∗ . On appelle matrice à n lignes et p colonnes, et à coefficients dans K,
tout tableau de scalaires de la forme :
On parle aussi de matrice de taille n × p et à coefficients dans K.
On note A = (ai,j )1≤i≤n ou A = (ai,j ) s’il n’y a pas d’ambiguïté.
1≤j≤p
ai,j s’appelle le coefficient (i, j) de A ; on le note aussi Ai,j .
L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes, et à coefficients dans K, est noté Mn,p (K).

1 4




Exemple : A = 
2 5 .
3 6
1
1.b
Zoologie des matrices
La matrice nulle de Mn,p (K) : On,p


0 ... 0
.
.. 
..
=
.

.
0 ... 0
Les matrices ligne : Ce sont les éléments de M1,p (K), par exemple 1 2 3 ∈ M1,3 (K).
 
1
 

Les matrices colonne : Ce sont les éléments de Mn,1 (K), par exemple 
2 ∈ M3,1 (K).
3
Les matrices carrées

a1,1
a1,2
. . . a1,n



 a2,1 a2,2 . . . a2,n 


Lorsque n = p ; on note plus simplement Mn (K) au lieu de Mn,n (K) : A =  .
..
.. 
..
 ..
.
.
. 


an,1 an,2 . . . an,n
Il y a de nombreuses matrices carrées particulières :

λ1

0

• Les matrices diagonales : de la forme D =  .
 ..

0
0
...
.
λ2 . .
.. ..
.
.
...
0

0
.. 
. 

 (notée parfois D = diag(λ1 , . . . , λn ))
0

λn

... 0


0 1 . . . ... 


• La matrice identité de taille n, notée In : In =  . .

 .. . . . . . 0


0 ... 0 1

1
0
• Les matrices triangulaires supérieures : de la forme T =
2
On parle de matrice triangulaire supérieure stricte lorsque
• Les matrices triangulaires inférieures : de la forme T =
On parle de matrice triangulaire inférieure stricte lorsque
2
Opérations sur les matrices
2.a
Combinaisons linéaires (lois + et .)
Définition :
Soient A et B deux matrices de Mn,p (K), et λ ∈ K un scalaire.
On note C = A + B la matrice de Mn,p (K) définie par :
∀(i, j) ∈ np, ci,j = ai,j + bi,j
On note D = λ.A la matrice de Mn,p (K) définie par :
∀(i, j) ∈ np, di,j = λai,j
Exemples :
On ne peut pas sommer des matrices de tailles différentes.
La loi . est appelée loi externe.
On peut donc faire des combinaisons linéaires de matrices : par exemple, une combinaison linéaire de
deux matrices A et B de Mn,p (K) est une matrice qui s’écrit λ.A + µ.B avec λ et µ des scalaires.
La loi . est souvent sous-entendue, on pourra noter λA + µB.
Proposition :
• La loi + est commutative : ∀(A, B) ∈ (Mn,p (K))2 , A + B = B + A
• La loi + est associative : ∀(A, B, C) ∈ (Mn,p (K))3 , (A + B) + C = A + (B + C)
• La
matrice
nulle
joue
le
rôle
d’élément
neutre
pour
+
:
∀A
∈
Mn,p (K), A + 0 = 0 + A = A
• Toute matrice de Mn,p (K) admet un unique symétrique pour la loi + :
∀A ∈ Mn,p (K), ∃ !B ∈ Mn,p (K), A + B = B + A = 0




−a1,1 . . . −a1,p
a1,n . . . a1,p
 .
 .
.. 
.. 
 .
.
Si A = 
. 
. 
 alors B =  .
. B est notée −A.
 .
−an,1 . . . −an,p
an,1 . . . an,p
Proposition :
Soient A et B deux matrices de Mn,p (K) et λ et µ des scalaires.
• λ.(A + B) = λ.A + λ.B
• (λ + µ).A = λ.A + µ.A
• λ.(µ.A) = (λµ).A
• 0.A = 0 et λ.0n,p = 0n,p
2.b
Produit matriciel
2.b.i
Introduction : produit d’une matrice par une matrice colonne


 2x + 3y − z + 8t = 4

Considérons le système (S) :
y + 5z − t = 8 :


 x + 7y − 10z
= 3
 
 


x
 
4
2 3 −1
8




 
y 



,
X
=
,
B
=
Matrices des coeffs, des 2nds membres, des inconnues : A = 
 
5
−1
0 1
8
z 
 
1 7 −10 0
3
t
On va définir le produit matriciel A × X de manière à retrouver le système (S). On pose :
 




x
 
2 3 −1
8
2x
+
3y
−
z
+
8t


 
y
 
0 1
×
=

5
−1
y + 5z − t 



 z 

 
x + 7y − 10z
1 7 −10 0
t
De sorte que (S) ⇐⇒ A × X = B
4
Définition :

 
x1
a1,1 . . . a1,p

.
 .
.
.
..  ∈ Mn,p (K). Soit X =  ..  une matrice colonne de Mp,1 (K).
Soit A = 

 
 .
xp
an,1 . . . an,p

On définit le produit C = A × X comme la matrice colonne suivante :


a1,1 x1 + · · · + a1,p xp


 a2,1 x1 + · · · + a2,p xp 


A×X =

..


.


an,1 x1 + · · · + an,p xp
Autrement dit, on a :
∀ i ∈ {1, . . . , n}, ci =
n
X
j=1
Concrètement :



1

 
1 2 −1 0
−1



 et B = 
Exemple : A = 
 .
3
0
1
1


1
 
2 2 0 −1
2
 
−2
 

AB = 
 6 .
−2
5
ai,j xj
Remarques :
•
Attention aux formats des matrices :
• A × X peut s’écrire :

a1,1 x1 + · · · + a1,p xp



 a2,1 x1 + · · · + a2,p xp 


AX = 

..


.


an,1 x1 + · · · + an,p xp

 



x2 a1,2
xp a1,p
x1 a1,1
 




 xp a2,p 
 x1 a2,1   x2 a2,2 
 




=  .  +  .  + ··· +  . 
.
.
.
 . 
 .   . 
 




x1 an,1
x2 an,2
xp an,p






a1,1
a1,2
a1,p






 a2,1 
 a2,2 
 a2,p 






= x1  .  + x2  .  + · · · + xp  . 
 .. 
 .. 
 .. 






an,1
an,2
an,p
= x1 C1 + · · · + xp Cp en notant C1 , . . . , Cp les colonnes de A
Ainsi A × X est une combinaison linéaire des colonnes de A.
• Il y a des cas particuliers très importants :
6
2.b.ii
Généralisation à deux matrices rectangulaires
Définition :
Soient A = (ai,j ) une matrice de Mn,p (K) et B = (bi,j ) une matrice de Mp,q (K).
On définit le produit C = A × B comme la matrice de Mn,q (K) suivante :
∀(i, j) ∈ nq, ci,j =
p
X
ai,k bk,j
k=1
On peut sous-entendre la loi × et écrire AB au lieu de A × B.
Ainsi on peut voir ci,j comme le "produit" de la ième ligne de A avec la j ème colonne de B.


−1 2







Exemple : A = 
0 2 −1 et B =  1 2.
3 0 0
0 1

1 2
3

7
Remarque : Si on note X1 , . . . , Xq les colonnes de B, le calcul de AB revient aux calculs de AX1 , . . . , AXq :
Pour faire A × B, il faut que les tailles des matrices soient compatibles : le nombre de colonnes de
A doit être égal aunombre delignes de 
B.

1 2 3
−1 2




 et B =  1 2, A × B est défini mais pas B × A.
Exemple : si A = 
0
2
−1




3 0 0
0 1
La loi × n’est pas commutative :
• On vient de voir que A × B peut être défini mais pas B × A.
• Même si A × B et B × 
A sont
 tous les deux définis, il peut ne pas y avoir égalité :
1
 

A = 1 2 3 et B = 2

3
A=
1 1
0 1
!
et B =
0 0
!
1 0
Contrairement à ce qu’on a avec le produit de nombres réels ou complexes :
A × B = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0
Voici un contre-exemple
: !
!
0 1
2 3
A=
et B =
.
0 0
0 0
8
2.b.iii
Propriétés du produit matriciel
Proposition :
Soit A ∈ Mn,p (K). Alors,
• A × Ip = A
In × A = A
et
• A × 0p,q = 0n,q
et
0q,n × A = Oq,p
Démonstration 1
Proposition :
• ∀A ∈ Mn,p (K), ∀B ∈ Mp,q (K), ∀C ∈ Mq,r (K),
(A × B) × C = A × (Bt imesC)
• ∀(A1 , A2 ) ∈ (Mn,p (K)2 , ∀B ∈ Mp,q (K),
(A1 + A2 ) × B = A1 × B + A2 × B
• ∀A ∈ (Mn,p (K), ∀(B1 , B2 ) ∈ Mp,q (K)2 ,
A × (B1 + B2 ) = A × B1 + A × B2
• ∀A ∈ Mn,p (K), ∀B ∈ Mp,q (K), ∀λ ∈ K,
(λ.A) × B = A × (λ.B) = λ.(A × B)
Démonstration 2
2.c
Transposition
C’est l’opération "qui échange les lignes et les colonnes".
Définition :
Soit A = (ai,j ) ∈ Mn,p (K). La transposée de A, notée t A ou AT , est la matrice de Mp,n (K)
dont le coefficient (i, j) est aj,i :
∀ ...
Exemples : pour A =
pour A =
a b
c d
!
1 2 3
4 5 6
, on a t A =
 
x
 
t

; pour A = 
y , on a A =
z
!
, on a t A =
Proposition :
• ∀ A ∈ Mn,p (K),
t
tA
=A
2
• ∀ (A, B) ∈ (Mn,p (K)) , ∀ λ ∈ K,
t (λA)
= λ tA
t (AB)
• ∀ A ∈ Mn,p (K), ∀ B ∈ Mp,q (K),
Démonstration 3
9
t (A
+ B) = t A + t B
= tB tA
3
Matrices carrées
L’ensemble Mn,p (K) est stable pour la loi + et la loi . :
∀(A, B) ∈ (Mn,p (K))2 , ∀λ ∈ K,
A + B ∈ Mn,p (K)
λ.A ∈ Mn,p (K)
On peut résumer en disant que Mn,p (K) est stable par combinaison linéaire.
Ce résultat est en particulier vrai lorsque n = p c’est-à-dire lorsqu’on considère l’ensemble des matrices
carrées d’ordre n : Mn (K).
Mais cet ensemble Mn (K) a une stabilité supplémentaire, la stabilité par le produit :
∀(A, B) ∈ (Mn (K))2 , A × B ∈ Mn (K)
En résumé :
Proposition :
Toute somme, toute combinaison linéaire, tout produit de matrices carrées d’ordre n est une
matrice carrée d’ordre n.
3.a
Puissances d’une matrice carrée
Définition :
Soit A ∈ Mn (K).
On définit les puissances successives de A par récurrence :

A0
= In
∀ k ∈ N, Ak+1 = Ak × A = A × Ak
Une puissance d’une matrice
! non nulle peut être nulle :
0 1
par exemple, pour A =
, A2 =...
0 0
On dit que A est nilpotente.
Proposition :
Soit A ∈ Mn (K), et (p, q) ∈ N2 .
Ap+q = Ap × Aq = Aq × Ap donc les puissances d’une même matrice commutent entre elles
De manière générale, deux matrices carrées quelconques ne commutent pas nécessairement pour la
loi × (contre-exemple déjà vu).
10
Cependant, In et 0n (matrice nulle carrée d’ordre n) commutent avec n’importe quelle matrice.
Soient A et B deux matrices de Mn (K). Calculons :
(A + B)2 = (A + B) × (A + B)
= A2 + AB + BA + B 2
= A2 + 2AB + B 2
en supposant AB = BA
Autrement dit, pas de formule du binôme dans le cas général !
Cependant :
Théorème : Formule du binôme de Newton
Soit A et B deux matrices de Mn (K)
Alors,
∀ p ∈ N, (A + B)p =
qui commutent, c’est-à-dire que telles que A × B = B × A.
n X
n
k=0
Exemple:
3 1 1
k
Ak B p−k =
n X
n p−k k
A B
k
k=0



. Calculer An pour tout n ∈ N.
Soit A = 
0
3
2


0 0 3
Démonstration 4
Remarque :
La matrice N de l’exemple est ce qu’on appelle une matrice nilpotente, c’est-à-dire que :
∃p ∈ N∗ , N p = 0
Essayez, quand c’est possible, de faire apparaître une telle matrice pour utiliser la formule du binôme.
3.b
Sous-ensembles stables
Proposition :
L’ensemble des matrices diagonales d’ordre n est stable pour les lois +, ., ×, ce qui signifie :
pour toutes matrices D, ∆ diagonales d’ordre n et pour tout scalaire λ,


λ1 D1 + λ2 D2 est diagonale



λ1 D1 + λ2 D2 est diagonale




D1 D2 est diagonale
Démonstration 5
11
Remarque :
Retenir que produit de deux matrices diagonales d’ordre n s’obtient très facilement en multipliant les
coefficients diagonaux : par exemple,
D’où unrésultat pourles puissances :
 p
λ1
0
d1



.
p
, alors, pour tout p ∈ N, D = 
..
si D = 



0
λn
0
0
..
.
dpn




Proposition :
L’ensemble des matrices triangulaires supérieures d’ordre n est stable pour les lois +, ., ×.
Démonstration 6
De même :
Proposition :
L’ensemble des matrices triangulaires inférieures d’ordre n est stable pour les lois +, ., ×.
Remarque :
Soient T et T 0 des matrices triangulaires supérieures. On pose T 00 = T T 0 .
n
X
2
00
Soit (i, j) ∈ {1, . . . , n} . Si i = j alors ti,i =
ti,k t0k,i = ti,i t0i,i
k=1
Ainsi, les coefficients diagonaux de T 00 sont les produits des coefficients diagonaux de T et T 0 .
On a le même résultat pour les matrices triangulaires inférieures.
Exemple :
12
3.c
Matrices symétriques, matrices antisymétriques
Définition :
Soit A ∈ Mn (K).
• On dit que A est symétrique si t A = A.
Cela revient à :
∀ i, j, ai,j = aj,i
• On dit que A est antisymétrique si t A = −A.
Cela revient à :
∀ i, j, −ai,j = aj,i
Exemples :
Proposition :
Soit A ∈ Mn (K).
A est antisymétrique =⇒ ∀i ∈ [[, 1, n]], ai,i = 0
Les propriétés de la transposition permettent d’obtenir très vite les résultats suivants :
Proposition :
L’ensemble des matrices symétriques d’ordre n est stable pour les lois + et ..
L’ensemble des matrices antisymétriques d’ordre n est stable pour les lois + et ..
Démonstration 7
13
4
Opérations élémentaires sur les lignes
Les opérations élémentaires sur les lignes d’une

a

Commençons par des exemples : Soit A = 
c
e

1 0 0




Calculons : 
0 3 0  × A =
0 0 1
Cela revient à faire l’opération élémentaire

1 0 0
matrice
vont s’interpréter par des produits matriciels.

b

d
 ∈ M3,2 (R).
f

0 1


Calculons : 1 0
0 0
Cela revient à faire
0


0
×A=
1
l’opération élémentaire




Calculons : 
0 1 0  × A =
0 2 1
Cela revient à faire l’opération élémentaire
Généralisons :
Définition : Matrices élémentaires
Soit (i, j) ∈ {1, . . . n}2 , avec i 6= j, et λ ∈ K. Soit A ∈ Mn,p (K).
• L’opération Li ← λLi (λ 6= 0) s’obtient en multipliant A à gauche par la matrice
suivante :
Di (λ) =
On dit que c’est une matrice de dilatation.
• L’opération Li ← Li + λLj s’obtient en multipliant A à gauche par la matrice suivante :
Ti,j (λ) =
On dit que c’est une matrice de transvection.
• L’opération Li ↔ Lj s’obtient en multipliant A à gauche par la matrice suivante :
Pi,j =
On dit que c’est une matrice de permutation.
14
Remarque :
De manière analogue, on peut agir sur les colonnes de A en multipliant A à droite par une matrice
élémentaire :
• Faire A × Di (λ) revient faire l’opération :
a c
e
!
b d f


1 0 0



×
0 3 0 =
0 0 1
• Faire A × Ti,j (λ) revient faire l’opération :
a c
e
!
b d f


1 0 0



×
0 1 0 =
0 2 1
• Faire A × Pi,j revient faire l’opération :
a c
e
b d f
!


0 1 0


=
×
1
0
0


0 0 1
Lorsque l’on passe d’une matrice A à une matrice A0 par opérations élémentaires sur les colonnes, on
dit que A et A0 sont équivalentes par colonnes et on note : A ∼ A0 .
C
Nous avons vu au chapitre 11 que l’algorithme de Gauss-Jordan permet de passer d’une matrice quelconque A à une unique matrice échelonnée réduite R en faisant des opérations élémentaires sur les
lignes. Ainsi on a le résultat suivant :
Proposition :
Pour toute matrice A de Mn,p (K) il existe une matrice E, produit de matrices élémentaires,
et une unique matrice échelonnée réduite R, telle que :
EA = R
15
5
Matrices carrées inversibles
5.a
Introduction
Un réel (ou un complexe) a est inversible si et seulement si il est non nul ; son inverse
nombre a0 tel que a × a0 = a0 × a = 1.
1
est l’unique
a
C’est l’inverse qui permet de résoudre ax = b (a, b réels, inconnue x réelle) dans la plupart des cas :
1
b
— si a est inversible, alors il y a une unique solution x = = × b.
a
a
— si a n’est pas inversible, c’est-à-dire si a est non nul, alors il peut y avoir 0 solution (si b 6= 0)
ou une infinité de solutions (tout réel x dans le cas b = 0).
Ces résultats vont se généraliser, mais ce sera moins simple, car pour les matrices,
A inversible" n’est pas équivalent à ”A 6= 0”
Il y aura des matrices non nulles mais pourtant non inversibles...
5.b
Définition, premiers résultats
Proposition-définition :
Soit A ∈ Mn (K) une matrice carrée. On dit que A est inversible si
∃B ∈ Mn (K), AB = BA = In
La matrice B, lorsqu’elle existe, est unique ; on la note A−1 .
Démonstration 8
L’ensemble des matrices carrées inversibles d’ordre n est noté GLn (K), on l’appelle le groupe linéaire
d’ordre n.
Exemples :
• In
• On
• A=
0 1
!
0 0
• Soit A ∈ Mn (K) telle que A3 − 2A + 3In = 0.
Montrer que A est inversible et déterminer A−1 .
Démonstration 9
16
Proposition :
Soient (A, B) ∈ Mn (K)2 .
• Si A est inversible alors A−1 est inversible et (A−1 )−1 = A.
• Si A et B sont inversibles alors A × B est inversible et (AB)−1 = B −1 A−1
• Si A est inversible alors t A est inversible et ( t A)−1 = t (A−1 .
Démonstration 10
Une somme de matrices inversibles n’est pas inversible en général.
Proposition :
Une matrice diagonale est inversible ssi tous ses coefficients diagonaux sont non nuls et :
avec ... alors D−1 =
si D =
Démonstration 11
Proposition :
Les matrices élémentaires sont inversibles.
Démonstration 12
La proposition de la fin de la partie 4 implique donc :
Proposition :
Pour toute matrice A de Mn,p (K) il existe une matrice E ∈ GLn (K) et une matrice échelonnée réduite R, telle que :
EA = R
Théorème : Inversibilité à gauche ou à droite
Soit A ∈ Mn (K).
A est inversible ⇐⇒ ∃B ∈ Mn (K), AB = In ie A est inversible à droite
⇐⇒ ∃B ∈ Mn (K), BA = In ie A est inversible à gauche
Dans ce cas, la matrice B est A−1 .
17
Remarque : équivalents et inverses
Lorsqu’une matrice A est inversible, on peut écrire :
AP = AQ ⇐⇒ P = Q
En effet : un sens en multipliant par Amois 1 à gauche , l’autre par A à gauche
De même, P A = QA ⇐⇒ P = Q avec des multiplications à droite.
Ces manipulations ne sont plus possibles si A n’est pas inversible !
On peut aussi écrire :
AP = Q ⇐⇒ P = A−1 Q
5.c
Lien avec les systèmes
En particulier, un système linéaire carré peut se mettre sous la forme AX = B, avec A ∈ Mn (K).
D’après ce qui précède, si A est inversible,
AX = B ⇐⇒ X = A−1 B
Ainsi, si A est inversible, alors le système linéaire AX = B a une unique solution, qui est X = A−1 B.
On en tire une méthode de calcul de l’inverse (et de preuve de l’inversibilité au passage) :

3
2
−1


Exemple : Soit A = 
1 −1

1
.
2 −2 1
Montrer que A est inversible et calculer A−1 .
Démonstration 13
Précisons les liens entre inversibilité et solutions de systèmes carrés associés :
Théorème :
Soit A ∈ Mn (K). Les énoncés suivants sont équivalents :
(i) A est inversible.
(ii) A ∼ In
L
(iii) Le système AX = 0 d’inconnue X ∈ Mn,1 (K) n’admet que la solution nulle.
(iv) Pour tout B ∈ Mn,1 (K), le système AX = B d’inconnue X ∈ Mn,1 (K) admet une
unique solution.
Remarque : on a aussi l’équivalence avec : Pour tout B ∈ Mn,1 (K), le système AX = B d’inconnue
X ∈ Mn,1 (K) admet au moins une solution.
18
Corollaire :
Une matrice diagonale ou triangulaire est inversible si et seulement si
tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.
Remarque :
On sait que : A inversible ⇐⇒ t A inversible ⇐⇒ t A ∼ In .
L
Comme faire des opérations élémentaires sur les colonnes de A revient à faire des opérations élémentaires sur les lignes de t A, on a finalement :
A inversible ⇐⇒ A ∼ In
C
5.d
Calcul de l’inverse par la méthode de Gauss-Jordan
Soit A ∈ Mn (K). L’algorithme du pivot de Gauss va nous permettre :
• de savoir si A est inversible
• le cas échéant, de calculer A−1 .
Nous utiliserons le lemme suivant :
Proposition :
Si A ∼ B, alors A inversible ⇐⇒ B inversible.
L
Démonstration 14
D’où la méthode :
• On applique la méthode du pivot de Gauss sur A (on fait des opérations sur les lignes qui créent
des 0 en dessous des coefficients diagonaux dans chaque colonne), jusqu’à obtenir une matrice
T triangulaire supérieure.
On fait simultanément les mêmes opérations, mais à partir de la matrice In .

a1,1
a1,2
. . . a1,n



1 0 ... 0


0 1 . . . ... 


. .
 = In
 .. . . . . . 0


0 ... 0 1
..
.


 a2,1 a2,2 . . . a2,n 


A= .
..
.. 
..
 ..
.
.
. 


an,1 an,2 . . . an,n
..
.

λ1

0

T = .
 ..

0
∗
...
.
λ2 . .
.. ..
.
.
...
0


∗ ∗ ... ∗
.
.. 
 ..
.


.
 matrice modifiée
.
 ..
.. 


∗ ∗ ... ∗

∗
.. 
. 


∗

λn
19
— Si la matrice triangulaire T a (au moins) un coefficient diagonal nul , alors T est non inversible, donc A non plus d’après le lemme.
— Si tous les coefficients diagonaux de T sont non nuls , alors T est inversible, donc A aussi
d’après le lemme.
• Lorsque A est inversible, on poursuit alors la méthode du pivot de Gauss (on fait des opérations
sur les lignes qui créent des 0 au dessus des coefficients diagonaux dans chaque colonne), jusqu’à
obtenir la matrice In .
On fait toujours les mêmes opérations sur la matrice issue de In au lieu de A.
..
..
.
.



∗ ∗ ... ∗
.
.. 
 ..
.


matrice modifiée
.
.. 
 ..

.


∗ ∗ ... ∗

... 0


0 1 . . . ... 


. .

 .. . . . . . 0


0 ... 0 1
1
0
Comme les opérations élémentaires sur les lignes de A reviennent à multiplier A à gauche par
une matrice E, c’est qu’on arrive à :
EA = In ; la matrice E est alors l’inverse de A.
Donc les mêmes opérations appliquées à In au lieu de A mènent à :
EIn = E
Ainsi, la matrice obtenue à partir de In est A−1 .
Remarque :
On peut aussi appliquer la méthode du pivot de Gauss en ne faisant que des opérations sur les
colonnes. On a alors les mêmes résultats : A est inversible si et seulement si la matrice triangulaire
obtenue l’est ; en poursuivant jusqu’à obtenir In , on obtient A−1 en faisant depuis le début les mêmes
opérations à partir de In .
Il ne faut pas mélanger les opérations sur les lignes et sur les colonnes lorsque vous calculez A−1 !
Exemples :
Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles ; si oui, calculer leur inverse.

1 −1 1


A=
2
0

3

1
1
3


1 0 1



B=
1 3 4
2 −1 1
Démonstration 15
20


0 1 1



C=
1 0 1
1 1 0