Sur les équations intégrales dans les espaces d`Orlicz

N d’ordre :
Université Mohamed Boudiaf - M’sila
Faculté des Mathématiques et de l’Informatique
Département de Mathématiques
THÈSE
Présentée pour l’obtention du diplôme de
DOCTORAT EN SCIENCE
Spécialité : Mathématiques
Option : Analyse fonctionnelle et numérique
Présentée par
Bachir GAGUI
Sur les équations intégrales dans les espaces d’Orlicz
Soutenue publiquement le 03 03 2015 devant le jury composé de :
JURY
Abdelkader GASMI Prof. Univ-M’sila Président
Mostefa NADIR Prof. Univ-M’sila Rapporteur
Benyattou BENABDERRAHMENE Prof. Univ-M’sila Examinateur
Nacerdine HEMICI Prof. Univ-Sétif Examinateur
Azedine RAHMOUNE MCA. Univ-BBA Examinateur
Abdelbaki MEROUANI MCA. Univ-BBA Examinateur
Promotion 2014 - 2015

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Abstract
In this thesis we study the nonlinear problems concerning the field of the integral equations,
particularly equations of Hammerstein type, whose the general form is
Hϕ(x) = ZΩk(x, y)f(y, ϕ(y))dy
where Ωbe a measurable set and the k(., .), f(.)are knowns functions.
A very important role the non linear integral equations play in the practical fields, for examples
(radiative atmosphere,Ě. etc).
The solution of the operator His given by a several steps :
1. We study the continuity and the compactness of the operator H.
2. We study the belongs of the operator Hto the Lebesgue and Orlicz spaces
3. Uniforms estimates on the approximate solutions.
These estimates of the nonlinear operator, are established by using a methods or technics :
(i) method of the fixed point.
(ii) method of linearization, i.e., the decomposition of certain operator of the Hammerstein
type by a combination of the linear operators, for example the theory of Krasnoselkii,
Nemytskij.
(iii) a numerical aspect concerning methods of projections or methods of approximation
by orthogonal polynomials which the points are choized by collocation or by zeros of this
polynomials.
Keywords : Integral equations, Hammerstein integral equations, Lebesgue spaces, Orlicz spaces.

Résumé
Dans cette thèse on étudié les problèmes non linéaires concernant un type dans le domaine
des équations intégrales particulièrement les équations intégrales de type Hammerstein, dont
la forme générale est la suivante
Hϕ(x) = ZΩk(x, y)f(y, ϕ(y))dy
où Ωest un ensemble mesurable et les fonctions k(., .), f(.)sont connues.
Les équations intégrales non linéaires joue un rôle très important dans les domaines pratiques,
par exemples (l’atmosphère radiatif,.... etc).
La résolution de l’équation Hse faite en plusieurs étapes :
1. On étudie la continuité et la compacité de l’opérateur H
2. Appartenance de l’opérateur Hdans certains espaces de Lebesgue et d’Orlicz.
3. Estimations uniformes sur les solutions approchées.
Ces estimations sont établies par des méthodes ou des techniques :
(i) La méthode du point fixe.
(ii) La méthode de linéarisation, c’est-à-dire la décomposition de certain opérateur de
type Hammerstein par une combinaison des opérateurs linéaires, par exemple la théorie
de Krasnoselkii, Nemytskij
(iii) Un aspect numérique concernant les méthodes de projections ou méthodes
d’approximation par des polynômes orthogonaux dont les points de collocations sont
des zéros de ces polynômes.
Mots clés : Equation intégrale, équation de Hammerstein, espace de Lebesgue, espace d’Orlicz.

Remerciement
Je tiens tout d’abord à témoigner ma vive reconnaissance au Professeur Mostefa
NADIR qui a guidé avec beaucoup d’attention, de gentillesse et de patience mes premiers
pas en recherche en tant que directeur de mémoire de magister et de thèse de doctorat.
Je voudrais exprimer ma profonde gratitude aux Professeurs Abdelkader GASMI,
Benyattou BENABDERRAHMENE, Nacerddine HEMICI, Azedine RAHMOUNE et Abdelbaki
MEROUANI d’avoir accepter et consacrer une partie de leur temps à la rédaction de
rapports et à la participation au jury.
Un grand merci à tous mes collègues de université de Boumerdes et de M’sila, en
particulier Lakehali Belkacem et à tous ceux qui m’ont aidé un jour.
Enfin, et à ce stade, ils doivent déjà se sentir oubliés, je pense à ma mère, mon père,
ma soeur, mes frères et toute ma famille. Leurs amour, affection et soutient sont au-dessus
de tous les remerciements.
Et pour finir, je pense à mes préférés et favoris collaborateurs : ma femme, mes enfants :
Mohammed et Ayoub.
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