Dualité Syst`emes linéaires - Matrices 1 Espace dual 2 Dualité

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Dualit´e
Syst`emes lin´eaires - Matrices
Ce document n’est pas un cours mais pr´esente seulement quelques notions `a connaˆıtre sur le sujet.
Dans ce chapitre Ed´esigne un Kespace vectoriel
(K=R,Cou plus g´en´eralement un corps de caract´eristique nulle)
Pour ce chapitre il est conseill´e de connaˆıtre les notions de base sur les espaces vectoriels et applications lin´eaires.
Voir par exemple les documents :
espaces vectoriels, espaces vectoriels de dimension finie, espaces vectoriels premi`eres notions
1 Espace dual
1.1 D´efinition
On appelle dual de El’espace vectoriel des formes lin´eaires sur E, on le note E∗,E∗=L(E, K)
Si Eest de dimension finie alors dim E∗= dim E
Remarque 1
Dans le cadre de la dualit´e, si (~x, ϕ)∈E×E∗alors ϕ(~x)se note aussi < ~x, ϕ >.
L’application :
E×E∗→K
(~x, ϕ)7→ < ~x, ϕ > est une forme bilin´eaire de E×E∗dans K.
1.2 Hyperplans
D´efinition 1 On appelle hyperplan d’un Kespace vectoriel Etout sous-espace vectoriel de codimension 1.
Proposition 1 Soit Hun hyperplan de E,u /∈Het D=Kula droite vectorielle engendr´ee par u, on a E=H⊕D
Proposition 2 Si ϕ∈E∗, ϕ 6= 0 alors ker ϕest un hyperplan de E
Proposition 3 Soit Hun hyperplan de E, on a :
1. L’ensemble des formes lin´eaires dont le noyau contient Hest une droite vectorielle de E∗
2. Pour e /∈Hil existe une unique forme lin´eaire ϕtelle que ker ϕ=Het ϕ(e) = 1
Cons´equence : Si (ϕ1, ϕ2)∈E∗×E∗et ker ϕ1= ker ϕ2, alors ∃λ∈K, λ 6= 0 tel que ϕ2=λϕ1.
Proposition 4 Soit Eun espace vectoriel de dimension finie et ~e un vecteur de E, on a :
•Si ~e 6=~ 0alors il existe une forme lin´eaire ϕ∈E∗telle que ϕ(~e) = 1.
•~e =~ 0si et seulement si ∀ϕ∈E∗, ϕ(~e) = 0
2 Dualit´e en dimension finie
Dans ce paragraphe on suppose que Eest de dimension finie dim E=n, soit B0= (~e1, . . . , ~en) une base de E.
2.1 Equation d’un hyperplan
Soit ϕ∈E∗on a ϕ:E→K
~x =x1~e1+. . . +xn~en7→ a1x1+. . . +anxn
avec ∀k∈[[1, n]], ak=ϕ(ek)
ϕ6= 0 ⇔(a1, . . . , an)6= (0, . . . , 0)
Pour ϕ6= 0, l’hyperplan ker ϕadmet pour ´equation : a1x1+. . . +anxn= 0
Tout hyperplan Hde Eest le noyau d’une forme lin´eaire non nulle, de sorte qu’il existe (a1, . . . , an)∈Kn\ {0}tel
que Hadmette pour ´equation : a1x1+. . . +anxn= 0.
Proposition 5 Soit H1et H2deux hyperplans admettant pour ´equation respective
H1:a1x1+. . . +anxn= 0
H2:b1x1+. . . +bnxn= 0
on a : H1=H2si et seulement si ∃λ∈K, λ 6= 0,(b1, . . . , bn) = λ(a1, . . . , an).
Proposition 6 L’application θ:E∗→Kn
ϕ7→ (ϕ(e1), . . . , ϕ(en)) est un isomorphisme d’espace vectoriel
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2.2 Base duale
Proposition 7
Pour ~x ∈E, ~x =
n
X
i=1
xi~ei, pour k∈[[1, n]] on consid`ere la forme lin´eaire e∗
kd´efinie par e∗ k(~x) = xk,
e∗
kest la k-i`eme forme lin´eaire coordonn´ee associ´ee `a la base B0.
(e∗
1, . . . , e∗ n)est une base de E∗, on dit que c’est la base des formes lin´eaires coordonn´ees
D´efinition 2 (Base duale)
Pour une base Bde E, la base des formes lin´eaires coordonn´ees, not´ee B∗, est appel´ee la base duale de B.
Proposition 8
Soit B0= (~e1, . . . , ~en)base de Eet B∗
0= (e∗ 1, . . . , e∗ n)la base duale associ´ee.
•Pour ~x ∈Eon a ~x =
n
X
k=1
e∗
k(~x)~ek
•Pour ϕ∈E∗on a ϕ=
n
X
k=1
ϕ(~ek)e∗
k
Proposition 9
Pour B0base de Ela base duale B∗
0= (e∗ 1, . . . , e∗ n)est d´etermin´ee par les relations de Kronecker :
∀(i, j)∈[[1, n]]2, e∗
i(~ej) = δj
io`u δj i=1si i=j
0si i6=j
Proposition 10
Si f∈ L(E), de matrice A= (aij )16i6n
16j6n
Alors ∀(i, j)∈[[1, n]]2, aij =e∗
i(f(~ej)) ce qui se note aussi aij =< f(~ej), e∗ i>
2.3 Base ant´e-duale
Th´eor`eme 1
Pour toute base L= (ψ1, . . . , ψn)de E∗il existe une unique base B= (~u1, . . . , ~un)de E telle que Lest la base duale
de B,L=B∗.
On dit que Best la base ant´e-duale de L.
Proposition 11
Si
•S= (~u1, . . . , ~un)est un syst`eme de nvecteurs de E
•S∗= (ϕ1, . . . , ϕn)est un syst`eme de nformes lin´eaires de E∗
•On suppose ∀(i, j) [[1, n]]2, ϕi(~uj) = δj
i
Alors
•Sest une base de Eet S∗est une base de E∗
•S∗est la base duale de Set Sest la base ant´e-duale de S∗
Proposition 12
Si
• B0= (~e1, . . . , ~en)est une base de Eet B∗
0= (e∗ 1, . . . , e∗ n)est la base duale.
• B = (~u1, . . . , ~un)est une base de Eet B∗= (u∗
1, . . . , u∗ n)est la base duale.
•A∈ Mn(K)est la matrice de Bdans la base B0et A∗∈ Mn(K)est la matrice de B∗dans la base B∗
0
Alors
A∗=t A−1=t (A−1),t A∗·A=Ino`u Inest la matrice identit´e d’ordre n
2.4 Exemples
1. Formule de Taylor pour les polynˆomes
Soit n∈Net En=Kn[X] le Kespace vectoriel des polynˆomes `a cœfficients dans Kde degr´e inf´erieur ou ´egal `a n,
Enest un Kespace vectoriel de dimension n+1. Pour a∈Kon consid`ere les polynˆomes Pk= (X−a)k, k ∈[[0, n]]
et les formes lin´eaires ϕk, k ∈[[0, n]] d´efinies par ∀P∈En, ϕk(P) = P(k)(a)
k!:
•On v´erifie que ∀(i, j)∈[[0, n]], ϕi(Pj) = δj
i
•par suite on peut conclure :
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–B=(x−a)k06k6nest une base de En,B∗= (ϕk)06k6nest une base de E∗
n
–B∗est la base duale de Bet Best la base ant´e-duale de B∗
–∀P∈En, P =
n
X
k=0
ϕk(P)Pksoit P(x) =
n
X
k=0
Pk(a)
k!(X−a)k
(on retrouve la formule de Taylor pour les polynˆomes)
2. Polynˆomes d’interpolation de Lagrange
Soit n∈Net En=Kn[X] le Kespace vectoriel des polynˆomes `a cœfficients dans Kde degr´e inf´erieur ou ´egal
`a n,Enest un Kespace vectoriel de dimension n+ 1.
Soit a0, . . . , ann+ 1 ´el´ements de Kdistincts deux `a deux, L0, . . . , Lnles polynˆomes d’interpolation de Lagrange
associ´es aux points a0, . . . , an,Lk(X) =
n
Q
i=0
i6=k
(X−ai)
n
Q
i=0
i6=k
(ak−ai)
et ϕ0, . . . , ϕnles formes lin´eaires de E∗
nd´efinies par
∀k∈[[0, n]],∀P∈En, ϕk(P) = P(ak).
•On v´erifie que : ∀(i, j)∈[[0, n]]2, ϕi(Lj) = δj
i
•par suite on peut conclure :
–B= (Lk)06k6nest une base de En,B∗= (ϕk)06k6nest une base de E∗
n
–B∗est la base duale de Bet Best la base ant´e-duale de B∗
–∀P∈En, P =
n
X
k=0
ϕk(P)Lksoit P(x) =
n
X
k=0
P(ak)Lk(X)
3 Trace d’une application lin´eaire
D´efinition 3 (Trace d’une matrice)
Soit n∈N∗, on consid`ere l’espace vectoriel Mn(K), pour A∈ Mn(K), A = (aij )1≤i≤n
1≤j≤n
on d´efinit la trace de Apar
trA=
n
X
i=1
aii
Proposition 13 tr est une forme lin´eaire sur Mn(K),tr ∈(Mn(K))∗
Proposition 14 ∀(A, B)∈(Mn(K))2,tr(AB) = tr(BA)
Proposition 15 Deux matrices semblables ont mˆeme trace
cons´equence :
On peut d´efinir la trace d’un endomorphisme
D´efinition 4
Soit Eun Kespace vectoriel de dimension finie et f∈ L(E), on appelle trace de fla trace d’une matrice de fdans
une base de E
D’apr`es la proposition pr´ec´edente cette d´efinition ne d´epend pas de la base de Echoisie.
Proposition 16 La trace d’un projecteur est ´egale `a son rang.
C’est `a dire que si Eest un Kespace vectoriel de dimension finie et p∈ L(E)est un projecteur alors tr(p) = rang(p)
4 Syst`emes lin´eaires
Dans ce paragraphe Ed´esigne un Kespace vectoriel de dimension finie n, le lecteur pourra compl´eter les r´esultats
donn´es en dimension finie en regardant le TD ”Compl´ement dualit´e” qui permet de g´en´eraliser certains r´esultats aux
sous espaces vectoriels de codimension finie dans les espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie .
4.1 Syst`emes d’´equations d’un sous espace vectoriel
Th´eor`eme 2
Soit q∈N∗et ϕ1, . . . , ϕqun syst`eme libre de q´el´ements de E∗et ϕ∈E∗. On a :
q
\
i=1
ker ϕi⊂ker ϕ⇐⇒ ϕ∈vect < ϕ1, . . . , ϕq>
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Th´eor`eme 3
Si dim E=net (ϕ1, . . . , ϕq)est un syst`eme libre de E∗Alors dim
q
\
i=1
ker ϕi=n−q
Cons´equence : Si (ϕ1, . . . , ϕr) est un syst`eme de rformes lin´eaires de E∗de rang qAlors dim
r
\
i=1
ker ϕi=n−q
Th´eor`eme 4
Si
Fest un sous-espace vectoriel de Ede dimension p
Alors
Il existe (ϕ1, . . . , ϕn−p)∈(E∗)n−pun syst`eme libre de n−pformes lin´eaires de E∗tel que F= ker ϕ1∩. . . ∩ker ϕn−p
ϕ1(~x) = 0
.
.
.
ϕn−p(~x)=0
est alors un syst`eme d’´equation de F
Th´eor`eme 5
Si Fest un sous espace vectoriel de Ede dimension p
Alors L’ensemble des formes lin´eaires s’annulant sur Fest un sous-espace vectoriel de E∗de dimension n−p
4.2 Syst`emes de p´equations `a ninconnues
On consid`ere :
(S) : 
a11x1+· · · +a1nxn=b1
.
.
..
.
..
.
.
ap1x1+· · · +apnxn=bp
un syst`eme de p´equations `a ninconnues avec second membre, on a :
•A= (ai,j )16i6p
16j6n∈ Mpn(K) est la matrice du syst`eme S
•B=
b1
.
.
.
bp
∈ Mp1(K) est le second membre, on a aussi (b1, . . . , bp)∈Kp
•X=
x1
.
.
.
xn
∈ Mn1(K) est le vecteur inconnu, on a aussi ~x = (x1, . . . , xn)∈Kn
Le syst`eme (S) s’´ecrit aussi :
AX =B
X∈ Mn1(K)ou 
ϕ1(~x) = b1
.
.
.
ϕp(~x) = bp
avec ∀i∈[[1, p]], ϕi∈(Kn)∗, ϕi((x1, . . . , xn)) =
n
X
j=1
aij xj
`a (S) on associe le syst`eme homog`ene :
(Sh) : 
a11x1+· · · +a1nxn= 0
.
.
..
.
..
.
.
ap1x1+· · · +apnxn= 0
ou AX = 0
X∈ Mn1(K)ou 
ϕ1(~x) = 0
.
.
.
ϕp(~x)=0
Interpr´etations des solutions des syst`emes (S) et (Sh) :
Pour (Sh) soit ~ S={(x1, . . . , xn)∈Kn, AX = 0,avec X=
x1
.
.
.
xn
}
•~ Sest un sous-espace vectoriel de Kn
•~ Sest le noyau de l’application lin´eaire de Kndans Kp:~x = (x1, . . . , xn)7→ (ϕ1(~x), . . . , ϕp(~x))
•Si on d´esigne par (C1, . . . , Cn)∈ Mpn(K)nles vecteurs colonnes de A,
(x1, . . . , xn)∈ Shsi et seulement si
n
X
j=1
xjCj= 0
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Pour (S) soit S={(x1, . . . , xn)∈Kn, AX =B, avec X=
x1
.
.
.
xn
}
•Si Sn’est pas vide c’est un sous-espace affine de Knde direction ~ S, si x0= (x1, . . . , xn) est une solution de S
alors S=x0+~ S
•Si S6=∅,Sest l’ensemble des ant´ec´edents du vecteur ~ b=t B= (b1, . . . , bp) par l’application lin´eaire de
Kndans Kp:~x = (x1, . . . , xn)7→ (ϕ1(~x), . . . , ϕp(~x))
•Si on d´esigne par (C1, . . . , Cn)∈ Mp1(K)nles vecteurs colonnes de A, (x1, . . . , xn)∈ Shsi et seulement si
n
X
j=1
xjCj=B
•Sn’est pas vide si et seulement si B∈vect < C1, . . . , Cn>
5 Matrices
5.1 Matrices semblables
D´efinition 5
Soit (A, B)∈ Mn(K)2, on dit que Aet Bsont semblables s’il existe P∈ GLn(F)telle que B=P−1AP .
Proposition 17
Dans Mn(K)la relation Ravec ”ARB⇔Aet Bsont semblables ” est une relation d’´equivalence.
Proposition 18
Soit Eun Kespace vectoriel de dimension n, pour (M, N )∈ Mn(K)2, on a :
Met Nsont semblables si et seulement si il existe deux bases B1et B2de Eet un endomorphisme f∈ L(E)tels que
Msoit la matrice de fdans B1et Nsoit la matrice de fdans B2.
De plus si Pest la matrice de changement de base de B1`a B2alors N=P−1MP
Proposition 19
Deux matrices semblables ont :
•Mˆeme rang
•Mˆeme d´eterminant
•Mˆeme trace
La r´eciproque est fausse par exemple 1 0
0 1 et 1 1 0 1 ont mˆeme rang, mˆeme d´eterminant, mˆeme trace et
pourtant ces deux matrices ne sont pas semblables car la seule matrice semblable `a Inest In
5.2 Matrices ´equivalentes
D´efinition 6
Soit (A, B)∈ Mpn(K)2, on dit que Aet Bsont ´equivalentes s’il existe (P, Q)∈ GLn(K)×GLp(K)tel que B=Q−1AP .
Proposition 20
Deux matrices carr´ees de Mn(K)semblables sont ´equivalentes.
Proposition 21
Dans MpnK, la relation d’´equivalence sur les matrices est une relation d’´equivalence, c’est `a dire c’est une relation :
•R´eflexive : ∀A∈ Mpn(K),Aet Asont ´equivalentes.
•Sym´etrique : ∀(A, B)∈ Mpn(K)2, Si Aet Bsont ´equivalentes alors Bet Asont ´equivalentes.
•Transitive : ∀(A, B, C)∈ Mpn(K)3, Si Aet Bsont ´equivalentes et Bet Csont ´equivalentes Alors Aet Csont
´equivalentes.
Proposition 22
Si
•Eet Fsont deux Kespaces vectoriels de dimension finie, dim E=net dim F=p
• B1Eet B2Esont deux bases de Eet Pla matrice de passage de B1E`a B2E,P∈GLn(K)
• B1Fet B2Fsont deux bases de Fet Qla matrice de passage de B1F`a B2F,Q∈GLp(K)
•f∈ L(E, F )de matrice A∈ Mpn(F)dans les bases B1Eet B1Fet de matrice B∈ Mpn(F)dans les bases B2E
et B2F
Alors
B=Q−1AP
LGT Baimbridge 5 C.Susset