Sur les équations intégrales dans les espaces d`Orlicz

N d’ordre :
Université Mohamed Boudiaf - M’sila
Faculté des Mathématiques et de l’Informatique
Département de Mathématiques
THÈSE
Présentée pour l’obtention du diplôme de
DOCTORAT EN SCIENCE
Spécialité : Mathématiques
Option : Analyse fonctionnelle et numérique
Présentée par
Bachir GAGUI
Sur les équations intégrales dans les espaces d’Orlicz
Soutenue publiquement le 03 03 2015 devant le jury composé de :
JURY
Abdelkader GASMI
Mostefa NADIR
Benyattou BENABDERRAHMENE
Nacerdine HEMICI
Azedine RAHMOUNE
Abdelbaki MEROUANI
Prof. Univ-M’sila
Prof. Univ-M’sila
Prof. Univ-M’sila
Prof. Univ-Sétif
MCA. Univ-BBA
MCA. Univ-BBA
Promotion 2014 - 2015
Président
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
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Abstract
In this thesis we study the nonlinear problems concerning the field of the integral equations,
particularly equations of Hammerstein type, whose the general form is
Hϕ(x) =
Z
k(x, y)f (y, ϕ(y))dy
Ω
where Ω be a measurable set and the k(., .), f (.) are knowns functions.
A very important role the non linear integral equations play in the practical fields, for examples
(radiative atmosphere,Ě. etc).
The solution of the operator H is given by a several steps :
1. We study the continuity and the compactness of the operator H.
2. We study the belongs of the operator H to the Lebesgue and Orlicz spaces
3. Uniforms estimates on the approximate solutions.
These estimates of the nonlinear operator, are established by using a methods or technics :
(i) method of the fixed point.
(ii) method of linearization, i.e., the decomposition of certain operator of the Hammerstein
type by a combination of the linear operators, for example the theory of Krasnoselkii,
Nemytskij.
(iii) a numerical aspect concerning methods of projections or methods of approximation
by orthogonal polynomials which the points are choized by collocation or by zeros of this
polynomials.
Keywords : Integral equations, Hammerstein integral equations, Lebesgue spaces, Orlicz spaces.
Résumé
Dans cette thèse on étudié les problèmes non linéaires concernant un type dans le domaine
des équations intégrales particulièrement les équations intégrales de type Hammerstein, dont
la forme générale est la suivante
Hϕ(x) =
Z
k(x, y)f (y, ϕ(y))dy
Ω
où Ω est un ensemble mesurable et les fonctions k(., .), f (.) sont connues.
Les équations intégrales non linéaires joue un rôle très important dans les domaines pratiques,
par exemples (l’atmosphère radiatif,.... etc).
La résolution de l’équation H se faite en plusieurs étapes :
1. On étudie la continuité et la compacité de l’opérateur H
2. Appartenance de l’opérateur H dans certains espaces de Lebesgue et d’Orlicz.
3. Estimations uniformes sur les solutions approchées.
Ces estimations sont établies par des méthodes ou des techniques :
(i) La méthode du point fixe.
(ii) La méthode de linéarisation, c’est-à-dire la décomposition de certain opérateur de
type Hammerstein par une combinaison des opérateurs linéaires, par exemple la théorie
de Krasnoselkii, Nemytskij
(iii) Un aspect numérique concernant les méthodes de projections ou méthodes
d’approximation par des polynômes orthogonaux dont les points de collocations sont
des zéros de ces polynômes.
Mots clés : Equation intégrale, équation de Hammerstein, espace de Lebesgue, espace d’Orlicz.
Remerciement
Je tiens tout d’abord à témoigner ma vive reconnaissance au Professeur Mostefa
NADIR qui a guidé avec beaucoup d’attention, de gentillesse et de patience mes premiers
pas en recherche en tant que directeur de mémoire de magister et de thèse de doctorat.
Je voudrais exprimer ma profonde gratitude aux Professeurs Abdelkader GASMI,
Benyattou BENABDERRAHMENE, Nacerddine HEMICI, Azedine RAHMOUNE et Abdelbaki
MEROUANI d’avoir accepter et consacrer une partie de leur temps à la rédaction de
rapports et à la participation au jury.
Un grand merci à tous mes collègues de université de Boumerdes et de M’sila, en
particulier Lakehali Belkacem et à tous ceux qui m’ont aidé un jour.
Enfin, et à ce stade, ils doivent déjà se sentir oubliés, je pense à ma mère, mon père,
ma soeur, mes frères et toute ma famille. Leurs amour, affection et soutient sont au-dessus
de tous les remerciements.
Et pour finir, je pense à mes préférés et favoris collaborateurs : ma femme, mes enfants :
Mohammed et Ayoub.
i
Notations
p− = min{pi ,
i = 1, . . . , N } et p+ = max{pi ,
i = 1, . . . , N }.
Ω0 = Ω \ (Ω1 ∪ Ω∞ ).
p∗ = ess inf p(x), p∗ = ess sup p(x).
Ω0
p0i
conjugué de pi , i.e.,
Ω
ouvert borné de RN .
Ω0
1
pi
+
1
p0i
= 1.
∂Ω
frontière de Ω.
|Ω|
mesure de l’ensemble Ω.
|E|
mesure de l’ensemble E.
RN
espace euclidien réel de dimension n.
p.p.
presque partout.
supp(f )
M+
χE
support de la fonction f .
Le cône de tout les fonctions µ-mesurable sur R à valeur dans [0, ∞].
fonction caractéristique de l’ensemble E.
iii
Notation
L0 (Ω)
L’espace de toutes les classes d’équivalence des fonctions à valeurs réelles
mesurables et finies p.p sur Ω.
ϕ
L (Ω) = u : fonction mesurable sur Ω | ∃λ > 0 :
norme de Luxemburg :
kukϕ = kukLϕ (Ω) = inf λ > 0
L0 (Q)
L’ensemble des fonctions mesurables sur Q.
S(ε, r)
La sphère unité.
B(ε, r)
La boule unité.
int(U )
Intérieur de U .
U
La fermeture de U .
co(F )
Codimension de l’ensemble F .
M+
Ensemble des éléments mesurables positifs.
M
EFB
P(Ω)
u
Ω ϕ( λ ) dx
R
Espace fonctionnel de Banach.
Ensemble des partitions des éléments.
Opérateur intégral.
H
Opérateur intégral de Hammerstein.
EI
Equation intégrale.
EIFS
Equation intégrale de Fredholm de deuxième espèce.
EIVS
Equation intégrale de Volterra de deuxième espèce.
iv
< +∞ . muni de la
u
dx ≤ 1 .
ϕ
λ
Ω
Z
Ensemble des éléments mesurables.
A
Notation
EIL
EINL
Equation intégrale linéaire.
Equation intégrale non-linéaire.
v
Introduction
Le cadre général de cette thèse est l’analyse non linéaire dans les espaces fonctionnels
associés à la géométrie de ces espaces. Ce travail est composé de deux parties. Dans la
première partie on s’intéresse principalement aux applications (l’existence de la solution)
des équations intégrales dans les espaces fonctionnels, Lebesgue, Lebesgue à exposant
variable et l’espace d’Orlicz. La seconde partie aborde la structure asymptotique des
espaces fonctionnels de dimension infinie puis certaines propriétés de régularité des polynômes
entre ces espaces en liaison avec cette structure.
Les études de l’équations de Hammerstein
ϕ(x) −
Z
k(x, y)f (y, ϕ(y))dy = g(x)
Ω
a été faite par plusieurs auteurs, parmi ces, Hammerstein utilisé les méthodes variationnelles
et Nemytskij utilisé la technique de décomposition, i.e., decompose l’opérateur A en deux
opérateurs K et N .
Une équation intégrale est une équation dans laquelle l’inconnu, généralement est une
fonction d’une ou plusieurs variables, se produit sous signe intégral. Cette définition
plutôt générale tient compte de beaucoup de différentes formes spécifiques et dans la
pratique beaucoup de types distincts surgissent. Dans la théorie classique d’équations
intégrales on distingue les équations de Fredholm 1 et les équations de Volterra 2 . Dans
une équation de Fredholm les régions d’intégrations sont fixées, tandis que dans une
équation de Volterra une région est variable. Quelques équations intégrales s’appellent
singulières, quelques auteurs appellent une équation singulière si l’intégrale ne peut pas
1. Ivare Fredholm (1866-1927), mathématicien Suédois.
2. Vito Volterra (1860-1940), mathématicien Italian.
viii
Introduction
être interprétée comme d’habitude (c’est-à-dire : dans le sens de Riemann ou de Lebesgue),
mais doit être considéré en tant qu’intégrale de valeur principale.
Des équations qui ont des singularités mais intégrables s’appellent alors faiblement singulières.
D’autres type de singularité s’appellent Winer-Hopp lorsque l’une ou les deux bornes de
l’intégrale égales l’infini.
L’une des transformations intégrales linéaires les plus souples et peut être appliquée
pour résoudre une large variété de problèmes dans les mathématiques, la science et
la technologie, une équation intégrale linéaire (1). La simplicité de cette équation est
trompeuse parce qu’elle inclut des problèmes aussi divers que l’équation en arrière de
la chaleur, la méthode où la transformée de Green pour l’analyse et la solution des
équations. Les généralisations impliquant des dimensions et des non-linearities plus élevées
augmentent non seulement leur applicabilities mais également leur complexité habituelle.
Il est nécessaire d’examiner des applications des équations intégrales, afin d’isoler des
sous-classes des problèmes sur lesquels il est intéressant pour obtenir des algorithmes
fiables. Ainsi, une partie de ces démarches est impliqué les applications examiner des
équations intégrales.
Z
ϕ(x) = g(x) + λ k(x, y)ϕ(y)dy
(1)
I
Historiquement, une classification normale et efficace pour des équations intégrales est
comme suivent l’intervalle de l’intégration I dans (1) est fini et le noyau k(x, y) est
intégrable, trompette comme valeur principale de Cauchy. De tels équations s’appellent
singulières de type de Cauchy sont des équations avec leur intervalles d’intégration soit
semi-infinie ou soit infini. Les niveaux additionnels de la classification dépendent de
la forme, les propriétés de (1) varient considérablement dépend le noyau k(t, x). Par
exemple, si k(t, x) est continu par morceaux, est fortement oscillant, admet une singularité
algébrique, aucune base générale de classification pour ces équations intégrales. D’autres
détails cet sujet de la terminologie ci-dessus et les propriétés mathématiques des types
correspondants de théorie d’équations intégrales voir ([19], [34], [50],...).
Elle était plus il y a de 80 ans, en 1932, cela la était évident les deux livres célèbres sur
l’analyse fonctionnelle par S.Banach, La Théorie des opérateurs linéaires , et l’article
sur les espaces, appelés plus tard espaces d’Orlicz, par W. Orlicz 3 , Uber eine gewise
3. Wladyslaw Orlicz (1903-1990) mathématicien Polonais
ix
Introduction
Klasse von Raumen vom Typus B dans la revue, bull. Acad. Polon. Soc. Lectr, Ser.
La dernière notion est une prolongation importante de la notion des espaces Lp et lp ,
présentée par F. Riesz en 1910 et 1913, respectivement. La naissance des investigations
sur les propriétés géométriques des espaces de Banach, c-à-d., des propriétés qui sont
invariables en ce qui concerne les isometries linéaires, peuvent être remontées à 1936,
quand J.A. Clarkson a introduire la notion des espaces uniformément ronds dans le papier
les espaces uniformément convexes dans la revue, trans. Amer. Maths. Soc, et montré
que le Lp avec 1 < p < ∞ sont des exemples de tels espaces.
Les espaces Lp semble être trop étroite pour fournir un bon modèle pour distinguer
des subtilités, dans diverses propriétés géométriques des espaces de Banach. Un champ
beaucoup plus riche des exemples semble être obtenu en considérant les espaces des
fonctions d’Orlicz Lϕ et de suites lϕ , où ϕ est une fonction d’Orlicz. On distingue dans les
espaces d’Orlicz trois normes, la norme "0" d’Orlicz (k.k0 ), la norme "1" de Luxembourg
(k.k1 ) et la norme "2" d’Amemiya (k.k2 ), qui sont équivalentes, mais l’opérateur d’identité
de (Lϕ0 ) à (Lϕ1 ) et (Lϕ1 ) à (Lϕ2 ), ne sont pas isometries linéaires, ce qui implique
cela du point de vue des propriétés géométriques, parce que ces espaces sont différent
essentiellement.
Bien que l’étude de la structure des espaces d’Orlicz soit intéressante et étendue, beaucoup
d’applications aux équations différentielles et intégrales, avec le noyau de types non
puissance, c’est la raison de base du développement des espaces d’Orlicz.
Cette thèse est organisée en cinq chapitres.
Le premier chapitre, on rappels quelques définitions et des propriétés des opérateurs
linéaires et non-linéaires ( bornés, continus, compact,... etc), aussi quelques théorèmes
fondamentals très utiles dans ce qui suit.
Le deuxième chapitre, on expose brièvement les espaces fonctionnels notamment, espace de
Lebesgue, Lebesgue à exposant variable (généralisé) et l’espace d’Orlicz et leur propriétés,
la structure géométrique, ..., etc.
Dans le troisième, est une introduction à la terminologie et à la classification des équations
intégrales, qui a pour notre objectif, de familiariser le lecteur de cette thèse avec le concept
d’équation intégrale. Ainsi, nous y exposons certains modèles typiques pour voir où de
telles équations sont intéressons.
x
Introduction
Le quatrième, on expose le but de notre travail, concertant l’application de ces équations
intégrales dans les espaces fonctionnels, en aspect fonctionnel, on trouve des résultats sur
la solution des équations intégrales non linéaire de type Hammerstein .
Dans le dernier chapitre, on expose une généralisation de l’espace d’Orlicz ou l’espace
connu comme habituelle espace d’Orlicz-Museilak, et la relation entre les espaces d’Orlicz
et autres espaces, comme les espaces de Sobolev, de Lorentz, de Hardy, ... etc.
xi
Table des Matières
Remerciement
Notations
iii
Introduction
I
i
viii
Notions de bases et préliminaires
1
1
Quelques définitions et théorèmes fondamentals . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1
N-fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Propriétés de N-fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Fonctions de Steklov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Principe du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2
II Espaces Fonctionnels
11
0.1
Espace fonctionnel de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.2
Espace Modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.3
Espace Idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
Espace Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2
Espace Lp(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1
Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
xiii
Table des matières
3
2.2
Inégalités auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3
Complétude de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Espace Lϕ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1
La condition ∆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2
Les classes d’Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3
La structure d’Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4
Complétude des espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5
L’espace E ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6
Critères de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III Classifications et théories des équations intégrales
0.7
1
2
Equation intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Classifications des équations intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.1
Equations intégrales linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.2
Equations intégrales non-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.3
Equations intégrales singulières et faiblement singulières . . . . . . 65
Existence et unicité des solutions des EIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.1
La théorie de Riesz et l’alternative de Fredholm . . . . . . . . . . . 66
2.2
La théorie du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3
Méthode des approximations successives . . . . . . . . . . . . . . . 79
IV Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
81
p
1
Opérateur linéaire dans L (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2
Opérateur non-linéaire dans Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.1
Continuité des opérateurs de type Hammerstein . . . . . . . . . . . 84
2.2
Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3
Opérateurs dans les espaces Lp(x) (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4
Opérateurs linéaires dans Lϕ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5
Opérateurs non-linéaires dans Lϕ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
V Espace d’Orlicz généralisé ou espace d’Orlicz-Musielak
1
xiv
63
113
Propriétés et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Table des matières
2
3
4
La condition ∆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Conclusion générale et perspectives
131
Bibliographie
133
xv
Chapitre I
Notions de bases et préliminaires
Dans ce chapitre on expose des notions et des théorèmes fondamentals, qui l’on utilisera
dans ce qui suit, i.e. les chapitres suivants, ces théorèmes que soit utilisé brièvement que
soit intuitivement, de raison de guider vers l’axe de notre travails.
1
Quelques définitions et théorèmes fondamentals
Définition I.1
1- On dit que l’ensemble M ⊂ C est compact, si seulement si est borné en norme et toutes
les fonctions dans M sont équi-continues uniformément.
2- On dit que l’opérateur A est compact par rapport à un ensemble G dans l’espace E, s’il
transforme l’ensemble G de l’espace E en un ensemble compact dans cet espace.
Définition I.2
Soit E un espace de Banach, et T : E → E un opérateur.
On dit que T est un opérateur compact s’il transforme les ensembles bornés de E en
ensemble relativement compact.
Théorème I.1 (de Banach)
Soit X, Y deux espaces de Banach et soit l’opérateur linéaire A défini de X dans Y , avec
ker(A) = X et Im(A) = Y.
1
Chapitre I. Notions de bases et préliminaires
On suppose que A est continu et l’inverse A−1 existe, alors A−1 est continu.
Preuve. Pour la preuve voir [1].
Théorème I.2 (Théorème de point fixe de Brouwer )
Soit S la sphère unité fermée dans l’espace Ecludien E de dimension n, c’est-à-dire
S = {x; x ∈ E n ; kxk ≤ 1}
Soit T un opérateur continu de S dans S, si kxk ≤ 1, kT (x)k ≤ 1, alors T admet un
point fixe, c’est-à-dire il existe un x dans S, tel que T (x) = x.
Preuve.
Pour la preuve voir [31].
Théorème I.3 (Théorème de point fixe de Schauder )
Toute transformation continue d’un ensemble fermé et convexe d’un espace linéaire complet
en sous ensemble compact, admet un point fixe.
Théorème I.4 (Théorème de point fixe de Schaefer )
Soit E un espace de Banach et T : E → E un opérateur compact, alors
(i) L’équation x = λT x admet une solution pour λ = 1, où
(ii) L’ensemble E = {x ∈ X; x = λT x, λ ∈]0, 1[} est borné.
Preuve.
Pour la preuve voir [68].
Théorème I.5 (de Carathéodory )
Soient F un sous-ensemble d’un espace linéaire E et co(F ) de dimension m. Alors pour
chaque point x de co(F ), est une combinaison convexe de au plus de m + 1 points de F .
Théorème I.6 (de Arzela-Ascoli )
La condition nécessaire et suffisante que la famille des fonctions continues définies sur
l’intervalle compact [a, b] soit compacte dans C([a, b]), est que cette famille soit uniformément
compacte.
2
I.1 Quelques définitions et théorèmes fondamentals
Preuve.
Pour la preuve voir [68].
Lemme I.1
Si U est un ensemble convexe dans un espace normé, alors leur intérieur intU et sa
fermeture U sont convexes aussi.
Preuve.
Pour la preuve voir [48].
Définition I.3
Soit la fonction f : Ω × R → R, on dit que f est satisfaite la condition de Carathéodory,
si
(i) La fonction x → f (x, y) mesurable dans l’ensemble Ω, pour y ∈ R
(ii) La fonction y → f (x, y) est continue dans R, pour x ∈ Ω
Définition I.4
Soit la fonction f : Ω × R → R, satisfaite la condition de Carathéodory, alors pour
chaque fonction ϕ(y) étant mesurable sur l’ensemble Ω, nous définissons l’opérateur F de
superposition comme
(F ϕ)y = f (y, ϕ(y)), y ∈ Ω.
L’opérateur F s’appelle aussi l’opérateur de Nemytskij.
Définition I.5
Soit A : X → Y un opérateur entre deux espaces normés.
On dit que A est compact si l’image de la boule unité BX de X est relativement compacte,
i.e. si A (BX ) est compacte. Ceci est équivalent à dire que toute suite bornée (ϕn ) de X,
on peut extraire de (Aϕn ) une suite convergente dans Y .
Définition I.6
Soit A un opérateur intégral, on dit que l’opérateur A est continu dans l’espace fonctionnel
X, si la suite {un } convergente vers une fonction u, on obtient la suite {A(un )} converge
vers A(u).
3
Chapitre I. Notions de bases et préliminaires
Définition I.7
On dit que la fonction M est convexe, s’elle est vérifiée l’inégalité suivante
M (αu1 + (1 − α)u2 ) ≤ αM (u1 ) + (1 − α)M (u2 )
(I.1)
pour tous α (0 ≤ α ≤ 1).
1.1
N-fonctions
Une généralisation de la fonction définie par ϕ(u) = |u|p , est donnée par la classe des
fonctions suivantes.
Définition I.8
Soit ϕ : R → R une fonction, telle que :
(i) ϕ est paire, convexe et continue,
(ii) ∀ t > s ≥ 0, ϕ(t) > ϕ(s) ≥ 0,
(iii)
ϕ(s)
ϕ(s)
= 0 et
lim
= +∞
lim
s→+∞ s
s→0 s
La fonction ϕ est appelée fonction de Young ou N-fonction.
Théorème I.7
Chaque fonction convexe ϕ(u), qui vérifiée la condition ϕ(a) = 0, peut être représentée
sous la forme
Z u
ϕ(u) =
p(t)dt
a
0
où p(t) est une fonction continue croissante. De même nous avons ϕ (u) = p+ (u)
Preuve. Pour la preuve voir [47].
Nous pouvons définir la fonction ϕ(u) de manière équivalente
Définition I.9 (Définition équivalente)
Une fonction ϕ(u) s’appelle N-fonction s’elle admette la représentation
ϕ(u) =
Z |u|
0
4
p(t)dt
(I.2)
I.1.2 Propriétés de N-fonction
où la fonction p(t) est continue pour t ≥ 0, positive pour t > 0 et non décroissante qui
vérifiée les conditions
p(0) = 0, p(∞) = lim p(t) = ∞
t→∞
(I.3)
Exemple I.1
Les fonctions suivantes sont N-fonctions :
ϕ(t) = |t|p , 1 < p < +∞,
ϕ(t) = e|t| − |t| − 1.
p
ϕ(t) = e(|t| ) − 1, 1 < p < +∞,
ϕ(t) = (1 + |t|) ln(1 + |t|) − |t|.
1.2
Propriétés de N-fonction
1- D’après la représentation (I.2), que chaque N-fonction est continue et augmente pour
des valeurs positives.
2- Les N-fonctions sont convexes, en effet, si
0 ≤ u1 < u2
et par la monotonicité de la fonction p(t), nous avons cela
u1 + u2
ϕ
2
=
Z (u1 +u2 )/2
p(t)dt
0
≤
Z u1
0
"
#
Z u2
1 Z (u1 +u2 )/2
p(t)dt +
p(t)dt +
p(t)dt
2 u1
(u1 +u2 )/2
Z u2
u1
1
p(t)dt +
p(t)dt
=
2 0
0
1
[ϕ(u1 ) + ϕ(u2 )]
=
2
Z
5
Chapitre I. Notions de bases et préliminaires
Dans le cas u1 , u2 sont arbitraires, nous avons
u1 + u2
ϕ
2
!
|u1 + u2 |
= ϕ
2
!
|u1 | + |u2 |
≤ ϕ
2
1
[ϕ(u1 ) + ϕ(u2 )]
≤
2
faisons u2 = 0 en (I.1), nous obtenons
ϕ(αu1 ) ≤ αϕ(u1 ) , 0 ≤ α ≤ 1
la premiere condition (I.3) (p(0) = 0), signifie que
ϕ(u)
=0
u→0 u
lim
(I.4)
pour de la deuxième condition (I.3) (limu→∞ u = ∞), alors
lim
u→∞
ϕ(u)
= ∞,
u
(I.5)
puisque, pour u > 0, on obtient
ϕ(u)
1Zu
=
p(t)dt
u
u Z0
1 u
u
≥
p(t)dt ≥ p( ),
u u/2
2
(I.6)
Définition I.10 (Inégalité de Jensen) Soit ϕ une N-fonction
(i) Soit u1 , u2 , ..., un ∈ R et α1 , α2 , ..., αn des nombres positifs, alors
α1 u1 + α2 u2 + ... + αn un
ϕ
α1 + α2 + ... + αn
6
≤
α1 ϕ(u1 ) + α2 ϕ(u2 ) + ... + αn ϕ(un )
α1 + α2 + ... + αn
(I.7)
I.1.3 Fonctions de Steklov
(ii) Soit α = α(x) définie et positive sur Ω, alors
R
ϕ
Ω u(x)α(x)dx
R
Ω α(x)dx
!
R
≤
Ω
ϕ(u(x))α(x)dx
R
Ω α(x)dx
(I.8)
Remarque I.1
L’inégalité (I.7) est appelée inégalité de Jensen et l’inégalité (I.8) est appelée inégalité
intégrale de Jensen.
1.3
Fonctions de Steklov
Définition I.11
Soit f (x) une fonction définie sur tout l’espace eucludien considéré et soit S(x, ε) la sphère
de rayon ε autour du point x et V (ε) le volume de cette sphère, on appelle la fonction
fε (x) =
1 Z
f (t)dt
V (ε) S(x,ε)
(I.9)
La moyenne intégrale ou fonction de Steklov de la fonction f .
Fonction Maximale
Définition I.12
On définit la fonction maximale dite de Hardy-Littlewood, la fonction définie par
1 Z
M f (x) = sup
|f (y)|dy,
x∈Q |Q| Q
(I.10)
où le cube Q ⊂ Rn .
2
Principe du point fixe
Définition I.13
Soit T un opérateur défini dans un espace de Banach E dans lui-même, alors pour tout
x ∈ E, tel que x = T (x), s’appelle un point fixe de l’opérateur T .
7
Chapitre I. Notions de bases et préliminaires
Théorème I.8
Soit T un opérateur continu dans un espace de Banach E dans lui-même, et on définit la
suite (xm ) par
xm+1 = T (xm ), m = 0, 1, ...
(I.11)
qui converge vers x = x∗ , pour x0 ∈ E, alors x∗ c’est le point fixe de l’opérateur T ,
c’est-à-dire
x∗ = T (x∗ )
(I.12)
Preuve.
On peut le voir directement d’après l’équation (I.11), et que l’opérateur T est continu
x∗ = n→∞
lim xm+1 = m→∞
lim T (xm ) = T (x∗ ).
Définition I.14
Soit T un opérateur d’un espace de Banach E dans lui-même, T est une contraction (ou
application contractante), s’il existe une constante 0 ≤ k < 1 telle que, pour tout x, y ∈ E,
on ait
kT (x) − T (y)k ≤ kkx − yk
(I.13)
Remarque I.2
(i) Si k ≥ 0 dans la relation (I.13), T est dit Lipshchitziènne.
(ii) L’application Lipshchitziènne est nécessairement continue.
(iii) Si k < 1 dans la relation (I.13), T est dite contraction.
(iv) Si k = 1 dans la relation (I.13), T est dit nonexpansive.
Théorème I.9
Soit E un espace de Banach et F un sous-ensemble fermé de E.
Soit f une application contractante de F dans E, alors il existe un unique z ∈ F , tel que
f (z) = z.
8
I.2 Principe du point fixe
Théorème I.10
Soit F un sous-ensemble fermé dans un espace de Banach et soit T : F → F une
application contractante, alors
(a) L’équation T x = x, a une seule unique solution.
(b) La solution unique x peut être obtenu par la limite de la suite {xn } de F définie par
xn = T xn−1 , n = 1, 2, ..., où x0 est un élément arbitraire de F ,
x = lim T n x0
n→∞
Preuve.
Pour la preuve voir [24].
Théorème I.11
Si T un opérateur continu dans un espace de Banach E, tel que pour m ∈ N, l’opérateur
T m est contractant, alors l’équation T m x = x, admet une seule solution, cette solution
c’set le point fixe.
Théorème I.12
Soient A un opérateur borné dans un espace de Banach E dans lui-même et g un élément
de E, alors l’opérateur défini par
T ϕ = αAϕ + g
a un point fixe, pour |α| suffisamment petit, de plus, si k est une constante positive, telle
que
kAϕk ≤ kkϕk, ϕ ∈ E
alors T ϕ = ϕ admet une solution unique pour |α|k < 1.
Preuve.
Puisque l’opérateur A est borné, alors il existe une constante k, telle que
kAϕ1 − Aϕ2 k ≤ kkϕ1 − ϕ2 k pour ϕ1 , ϕ2 ∈ E
9
Chapitre I. Notions de bases et préliminaires
ainsi
kT ϕ1 − T ϕ2 k = |α|kAϕ1 − Aϕ2 k ≤ |α|kkϕ1 − ϕ2 k
et par conséquent T est une contraction, lorsque |α|k < 1.
Dans ce cas et par le théorème précédant, T admet un point fixe unique.
Théorème I.13 (de Krasnoselkii)
Soient E un espace de Banach et C ⊂ E un cône dans E.
On suppose que Ω1 , Ω2 deux sous-ensembles ouverts dans E, avec 0 ∈ Ω1 , Ω1 ⊂ Ω2 et soit
T : C ∩ (Ω2 \Ω1 ) → C
un opérateur compact, tel que, (i) ou (ii) est vrai, alors T admet un point fixe dans
C ∩ (Ω2 \Ω1 ).
(i) kT uk ≤ kuk, u ∈ C ∩ Ω1 et kT uk ≥ kuk, u ∈ C ∩ Ω2 , ou
(ii) kT uk ≥ kuk, u ∈ C ∩ Ω1 et kT uk ≤ kuk, u ∈ C ∩ Ω2
Preuve. Pour la preuve voir [46] ou [56].
Théorème I.14 (de Krasnoselkii)
Soit F un sous-ensemble non vide, fermé et convexe de E et A, B deux opérateurs, tels
que
(i) A(F ) + B(F ) ⊆ F ,
(ii) A est une application contractante,
(iii) B est continu et B(F ) est relativement compact.
Alors, il existe un y ∈ F avec Ay + By = y.
Preuve. Pour la preuve voir [46].
10
Chapitre II
Les espaces fonctionnels, Lebesgue, Lebesgue
à exposons variable et Orlicz
Dans ce chapitre, nous présentons quelques définitions et théorèmes de base sur les
espaces fonctionnels (Construction géométriques des espaces, densité, séparabilité, isometries,
...), notamment les espaces des fonctions, ce sont les espaces de Lebesgue, Lebesgue
généralisé et l’espace d’Orlicz.
0.1
Espace fonctionnel de Banach
Soit (Ω, µ) espace mesuré et soit M+ un cône des fonctions µ-mesurables sur Ω dont
les valeurs dans [0, ∞]
Définition II.1
Soit l’application ρ suivante ρ : M+ → [0, ∞].
On appelle une norme fonctionnelle de Banach l’application ρ, s’elle vérifiée les propriétés
suivantes
Si pour tout f, g et fn (n = 1, 2, ...) dans M+ et pour λ ≥ 0
(P1) ρ(f ) = 0 ⇔ f = 0, µ − p.p.
ρ(λf ) = λρ(f ).
ρ(f + g) ≤ ρ(f ) + ρ(g).
(P2) 0 ≤ g ≤ f, µ − p.p ⇒ ρ(f ) ≤ ρ(g).
11
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
(P3) 0 ≤ fn ↑ f, µ − p.p ⇒ ρ(fn ) ↑ ρ(f ).
(P4) µ(E) < ∞ ⇒ ρ(χE ) < ∞.
(P5) µ(E) < ∞ ⇒
R
E
f dµ ≤ CE ρ(f ) où la constante CE dépend seulement de E.
Définition II.2
Soit ρ une norme fonctionnelle de Banach, X = X(ρ) l’ensemble de toute les fonctions
f dans M avec ρ(|f |) < ∞, s’appelle espace fonctionnel de Banach (EFB), pour toute
f ∈ X, on définit
kf kX = ρ(|f |).
(II.1)
Théorème II.1
Soit ρ norme fonctionnelle de Banach et soit X et k.kX comme dans la définition II.2,
alors sous les opérations naturelles de l’espace vectoriel, l’espace (X, k.kX ) est un espace
vectoriel linéaire normé, avec les inclusion suivantes
S ⊂ X ,→ M0
(II.2)
sont vérifiant, où S est l’ensemble des fonctions µ-simple dans Rn .
En particulier, si fn → f dans X, alors fn → f par mesure dans les ensembles de mesure
finie, et par conséquent les sous-suites convergent ponctuellement vers f µ-p.p.
Preuve. D’après la définition II.2 et de la propriété (P5) de la définition II.1 que chaque
fonction dans X est localement intégrable µ-p.p. et par conséquent fini µ-p.p.(parce que
µ est σ-fini). L’ensemble X hérite des opérations de l’espace vectoriel de M0 et alors il
n’y a aucune difficulté dans l’utilisation (P1) et (II.1) pour vérifier que (X, k.kX ) est un
espace linéaire normé.
La propriété (P4) prouve que X contient la fonction caractéristique de chaque ensemble
de mesure finie et par conséquent, la linéarité de chaque fonction µ-simple. Ceci établit
les inclusions de (II.2).
Il reste de prouver que l’inclusion de X à M0 est continue. Puisque les deux espaces sont
métrisable, donc il suffira de prouver que chaque suite convergente dans X est convergente
aussi dans M0 (à la même limite, naturellement). Mais si fn → f dans X, alors (II.1)
montre
ρ(|fn − f |) → 0, si n → ∞.
12
II.0.1 Espace fonctionnel de Banach
Soit ε > 0 et soit E un sous-ensemble de R de mesure finie. Par la propriété (P5)
µ {x ∈ E : |f (x) − fn (x)| > ε} ≤
Z
E
1
1
|f − fn |dµ ≤ CE ρ(|f − fn |),
ε
ε
ce qui converge vers 0, si n → ∞ puisque CE est indépendant de n. Ceci montre que
fn → f en mesure sur chaque ensemble de mesure fini, ou ce qui est la même chose de
fn → f dans M0 .
Lemme II.1
Soit X un espace fonctionnel de Banach (EFB) et on suppose que fn ∈ X, (n = 1, 2, ...).
(i) Si 0 ≤ fn ↑ f µ-p.p, alors ou bien f ∈
/ X et kfn kX ↑ ∞ ou bien f ∈ X et
kfn kX ↑ kf kX .
(ii) Si fn ↑ f µ-p.p, et si lim inf kfn kX < ∞, alors f ∈ X et kf kX ≤ lim inf kfn kX .
n→∞
n→∞
Preuve. La première assertion est une conséquence immédiate de la définition II.2 et de
la propriété de Fatou (P3). Pour la deuxième partie, Soit hn (x) = inf m≥n |fm (x)| de sorte
que 0 ≤ hn ↑ |f |µ-p.p, et par les propriétés (P2) et (P3), on a
ρ(|f |) =
≤
=
lim ρ(hn )
n→∞
lim ( inf ρ(|fm (x)|))
n→∞ m≥n
lim inf kfn kX < ∞.
n→∞
(II.3)
Théorème II.2
Soit X un EFB, on suppose que
fn ∈ Xn (n = 1, 2, ...) et
∞
X
kfn kX < ∞
n=1
alors
P∞
n=1
fn converge dans X vers la fonction f dans X et
kf kX ≤
∞
X
kfn kX .
n=1
13
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
En particulier l’espace X est complet.
Preuve. Pour la preuve voir [14].
Théorème II.3
Soient X et Y deux espaces fonctionnels de Banach sur le même espace mesuré.
Si X ⊂ Y , alors en effet X ,→ Y , autrement dit (de manière équivalente)
kf kY ≤ ckf kX , f ∈ X
(II.4)
où la constante c est indépendante de f .
Preuve. Supposer X ⊂ Y mais (II.4) n’est pas vraie, alors il existe des fonctions fn ∈ X
pour lequel
kfn kX ≤ 1, kfn kY > n3 , n = 1, 2, ...
Remplaçant chacun fn par sa valeur absolue, nous pouvons supposer fn > 0 pour tout n.
en vertu de la propriété de Riesz-Fischer (théorème II.1) que
X fn
n2
converge dans X vers une certaine fonction dans X.
L’hypothèse que X est un sous-ensemble de Y prouve que f appartient à Y . Mais c’est
impossible parce que 0 ≤ nfn2 ≤ f ainsi
kfn kY ≥
kfn kY
> n, ∀n
n2
. Par conséquent (II.4) est vérifiée pour certaine constante C indépendante de f .
Corollaire II.1
Si les deux espaces fonctionnels de Banach consistent (comprennent) le même ensemble
de fonctions, alors les normes sont équivalentes.
14
II.0.2 Espace Modulaire
0.2
Espace Modulaire
Définition II.3
Soit X un espace vectoriel sur le corps K. La fonction ρ : X → [0, ∞] est dite semimodulaire
dans X, si les propriétés suivantes sont satisfaisantes :
(i) ρ(0) = 0.
(ii) ρ(λx) = ρ(x), ∀x ∈ X, λ ∈ K, avec |λ| = 1.
(iii) ρ est continue à gauche.
(iv) ρ(λx) = 0, ∀λ > 0 implique x = 0.
le semimodulaire ρ est dit continu si,
(v) l’application λ 7→ ρ(λx) est continue dans (0, ∞], pour x ∈ X.
Remarque II.1
1- Le semimodulaire est toujours convexe.
2- Le semimodulaire est dit modulaire si, ρ(x) = 0 implique x = 0.
Exemple II.1
Si 1 ≤ p < ∞ et Ω ⊂ Rn , alors
ρp (f ) =
Z
|f (x)|p dx
Ω
definer un modulaire continu sur L0 (Ω).
Définition II.4
Si ρ est un semimodulaire ou modulaire dans X, alors
Xρ = x ∈ X; lim ρ(λx) = 0
λ→0
est appelé espace semimodulaire ou espace modulaire (respectivement).
Remarque II.2
Puisque ρ(λx) = ρ(|λ|x) require à lim ρ(λx), avec λ ∈ (0, ∞], on peut définir Xρ par :
λ→0
Xρ = {x ∈ X, ρ(λx) < ∞; pour λ > 0} .
15
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
Théorème II.4
Soit ρ un semimodulaire dans X, alors Xρ est un espace vectoriel normé sur le corps K,
où la norme définie par
1
x ≤1
kxkρ = inf λ > 0, ρ
λ
Preuve. • Xρ est un espace vectoriel.
- Il est claire que 0 ∈ Xρ .
- Soit u, v ∈ Xρ et α ∈ K \ {0}, par la définition de Xρ et ρ(αu) = ρ(|α|u) il est claire que
αu ∈ Xρ .
- Par la convexité de la fonction ρ, on peut l’estimer
1 1
1 1
0 < ρ(λ(u + v)) ≤ ρ( λu) + ρ( λv) → 0, λ → 0
2 2
2 2
et par conséquent, on a u + v ∈ Xρ .
Donc Xρ est un espace vectoriel.
• Xρ est un espace normé.
- Il est claire que kukρ < ∞, pour tout u ∈ Xρ et k0kρ = 0, ∀α ∈ K.
kαukρ
αu
= inf{λ > 0 ; ρ
≤ 1}
λ u
≤ 1}
= |α| inf{λ > 0 ; ρ
λ
= |α|kukρ .
- Soit u, v ∈ X et x ≥ kuk, y ≥ kvk, alors
u
v
ρ
≤ 1 et ρ
x
y
!
≤1
et par conséquent de la convexité de ρ, on a
u+v
ρ
x+y
16
!
!
x u
y v
= ρ
+
x+yx x+yy
!
u
y
v
x
ρ
+
ρ
≤1
≤
x+y
x
x+y
y
II.0.2 Espace Modulaire
alors ku + vkρ ≤ x + y, d’où
ku + vkρ ≤ kukρ + kvkρ
- Si kukρ = 0 alors ρ(αu) ≤ 1, ∀α > 0, donc
λu
ρ(λu) ≤ βρ
β
!
≤ β, ∀λ > 0 et β ∈ (0, 1]
d’après les propriétés de ρ, alors ρ(λu) = 0, ∀λ > 0 et que u = 0.
Lemme II.2
Soit ρ un semimodulaire sur X, alors kxkρ ≤ 1 et ρ(x) ≤ 1 sont équivalent.
Si ρ est continu, alors aussi kxkρ < 1 et ρ(x) < 1 sont équivalents, comme kxkρ = 1 et
ρ(x) = 1.
Soient ρ un semimodulaire sur X et xk ∈ Xρ , alors xk → 0 pour k → ∞ si et seulement
si lim ρ(λxk ) = 0 pour tout λ > 0.
k→∞
Preuve.
Si ρ(x) ≤ 1, alors kxkρ ≤ 1 par la définition de k.kρ , d’une part si kxkρ ≤ 1, alors ρ( λx ) ≤ 1
pour tout λ > 1. Puisque ρ est continu à gauche, il suit ρ(x) ≤ 1.
Soit ρ est continu, si kxkρ ≤ 1, alors il existe λ < 1 avec ρ( λx ) ≤ 1, par conséquent et par
les relations
ρ(λx) = ρ(|λ|x) ≤ |λ|ρ(x), pourtout |λ| ≤ 1
(II.5)
et
ρ(λx) = ρ(|λ|x) ≥ |λ|ρ(x), pourtout |λ| ≥ 1,
(II.6)
on peut voir
x
ρ(x) ≤ λρ( ) ≤ λ < 1.
λ
D’une part si, ρ(x) < 1 alors par la continuité de ρ, il existe γ > 0 ou ρ(γx) < 1, puisque
kγxkρ ≤ 1 et kxkρ ≤
1
< 1.
γ
17
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
L’équivalence de kxkρ = 1 et kxkρ = 1 est immédiate.
Soit kxk kρ → 0 et λ > 0, alors kKλxk kρ < 1 pour tout K > 1 et pour une large valeur de
k, ainsi ρ(Kλxk ) ≤ 1, par conséquent
ρ(λxk ) ≤
1
1
ρ(Kλxk ) ≤ .
K
K
Corollaire II.2
Soit ρ un semimodulaire sur X et x ∈ Xρ , alors
(i) Si kxkρ ≤ 1, alors ρ(x) ≤ kxkρ .
(ii) Si kxkρ > 1, alors kxkρ < ρ(x).
(iii) kxkρ ≤ ρ(x) + 1.
Preuve.
(i) Pour x = 0 elle est évidente.
x
x
kρ = 1, on a ρ( kxk
) ≤ 1 puisque
Soit 0 < kxkρ ≤ 1, par le lemme précédent et k kxk
ρ
ρ
kxkρ ≤ 1 et par l’inégalités ( II.5) et ( II.6), on a
ρ(x)
≤ 1.
kxkρ
(ii) Soit kxkρ > 1, alors ρ( λx ) > 1 pour 1 < λ < kxkρ et par ( II.5) et ( II.6), on a
ρ(x)
> 1, puisque λ est arbitraire ρ(x) ≥ kxkρ .
λ
(iii) Elle est immédiatement par (ii).
0.3
Espace Idéal
Les espaces idéaux sont une classe très générale des espaces normés des fonctions
mesurables, qui inclut les espaces de Lebesgue, d’Orlicz, de Lorentz et de Marcinkiewicz,
parfois ces espaces s’appellent également les espaces fonctionnels de Banach ou les espaces
de Köthe. 1
1. G.M.H. Köthe (1905-1989), mathématicien Autrichien.
18
II.1 Espace Lp
1
Espace de Lebesgue Lp(Ω)
Les espaces de Lebesgue 2 Lp (Ω)(1 ≤ p ≤ ∞) joue un rôle principal dans beaucoup
de branches d’analyse mathématique, il y a d’autres classes des espaces de Banach des
fonctions mesurables qui sont également d’intérêt. Les plus grandes classes des espaces
d’Orlicz et des espaces de Lorentz, par exemple, sont d’importance intéresser . Il y a une
littérature considérable traitant chacune de ces classes. Ce terrain d’entente fournit la
base pour la théorie abstraite des espaces fonctionnels de Banach.
Ceci tient compte d’un effet fructueux entre les techniques théories fonctionnelles-analytiques
et de mesure.
Soient Ω un ensemble de Rn et p un nombre réel positif.
On note par Lp (Ω) les classes de toute les fonctions mesurables u définies dans Ω, où
Z
|u(x)|p dx < ∞.
Ω
La fonctionnelle k.kp définie par
kuk =
Z
p
|u(x)|
1
p
Ω
est une norme dans Lp (Ω), pour 1 ≤ p < ∞.
2
Espace de Lebesgue à exposons variable
Les espaces de Lebesgue à exposant variables sont apparus dans la littérature pour
la première fois déjà dans un article 1931 par Orlicz. Le champ des espaces de fonctions
à exposant variables a connu une croissance explosive ces dernières années. La référence
standard pour les propriétés de base c’est l’article [42] par Kováčik et Rákosník. (Les
mêmes propriétés ont été dérivées par différentes méthodes par Fan et Zhao [27], dix (10)
ans après). Quelques aperçus du champ existent voir aussi, par exemple [22].
Le but de ce paragraphe est de suggérer des analogues propriétés des espaces de Lebesgue
Lp , il est clair que nous ne puissions pas simplement remplacer p par p(x) dans la définition
2. Henri-Léon Lebesgue (1875-1941), mathématicien Français.
19
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
usuel de la norme dans le Lp . Cependant, les espaces de Lebesgue peuvent être considérés
comme cas particuliers des espaces d’Orlicz appartenant à une famille plus nombreuse des
soi-disant espaces modulaires.
Si la fonction p est p.p fini dans Ω, alors Lp(x) est un cas particulier de les espaces
d’Orlicz-Musielak.
2.1
Définitions et propriétés
Définition II.5
Soit Ω un ensemble de Rn avec |Ω| > 0, on note par
P(Ω) = {Tous les fonctions mesurables p : Ω → [1, +∞]}
Ωp1 = Ω1 = {x ∈ Ω; p(x) = 1} .
Ωp∞ = Ω∞ = {x ∈ Ω; p(x) = ∞} .
Ω∞
0 = Ω0 = Ω \ (Ω1 ∪ Ω∞ ).
(II.7)
Remarque II.3
• Si |Ω0 | > 0, p∗ = ess inf p(x), p∗ = ess sup p(x).
Ω0
Ω0
∗
• Si |Ω0 | = 0, p∗ = p = 1.
cp = kχΩ1 k∞ + kχΩ0 k∞ + kχΩ∞ k et rp = cp + 1/p∗ − 1/p∗ .
Définition II.6
Soit p ∈ P(Ω), on définit la fonction ρp et k.kp par
ρp (f ) =
Z
Ω\Ω∞
|f (x)|p(x) dx + ess sup |f (x)|.
(II.8)
Ω∞
kf kp = inf {λ > 0 : ρp (f /λ) ≤ 1} .
(II.9)
ρp (f ) et kf kp s’appelle modulaire et la norme de l’espace (respectivement).
Définition II.7
L’espace de Lebesgue généralisé Lp(x) (Ω), c’est les classes de toutes les fonctions u, telles
que
ρp (λu) < ∞, pour λ > 0
20
II.2.2 Inégalités auxiliaires
Lemme II.3
1- Si p ∈ P(Ω), alors on a
kf kp(.) ≤ 1 équivalent à ρp(.) (f ) ≤ 1.
2- Pour f ∈ Lp(.) (Ω), on a
(i) Si kf kp(.) ≤ 1, alors ρp(.) (f ) ≤ kf kp(.) .
(ii) Si 1 < kf kp(.) , alors kf kp(.) ≤ ρp(.) (f ).
Preuve.
La démonstration de cet lemme est basée sur le lemme II.2 et le corollaire II.2.
Remarque II.4
Si la fonction p(x) = p = cst, donc la norme coïncide avec la norme usuelle de l’espace
Lp (Ω), autrement dit
Lp(x) (Ω) = Lp (Ω).
2.2
Inégalités auxiliaires
Théorème II.5 (Inégalité de Hölder)
0
Soit p ∈ P(Ω), pour toute fonction f dans Lp(x) (Ω) et pour toute g ∈ Lp (x) (Ω), on a
l’inégalité suivante
Z
|f (x)g(x)|dx ≤ rp kf kp .kgkp0
Ω
avec la constante rp définie par : rp = cp +
1
p∗
−
1
.
p∗
Preuve.
Evidemment, on peut supposer kf kp 6= 0, kgkp0 6= 0 et |Ω0 | > 0 pour x ∈ Ω p.p, on trouve
1 < p(x) < ∞, |f (x)| < ∞ et |g(x) < ∞.
0
0
f (x)
g(x)
Posons a = kf
, b = kgk
, p = p(x) et p (x) = p , puis en utilisant l’inégalité
kp
p
0
ap b p
ab ≤
+ 0,
p
p
21
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
on intègre sur Ω0 et on utile la relation
ρp (
f
) ≤ 1,
kf kp
on obtient
Z
Ω0
|f (x)g(x)|
1
f
1
g
dx ≤ sup ess
ρp (
) + sup ess 0
ρp (
)
kf kp kgkp0
p(x) kf kp
p (x) kgkp0
Ω0
Ω0
1
1
≤ 1+
+ ∗,
p∗ p
Ainsi
Z
1
1
0
+ ∗ )kf kp kf kp kχΩ0 k∞ + kf χΩ1 k1 kgχΩ1 k∞
p∗ p
+ kf χΩ∞ k∞ kgχΩ∞ k1
|f (x)g(x)dx ≤ (1 +
Ω
≤ rp kf kp .kgkp0 .
Théorème II.6
Soit l’ensemble
n
o
Lp(x) (Ω) = f : kf k0p < ∞ .
Pour f ∈ Lp(x) (Ω), on a l’inégalité suivante
0
c−1
p kf kp ≤ kf kp ≤ rp kf kp
Preuve. Soit f ∈ Lp(x) (Ω).
Si ρp0 (g) ≤ 1 et l’inégalité de Hölder vérifiée, alors
Z
Ω
22
f (x)g(x)dx ≤ rp kf kp kgkp0 ,
II.2.3 Complétude de l’espace
d’où la deuxième inégalité et par conséquent kf k0p < ∞.
Au contraire, soit kf k0p < ∞, puisque
k
f
k0 = c−1
p ≤ 1,
cp kf k0p p
en utilisant la relation (ii) du lemme II.3, alors
ρp f racf cp kf k0p k0p ≤ c−1
p cp = 1,
d’où la première inégalité et f ∈ Lp(x) (Ω).
2.3
Complétude de l’espace
Théorème II.7
L’espace Lp(x) (Ω) est un espace normé complet, c’est-à-dire un espace de Banach.
Preuve. Soit {fk } une suite de fonctions de Cauchy dans L
existe n0 ∈ N, tel que
Z
|fm (x) − fn (x)||g(x)|dx < ε,
p (x)
(Ω), et soit ε > 0, alors il
(II.10)
Ω
pout tout m, n ≥ n0 et pour toute fonction g(x), telle que ρp0 (g) ≤ 1.
On décompose Ω en des sous ensembles disjoints Ωk de mesure finie et on définit les
fonctions
gk = (1 + |Ωk |)−1 χΩk , k ∈ N,
alors
ρp0 (g) ≤
Z
Ωk
(1 + |Ωk |)−p(x) dx + (1 + |Ωk |)−1 ≤ 1.
On remplace g par gk dans (II.10), on trouve
Z
Ωn
|fm (x) − fn (x)|dx ≤ ε(1 + |Ωn |), m, n ≥ n0 , k ∈ N,
alors la suite fn est de Cauchy et convergente dans LΩk par induction on trouve des sous
suites fn(k) et des fonctions f (k) ∈ L1 (Ωk ), telles que fn(k) → f (x) pour x ∈ Ωn , k ∈ N p.p,
23
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
ainsi
(m)
fm
=
∞
X
f (k) (x)χΩk (x) = f (x) pour x ∈ Ω p.p.
k=1
(m)
On remplace fm par fm
dans (II.10) et en utilisant le lemme de Fatou, on obtient
Z
Ω
|f (x) − fn (x)||g(x)|dx ≤ sup
m
Z
Ω
(m)
|fm
(x) − fn (x)||g(x)|dx ≤ ε
pour tout n ≥ n0 et tout g, avec ρp0 (g) ≤ 1. Par conséquent
kf − fn k0p ≤ ε.
Remarque II.5
Si |Ω| = 0, alors l’espace Lp(x) (Ω) c’est l’espace d’Orlicz.
Corollaire II.3
0
1- L’espace dual de Lp(x) (Ω) c’est l’espace Lp (x) (Ω) ssi p ∈ L∞ (Ω).
2- L’espace Lp(x) (Ω) est un espace reflexif ssi
1 < ess inf p(x) ≤ ess sup p(x) < ∞
Ω
Ω
Théorème II.8
Soit 0 < |Ω| < ∞ et p, q ∈ P(Ω), alors
Lq(x) (Ω) ⊂ Lp(x) (Ω), ssi p(x) ≤ q(x), x ∈ Ω p.p
(II.11)
Preuve.
Soit p(x) ≤ q(x), x ∈ Ω p.p, alors Ωp∞ ⊂ Ωq∞ , donc il suffit de démontrer que
kf kp ≤ |Ω| + 1,
24
(II.12)
II.2.3 Complétude de l’espace
pour toute fonction f ∈ Lq(x) avec kf kq ≤ 1 et la relation (ii) du lemme II.3, on trouve
ρq (f ) =
Z
Ω\Ωq∞
|f (x)|q(x) dx + sup ess |f (x)| ≤ 1,
Ωq∞
en particulier |f (x)| ≤ 1, x ∈ Ωq∞ p.p. Ainsi, nous pouvons écrire
ρp (f ) ≤
{x
∈
Ω\Ωq∞ ;
|f (x)| ≤ 1} +
Z
Ω\Ωq∞
q(x)
|f (x)|
dx
+ |Ωq∞ \Ωp∞ | + sup ess |f (x)|
Ωq∞
≤ |Ω| + ρq (f )
≤ |Ω| + 1.
En utilisant la convexité de ρp , on obtient
ρ(
f
) ≤ (|Ω| + 1)−1 ρp (f ) ≤ 1,
|Ω| + 1
alors (II.12) est vérifiée.
Maintenant on suppose le contraire, c’est-à-dire p(x) ≤ q(x) n’est vérifiée, alors il existe
un sous ensemble Ω∗ de Ω, tel que |Ω∗ | > 0 et p(x) > q(x), x ∈ Ω∗ .
Depuis Lq(x) (Ω) ⊂ Lp(x) (Ω) on construit une fonction f ∈ Lq(x) (Ω)\Lp(x) (Ω), si
|Ωp∞ ∩ Ω∗ | > 0,
(II.13)
alors il existe un ensemble A ⊂ Ωp∞ ∩ Ω∗ , 0 < |A| < ∞ et un nombre r ∈ (1, ∞) tels que
1 ≤ q(x) ≤ r < ∞ = p(x), pour tout x ∈ A.
Aussi on peut construire l’ensemble Ak , tel que
−k
A = ∪∞
k=1 Ak , Ak ∪ Aj = ∅, pour k 6= j, |Ak | = 2 |A|, pour k ∈ N
et on définit la fonction
f=
(II.14)
∞
X
3
( )k/r χAk sur Ω,
k=1 2
25
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
alors kf kp ≥ kf χA k∞ = ∞, mais
ρq (f ) =
Z
q(x)
|f (x)
dx =
A
≤
∞ Z
X
3 k/r
) dx
2
k=1 Ak
∞
X
3 k/r
k=1
= |A|
2
)
|Ak |
∞
X
3 k
) = 3|A| = ∞,
k=1 4
i.e., f ∈ Lq(x) (Ω).
Si la condition (II.13) n’est pas vérifiée, alors 1 ≤ q(x) < p(x) < ∞, pour x ∈ Ω∗ p.p, et
il existe un ensemble A ⊂ Ω∗ , 0 < |A| < ∞ et des nombres a > 0, r ∈ (1, ∞), tels que
q(x) + a ≤ p(x) ≤ r, pourtout x ∈ A.
On peut trouver un ensemble Ak satisfait (II.14) et on définit la fonction
f=
∞
X
(2k k −2 )1/q(x) χAk , x ∈ Ω,
k=1
alors
ρp (f ) =
∞
X
2k k −2 |Ak | = |A|
k=1
∞
X
k −2 < ∞,
k=1
i.e., f ∈ Lq(x) (Ω).
D’une part, pour tout λ ∈ (0, 1], on a
ρp (f ) ≥ λ
≥ λ
r
∞ Z
X
(2k k −2 )p(x)/q(x) dx
k=1 Ak
∞
X
r
k −2 1+a/r
(2 k )
|Ak |
k=1
= λr |A|
∞
X
k=1
alors que f ∈
/ Lq(x) (Ω).
26
22k/r k −2(1+a/r) = ∞,
II.2.3 Complétude de l’espace
Théorème II.9
Soit B(x0 , r) la boule de centre x0 et de rayon r inclue dans l’ensemble Ω, et soit p une
fonction continue et non constante. Alors il existe une fonction f ∈ Lp(x) (Ω), telle que
p(x) n’est pas continue au moyenne.
Preuve.
D’après les conditions du théorème, il existe un point z ∈ B(x0 , r) où p n’est pas atteint
avec l’extremum local, alors il existe des suites xn , yn ∈ B(x0 , r), telles que
lim xn = lim yn = z et p(xn ) < p(z) < p(yn ) pour n ∈ N.
n→∞
n→∞
Par la continuité de la fonction p, alors il existe des nombres rn > 0 tels que
1
p(x) < (p(z) + p(xn )) < p(z), x ∈ B(xn , r)
2
(II.15)
p(x) > p(z), x ∈ B(yn , r).
(II.16)
On pose qn = 21 (p(z) + p(xn )) et soit les fonctions fn sur Ω, telles que
supp fn ⊂ B(xn , rn ), fn ∈ Lqn (B(xn , rn ))\Lz (B(xn , rn )) et kfn kqn = 1.
On définit la fonction f par
f (x) =
∞
X
2−n fn (x),
n=1
en vertu de (II.15) et le théorème II.8, on obtient
kf kp ≤
∞
X
n=1
2−n kfn kp ≤
∞
X
2−n kfn kqn (|B(xn , rn )| + 1)
n=1
≤ 1 + sup |B(xn , rn ) < ∞.
n
D’une part, on pose hn = yn − xn et par la relation (II.16) et le théorème précédent, on a
kfhn kp ≥ kfhn χB(yn ,rn ) kp ≥ (1 + |B(yn , rn )|)−1 kfhn χB(yn ,rn ) kp(z)
= (1 + |B(yn , rn )|)−1 kf χB(xn ,rn ) kp(z) = ∞.
27
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
Alors fhn −f ∈
/ Lp(x) et puisque hn → 0, la fonction f n’est pas continue par p(x)-moyenne.
3
Espace d’Orlicz
Les espaces d’Orlicz ont été présentés la première fois en 1931 par le mathématicien
polonais W.Orlicz et plus tard a été baptisé du nom de lui.
Dans cette section on expose les propriétés générales, de cet espace et on fait une extension
des résultats, que nous voyons dans les espaces de Lebesgue.
Fonction complémentaire de N-fonction
Définition II.8
Soit la fonction positive p(t), t > 0, continue à droite pour t ≥ 0, croissante est satisfaite
la condition (I.3). On definit la fonction q(s), (s ≥ 0) par l’égalité
q(s) = sup t.
(II.17)
p(t)≤s
La fonction q est dite fonction conjuguée de la fonction p.
Définition II.9
Si ϕ est une N-fonction, alors la fonction conjuguée (duale) ψ : [0, ∞] → [0, ∞], est
définie par
n
o
ψ = sup xy − ϕ(x) .
Théorème II.10
Soit ϕ une fonction de Young (N-fonction) et ψ la fonction conjuguée, alors ψ aussi est
une fonction de Young.
Preuve.
1- Pour tout y, la relation xy − ϕ(x) = 0, si x = 0 i.e.,ψ(y) ≥ 0, donc il est trivial que
ψ(0) = 0.
28
II.3 Espace Lϕ(x)
2- Si 0 ≤ y1 ≤ y2 , alors
xy2 − ϕ(x) ≥ xy1 − ϕ(x), pour tout x
implique ψ(y2 ) ≥ ψ(y1 ), alors ψ ↑.
Par définition, il existe un nombre 0 < x0 < ∞, tel que ϕ(x0 ) < ∞, ainsi
ψ(y) ≥ x0 y − ϕ(x0 ) pour tout y
tend vers ∞, si y → ∞.
croissante vers une valeur positive,
Puisque ϕ est convexe et ϕ(0) = 0, la fonction ϕ(x)
x
lorsque x tend vers l’infini.
On note par m la limite de cette fonction et on suppose que 0 < y < m, alors
xy − ϕ(x) → −∞, si x → ∞
implique que ψ(y) est finie.
3- ψ est convexe, si 0 ≤ y1 ≤ y2 < ∞ et 0 < λ < 1, alors
x(λy1 + (1 − λ)y2 ) − ϕ(x) = λxy1 + xy2 − λxy2 − ϕ(x)
= λ(xy1 − ϕ(x)) + (1 − λ)(xy2 − ϕ(x))
≤ λψ(y1 ) + (1 − λ)ψ(y2 ), ∀x ≥ 0.
(II.18)
On prend le sup sur le membre à gauche, on trouve
ψ(λy1 + (1 − λ)y2 ) ≤ λψ(y1 ) + (1 − λ)ψ(y2 )
Remarque II.6
Il est facilement de vu que la fonction q possède les mêmes propriétés que la fonction
p, elle est positive pour s > 0, continue à droite pour s ≥ 0, croissante et vérifiée les
conditions
q(0) = 0, lim q(s) = ∞.
(II.19)
s→∞
29
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
Exemple II.2
Soient M1 et M2 deux N-fonctions
α
0
1. M1 (u) = |u|α , α > 0, où p1 (t) = M1 (t) = tα−1 , (t ≥ 0), donc q1 (s) = sβ−1 (s ≥
0) avec α1 + β1 = 1. Alors la fonction conjuguée est
N1 (v) =
Z |v|
0
|v|β
q1 (s)ds =
.
β
0
2. M2 (u) = e|u| − |u| − 1, où p2 (t) = M2 (t) = et − 1 (t ≥ 0) donc q2 (s) = ln(s + 1), (s ≥
0). Alors la fonction conjuguée est
N2 (v) =
Z |v|
0
q2 (s)ds = (1 + |v|) ln(1 + |v|) − |v|.
Remarque II.7
1- Il est imposable dans beaucoup des cas trouvé une formule explicite pour déterminer
2
le complémentaire de N-fonction, par exemple, le N-fonction M (u) = eu − 1, où p(t) =
0
2
M (t) = 2tet , nous ne pouvons pas exprimer q sous la forme explicite.
(αu1 )
2- Pour tout α ∈ [0, 1], Mαu
= Mu(u1 1 ) , on passe a la limite si α → 0 ⇒ contredit de
1
(II.27)
ainsi : M (αu) < αM (u), 0 < α < 1, u 6= 0.
Cette inégalité augmente strictement pour des valeurs positives de u
0
M (u)
M (u )
0
≤
, 0<u <u
0
u
u
On note par M −1 (v), (0 ≤ v < ∞) l’inverse de la N-fonction M (u).
Cette fonction est convexe puisque, en vertu à l’inégalité (I.1), nous avons
M −1 (αv1 + (1 − α)v2 ) ≥ αM −1 (v1 ) + (1 − α)M −1 (v2 ), pour v1 , v2 ≥ 0
30
II.3.1 La condition ∆2
La monotonicité de la dérivée droite p(u) pour N-fonction M (u) implique l’inégalité
M (u) + M (v) =
Z |u|
p(t)dt +
0
≤
Z |u|
p(t)dt
0
p(t)dt +
0
=
Z |v|
Z |u|+|v|
Z |u+v|
p(t)dt
|u|
p(t)dt = M [|u| + |v|] .
(II.20)
|u|
On suppose que a = M (u), b = M (v) sont des nombres non négatifs arbitraires, d’après
la relation (II.20), on a
M −1 (a + b) ≤ M −1 (a) + M −1 (b).
Inégalité de Young
Nous utilisons la ligne du raisonnement habituellement utilisée dans la dérivation de
l’inégalité de Hölder, géométriquement il est clair que l’inégalité suivante est vérifiée
uv ≤ M (u) + N (v)
(II.21)
Remarque II.8
On déduit d’après (II.21) l’inégalité
N (v) ≥ uv − M (u),
et par conséquent on a
N (v) = max [u|v| − M (u)] .
u≥0
(II.22)
La formule (II.22) est une définition de N-fonction complémentaire de M .
3.1
La condition ∆2
Définition II.10
On dit que la N-fonction M (u) satisfaite la condition ∆2 , s’il existe une constante k > 0
31
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
telle que
M (2u) ≤ kM (u), (u ≥ u0 )
(II.23)
pour une valeur positive de u0 .
Remarque II.9
On le voit facilement que nous avons toujours k ≥ 2 puisque, en vertu (I.5), on a
M (2u) > 2M (u) pour u 6= 0.
Exemple II.3
1- La fonction M (s) = |s| ln(|s| + 1) est satisfaite la condition ∆2 . En effet, on peut
vérifier aisément que M est une N-fonction et on a : k = 4.
2- On a aussi, la fonction M (s) = p1 |s|p , pour p > 1 est vérifiée la condition ∆2 . En effet,
on a k = 2p
Définition II.11
Soit ϕ : R → R+ une fonction de Young.
On dit qu’une fonction de Young satisfaite la condition ∇2 , noté ϕ ∈ ∇2 , si
ϕ(x) ≤
1
ϕ(x), x ≥ x0 ≥ 0,
2l
pour l > 1.
Définition II.12
Soit ϕ : R → R+ une fonction de Young.
0
0
1- On dit qu’une fonction de Young satisfaite la condition ∆ , noté ϕ ∈ ∆ , s’il existe une
constante c > 0, telle que
ϕ(xy) ≤ cϕ(x)ϕ(y), x, y ≥ x0 ≥ 0.
0
0
2- On dit qu’une fonction de Young satisfaite la condition ∇ , noté ϕ ∈ ∇ , s’il existe une
constante b > 0, telle que
ϕ(x)ϕ(y) ≤ ϕ(bxy), x, y ≥ y0 ≥ 0.
32
II.3.2
Les classes d’Orlicz
Définition II.13
Soit ϕ : R → R+ une fonction de Young.
1- On dit qu’une fonction de Young satisfaite la condition ∆3 , noté ϕ ∈ ∆3 , pour une
constante b > 0, alors
xϕ(x) ≤ ϕ(bx), x ≥ x0 ≥ 0.
2- On dit qu’une fonction de Young satisfaite la condition ∇3 , noté ϕ ∈ ∇3 , pour une
constante k > 0, alors
ϕ−1 (x)ϕ(x) ≤ kx2 , x ≥ x0 ≥ 0.
L’analyse structurale de base des espaces de fonction sur les espaces de mesure arbitraire
dont les fonctions de Young est le but de cette section. Ce sont les espaces d’Orlicz, et
on montre que sont des espaces de Banach, les espaces Orlicz sont équivalents avec les
normes de gauge, leurs propriétés de séparabilité et des sous-espaces ayant des fonctions
simples denses.
3.2
Les classes des espaces d’Orlicz
Nous d’abord présenterons et étudierons la structure des espaces d’Orlicz sur un espace
de mesure arbitraire, et nous spécialisons ensuite pour obtenir des résultats particuliers.
Soit l’espace mesuré (Ω, Σ, µ) où Ω un certain ensemble de points et Σ est un σ-algèbre.
Remarque II.10
1- Soit Φ : R → R+ une fonction de Young, où la fonction de Young permette de que,
pour un certain x0 ∈ R, si la fonction f : Ω → R est measurable, alors Φ(f ) =: Ω → R+
est measurable.
2- D’après la définition de la fonction de Young, c’est une extension de la fonction réelle
de Borel.
Définition II.14
L’ensemble de toutes les fonctions mesurables f : Ω → R, telles que
Z
Φ(|f |)dµ < ∞,
Ω
e ϕ (µ).
est noté par L
33
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
Remarque II.11
e ϕ (µ) l’ensemble des classes des espaces d’Orlicz.
1- L
e ϕ ne sont pas des espaces vectoriels.
2- Les classes d’Orlicz L
Exemple II.4
e ϕ,
On considère Ω =]0, 1[ et φ(t) = et , alors la fonction u(x) = − 12 ln x appartient à L
mais la fonction v(x) = 2u(x) = − ln x, n’appartient pas.
Théorème II.11
e ϕ (µ) est absolument convexe. i.e. si f, g ∈ L
e ϕ (µ) et α, β des scalaires, tels
(i) L’espace L
que
|α| + |β| ≤ 1, alors
e ϕ (µ).
αf + βg ∈ L
e ϕ (µ) et |f | ≤ |h|, telle que f est measurable, alors f ∈ L
e ϕ (µ)
Aussi si h ∈ L
e ϕ (µ) est linéaire (i.e. espace vectoriel) si Φ ∈ ∆ , globalement quand
(ii) L’espace L
2
µ(Ω) = ∞ et localement si µ(Ω) < ∞.
Preuve.
e ϕ (µ).
(i) Soit f, g ∈ L
Alors par monotonicité et convexité de Φ, pour 0 < γ = |α| + |β| ≤ 1, on obtient
|β|
|α|
|f | +
|g|)
γ
γ
≤ |α|Φ(|f |) + |β|Φ(|g|),
Φ(|αf + βg|) ≤ Φ(|α||f | + |β||g|) ≤ γΦ(
(II.24)
e ϕ (µ).
de même le membre droit est intégrable. Par conséquent αf + βg ∈ L
Le deuxième rapport est clair, puisque Φ(|f |) ≤ Φ(|h|).
e ϕ (µ), 2f ∈ L
e ϕ (µ), puis nf ∈ L
e ϕ (µ)
(ii) Pour la linéarité, il suffit de vérifier que f ∈ L
e ϕ (µ).
pour tout nombre entier n et par conséquent aussi pour α > 0, αf ∈ L
Par la dernière partie de (i), on a
a
b
e ϕ (µ), γ = |a| + |b| > 0,
af1 + bf2 = γ( f1 + f2 ) ∈ L
γ
γ
34
II.3.2
Les classes d’Orlicz
e ϕ (µ), i = 1, 2, par (i).
pour tout fi ∈ L
e ϕ (µ) pour toute f ∈ L
e ϕ (µ). Si Φ est
Ainsi nous devons montrer seulement 2f ∈ L
satisfaite la condition ∆2 , on trouve µ(Ω) = +∞,
Φ(2|f |) ≤ kΦ(|f |), k > 0,
e ϕ (µ) avec f ∈ L
e ϕ (µ).
par conséquent 2f ∈ L
Le cas µ(Ω) < ∞, alors Φ(2x) ≤ kΦ(x), pour x ≥ x0 ≥ 0.
Maintenant soit

 f, |f | ≤ x
0
f1 =
 0, autre
On pose f2 = f − f1 , alors f = f1 + f2 et
Φ(2|f |) = Φ(2|f1 |) + Φ(2|f2 |) ≤ Φ(2|f1 |) + kΦ(|f2 |).
Par conséquent
Z
Ω
Φ(2|f |)dµ ≤ Φ(2x0 )µ(Ω) + k
Z
Φ(|f |)dµ < ∞
Ω
e ϕ (µ), ceci montre que L
e ϕ (µ) est un espace linéaire.
donc 2f ∈ L
Définition II.15
e ϕ (µ) l’ensemble, présenté dans la définition II.14, sur un espace de mesure arbitraire
Soit L
(Ω, Σ, µ). Alors l’espace Lϕ (µ) de toute fonctions mesurables f : Ω → R, telle que αf ∈
e ϕ (µ) pour α > 0, s’appelle l’espace d’Orlicz. Autrement dit
L
Lϕ (µ) = {f : Ω → R, measurable ;
Z
Φ(αf )dµ < ∞ pour α > 0}
(II.25)
Ω
Nous inclurons maintenant deux propriétés supplémentaires liées aux espaces classiques
de Lebesgue L1 (µ) et L∞ (µ), dépendant la détermination de la théorie de l’espace d’Orlicz.
35
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
Proposition II.1
(a) Soit
e ϕ (µ) : Φ portée sur toute N-fonctions},
(i) L1 = ∪{L
e ϕ (µ) : Φ portée sur toute N-fonctions}.
(ii) L∞ = ∩{L
(b) Si (Ω, Σ, µ) un espace mesuré et (Φ, Ψ) couple de N-fonctions complémentaire, alors
e ψ .L
e ϕ où L
e ϕ .L
e ψ = {f.g : f ∈ L
e ϕ (µ), g ∈ L
e ψ }.
L1 (µ) = L
(II.26)
Preuve.
Pour la preuve voir [71].
Remarque II.12
La théorie classique de Lp indique que la partie (a) de la proposition ci-dessus ne se tient
plus (no longer holds), si les fonctions Φ de Young sont restrictions à φ(x) = |x|p , 1 <
p < ∞.
Dans le reste de cette thèse, Ω est un ensemble borné, fermé dans l’espace euclidien de
dimension fini, nous considérons la mesure de Lebesgue habituel. Nous notons que la
majorité des assertions et les constructions présentées ci-dessous, leur validité pour le cas
quand nous considérons un ensemble abstrait borné est fini.
Définition II.16
e ϕ (Ω) la classe de ces fonctions à valeurs réelles,
Soit Φ(u) une N-fonction. On note par L
définie sur Ω, par
Z
ρ(u; Φ) = Φ[u(x)]dµ < ∞.
Ω
Remarque II.13
1- Les fonctions qui est différentes seulement sur un ensemble de la mesure zéro, noteront
soient considérées distinct.
e ϕ (Ω) s’appelle classe d’Orlicz, nous écrirons L
e ϕ au lieu de L
e ϕ (Ω).
2- La classe L
3- Toutes les fonctions bornées, mais non toutes les fonctions sommables, appartiennent
e ϕ.
àL
e ϕ est sommable.
4- On le voit facilement que chaque fonction dans la classe L
36
II.3.2
Les classes d’Orlicz
Proposition II.2
Chaque fonction u(x) qui est sommable sur Ω appartenir à une certaine classe d’Orlicz.
Preuve. On considérons les ensembles Ωn = Ω {n − 1 ≤ |u(x)| < n}. Il est clair que
∞
X
n mes Ωn ≤
Z
|u(x)|dx + mes Ω < ∞.
Ω
n=1
Comme est connu, on peut construire une suite croissante αn telle que, nous avons
∞
X
αn n mes Ωn < ∞.
(II.27)
n=0
On pose
p(t) =



t, si 0 ≤ t < 1
αn , si n ≤ t < n + 1(n = 1, 2, ...)
La fonction p(t) possède toutes les propriétés, pour que
Z |u|
Φ(u) =
p(t)dt
0
est une N-fonction. Puisque
Φ(n) =
Z n
0
p(t)dt ≤ nαn
, nous avons, en vertu à l’équation (II.25), on a
Z
Φ[u(x)]dx =
Ω
≤
≤
∞ Z
X
Φ[u(x)]dx
n=0 Ωn
∞
X
Φ(n) mes Ωn
n=0
∞
X
αn n mes Ωn < ∞.
n=0
e ϕ.
Ce qui montre que u(x) ∈ L
37
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
Comparaison de classes
e ϕ1 et L
e ϕ2 , qui sont déterminées par des N-fonctions distincte ϕ (u)
Les Classes d’Orlicz L
1
et ϕ2 (u), est généralement distincte.
Théorème II.12
L’inclusion suivant
Lϕ1 ⊂ Lϕ2 ,
(II.28)
est vérifié si et seulement si, s’il existe des constantes positives u0 et a telles que
ϕ2 (u) ≤ aϕ1 (u), (u ≥ u0 )
(II.29)
Preuve.
e ϕ,
La condition suffisante de (II.29) est évidente pour une fonction arbitraire u(x) ∈ L
alors on a
ρ(u; ϕ2 ) =
Z
Ω
ϕ2 [u(x)]dx
≤ ϕ2 (u0 ) mes Ω +
Z
Ω
ϕ1 [u(x)]dx < ∞.
On suppose que la condition (II.29) n’est pas vérifiée, alors on identifier une suite de
nombres un croissante, on peut trouver telle que
ϕ2 (un ) > 2n ϕ1 (un ), n = 1, 2, ...
On subdivisé l’ensemble Ω en des sous ensembles disjoints Ωn , tels que
mes Ωn =
ϕ1 (un )mes Ω
, n = 1, 2, ...
2n ϕ1 (un )
et on pose


u(x) = 
38
un (x), si x ∈ Ωn
0, si x ∈ ∪ni=1 Ωn
(II.30)
II.3.3 La structure d’Orlicz
Donc la fonction u(x) est dans Lϕ , puisque
Z
Ω
ϕ1 (u(x))dx =
=
=
∞ Z
X
n=1 Ωn
∞
X
ϕ1 (u(x))dx
ϕ1 (un )mes Ωn
n=1
∞
X
ϕ1 (un )mes Ω
< ∞,
2n
n=1
mais u ∈ Lv phi2 , et en vertu (II.30), on a
Z
Ω
ϕ2 (u(x))dx =
=
≥
∞ Z
X
n=1 Ωn
∞
X
ϕ1 (u(x))dx
ϕ2 (un )mes Ωn
n=1
∞
X
ϕ1 (un )mes Ω = ∞.
n=1
Remarque II.14
En déduit de théorème ci-dessus que les deux fonctions ϕ1 et ϕ2 déterminer la même classe
d’Orlicz, si et seulement si, s’il existe des constantes positives a, b et u0 telles que
aϕ2 (u) ≤ ϕ1 (u) ≤ bϕ2 (u), (u ≥ u0 )
3.3
(II.31)
La structure de l’espace d’Orlicz Lϕ (Ω)
e ϕ est un ensemble convexe, toutes les
D’après l’inégalité de Jensen la classe d’Orlicz L
e ϕ contient les deux fonctions u (x) et u (x) puis il contient également
fois que la classe L
1
2
le segmentent entier
uα (x) = αu1 (x) + (1 − α)u2 (x) (0 ≤ α ≤ 1).
39
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
e ϕ , alors
En effet, si u1 (x), u2 (x) ∈ L
ρ(uα ; Φ) =
Z
Ω
Φ[αu1 (x) + (1 − α)u2 (x)]dx
≤ αρ(u1 ; Φ) + (1 − α)ρ(u2 ; Φ) < ∞.
La norme d’Orlicz
Définition II.17
Soit (Ω, Σ, σ) un espace mesuré.
Soient u : Ω → R une fonction mesurable et (ϕ, ψ) couple complémentaire, de N-fonctions,
alors on définit la norme d’Orlicz k.kϕ : u 7→ kukϕ , par
kuk0 =
kukO
ϕ
Z
= sup
|uv|dµ :
Ω
Z
ψ(v)dµ ≤ 1 .
Ω
Les assertions juste prouvées nous permettrons de présenter la norme d’Orlicz dans
l’ensemble Lϕ à l’aide de l’égalité suivante :
Z
kukϕ = sup ρ(v;ψ)≤1
Ω
u(x)v(x)dx .
(II.32)
D’après la définition la norme ci-dessus, est que satisfaite les axiomes habituels :
1− kukϕ = 0 ssi u(x) = 0 p.p ;
2− kαukϕ = αkukϕ ;
3− ku1 + u2 kϕ ≤ ku1 kϕ + ku2 kϕ .
L’ensemble Lϕ devient un espace linéaire normé qui s’appel l’espace d’Orlicz.
Proposition II.3
La formule (II.32) définie une norme dans Lϕ .
Preuve.
• Soit kukϕ = 0 et soit Ω un sous ensemble de Ω, tel que 0 < µ(Ω) < ∞.
Soit ψ une fonction de Young (N-fonction), alors lim ψ(t) = 0 et par conséquent il existe
n→∞
k > 0, tel que ψ(k) < µ(Ω1 1 ) .
40
II.3.3 La structure d’Orlicz
On définit la fonction v par
v(x) =


x, si x ∈ Ωn
 0, si x ∈ Ω\Ω
1
Alors
Z
ρ(v; ψ) =
Z
ψ(|v(x)|)dx =
ψ(k)dx < 1,
Omega1
Ω
et par la définition da la norme d’Orlicz, on a
kukϕ ≥
Z
|u(x)|v(x)dx = k
Ω
Z
|u(x)|dx,
Ω
et kuk = 0 implique u(x) = 0 pour presque tout x ∈ Ω1 . Puisque Ω1 ⊂ Ω était arbitraire,
u(x) = 0 pour presque tout x ∈ Ω.
Soit u, w ∈ Lϕ (Ω) i.e., kukϕ < ∞, kwkϕ < ∞ et soit c ∈ C, alors
•kcukϕ = sup
v
Z
|cu(x)v(x)|dx = |c| sup
Z
v
Ω
|u(x)v(x)|dx
Ω
= |c|kukϕ < ∞
•ku + wkϕ = sup
v
Z
|(u + w)(x)v(x)|dx =
Ω
= sup
v
≤ sup
v
Z
ZΩ
|u(x) + w(x)||v(x)|dx
|u(x)||v(x)|dx + sup
Ω
v
Z
|w(x)||v(x)|dx
Ω
= kukϕ + kwkϕ .
Lemme II.4
Soit ϕ une fonction de Young et soit u ∈ Lϕ , telle que kukϕ 6= 0, alors
!
|ux|
ϕ
dx ≤ 1.
ku(x)k
Ω
Z
41
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
Preuve.
Si u ∈ Lϕ , alors
Z
|u(x)v(x)|dx =
Ω



kukϕ , si ρ(v, ψ) ≤ 1
kukϕ ρ(v, ψ), si ρ(v, ψ) ≥ 1.
(II.33)
La première partie de l’égalité ci-dessus est immédiatement de la définition de la norme
d’Orlicz.
Pour la deuxième partie nous utilisons la définition de N-fonction, nous avons
ψ(αt) ≤ αψ(t), pour t ≥ 0 et α ∈ (0, 1)
Posons maintenant, t = |v(x)|, α = 1/ρ(v, ψ) et on intègre sur Ω, on obtient
!
1
1
|v(x)| dx ≤
ρ(v, ψ) = 1
ψ
ρ(v, ψ)
ρ(v, ψ)
Ω
Z
et par la définition de la norme d’Orlicz, on a
!
|v(x)|
|u(x)|
dx ≤ kukϕ
ρ(v, ψ)
Ω
Z
ce qui démontre la deuxième partie de l’inégalité.
Théorème II.13
On suppose que u(x) ∈ Lϕ , alors
sup |(u, v)| = sup
ρ(v;ψ)≤1
ρ(v;ψ)≤1
Z
Ω
u(x)v(x)dx
< ∞.
Preuve.
On suppose que cette assertion n’est vraie, alors on peut trouver une fonction u0 (x) ∈ Lϕ
et une suite de fonctions vn (x) ∈ Lϕ , ρ(vn , ψ) ≤ 1, telle que
Z
Ω
42
u0 (x)vn (x)dx > 2n , n = 1, 2, ...
(II.34)
II.3.3 La structure d’Orlicz
On considère la suite de fonctions est croissante
gn (x) =
∞
X
1
v (x), n = 1, 2, ...
k n
n=1 2
En vertu de la convexité de la N-fonction ψ(u), on a
ρ(gn , ψ) ≤
n
X
ρ(vn , ψ) < 1,
k=1
et en vertu de (II.34), alors
Z
Ω
u0 (x)gn (x) ≥ n, n = 1, 2, ...
(II.35)
la suite de fonctions gn (x) est monotone ainsi converge presque par tout sur Ω vers la
fonction
∞
X
1
v (x).
g(x) =
k k
k=1 2
Puisque la suite de fonctions ψ(gn (x)) et aussi croissante, on passe à la limite et en vertu
du théorème de Levi 3 , alors
Z
ψ(g(x))dx = lim
Ω
Z
n→∞ Ω
ψ(gn (x))dx ≤ 1,
alors la fonction g(x) ∈ Lψ .
La monotonicité de la suite de fonctions sommables u0 (x)gn (x) convergent presque par
tout vers la fonction u0 (x)g(x), donc en vertu du théorème de Levi et (II.35), on obtient
Z
Ω
u0 (x)g(x)dx = n→∞
lim
Z
Ω
u0 (x)gn (x)dx = ∞.
Contradiction, puisque u0 (x) ∈ Lϕ .
3. Beppo Levi (1875-1961), mathématicien Italien.
43
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
Remarque II.15
Une propriété évidente de la norme. Si
u1 (x), u2 (x) ∈ Lϕ et |u1 (x)| ≤ |u2 (x)|
presque partout sur Ω, alors ku1 kϕ ≤ ku2 kϕ .
Exemple II.5
Considérons le cas de l’espace Lϕ déterminé par la N-fonction
ϕ(u) = |u|α /α, α > 1.
La N-fonction complémentaire de ϕ est,
ψ(v) = |v|β /β, avec 1/α + 1/β = 1
Soit u1 (x) ∈ Lϕ , alors
ku1 kα =
Z
Ω
|u1 |α dx
α
= 1.
(II.36)
En vertu du l’inégalité du Hölder, pour une fonction arbitraire v(x) ∈ Lψ satisfaite la
condition ρ(v; ψ) ≤ 1, on trouve
Z
Ω
u1 (x)v(x)dx
≤
Z
α
Ω
|u1 (x)| dx
1/α Z
β
|v(x)| dx
1/β
≤ β 1/β ,
Ω
de sorte que
Z
ku1 kϕ = sup ρ(v;ψ)
Ω
u1 (x)v(x)dx ≤ β 1/β .
(II.37)
D’une part, pour la fonction v0 (x) = β 1/β |u1 |α−1 sgn u1 (x), ce qui satisfaite la condition
ρ(v; ψ) = 1, on trouve
Z
Ω
u1 (x)v0 (x)dx = β 1/β
Z
Ω
|u1 (x)|α dx = β 1/β .
De ceci et (II.37) si on regarder que ku1 kϕ = β 1/β .
Maintenant on suppose que u(x) est une fonction arbitraire dans Lϕ , la condition (II.36)
44
II.3.3 La structure d’Orlicz
est vérifiée pour la fonction u1 (x) = u(x)/kukα . Donc
kukM = β
1/β
Z
α
|u| dx
1/α
.
Ω
Ainsi, la norme d’Orlicz définie dans l’espace Lϕ est différente de la norme habituelle
dans l’espace Lα par une constante multiplicateur.
La norme de Luxemburg
L’ensemble Lϕ peut être transformé en espace de Banach à l’aide des normes distinctes
de la norme présentée ci-dessus.
Considérerons une telle norme qui a été étudiée en détail par Luxembourg ([70], [25]).
Définition II.18
Soient ϕ une fonction de Young et u une fonction mesurable définie sur Ω, le nombre
kuk1 =
kukLϕ
1
|ux)| dx ≤ 1
= inf k > 0; ϕ
k
Ω
Z
est appelé la norme de Luxemburg de u.
Remarque II.16
On peut noter, par
kuk1 = inf k,
(II.38)
où le minimum est sur tout k > 0, tel que
"
#
Z
u
u(x)
dx ≤ 1.
ρ( ; ϕ) = ϕ
k
k
Ω
(II.39)
La norme de Amemiya
Définition II.19
Soient ϕ une fonction de Young et u une fonction mesurable définie sur Ω, le nombre
kuk2 = kukA
ϕ = min
k>0
Z
1
1 + ϕ[ku(x)]dx .
k
Ω
est appelé la norme de Amemiya de u.
45
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
Théorème II.14
Soit ϕ(u) une N-fonction arbitraire, avec u(x) ∈ Lϕ , alors la formule
Z
1
1 + ϕ[ku(x)]dx
kukϕ = inf
k>0 k
Ω
(II.40)
est valide.
Preuve.
Soit u(x) une fonction arbitraire dans Lϕ . On suppose que les fonctions un (x) est définies
par

 u(x), si |u(x)| ≤ n
ϕn (x) = 
0, si |u(x)| > n
et
kun kϕ =
Z
1
1 + ϕ(kn un (x))dx
kn
Ω
(II.41)
où
Z
Ω
ψ(p(kn |un (x)|))dx = 1,
alors kn n’est pas croissante
Z
1
1
<
1 + ϕ(kn un (x))dx = kun k ≤ kukϕ .
kn
kn
Ω
Par conséquent, la suite kn converge vers un nombre positif k ∗ . Soit ε > 0, en vertu à
l’équation (II.41), on a
1+
Z
Ω
ϕ(kn un (x))dx = kn kun kϕ < (k ∗ + ε)kukϕ ,
pour n assez grand, on passe à la limite (lemme de Fatou), on obtient
1+
Z
Ω
ϕ(k ∗ u(x))dx ≤ kukϕ (k ∗ + ε),
et pour que ε est arbitraire, alors
Z
1
1 + ϕ(k ∗ u(x))dx ≤ kukϕ .
∗
k
Ω
46
II.3.3 La structure d’Orlicz
Maintenant, on construire une N-fonction ϕ1 avec leur dérivée est continue, telle que
ϕ(u) ≤ ϕ1 (u) < ϕ((1 + ε)u), u > 0,
donc Lϕ = Lϕ1 et
kukϕ ≤ kukϕ1 ≤ (1 + ε)kukϕ ,
(II.42)
de même
Z
1
1 + ϕ(ku(x))dx
k>0 k
Ω
inf
alors
Z
1
1 + ϕ1 (ku(x))dx
k>0 k
Ω
Z
1
1 + ϕ(ku(x))dx ,
≤ (1 + ε) inf
k>0 k
Ω
≤ inf
Z
1
1
kukϕ ≤ inf
1 + ϕ(ku(x))dx ≤ kukϕ1 ,
k>0 k
(1 + ε)
Ω
et par aussi (II.42), on a
Z
1
1
kukϕ ≤ inf
1 + ϕ(ku(x))dx ≤ (1 + ε)kukϕ ,
k>0 k
(1 + ε)2
Ω
donc la formule (II.40) est valide pour la fonction u(x).
Théorème II.15
Soit u ∈ Lϕ (Ω), alors
kuk1 ≤ kuk0 ≤ 2kuk1 .
Preuve. Pour la preuve voir [41].
Lemme II.5
Soit u ∈ Lϕ (Ω), alors
(i) ρ(u, ϕ) ≤ kuk1 , si kuk1 ≤ 1.
(ii) ρ(u, ϕ) ≥ kuk1 , si kuk1 ≥ 1.
Preuve.
On pose α = kukLϕ et t =
u(x)
kukL
ϕ
dans la relation
ϕ(αt) ≤ αϕ(t), α ∈ [0, 1], t ≥ 0,
47
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
et on intègre sur Ω, puis en utilisant la relation
!
!
Z
1
1
u, ϕ = ϕ
|u(x)| dx ≤ 1,
ρ
kukϕ
kukϕ
Ω
on obtient
Z
Ω
ϕ(|u(x)|)dx ≤ kukϕ
!
1
|u(x)| dx ≤ kukϕ ,
ϕ
kukϕ
Ω
Z
ce qui est démontre l’assertion (i). De même manière, en utilisant la relation
ϕ(βt) ≥ βϕ(t), β > 1, t ≥ 0,
dans le cas kukϕ > 1 et on pose β = kukϕ − ε et t =
|u(x)|
kuk−ε
pour ε petit, on obtient
!
|u(x)|
ϕ(|u(x)|)dx ≥ (kukϕ − ε) ϕ
dx
kukϕ − ε
Ω
Ω
> kukϕ − ε,
Z
Z
là où la dernière inégalité suite la définition de la norme du Luxemburg, puisque ε > 0
est arbitraire, donc la deuxième assertion est prouvée.
Remarque II.17
1- Dans le papier ([32]) les auteurs montrer que la norme de Amemiya et d’Orlicz sont
égales.
2- D’après le lemme II.5, alors
ρ(v, ψ) ≤ 1 si est seulement si kvkLψ ≤ 1.
Définition II.20 (La norme de la fonction caractéristique)
Soit v(x) une fonction de Lψ , telle que ρ(v; ψ) ≤ 1, alors d’après l’inégalité intégrale de
Jensen I.10, on a
1 Z
1
1 Z
v(x)dx ≤
v(x)dx ≤
ψ
mes E E
mes E E
mes E
48
II.3.3 La structure d’Orlicz
donc
Z
E
v(x)dx ≤ mes E ψ
−1
1
mes E
(II.43)
où ψ −1 est la fonction inverse de ψ.
Pour une fonction v0 (x) = ψ −1 mes1 E χ(x; E) satisfaite la condition ρ(v; ψ) ≤ 1, on
obtient
Z
E
v(x)dx ≤ mes E ψ
−1
1
.
mes E
(II.44)
Par la définition de la norme, on a
kχ(x; E)kϕ =
≤
Z
sup χ(x; E)v(x)dx
ρ(v;ϕ)≤1 Ω
Z
sup v(x)dx ,
E
ρ(v;ψ)≤1
donc, par les deux inégalités II.43 et II.44, on obtient
kχ(x; E)kϕ = mes E ψ
−1
1
.
mes E
(II.45)
Extension de l’inégalité de Hölder
Théorème II.16
Soit (ϕ, ψ) le couple complémentaires de fonctions de Young.
Si u ∈ Lϕ (Ω) et v ∈ Lψ (Ω), alors u.v ∈ L1 (Ω) et
Z
Ω
|u(x)v(x)|dx ≤ kukϕ kvkψ
(II.46)
Preuve.
Si kvkψ = 0, l’inégalité II.46 est évidente.
si kvkψ 6= 0, nous appliquons le lemme II.4 pour la fonction de Young ψ, on trouve
!
v
ρ
; ψ ≤ 1,
kvkψ
49
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
et par la définition de la norme d’Orlicz de u, on a
Z
|u(x)v(x)|dx ≤
Ω
Z v(x) dx
kvkψ u(x)
kvkψ Ω
≤ kukϕ kvkψ .
Remarque II.18
L’inégalité II.46 peut être vue comme prolongation de l’inégalité de H ?lder, mais il convient
noter que l’inégalité habituelle de Hölder n’est pas cas particulier de II.46.
En effet, si nous traitons les espaces de Lebesgue Lp (Ω) et Lq (Ω) comme des espaces
d’Orlicz Lϕ (Ω) et Lψ (Ω), avec
ϕ(t) =
tq
1 1
tp
et ψ(t) = , p > 1, + = 1,
p
q
p q
alors l’inégalité II.46 est de la forme
Z
Ω
3.4
1
1
|u(x)v(x)|dx ≤ p p q q kukϕ kvkψ
Complétude des espaces
Théorème II.17
Les espaces d’Orlicz Lϕ sont complets, i.e., sont des espaces de Banach.
Preuve.
On suppose que la suite de fonctions un (x) ∈ Lϕ , (n = 1, 2, ...) est convergente en lui
même, c.-à-d.
lim kun − um kM = 0.
(II.47)
n,m→∞
Ceci signifie que pour n’importe quelle fonction arbitraire v(x) ∈ Lψ satisfaite la condition
ρ(v; ψ) ≤ 1, on a
Z
lim
|uu (x) − um (x)||v(x)|dx = 0.
n,m→∞ Ω
alors la suite un (x) (n = 1, 2, .....) converge en mesure, et elle contiennent une sous suite
unk (x) (n = 1, 2, .....) qui est convergente vers une certaine fonction u0 (x) presque partout.
50
II.3.4 Complétude des espaces
Soit ε > 0 un nombre arbitraire, en vertu de (II.47), on peut trouver k(ε) tel que, pour
tout k, k + p > k(ε), on trouve
Z
Ω
|unk+p − unk ||v(x)|dx < ε
(II.48)
pour tout v(x) ∈ Lψ satisfaite la condition ρ(v; ψ) ≤ 1, on passe à la limite dans l’inégalité
(II.48), p → ∞, et par le lemme de Fatou, on obtient
Z
Ω
|un0 − unk ||v(x)|dx ≤ ε.
(II.49)
pour tout v(x) ∈ Lψ satisfaite la condition ρ(v; ψ) ≤ 1.
Par l’inégalité (II.49), premièrement u0 (x) − unk (x) ∈ Lϕ . En conséquent, nous avons
également u0 (x) ∈ Lϕ , et aussi par (II.49), on a
ku0 − unk k ≤ ε
i.e., la sous suite unk (k = 1, 2, ...) converge en norme vers u0 , puisque unk (k = 1, 2, ...)
est une sous suite convergente vers lui même, la suite initiale un (x) (n = 1, 2, ...) aussi
converge vers la fonction u0 (x).
Convergence au moyenne
Nous disons que la suite des fonctions un (x) ∈ Lϕ , (n = 1, 2, ...) est convergente au
moyenne vers la fonction u0 ∈ Lϕ , si
lim
n→∞
Z
Ω
ϕ[un (x) − u0 (x)]dx = 0.
D’après l’inégalité ρ(u; ϕ) ≤ kukϕ que chaque suite un (x), (n = 1, 2, ...) converge en
norme dans l’espace Lϕ vers une fonction u0 (x) est également la convergence au moyenne
vers u0 (x). L’inverse, d’une façon générale n’est pas vraie.
Théorème II.18
Soit ϕ une N-fonction satisfaite la condition ∆2 , alors la convergence en norme équivalente
à la convergence au moyenne.
51
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
Preuve.
Nous avons besoin seulement du fait que la convergence au moyenne implique la convergence
en norme.
e ϕ = Lϕ , n = 0, 1, ... et
Soit un (x) ∈ L
lim
n→∞
Z
Ω
ϕ(un (x) − u0 (x))dx = 0.
(II.50)
1
Soit ε > 0 un arbitraire, tel que 2k−1
< ε, puisque la N-fonction satisfaite la condition ∆2 ,
d’après (II.50), alors
Z
lim
ϕ(2k (un (x) − u0 (x)))dx = 0.
n→∞ Ω
Soit n0 un nombre naturel, tel que pour n ≥ n0 , on a
Z
Ω
ϕ(2k (un (x) − u0 (x)))dx < 1,
alors, en vertu (II.46), on a
k2k (un − u0 )kϕ ≤ ρ(2k (un − u0 ), ϕ) + 1 < 2,
alors
kun − u0 kϕ ≤
1
2k−1
< ε.
Donc la suite un , n = 1, 2, ... converge en norme vers u0 .
Remarque II.19
pour chaque fonction u(x) ∈ Lϕ , nous avons
kukϕ = sup |(u, v)| ≤ ρ(u; ϕ) + 1.
ρ(v;ψ)
L’inégalité II.51 aussi s’appelle inégalité de Hölder.
3.5
L’espace E ϕ
Définition II.21
On note par E ϕ la fermeture dans Lϕ de l’ensemble de fonctions bornées.
52
(II.51)
II.3.5 L’espace E ϕ
Remarque II.20
Comme nous avons déjà noté, l’ensemble de fonctions bornées est partout dense dans la
e ϕ dans le sens de la convergence moyenne. D’après le théorème II.18,
classe d’Orlicz L
e ϕ = Lϕ , si la
l’ensemble de fonctions bornées est partout dense dans l’espace d’Orlicz L
condition ∆2 est satisfaite, alors l’espace E ϕ et Lϕ coïncident.
Séparabilité de E ϕ
Supposons que u(x) est une fonction bornée, |u(x)| ≤ a. En vertu du théorème de Luzin 4 ,
une suite des fonctions continues un (x), |un (x)| ≤ a, on peut trouver u, tel que la
différence u(x) − un (x) est différent de zéro seulement sur un ensemble Ωn ⊂ Ω avec
la mesure inférieur que 1/n. Alors, d’après la formule (9.11) pour la norme de la fonction
caractéristique, on trouve
ku − un kϕ =
sup
ρ(v;ψ)
[u(x) − un (x)]v(x)dx
Ω
Z
Z
≤ 2a sup
|v(x)|dx
ρ(v;ψ) Ωn
= 2akk(x; Ωn )kϕ
= 2a mes Ωn ψ −1
≤
1
mes Ωn
2a −1
ψ (n),
n
donc n→∞
lim ku − un k = 0.
Ainsi l’ensemble des fonctions continues est dense dans l’espace E ϕ .
Conditions nécessaires de séparabilité des espaces d’Orlicz
Comme a été montré ci-dessus, l’espace E ϕ est toujours séparable, ceci signifie que l’espace
e ϕ = Lϕ = E ϕ ,
L
est séparable si la fonction ϕ(u) satisfaite la condition ∆2 .
4. Luzin (1883-1950), mathématicien Russe.
53
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
Théorème II.19
On suppose que la N-fonction ϕ ne satisfaite pas la condition ∆2 , alors l’espace Lϕ n’est
pas séparable.
Preuve.
On considère que l’espace Lϕ est séparable et soit un (x), n = 1, 2, ..., être un ensemble
dense comptable dans Lϕ , d’après le théorème de Luzin, donc on peut trouver l’ensemble
Ω1 ⊂ Ω de mesure nul, pour que les fonctions un (x), n = 1, 2, ... sont continues.
On considère l’espace Lϕ1 (Ω1 ) et note par E ϕ (Ω1 ) la fermeture dans Lϕ1 (Ω1 ) des fonctions
bornées sur Ω1 , alors les fonctions wn (x), n = 1, 2, ..., n sont définies sur Ω1 et coincide
dans l’ensemble qui est correspondant à les fonctions un (x) appartient à E ϕ (Ω1 ), d’après
le théorème de l’espace propre, on peut trouver une fonction w(x) ∈ Lϕ (Ω) telle que
d(w, E ϕ (Ω1 )) > 1, on pose


u(x) = 
w(x), si x ∈ Ω
0, si x ∈ Ω\Ω1 ,
alors
ku − un kϕ =
≥
Z
sup (u(x) − un (x))v(x)dx
ρ(v,ψ)≤1 Ω
Z
sup (un (x) − u(x))v(x)dx
ρ(v,ψ)≤1
Ω1
= kw − wn kϕ > 1.
Alors la suite un (x), n = 1, 2, ... n’est dense dans Lϕ , donc on arrive a une contradiction.
Continuité absolue en norme
Nous dirons qu’une fonction u(x) ∈ Lϕ est continue absolument en norme, si pour ε > 0
on peut trouver un δ tel que
kuχ(x; E)kϕ = sup
ρ(v;ψ)≤1
avec mes E < δ, (E ⊂ Ω)
54
Z
E
u(x)v(x)dx
<ε
II.3.6 Critères de compacité
Théorème II.20
e ϕ est continue absolument en norme, si seulement si u(x) ∈ E ϕ .
Une fonction u(x) ∈ L
Preuve.
Soit u(x) ∈ E ϕ , on suppose que ε > 0 arbitraire et note par u1 (x) la fonction bornée
|u1 (x)| < a, x ∈ Ω, telle que
ε
ku − u1 kϕ ≤ .
2
Puisque la fonction vψ −1 ( v1 ) est décroissante pour v ≥ 0, l’équation δψ −1 ( 1δ ) admet une
solution unique δ > 0.
On suppose que mes E < δ, E ⊂ Ω, alors d’après la formule (II.45), on a
kuχ(x; Ekϕ ≤ ku − u1 kϕ + akχ(x; Ekϕ
1
ε
+ a mes Eψ −1 (
)
≤
2
mes E
ε
1
≤
+ aδψ −1 ( ) = ε.
2
δ
Maintenant on suppose que la fonction u(x) ∈ Lϕ est continue absolument en norme, on
note par Ωn l’ensemble Ω{|u(x)| ≤ n}, puisque u(x) est sommable, alors
lim mes (Ω\Ωn ) = 0
n→∞
en vertu de la continuité absolu en norme, on a
lim ku − uχ(x; Ωn )kϕ = 0
n→∞
ainsi u(x) est la limite de la suite de fonctions bornées dans E ϕ .
3.6
Critères de compacité
Critère de Vallée Poussin
Nous nous rappelons qu’une famille R de fonction ϕ(x) équi-continue absolument en
55
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
intégrale, si pour un ε arbitraire et un h > 0 peut être trouvé, tels que, on a
Z
E
|ϕ(x)|dx < ε
pour toutes les fonctions dans la famille R, où mes E < h.
Le critère général pour l’équi-continue absolument en intégrale d’une famille des fonctions
est donnés par le théorème suivant.
Théorème II.21 (de Vallée Poussin)
Soit ϕ(u), (0 ≤ u < ∞) une fonction monotone et croissante qui satisfaite la condition
lim
n→∞
ϕ(u)
=∞
u
Supposer que u(x) une fonction d’une certaine famille de R, l’intégrale de fonction ϕ[|u(x)|]
est uniformément bornée
Z
ϕ[|u(x)|]dx ≤ A < ∞,
u(x) ∈ R
Ω
Alors la famille R est équi-continue absolument.
Preuve.
Pour la preuve voir [48].
Lemme II.6
e ϕ , uniformément bornée
Supposons qu’une famille de fonction donnée R ⊂ L
kukϕ ≤ A, u(x) ∈ R
Alors la famille Rε de fonctions de Steklov uε (x), u(x) ∈ R est compact selon la norme
choisi (respecté de l’uniformément en norme dans l’espace des fonctions continues sur Ω).
Preuve.
Depuis la relation
"
#
"
#
Z
u(x)
u(x)
dx ≤ ϕ
dx ≤ 1,
ϕ
A
kukϕ
Ω
Ω
Z
56
(II.52)
II.3.6 Critères de compacité
pour u(x) ∈ R et d’après l’inégalité de Young, on trouve
A Z |u(x)|
1 Z
dx
|u(t)|dt ≤
|ur (x)| ≤
mr Sr (x)
mr Ω A
A
≤
(1 + ψ(1)mes Ω).
mr
Ainsi les fonctions de la famille Rr sont uniformément bornées, alors d’après le théorème
de Vallée Poussin et la relation (II.52) les fonctions de la famille R est équi-continues
absolument i.e., pour ε > 0 on peut trouver h > 0, tel que
Z
E
|u(x)dx < ε|
(II.53)
pour toute les fonctions vérifiant mes E < h, E ⊂ Ω.
On note par Sx,y l’ensemble (Sr (x) ∪ Sr (y))\(Sr (x) ∩ Sr (y)) et leur volume inférieur a h
pour d(x, y) < δ. Alors pour toute fonctions dans Rr et d’après (II.53), on trouve
ε
1 Z
|u(t)|dt <
,
|ur (x) − ur (y)| ≤
mr Sx,y
mr
pour d(x, y) < δ, alors les fonctions de la famille Rr sont équi-continues.
Les assertions du lemme suit maintenant le théorème d’Arzela-Ascoli.
Critère de compacité de Kolmogrov pour l’espace E ϕ
Théorème II.22
Une famille R des fonctions de l’espace E ϕ est compacte si et seulement si, les conditions
suivantes sont satisfaisantes
(i) kukϕ ≤ A, u(x) ∈ R
(ii) Pour ε > 0 arbitraire, et un δ > 0 peut être trouvé, tel que r < δ, implique ku−ur kϕ <
ε pour toute les fonctions du famille R.
Preuve.
La suffisante de conditions (i) et (ii) est directement du lemme II.6 et par le théorème
de Fréchet, un ensemble des fonctions est compact dans C(Ω) est aussi compact dans un
espace d’Orlicz Lϕ (Ω).
On suppose que la famille R de fonctions est compacte dans E ϕ , alors on peut construire
57
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
de cette famille un 3ε -net consiste des fonctions continues u(1) (x), u(2) (x), ..., u(n) (x). Alors
les fonctions u(i) , n = 1, 2, ... peut être appartient à la famille R.
Soit r > 0 un nombre tel que d(x, t) < r, on trouve
|u(i) (x) − u(i) (t)|, n = 1, 2, ...
Alors
1 Z
|u(i) (x) − u(i) (t)|dt
mr Sr (x)
ε
, i = 1, 2, ..., n
≤
3c
ku(i) (x) − u(i) (t)k ≤
et
ε
ε
kχ(x; Ω)kϕ = .
3c
3
On suppose que u(x) est une fonction arbitraire de R, on peut trouver une fonction
u(i0 ) (x), telle que ku − ui0 kϕ , alors d’après la relation kur kϕ ≤ kukϕ et (3.6), on a
(i)
ku(i)
r − u kϕ ≤
(i0 )
0)
ku − ur kϕ ≤ k(u − u(i0 ) kϕ + ku(i0 ) − u(i
− ur kϕ
r kϕ + kur
0)
≤ 2k(u − u(i0 ) kϕ + ku(i
− ur kϕ < ε.
r
La nécessité de la condition (ii) est ainsi prouvée, la nécessité de la condition (i) est
évidente.
Remarque II.21
Dans le cas ou la N-fonction ϕ(u) satisfaite la condition ∆2 , alors
e ϕ.
E ϕ = Lϕ = L
Par conséquent dans le cas quand le ∆2 est satisfaisant, théorème II.22 rapporte un critère
nécessaire et suffisant pour la compacité d’une famille de fonction dans Lϕ . Depuis dans
ce cas-ci, la convergence en norme est équivalente à la convergence au moyenne.
Théorème II.23
On suppose que la N-fonction ϕ(u) satisfaite la condition ∆2 .
58
II.3.6 Critères de compacité
e ϕ est
La condition nécessaire et suffisante qu’une famille de fonctions R ⊂ Lϕ = L
compacte, s’il est les deux conditions suivantes soient satisfaisantes :
R
(i) Ω ϕ[u(x)]dx ≤ A, u(x) ∈ R
(ii) pour un ε > 0 arbitraire, et un δ > 0 peut être trouvé, tel que
Z
Ω
ϕ[u(x) − ur (x)]dx < ε
pour toute les fonctions du famille R.
Preuve.
For the proof see [47].
Critère de Riesz pour la compacité des espaces E ϕ
Nous donnerons un critère pour la compacité pour qu’une famille de fonctions dans E ϕ .
Théorème II.24
Une famille R de fonctions dans l’espace E ϕ est compacte si seulement si, les deux
conditions suivantes soient satisfaisantes :
(i) kukϕ ≤ A, u(x) ∈ R
(ii) Pour un ε > 0 arbitraire, et un δ > 0 peut être trouvé, tel que d(h, 0) < δ, alors
ku(x + h) − u(x)kϕ < ε, pour tout u(x) ∈ R
Preuve.
On suppose que u(x) ∈ R et uε (x) est la fonction de Steklov, alors
1 Z
|u(x) − uε (x)| ≤
|u(x) − u(t)|dt.
mε Tε (x)
pour v(x) ∈ Lψ , ρ(v; ψ) ≤ 1, on a
"
#
1 Z Z
|u(x) − u(t)|dt v(x)dx
|uε (x) − u(x)|v(x)dx ≤
mε Ω Tε (x)
Ω
Z
59
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
On change les variables et l’ordre de l’intégration, on obtient
Z
1 Z
|u(x + s) − u(x)|v(x)ds
|u(x) − ur (x)|v(x)dx ≤
mr S0 Ω
Ω
1 Z
ku(x + s) − u(x)kϕ ds,
≤
mr S0
Z
donc
ku(x) − ur (x)kϕ =
sup
ρ(v,ψ)≤1
≤
1
mr
Z
S0
Z
Ω
(u(x) − ur (x))v(x)dx
ku(x + s) − u(x)kϕ ds,
donc la condition (ii) des cet théorème est vérifiée.
La condition (i) de les deux théorèmes est coïncide avec la condition suffisante, alors on
démontre la condition nécessaire.
On suppose que R est une famille de fonctions compacte dans E ϕ , alors on peut extraire
de cette famille un 3ε -net consiste des fonctions continues u(1) (x), u(2) (x), ..., u(n) (x).
On note par c la norme de la fonction caractéristique sur Ω dans Lϕ . Soit le nombre δ > 0,
tel que
ε
|u(i) (x + h) − u(i) (x)| < , i = 1, 2, ..., n
3c
est vérifiée d(h, 0) < δ il est claire que
ε
|u(i) (x + h) − u(i) (x)| < , i = 1, 2, ..., n
3
Soit u(x) est une fonction arbitraire de R, on peut trouver une u(i0 ) (x), telle que
ε
ku − u(i0 ) kϕ < ,
3
alors d’après (II.54) et l’inégalité
ku(x + h)kϕ ≤ sup
Z
ρ(v;ψ)≤1 Ω
60
|u(t)v(t − s)|dt ≤ kukϕ ,
(II.54)
II.3.6 Critères de compacité
on trouve
ku(x + h) − u(x)kϕ = k(u(x + h) − u(i0 ) (x + h)kϕ + ku(i0 ) (x + h) − u(i0 ) (x)kϕ
+ ku(i0 ) (x) − u(x)kϕ < ε.
Autre critère de la compacité
Nous dirons qu’une famille R de fonctions u(x) ∈ Lϕ est absolument équi-continue, si
pour un ε > 0, et un δ > 0 peut être trouvé, tels que kuχ(x; E)kϕ < ε pour toute les
fonctions de la famille R, et mes E < δ.
Clairement dans ce cas, nous avons R ⊂ E ϕ .
Si R est un ensemble compact dans E ϕ , alors on peut montrer, qui est absolument
équi-continue en norme.
Lemme II.7
Une condition nécessaire et suffisante, qu’une suite des fonctions un (x) ∈ E ϕ , (n =
1, 2, ...), qui est convergente en mesure, convergente en norme, alors est absolument équi-continues
en norme.
Preuve.
Pour la condition nécessaire, il suffit du fait qu’une suite convergente est compacte.
Pour la condition suffisante du lemme. On suppose que la suite un (x) ∈ E ϕ , n = 1, 2, ...
converge en mesure et équi-continue absolument en norme.
Soit ε > 0 et on note par
Emn = Ω{|un (x) − u(x)| > η},
où
η=
ε
3 mes Ωϕ−1
1
mes Ω
Soit le nombre δ > 0, tel que
ε
kun χ(x; Ekϕ ≤ , est vérifié mes E < δ.
3
61
Chapitre II. Espaces Fonctionnels
Puisque la suite un (x), n = 1, 2, ... converge en mesure, pour n0 on peut trouver, tel que
mes Emn < δ, pour n, m > n0 . Alors
kun − um kϕ ≤ k(un − um )χ(x; E)kϕ + k(un − um )χ(x; Emn )kϕ
≤ kun χ(x; Emn )kϕ + kum χ(x; Emn )kϕ + ηkχ(x; E)kϕ < ε,
d’où la suite un (x), n = 1, 2, ... converge dans Lϕ .
Théorème II.25
Si la famille R ⊂ E ϕ est absolument équi-continue en norme et est compacte au sens de
la convergence en mesure, alors la famille R est compact dans Lϕ .
Preuve.
Pour chaque suite de la famille R, on peut sélectionner une sous suite qui est converge en
mesure, donc d’après le lemme précédant cette suite est convergente en norme dans Lϕ .
62
Chapitre III
Classifications et théories des équations
intégrales
Dans ce chapitre, on donne les définitions et les types des équations intégrales (classifications)
qui l’on utilisera dans le chapitre qui suit, et on oubliera pas la théorie de ces équations
(compacités des opérateurs intégraux, La théorie de Riesz et l’alternative de Fredholm,...etc)
0.7
Equation intégrale
Une équation intégrale est une équation dans laquelle l’inconnu, généralement une
fonction d’une ou plusieurs variables, s’apparaît sous le signe intégral. Nous allons s’intéresser
beaucoup plus aux équations intégrales non-linéaires dont les formes suivantes
ϕ(x) + f (x) = λ
Z
k(x, t)F (x, t, ϕ(t))dt
(III.1)
Ω
1
Classifications des équations intégrales
La classification des équations intégrales porte sur beaucoup de caractéristiques de
base, ce sont :
(A)- Linéarité ou non, (B)- Limite de l’intégration, (C)- Le placement de la fonction
inconnue.
63
Chapitre III. Classifications et théories des équations intégrales
1.1
Equations intégrales linéaires
Définition III.1
1- On appelle équation intégrale de Fredholm (EIF) de seconde espèce, une équation de la
forme
Z
b
ϕ(x) − λ
k(x, t)ϕ(t)dt = f (x)
(III.2)
a
2- On appelle équation intégrale de Fredholm de première espèce, une équation de la forme
λ
Z b
k(x, t)ϕ(t)dt = 0
(III.3)
a
Définition III.2
1- On appelle équation intégrale de Volterra (EIV) de seconde espèce, une équation de la
forme
Z x
k(x, t)ϕ(t)dt = f (x)
(III.4)
ϕ(x) − λ
a
2- On appelle équation intégrale de Volterra de première espèce une équation de la forme
λ
Z x
k(x, t)ϕ(t)dt = 0
(III.5)
a
Remarque III.1
L’équation intégrale de Volterra est un cas particulier de l’équation intégrale de Fredholm,
il suffit de prendre le noyau K(x, t) = 0 pour t > x.
1.2
Equations intégrales non-linéaires
Définition III.3
1- On appelle équation intégrale non-linéaire de Fredholm (EINF) de deuxième espèce une
équation de la forme
Z
b
ϕ(x) − λ
k(x, t, ϕ(t))dt = f (x)
(III.6)
a
2- On appelle équation intégrale non-linéaire de Fredholm de première espèce, une équation
de la forme
Z
b
k(x, t, ϕ(t))dt = 0
λ
a
64
III.1.3 Equations intégrales singulières et faiblement singulières
Définition III.4
1- On appelle équation intégrale non-linéaire de Volterra (EINV) de deuxième espèce, une
équation de la forme
Z x
ϕ(x) − λ
k(x, t, ϕ(t))dt = f (x)
(III.7)
a
2- On appelle équation intégrale de Volterra de première espèce, une équation de la forme
λ
Z x
k(x, t, ϕ(t))dt = 0
a
Remarque III.2
(i) Si f (x) 6= 0, dans les équations (III.2), (III.4), (III.6) et (III.7) sont dites non
homogènes.
(ii) Si f (x) = 0, dans les équations (III.2), (III.4), (III.6) et (III.7) sont dites homogènes.
Définition III.5
1- On appelle équation intégrale de Uryson une équation de la forme
Z
ϕ(x) −
F (x, t, ϕ(t)) = g(x), t ∈ Ω,
Ω
où F et g sont des fonctions arbitraires.
2- On appelle équation intégrale de Hammerstein, une équation de la forme
ϕ(x) −
Z
k(x, t)f (t, ϕ(t)) = g(x), t ∈ Ω
Ω
Remarque III.3
L’équation de Hammerstein est un cas particulier de l’équation de Uryson.
1.3
Equations intégrales singulières et faiblement singulières
Définition III.6
1- Considérons l’équation intégrale suivante
ϕ(x) −
Z
R(x, t)ϕ(t)dt = g(x).
(III.8)
Ω
65
Chapitre III. Classifications et théories des équations intégrales
On dit que (III.8) est singulière si R(x, t) admet une singularité ou le domaine Ω n’est
pas borné. 2- On considère l’équation intégrale de deuxième espèce suivante
ϕ(x) −
Z
k(x, t)ϕ(t)dt = g(x),
(III.9)
Ω
où k(x, t) est singulier ou faiblement singulier, en générale k(x, t), est donné par


k(x, t) = 
|x − t|−α , 0 < α < 1
log |x − t|
Alors
(i) Le cas ou k(x, t) = |x − t|−α , 0 < α < 1 l’équations (III.9) est de Abel.
(ii) Le cas ou k (x, t) = log |x − t| s’appelle singularité logarithmique.
Définition III.7
On appelle équation intégrale de Carleman, une équation de la forme
a(x)
1 Z 1 b(t)
1 Z 1 ϕ(t)
dt +
ϕ(t)dt = f (x)
πi −1 t − x
πi −1 t − x
où a, b et ϕ sont des fonctions continues
Remarque III.4
L’équation de Carleman admet une singularité de type de Cauchy.
2
2.1
Existence et unicité des solutions des EIs
La théorie de Riesz et l’alternative de Fredholm
Dans ce paragraphe, on désigne par A : X → X l’opérateur linéaire compact dans un
espace normé dans lui-même.
Nous présentons la théorie de base pour une équation
ϕ − Aϕ = f.
66
III.2.1 La théorie de Riesz et l’alternative de Fredholm
On définit l’opérateur L, par
L=I −A
où I designe l’opérateur d’identité.
Théorème III.1 (Premier Théorème de Riesz)
L’espace nul de l’opérateur L, i.e. le noyau de l’opérateur L
Ker(L) = {ϕ ∈ X : Lϕ = 0}
est un sous-espace de dimension fini.
Preuve.
Le noyau de l’opérateur linéaire borné L est un sous-espace fermé de X. Puisque pour
chaque suite ϕn → ϕ, n → ∞ et Lϕn = 0, alors on a Lϕ = 0, donc
ϕ ∈ Ker(L) est équivalent à Aϕ = ϕ.
Et donc la restriction de A sur Ker(L) coïncide avec l’opérateur d’identité sur Ker(L),
l’opérateur A est compact dans X et donc rendre compact de Ker(L) sur Ker(L), puisque
Ker(L) est fermé. Par conséquent Ker(L) est de dimension fini.
Théorème III.2 (Deuxième Théorème de Riesz)
L’image de l’opérateur L, i.e.
Im(L) = {Lϕ : ϕ ∈ X}
est un sous-espace linéaire fermé et de co-dimension finie
Preuve.
L’image de l’opérateur L est un sous-espace. Soit f un élément de L(X), alors il existe
une suite (ϕn ) de X tel que Lϕn → f, n → ∞, on choisit la meilleure approximation χn ,
i.e.
kϕn − χn k = inf kϕn − χn k ,
χn ∈Im(L)
67
Chapitre III. Classifications et théories des équations intégrales
on définit la suite
ϕen = ϕn − χn , n ∈ N,
qui est bornée.
On suppose que
ϕen(k) , telle que
la
suite
(ϕen ) n’est pas bornée, alors on peut extraire une sous-suite
en(k) ≥ k, pour tout k ∈ N, maintenant on pose
ϕ
ϕen(k)
, k ∈ N,
ψk = en(k) ϕ
avec kψk k = 1 et A est compact, alors il existe une sous-suite ψk(j) telle que Aψk(j) →
ψ, j → ∞ en d’autre part
Lψk =
en(k) Lϕ
en(k) ϕ
≤
en(k) Lϕ
k
→ 0, k → ∞,
puisque la suite (Lϕn ) est converge et donc bornée. Par conséquent
Lψk(j) → 0, j → ∞,
alors, on obtient
ψk(j) = Lψk(j) + Aψk(j) → ψ, j → ∞
et puisque L est borné, et par les deux équations précédentes nous concluons que Lϕ = 0.
Mais comme
χn(k) + ϕen(k) ψ ∈ Im (L) , ∀k ∈ N,
on trouve
o n
1
e
ϕ
−
χ
+
ϕ
kψk − ψk = n(k)
n(k)
n(k) ψ en(k) ϕ
1
inf ≥ ϕ
−
χ
n
n(k)
χ∈Im(L)
en(k) ϕ
1
ϕ
−
χ
= n(k)
n(k) = 1.
en(k) ϕ
68
III.2.1 La théorie de Riesz et l’alternative de Fredholm
Ceci contredit le fait que cela ψk(j) → ψ, j → ∞. Par conséquent (ϕen ) est bornée,
et puisque A est compact, on peut extraire une sous suite ϕen(k) telle que Aϕen(k)
converge pour k → ∞. En raison que Lϕen(k) → f, k → ∞, et par
ϕen(k) = Lϕen(k) + Aϕen(k)
On observe que ϕen(k) → ϕ ∈ X, k → ∞, mais Lϕen(k) → Lϕ ∈ X, k → ∞.
Théorème III.3 (Troisième Théorème de Riesz)
Il existe un unique r ∈ N appelé nombre de Riesz de l’opérateur L tel que :
{0} = Ker(L0 ) ⊂ Ker(L1 ) ⊂ ...... ⊂ Ker(Lr ) ⊂ Ker(Lr+1 )
E = Im(L0 ) ⊃ Im(L1 ) ⊃ .......... ⊃ Im(Lr ) ⊃ Im(Lr+1 ).
Et on a la somme directe
E = Ker(Lr ) ⊕ Im(Lr ).
Preuve.
Pour la preuve voir [50]
Théorème III.4
De même conditions dans les théorèmes précédents, alors
(i) I − A est injectif si et seulement s’il est surjectif.
(ii) Si I − A est injectif, alors l’opérateur inverse (I − A)−1 : X → X est borné.
Preuve.
Par le théorème III.2, l’injectivité de l’opérateur I − A est équivalent de r = 0. Et par
le théorème III.3, la surjectivité de l’opérateur I − A est équivalent de r = 0, puisque
l’injectif et le surjectif de l’opérateur I − A sont équivalent.
Il reste de montrer que L−1 est borné quand le L = I − A est injectif. Assume que L−1
n’est pas borné alors il existe une suite (fn ) de X avec kfn k = 1 telle que kL−1 fn k ≥ n
pour tout n ∈ N, on définit
gn =
fn
L−1 fn
,
ϕ
=
, ∀n ∈ N
n
kL−1 fn k
kL−1 fn k
69
Chapitre III. Classifications et théories des équations intégrales
alors gn → 0, n → ∞, et kϕn k = 1 pour tout n. Puisque A est compact, on peut extraire
une sous suite ϕn(k) telle que Aϕn(k) → ϕ ∈ X, k → ∞, alors puisque
ϕn − Aϕn = gn
on observe que ϕn(k) → ϕ, k → ∞ et ϕ ∈ Im(L). Par conséquent ϕ = 0, contradiction.
Car
kϕn k = 1 pourtout n.
Corollaire III.1
i- Si l’équation homogène
ϕ − Aϕ = 0
(III.10)
admet seulement la solution triviale ϕ = 0, alors pour tout f ∈ X l’équation
ϕ − Aϕ = f
(III.11)
admet une solution unique ϕ ∈ X et cette solution et depend de la continuité de f .
ii- Si l’équation homogène (III.10) n’admet pas la solution triviale ϕ = 0, alors elle a
seulement un nombre fini m ∈ N de solutions ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕn de X sont linéairements
independents et l’équation non homogène (III.11) est unsolvable ou sa solution est de
la forme générale
ϕ=
ϕe +
m
X
αk ϕ k ,
k=1
où α1 , α2 , ..., αk sont des nombres arbitraires complexes et ϕe une solution particulière de
l’équation non homogène.
Preuve.
Pour la preuve voir [50]
Définition III.8
Soit A : X → X un opérateur linéaire compact dans un espace normé dans lui même.
Le nombre complexe λ est appelle valeur propre, s’il existe un élément ϕ ∈ X, ϕ 6= 0 tel
que Aϕ = λϕ
70
III.2.1 La théorie de Riesz et l’alternative de Fredholm
Remarque III.5
(i) Le nombre λ s’appelle une valeur de régulière de A.
(ii) Si (λI − A)−1 existe et borné, alors l’ensemble de toute valeur régulière de A est
appelée l’ensemble des résolvant ρ (A) et R (λ; A) = (λI − A)−1 .
(iii) Le complément de ρ (A) dans C est appelé le specter de A, noté σ (A) et r(A) =
sup |λ| est appelé le rayon spectral de A.
λ∈σ(a)
Théorème III.5 (Série de Neumann)
Soit A un opérateur linéaire borné d’un espace de Banach E dans lui même, avec kAk < λ.
Alors Aλ = A − λI admet un opérateur inverse borné donné par la série
(A − λI)−1 = −
∞
X
Ak
,
k+1
k=0 λ
de plus
(A − λI)−1 ≤
1
kλk − kAk
Preuve.
Puisque kA/λk < 1, on a
∞ k
X
A k
λ k=0
≤
∞ X
A k
k=0
λ
< ∞.
Donc, puisque l’espace L(E, E) est complet, alors il existe un opérateur linéaire borné B
dans E, tel que
∞
X
Ak
B=
.
k
k=0 λ
71
Chapitre III. Classifications et théories des équations intégrales
D’ailleurs
∞
X
Ak
(A − λI)B = (A − λI)
k
k=0 λ
∞
X
=
(A − λI)
k=0
∞
X
!
Ak
λk
Ak+1 − λAk
λk
k=0
=
= λ
∞
X
Ak+1 Ak
− k
λk+1
λ
k=0
!
= −λI,
ainsi que
(A − λI)−1 = −
∞
X
B
Ak
=−
.
k
λ
k=0 λ
Pour démontre la deuxième relation, on observe que
∞ k
1 X
1
1
A kAλ k ≤
k =
|λ| k=0 λ |λ| kλk − kAk
1
.
=
kλk − kAk
Corollaire III.2
Soit A un opérateur linéaire borné dans un espace de Banach, alors l’équation
x = x0 + λAx
admet une solution unique donnée par
x=
∞
X
k=0
72
λk Ak x0 , avec |λ|kAk < 1.
III.2.2 La théorie du point fixe
Théorème III.6
Sous les hypothèses du théorème III.5, la méthode des approximations successives
ϕn+1 = Aϕn + g, n = 0, 1, 2, ...
converge vers l’unique solution ϕ de l’équation Aϕ − ϕ = g, pour toute g ∈ X et ϕ0 est
arbitraire dans X.
Preuve.
On ait, la successive
ϕ0 = g
ϕ1 = Aϕ0 + g
ϕ2 = Aϕ1 + g = A2 ϕ0 + Ag + g
.
.
.
ϕn = Aϕn−1 + g,
alors
ϕn+1 = An ϕ +
n−1
X
Ak g,
k=0
d’où
lim ϕn = lim
n→∞
2.2
n→∞
n−1
X
k
A g=
k=0
∞
X
Ak g = (I − A)−1 g.
k=0
La théorie du point fixe
Théorème III.7
Soit l’équation suivante
ϕ(x) − λ
Z b
k(x, y)ϕ(y)dy = g(x)
a
73
Chapitre III. Classifications et théories des équations intégrales
admet une solution unique ϕ ∈ L2 ([a, b]), avec le noyau k est continu sur l’intervalle [a, b],
2
g ∈ L ([a, b]) et |λ|k < 1, avec k =
s
Z bZ b
a
|k(x, y)|2 dxdy
a
Preuve.
On considère l’équation
(T ϕ)(x) = g(x) + λ
Z b
(III.12)
k(x, y)ϕ(y)dy,
a
puisque g ∈ L2 ([a, b]), T ϕ ∈ L2 ([a, b]). Si
Z b
k(x, y)ϕ(y)dy ∈ L2 ([a, b]).
a
En utilisant l’inégalité de Schwartz, donc
Z
b
k(x,
y)ϕ(y)dy
a
Z b
≤
|k(x, y)ϕ(y)| dy
a
Z b
≤
!1
Z b
2
|k(x, y)|2 ϕ(y)dy
a
!1
2
|ϕ(y)|2 dy
,
a
donc
2
Z
b
k(x, y)ϕ(y)dy a
≤
Z b
|k(x, y)|2 ϕ(y)dy
! Z
b
a
!
|ϕ(y)|2 dy ,
a
alors
2
Z b Z b
k(x,
y)ϕ(y)dy
dx
a
a
≤
≤
Z b
Z b
a
a
Z bZ b
a
|k(x, y)|2 ϕ(y)dy
! Z
b
a
74
a
2
2
|k(x, y)| dydx
a
|k(x, y)| dydx < ∞
|ϕ(y)|2 dy dx
a
Z b
|ϕ(y)|2 dy.
a
Puisque
Z bZ b
!
et
Z b
a
|ϕ(y)|2 dy < ∞,
III.2.2 La théorie du point fixe
alors l’équation (III.12) est satisfaisante et T de L2 ([a, b]) dans lui-même.
Notons que la démonstration ci-dessous est également que l’opérateur défini par
(Aϕ)(x) =
Z b
k(x, y)ϕ(y)dy
a
est borné, donc par le théorème I.10 l’équation T ϕ = ϕ admet une solution unique, pour
|λ|k < 1.
Théorème III.8
On suppose que le noyau k est continu, g(x) ∈ L2 ([a, b]) et
R
(a) k ab k(x, y, ϕ(y))k ≤ M kϕ(y)k.
(b) |k(x, y, z1 ) − k(x, y, z2 )| < N (x, y)|z1 − z2 |, x, y, z1 , z2 ∈ [a, b].
R R
(c) ab ab |N (x, y)|2 dxdy = k 2 < ∞.
Alors l’équation non-linéaire de type Fredholm
ϕ(x) − λ
Z b
k(x, y, ϕ(y))dy = g(x)
a
admette une solution dans L2 ([a, b]), avec |λ|k < 1.
Preuve.
On considère l’opérateur
T ϕ = g + λAϕ,
où
(Aϕ)(x) =
Z b
k(x, y, ϕ(y))dy,
a
alors
kT ϕ1 − T ϕ2 k =
Z
b
|λ| [k(x, y, ϕ1 (y)) − k(x, y, ϕ2 (y))] dy a
"Z
Z
b
b
≤ |λ|
a
≤

Z b
|λ| 
a
a
Z b
a
!# 1
2
2
|k(x, y, ϕ1 (y)) − k(x, y, ϕ2 (y))| dy
!2  21
N (x, y)|ϕ1 (y) − ϕ2 (y)|dy

≤ |λ|kkϕ1 − ϕ2 k.
75
Chapitre III. Classifications et théories des équations intégrales
Il est clair que, si |λ|k < 1, T est un opérateur contractant, de sorte qui admet un point
fixe, ce point c’est la solution de l’équation non-linéaire.
Théorème III.9
On considère l’équation intégrale de Volterra de deuxième espèce (EIVSE)
ϕ(x) − λ
Z x
k(x, y)ϕ(y)dy = g(x)
(III.13)
0
On suppose que g ∈ L2 ([0, 1]) et le noyau k vérifé
Z 1Z 1
0
|k(x, y)|dxdy < ∞
(III.14)
0
alors l’équation (III.13) admet une solution unique dans L2 ([0, 1]), pour tout λ ∈ C.
Preuve.
On pose
A(x) =
Z x
2
|k(x, y)| dy, B(y) =
|k(x, y|dx
y
0
avec la condition
Z 1
Z 1Z 1
0
|k(x, y)|dxdy < ∞
0
les fonctions A et B sont intégrables, de sorte qu’il existe une constante M , telle que
Z 1
A(x)dx ≤ M et
0
Z 1
B(y)dy ≤ M
0
On définit la fonction λ sur [0, 1], par
λ(x) =
Z x
A(y)dy
0
il est clair que λ(1) ≤ M . On considère l’opérateur suivant
(T ϕ)(x) = λ
Z x
k(x, y)ϕ(y)dy + g(x)
0
Si T a un point fixe, alors ce point doit être une solution unique de l’équation (III.13).
Pour démontre que, si le point fixe existe pour certains n ∈ N, il suffit de montre que T n
76
III.2.2 La théorie du point fixe
est contactant.
Par le théorème I.9, l’opérateur T admet un seule point fixe.
On écrit T ϕ = λW ϕ + g, avec
(W ϕ)(x) =
Z x
k(x, y)ϕ(y)dy.
0
Alors
T n ϕ = λW g + λ2 W 2 g + ... + λn W n g + g,
et
Z x
(W n ϕ)(x) =
0
km (z, y)ϕ(y)dy,
où
k1 (x, y) = k(x, y)
Z x
km (x, y) =
y
k(x, z)km−1 (z, y)dy, (m = 2, 3, ...)
Pour estimer la valeur kW k, nous examinons Km pour m = 2, on ait
k2 (x, y) =
Z x
y
k(x, z)k1 (z, y)dy
En appliquant l’inégalité de Schwartz, on trouve
2
|k2 (x, y)| ≤
Z x
2
|k(x, z)| dz
Z x
y
y
|k1 (z, y)|2 dz ≤ A(x)B(y),
même pour
2
|k3 (x, y)|
≤
Z x
2
|k(x, z)| dz
y
≤ A(x)B(y)
Z x
y
Z x
|k2 (z, y)|2 dz
A(z)dz = A(x)B(y) (λ(x) − λ(y)) .
y
Par indication, nous pouvons montrer que
[λ(x) − λ(y)]m−2
|km (x, z)| ≤ A(x)B(y)
, m ≥ 2,
(m − 2)!
2
77
Chapitre III. Classifications et théories des équations intégrales
donc
m
m
2
|T ϕ1 − T ϕ2 |
2m
= |λ|
|
Z x
0
2m
≤ |λ|
"Z
0
x
km (x, y)[ϕ1 (y) − ϕ2 (y)]dy|2
A(x)B(y) [λ(x) − λ(y)]m−2 Z x
dy
|ϕ1 (y) − ϕ2 (y)|2 dy
(m − 2)!
0
#
A(x) [λ(x)]m−2 Z x
B(y)dykϕ1 ϕ2 k
(m − 2)!
0
|λ|2m A(x) [λ(x)]m−2 M
≤
kϕ1 ϕ2 k.
(m − 2)!
2m
≤
|λ|
En intégrant, avec x dans (0, 1), on obtient
kT m ϕ1 − T m ϕ2 k2 ≤
|λ|2m M m
kϕ1 ϕ2 k2 , m ≥ 2,
(m − 2)!
donc, puisqu’il existe n ∈ N, tel que
|λ|2n M n
< 1.
(n − 1)!
T n est contractant, ce qui implique que l’équation (III.13) admet une solution unique.
Théorème III.10
On considère l’équation suivante
ϕ(x) = λ
Z x
k(x, y)ϕ(y)dy, x ∈ [0, 1]
(III.15)
0
qui admet seulement la solution triviale ϕ = 0.
Preuve.
Soit l’équation homogène de deuxième espèce de Volterra
ϕ(x) = λ
Z x
k(x, y)ϕ(y)dy, x ∈ [0, 1],
0
alors
|ϕ(x)| = |λ|
Z x
0
78
|k(x, y)ϕ(y)|dy ≤ |λ|M p,
(III.16)
III.2.3 Méthode des approximations successives
où
p=
Z 1
|ϕ(y)|dy,
0
et
|k(x, y)| ≤ M, pour x, y ∈ [0, 1].
Par conséquent, et si on remplace la relation (III.16) dans (III.15), on obtient
|ϕ(x)| = |λ|
Z x
|k(x, y)||λ|M pdy ≤ |λ|2 M 2 px
0
En continuant le processus, on obtient
|ϕ(x)| ≤ |λ|n M n p
|λ|n M n p
xn−1
≤
−→ 0 lorsque n → ∞
(n − 1)!
(n − 1)!
Ceci montre que ϕ = 0, pour tout x ∈ [0, 1].
2.3
Méthode des approximations successives
On considère l’équation
ϕ = g + λT ϕ
(III.17)
Si T un opérateur intégral
(T ϕ)(x) =
Z b
k(x, y)ϕ(y)dy,
a
alors (III.17) est une équation de Fredholm de deuxième espèce (EIFS)
ϕ(x) = g(x) + λ
Z b
(III.18)
k(x, y)ϕ(y)dy,
a
donc
2
(T ϕ)(x) = T
Z b
!
k(x, y)ϕ(y)dy
a
=
Z b
k(x, z)
a
=
Z b
!
k(z, y)ϕ(y)dy dz
a
Z b
Z b
a
a
!
k(x, z)k(z, y)dz ϕ(y)dy,
79
Chapitre III. Classifications et théories des équations intégrales
alors, T 2 est un opérateur intégral avec le noyau est
Z b
k(x, y)k(z, y)dz,
a
de même pour
(T n ϕ)(x) =
Z b
a
kn (x, y)ϕ(y)dy, pour n ≥ 2,
où le noyau kn de l’opérateur T n est donné par
kn (x, y) =
Z b
a
k(x, ξ)kn−1 (ξ, y)dξ, n > 2,
on peut écrire aussi le noyau sous la forme
kn (x, y) =
Z b
a
...
Z b
a
k(x, ξn−1 )k(ξn−1 , ξn−2 ) ... k(ξ, y)dξn−1 dξn−2 ... dξ
d’après le corollaire III.2, l’équation (III.17) admet une solution unique donnée par la
série de Neumann
∞
X
λn T n g,
ϕ=g+
n=0
et par conséquent aussi l’équation intégrale (III.18), si |λ|kT k < 1 admet une solution
unique donnée par la série de Neumann
ϕ(x) = g(x) + λ
Z b "X
∞
a
80
n=1
#
λn−1 kn (x, y) g(y)dy.
Chapitre IV
Les équations intégrales dans les espaces
fonctionnels
Après une brève de mise en contacte des activités scientifiques de recherche pour virons
de qu’elle étude fondamentales d’autre chercheurs basés (Méthodes et techniques).
Dans ce chapitre nous discuterons sur l’objectif de notre article dont on prouve l’existence
de la solution d’une équation intégrale non linéaire de type Hammerstein, en utilisant la
technique de décomposition de l’opérateur A en deux opérateurs K et N dans les espaces
de Lebesgue et on montre l’efficacité de ce résultat par des exemples numériques.
1
Opérateur linéaire dans Lp(Ω)
Dans cette section on donne quelques résultats et théorèmes qui sont utiles dans ce
qui suit.
Définition IV.1
Soit D un ensemble mesurable de Ω. On définit l’opérateur linéaire PD , par


PD x(s) = 
x(s) , s ∈ D
0
,s ∈
/D
81
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
Remarque IV.1
(i) Il est claire que PD2 = PD et kPD kp = 1.
(ii) Si mes(D) 6= 0. La norme dans Lp (Ω), posée la propriété de la continuité uniforme,
alors pour une fonction x(s) ∈ Lp (Ω), on a
lim
mes(D)→0
kPD xkp = 0.
Définition IV.2
On dit qu’une famille M de fonctions dans Lp équi-continues en norme, si quel que soit
ε > 0, on peut trouver δ > 0, tel que mes(D) < δ et x(s) ∈ M, ce qui implique l’inégalité
kPD x(s)kp < ε.
Remarque IV.2
Il claire que la convergence de suite de fonctions xn (s) vers x0 (s) en norme de Lp , implique
la convergence de cette suite en mesure (mais n’est pas presque partout).
Lemme IV.1 ([48])
Une famille M des fonctions x(s) ∈ LP est compacte, si et seulement s’elle est compacte
en mesure et M est équi-continues en norme.
Remarque IV.3
Pour vérifier que les fonctions dans un ensemble M sont équi-continues absolument en
norme, il est parfois, utiliser le critère de Vallée-Poussin.
Nous nous rappelons qu’une famille M de fonctions ϕ(x) a intégrale équi-continues absolument,
si pour ε arbitraire un h > 0 peut être trouvé, tels que pour toutes les fonctions dans la
famille M, par
Z
|ϕ(x)|dx < ε.
ξ
Des critères généraux pour l’équi-continues absolument des intégrales d’une famille des
fonctions sont donnés par le théorème suivant.
Lemme IV.2 ([48])
L’ensemble borné M de fonctions dans L0 est compact si seulement si, pour tout ε > 0,
82
IV.1 Opérateur linéaire dans Lp (Ω)
il existe une partition finie de l’ensemble Ω,
Ω1 , Ω2 , ..., Ωn , telle que
pour toute fonction x(s) ∈ M
ess sup |x(s) − x(t)| < ε, i = 1, 2, ..., n
s,t∈Ωi
Remarque IV.4
On peut modifier la condition de compacité, si M est borné dans un sous espace de L0 .
Par exemple, si M ⊂ C (C l’espace de fonctions uniforment continues), et Ω est un
ensemble borné, alors le critère d’Arzela-Ascoli est valid.
Définition IV.3
Soient E1 , E2 deux espaces fonctionnels et soit A un opérateur de E1 dans E2 .
On dit que A est un opérateur positif, s’il transforme des fonctions positives aux fonctions
positives.
Remarque IV.5
Si A est un opérateur positif, alors on a l’inégalité suivante
|Ax| ≤ A|x|.
Théorème IV.1
Soit A un opérateur linéaire positif de Lα à Lβ . Alors A est continu.
Preuve. Pour la preuve voir [48]
83
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
2
Opérateur non-linéaire dans Lp(Ω)
Dans tout ce qui suit Ω désigne un ensemble mesurable de l’espace euclidien.
L’objet présent est l’étude de l’équation
u(x) =
Z
k(x, y)f (y, u(y))dy
(IV.1)
Ω
avec x, y désignant des variables indépendantes. L’équation plus générale
ϕ(x) = g(x) +
Z
k(x, y)f (y, ϕ(y))dy
(IV.2)
Ω
dans laquelle g(x) est une fonction connue, se ramène à l’équation (IV.1) par la substitution
u(y) = ϕ(y) − g(y),
cette équation a été étudiée par M.M. Hamerstein, Iglisch, Leray et Cacciopoli. Mais
tandis que ces auteurs se sont bornés à l’étude du noyau symétrique.
2.1
Continuité des opérateurs de type Hammerstein
Lemme IV.3
Soit {f (x)} une famille de fonctions bornées dans l’espace hilbertien, les intégrales moyennes
correspondantes au fonction de Steklov {fε (x)} forment une famille de fonctions dans leur
ensemble uniformément continues et bornées, donc d’après le théorème d’Arzela-Ascoli,
est une famille compacte (au sens de la convergence uniforme).
Preuve.
Les fonctions de la famille {fε } sont bornées dans leur ensemble. En effet
1 Z
1.|f (t)|dt
|fε (x)| ≤
V (ε) S(x,ε)
sZ
Z
1
≤
dt
f 2 dt
V (ε) S(x,ε)
S(x,ε)
1
1
≤ V 2 (ε)K 2 .
84
(IV.3)
IV.2.1 Continuité des opérateurs de type Hammerstein
Les fonctions de la famille {fε } sont uniformément continues dans leur ensemble. En effet,
en appelant I l’ensemble
I = {S(x, ε) − S(y, ε)} + {S(y, ε) − S(x, ε)},
nous avons
|fε (x) − fε (y)| =
1 Z
f (t)dt −
V (ε) S(x,ε)
Z
1 Z
f (t)dt
V (ε) S(y,ε)
1
1.|f (t)|dt
V (ε) I
1
1
1
(mes I) 2 .K 2 .
≤
V (ε)
≤
(IV.4)
La mesure de I tend vers zéro avec la distance des points x et y.
Lemme IV.4
Soit S = {u(x)} une famille de fonctions et f (x, u) une fonction continue en u et telle
que, pour x ∈ F , on a
sup f 2 (x, u(x)) < L(x),
u(x)∈S
où L(x) étant intégrable. Si l’on a alors
lim ρ(u, un ) = 0, un (x) ∈ S,
n→∞
il s’en suit
lim ρ{f (x, u), f (x, un )} = 0.
n→∞
Théorème IV.2
L’opérateur
Au(x) =
Z
k(x, y)f (y, u(y))dy
Ω
est continu dans l’espace hilbertien par rapport a la famille S = {u(x)}, si
RR 2
(i)
k (x, y)dxdy ≤ L.
ΩΩ
0
00
0
00
(ii) ρ(f (x, u ), f (x, u )) < Cρ(u , u ), avec C est une constante.
85
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
Preuve.
Soit {un (x)} une suite qui converge vers u(x), c’est-à-dire que
lim ρ(u, un ) = lim
n→∞
Z
n→∞ Ω
[u(x) − un (x)]2 dx = 0.
Nous avons
2
ρ [Au, Aun ] =
=
lim
Z
n→∞ Ω
Z Z
[u(x) − un (x)]2 dx
k(x, y)f (y, u)dy −
Ω
≤
Ω
Z Z
Ω
< C
Ω
k 2 (x, y)dy
Ω
Ω
2
(u − un ) dy
2
k(x, y)f (y, un )dy
dx
Z
Ω
Z
Z
[f (y, u) − f (y, un )]2 dy dx
Z Z
Ω
k 2 (x, y)dxdy.
Ω
Donc
ρ2 (Au, Aun ) ≤ L.C
alors
ρ(Au, Aun ) ≤
Z
Ω
(u − un )2 dy,
√
L.Cρ(u, un ).
Théorème IV.3
Soit S = {u(x)} un ensemble de fonctions dans l’espace hilbertien, si l’on a pour u ∈ S
RR 2
(i)
k (x, y)dxdy ≤ L2 ,
ΩΩ
(ii) sup f 2 (x, u(x)) < D(x)
(iii) f (x, u(x)) est continue en u,
alors l’opérateur
Z
Au = k(x, y)f (y, u)dy
Ω
est continu sur S dans l’espace hilbertien, où L est une constante et D(x) est une fonction
sommable.
86
IV.2.2 Existence et unicité des solutions
Preuve.
Il faut démontrer que, si ρ(un , u) → 0, un ∈ S, la suite correspondante
Aun =
Z
Ω
k(x, y)f (y, un (y))dy
converge dans l’espace hilbertien vers
Z
Au =
k(x, y)f (y, u(y))dy.
Ω
En effet
Z
Ω
2
[A(u) − A(un )] dx =
≤
2
Z Z
k(x, y)(f (y, u(y)) − f (y, un (y)))dy dx
Ω
Ω
2
Z Z
Ω
≤
=
Ω
Z Z
ZΩ
Ω
≤ L2
|k(x, y)||f (y, u(y)) − f (y, un (y))|dy
2
k (x, y)dy
Ω
Z
Ω
[f (y, u(y)) − f (y, un (y))] dy
[f (y, u(y)) − f (y, un (y))]2 dy
Z
Ω
dx
Z Z
Ω
2
dx
k 2 (x, y)dxdy
Ω
[f (y, u) − f (y, un (y))]2 dy.
Donc, en vertu du lemme IV.4, nous avons
lim
Z
n→∞ Ω
2.2
2
2
[Au − Aun ] dx ≤ L lim
Z
n→∞ Ω
[f (x, u) − f (x, un (x)))]2 dx = 0
Existence et unicité des solutions
Dans cette section on donne quelques théorèmes d’existence et unicité des solutions
des équations intégrales non-linéaires, on s’intéresse aux équations de type Hammerstein.
Théorème IV.4
L’équation (IV.1) admet une solution, si les conditions suivantes sont vérifiées :
R R
(i) Ω Ω k 2 (x, y)dxdy < C1 ,
87
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
(ii) f 2 (x, u(x)) < C(x) pour Ω u2 (x)dx < K,
R
(iii) f (x, u) est continue en u pour Ω |u(x)|2 dx < K,
R
(iv) C1 C2 < K où C2 = Ω C(x)dx.
R
Preuve.
Considérons L l’ensemble des fonctions mesurables u(x), telles que
Z
L = u(x);
2
|u(x)| dx < K .
Ω
l’ensemble L est convexe et fermé dans l’espace hilbertien, en vertu de théorème IV.3,
l’opérateur
Z
Au(x) = k(x, y)f (y, u)dy
Ω
est compact et continu dans l’espace hilbertien.
L’opérateur est évidement mesurable, puis nous avons
Z
2
A u(x)dx ≤
Ω
Ω
≤
2
Z Z
k(x, y)f (y, u(y))dy
dx
Ω
Z Z
Ω
2
k (x, y)dxdy.
Z
1
2
f (y, u(y)dy
2
Ω
Ω
≤ C1 C2 < K.
D’après le théorème de Schauder, il existe dans l’ensemble des fonctions {u(x) < k} une
fonction u(x) pour laquelle, on a
u(x) =
Z
k(x, y)f (y, u)dy,
Ω
cette fonction est la solution cherchée.
Théorème IV.5
L’équation (IV.1) admet une solution unique, si l’on a :
RR 2
(i)
k (x, y)dxdy < C1 ,
(ii)
ΩRΩ
(iii)
f 2 (y, u(y))dy < C2 pour u tel que
ΩR
Ω
88
R
Ω
u(x)2 dy < k,
[f (x, u1 ) − f (x, u2 )]2 dx ≤ L |u1 − u2 |2 dx, pour u tel que
R
R
Ω
Ω
u2 (x)dx ≤ k,
IV.2.2 Existence et unicité des solutions
(iv) C1 L = q < 1,
(v) C1 C2 < k.
Preuve.
De la même manière du théorème précédent, on voit que l’existence de la solution sera
démontrée.
Si nous prouverons que l’ensemble S = {u(x)} des fonctions u(x) pour laquelle
Z
u2 (x)dx ≤ k,
Ω
la sphère S(0, k), se transforme en sous-ensemble, nous avons
Z
Ω
Z Z
2
[Au1 (x) − An u2 (x)] dx ≤
ZΩ Z Ω
k(x, y)(f (y, u1 ) − f (y, u2 ))dy
k 2 (x, y)dxdy
≤
Ω
ΩZ
≤ C1 L
= q
Z
Ω
Ω
Z
Ω
2
dx
[f (y, u1 ) − f (y, u2 )]2 dy
2
(u1 − u2 ) dy
(u1 − u2 )2 dy, avec q < 1,
de plus cette solution est unique en vertu du principe de Cacciopoli.
Théorème IV.6
On suppose que les fonctions k(x, y) et f (y, ϕ(y)) vérifiant les conditions suivantes
(A1)Le noyau k(x, y) est mesurable sur [a, b] × [a, b] et tel que
Z b
!1
σ
σ
|k(x, y)| dx
a
≤ M1 , pour tout y ∈ [a, b],
où σ < p et σ, p > 1.
(A2)Le noyau k(x, y) est mesurable sur [a, b] × [a, b] et tel que
Z b
a
p−σ
|k(x, y)| p−1
! p−1
p−σ
dy
≤ M2 , pour tout x ∈ [a, b].
(A3)La fonction non linéaire f (y, ϕ(y)) de [a, b] × R, dans R satisfaite la condition
89
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
de Carathéodory et telle que
p
|f (y, ϕ(y))| ≤ a0 (y) + b0 |ϕ(y)| q ,
où a0 (y) ∈ Lq ([a, b], R), b0 > 0 et
1 1
+ =1
p q
Sous les conditions (A1), (A2), (A3) l’opérateur
Aϕ(x) =
Z b
k(x, y)f (y, ϕ(y))dt,
(IV.5)
a
est de Lp dans Lp .
Preuve. D’après la condition (A3), on peut écrire
q
|f (y, ϕ(y))| ≤ |a0 (y)| + b0
p q
|ϕ(y)| q
,
donc
kf (y, ϕ(y))kq =
Z b
!1
|f (y, ϕ(y))|q dy
q
≤
Z b
|a0 (y)| + b0
a
a
p q
|ϕ(y)| q
!1
q
dy
en utilisant l’inégalité de Minkovski, on a
1

kf (y, ϕ(y))kq ≤
!
Z b
q

q
|a0 (y)|
c
a
≤ c ka0 (y)kq +
+
Z b
a
!1
bq0 |ϕ(y)|p

q


p!
b0 kϕ(t)kpq .
Par conséquent l’opérateur f (y, ϕ(y)) est un élément continu de Lq ([a, b], R).
Dans l’espace Lp ([a, b], R) on considère
Aϕ(x) =
Z b
a
90
k(x, y)f (y, ϕ(y))dy,
.
IV.2.2 Existence et unicité des solutions
on obtient
Z
b
,
k(x,
y)f
(y,
ϕ(y))dy
a
Z b
|Aϕ(x)| =
≤
|k(x, y)f (y, ϕ(y))| dy,
a
Z b
=
1
1−
(|k(x, y)|σ |f (y, ϕ(y))|q ) p |k(x, y)|
σ
p
1−
|f (y, ϕ(y))|
q
p
dy,
a
Z b
≤
!1
σ
p
q
|k(x, y)| |f (y, ϕ(y))| dt
Z b
a
|k(x, y)|
(p−q)
kf (y, ϕ(y))k p
Z b
! p−q
Z b
p
dt
a
(p−σ)
M2 p
|Aϕ(x)| ≤
!1
p−σ
pq
q
|f (y, ϕ(y))| dy
,
a
!1
|k(x, y)|σ |f (y, ϕ(y))|q dy
p
,
a
alors,

|Aϕ(x)|p ≤
Z b
!1
p
|Aϕ(x)| dx
p
≤
a
≤
≤
kAϕ(x)kp ≤
(p−σ)

p
M2
(p−σ)
M2 p
(p−σ)
M2 p
(p−q)
kf (y, ϕ(y))k p
Z b
!1
|k(x, y)|σ |f (y, ϕ(y))|q dy
a
(p−q)
kf (y, ϕ(y))k p
Z bZ b
a
kf (y, ϕ(y))k
1−
q
p
Z b


!1
σ
p
q
|k(x, y)| |f (x, ϕ(y))| dydx
a
!1
p
σ
|k(x, y)| dx
a
(p−σ)
σ
q
1−
p
p
kf (y, ϕ(y))k
M2
M1p
(p−σ)
σ
p
M1p kf (y, ϕ(y))kq .
M2
p
p
Z b
!1
p
q
|f (y, ϕ(y))| dt
a
q
kf (y, ϕ(y))k p
Par conséquent, l’opérateur Aϕ(x) est bien défini de Lp vers Lp par l’interpolation.
On considère l’équation intégrale non linéaire suivante
ϕ(x) =
Z b
k(x, y)f (y, ϕ(y))dy :
a
Nous voudrons savoir quelles sont les conditions exiger dessus sur k(x, y) et f (y, ϕ(y))
pour que cette équation admet une solution ϕ(y) ∈ Lp ([a, b]).
91
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
Théorème IV.7
On suppose que les fonctions k(x, y) et f (y, ϕ(y)) vérifiant les conditions suivantes
(B1)Le noyau k(x, y) appartient à l’espace Lp pour tout x ∈ [a, b]
Z b
!1
p
p
|k(x, y)| dy
a
≤ N1 (x),
∀x ∈ [a, b].
(B2) La fonction f (y, ϕ(y)) appartient à l’espace Lq pour tout x ∈ [a, b]
Z b
!1
q
q
|f (y, ϕ(y))| dy
≤ C,
a
et satisfaite la condition de Lipschitz
|f (y, ϕ1 (y)) − f (y, ϕ2 (y))| ≤ L(y) |ϕ1 (y) − ϕ2 (y)| ,
pq
avec la function L(y) appartient à l’espace L p−q avec q ≤ p,
Z b
pq
|L(y)| p−q
! p−q
pq
dy
a
≤ N2 .
Sous les assumptions (B1) et (B2),l’approximation successive
ϕn+1 (x) =
Z b
a
k(x, y)f (y, ϕn (y))dy,
converge presque partout à la solution de l’équation (IV.1) vérifier
N2p
Z b
a
N1p (y)dy = N p < 1.
Preuve.
Pour cette méthode, on pose ϕ0 (y) comme fonction identiquement nulle et successivement
ϕn+1 (x) =
92
Z b
a
k(x, y)f (y, ϕn (y))dy,
n = 0, 1, 2, ..., n..,
IV.2.2 Existence et unicité des solutions
donc, on obtient
|ϕn+1 (x) − ϕn (x)| ≤
|ϕn+1 (x) − ϕn (x)| ≤
≤
Z b
|k(x, y)| |f (y, ϕn (y)) − f (y, ϕn−1 (y))| dy,
a
Z b
|k(x, y)| L(y) |ϕn (y) − ϕn−1 (y)| dy,
a
Z b
!1
p
p
|k(x, y)| dy
Z b
a
pq
|L(y)| p−q
! p−q
pq
a
Z b
a
!1
p
p
|ϕn (y) − ϕn−1 (y)| dy
Par conséquent
p
|ϕn+1 (x) − ϕn (x)| ≤
N1p (x)N2p
Z b
a
|ϕn+1 (y) − ϕn (y)|p dy,
(IV.6)
utilisons la condition ϕ0 (y) = 0, on obtient
|ϕ1 (x)|p ≤ N1p (x)
Z b
!p
|f (x, 0)|q dy
a
q
= N1p (x)C p ,
et par (IV.6), elle vient
|ϕ2 (x) − ϕ1 (x)|p ≤ N1p (x)N2p
p
|ϕ3 (x) − ϕ2 (x)|
≤
N1p (x)N2p
Z b
a
Z b
a
N1p (x)C p dx = C p N p N1p (x),
C p N1p (x)N p dx = C p N 2p N1p (x),
plus généralement
|ϕn+1 (x) − ϕn (x)|p ≤ C p N 2np N1p (x),
et d’après la simplification
|ϕn+1 (x) − ϕn (x)| ≤ CN 2n N1 (x).
Cette expression donne la suite suivante ϕn (x) et on exprime par la série
ϕ1 (x) + (ϕ2 (x) − ϕ1 (x)) + .... + (ϕp (x) − ϕp−1 (x)) + ...,
93
.
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
majorant par
CN1 (x)(1 + N + N 2 + .....N p−1 + ..
Naturellement cette série est convergente, et par conséquent la suite ϕn (x) converge vers
la solution de l’équation (IV.1).
Implémentations numériques
Dans cette section on donnons certains exemples numériques pour résoudre l’équation de
Hammerstein, où la fonction ϕ représente la solution exacte et ϕe représente la solution
approchée.
Example 1
On considère l’équation intégrale de Hammerstein
10ϕ(x) −
Z 1
0
1
exp(t4 + x4 )(ϕ(t))3 dt = 10x − (e − 1) exp(x4 ),
4
où la solution exacte est ϕ(t) = t.
t
solution exacte solution appro
0.000000 0.000000e+000
0.250000 2.500000e-001
0.500000 5.000000e-001
0.750000 7.500000e-001
1.00000 1.000000e+000
2.209477e-005
2.500222e-001
5.000235e-001
7.500303e-001
1.000060e+000
Erreur
Erreur [10]
2.209477e-005
2.218125e-005
2.351976e-005
3.031818e-005
6.005982e-005
2.1462e-003
2.1546e-003
2.2846e-003
2.9450e-003
2.8340e-003
Tableau 1. Coparaison entre la solution exacte, approchée et l’erreur [10].
Example 2
On considère l’équation intégrale de Hammerstein
20ϕ(x) −
Z 1
sin(exp(t) + x) exp(ϕ(t))dt = 20x + cos(exp(1) + x) − cos(1 + x),
0
avec la solution exacte est ϕ(t) = t.
94
IV.2.2 Existence et unicité des solutions
Points de t
Solution exacte
Solution appro
Erreur
Erreur [10]
0.000000
0.250000
0.500000
0.750000
1.00000
0.000000e+000
2.500000e-001
5.000000e-001
7.500000e-001
1.000000e+000
-3.184043e-006
2.499964e-001
4.999962e-001
7.499962e-001
9.999965e-001
3.184043e-006 1.6361e-005
3.602525e-006 4.3978e-005
3.797019e-006 6.8861e-005
3.755433e-006 8.9462e-005
3.480352e-006 1.0450e-004
Tableau 2. Coparaison entre la solution exacte, approchée et l’erreur[10].
Example 3
On considère l’équation intégrale de Hammerstein
ϕ(x) −
Z 1
tx(ϕ(t))3 dt =
0
où la solution exacte est ϕ(t) =
x2
1
3
− x,
+ 1 16
1
.
t2 +1
Points de t
Solution exacte
Solution appro
Erreurr
Erreur [25]
0.000000
0.200000
0.400000
0.600000
0.800000
1.000000e+000
9.615385e-001
8.620690e-001
7.352941e-001
6.097561e-001
1.000000e+000
9.615348e-001
8.620617e-001
7.352832e-001
6.097415e-001
0.000000e+000
3.642846e-006
7.285693e-006
1.092854e-005
1.457139e-005
0.000000e+000
1.194620e-004
2.389660e-004
3.581180e-004
4.780980e-004
Tableau 3. Coparaison entre la solution exacte, approchée et l’erreur[25].
Example 4
On considère l’équation intégrale de Hammerstein
ϕ(x) −
Z 1
sin(t + x) ln(ϕ(t))dt = exp(x) − 0.382 sin(x) − 0.301 cos(x),
0 ≤ x ≤ 1,
0
95
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
où la solution exacte est ϕ(t) = exp(t).
Points de t
Solution exacte
Solution appro
Erreur
Erreur [55]
0.000000
0.200000
0.400000
0.600000
0.800000
1.000000e+000
1.221403e+000
1.491825e+000
1.822119e+000
2.225541e+000
1.000195e+000
1.221559e+000
1.491937e+000
1.822181e+000
2.225552e+000
1.953229e-004
1.567282e-004
1.118852e-004
6.258175e-005
1.078332e-005
0.000000e+000
1.940000e-004
5.410000e-004
3.360000e-004
2.890000e-004
Tableau 4. Coparaison entre la solution exacte, approchée et l’erreur[55].
3
Opérateurs dans les espaces Lp(x)(Ω)
Dans cette on s’intéresse sur le role de la fonction maximale qui est l’on utilisera pour
estimer un opérateur intégral linéaire, et enfin la relation entre de cet opérateur est les
équations intégrales singulières de la forme suivante
Au(x) =
Z
Ω
1
u(y)dy.
|x − y|
et n’oublier pas l’estimation d’un opérateur intégral singulier par les opérateurs pseudo
différentiels, utilisant la fonction maximale, pour plus détaille concernant ce domaine voir
les références ([72], [73]).
Soit l’opérateur intégral suivant
Kf (x) =
Z
k(x, y)f (y)dy
Ω
où le noyau K(x, y) est dominé par le noyau de différence, i.e.,
|k(x, y)| ≤ A(|x − y|).
96
(IV.7)
IV.3 Opérateurs dans les espaces Lp(x) (Ω)
Définition IV.4
Soit p− , p+ ∈ (1, ∞), on dit que p vérifier la condition log, si
|p(x) − p(y)| ≤
A
log
1 ,
d(x,y)
1
x, y ∈ R, d(x, y) ≤ .
2
(IV.8)
Remarque IV.6
1- Il existe des nombres p∗ , p∗ tels que
1 < p− ≤ p(x) ≤ p+ < ∞.
(IV.9)
2- Il existe la limite lim p(x) = ∞ et
x→∞
|p(x) − p(∞)| ≤
A
, x ∈ Rn .
log(2 + |x|)
(IV.10)
Théorème IV.8
Soit pj : Rn → [1, ∞), j = 1, 2 sont des fonctions bornées est mesurables, et soit A un
opérateur linéaire défini dans Lp1 (.) (Rn ) ∩ Lp2 (.) (Rn ) et
kAukLpj (.) (Rn ) ≤ Cj kukLpj (.) (Rn ) , j = 1, 2
(IV.11)
alors A alors A est aussi borné sur l’espace intermédiaire Lpθ (.) (Rn ) et
1−θ
kAkB(Lpθ (.) ) ≤ kAkθB(Lp1 (.) ) kAkB(L
p2 (.) ) .
Preuve.
Pour la preuve voir [48]
Proposition IV.1
Soit pj : Rn → [1, ∞), j = 1, 2. sont des fonctions mesurables bornées satisfaisant les
conditions (IV.8)-(IV.10) et soit A un opérateur linéaire défini de Lp1 (.) (Rn ) ∩ Lp2 (.) (Rn )
satisfait la condition (IV.11). Si
A : Lp1 (.) (Rn ) → Lp2 (.) (Rn )
97
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
est un opérateur compact, alors
A : Lθ(.) (Rn ) → Lθ(.) (Rn )
est un opérateur compact dans chaque espace intermédiaire Lθ(.) (Rn ), θ ∈ (0, 1].
Preuve.
Pour la preuve voir [48]
Théorème IV.9
Soit |Ω| < ∞, 1 ≤ p− ≤ p+ , l’opérateur intégral linéaire, avec A(|x|) est radial dominant
intégrable décroissant et de son noyau est compact dans l’espace Lp(.) (Ω), si l’opérateur
maximal est borné dans ce espace.
Preuve.
Pour la preuve voir [72]
Lemme IV.5
Soit A est intégrable
Z
B(0,R)
A(|x|)dx < ∞, R = 2diamΩ,
on peut décomposer l’opérateur k de la façon suivante
kf (x) =
Z
k(x, y)f (y)dy +
|x−y|<ε
Z
k(x, y)f (y)dy
|x−y|>ε
= kε f (x) + Tε f (x)
Si la condition (IV.7) est vérifiée, alors l’estimation suivante est satisfaisante
|kε f (x)| ≤ a(ε)M f (x), x ∈ Ω,
avec
a(ε) = CA2
Z
B(0,R)
A(|x|)dx → 0, si ε → 0
et le coefficient CA2 est diminué en fonction de A.
98
(IV.12)
IV.4 Opérateurs linéaires dans Lϕ (Ω)
Remarque IV.7
Si Ω = Rn , on a
|kε f (x)| ≤ CA2 kAk1 M f (x), x ∈ Rn .
Remarque IV.8
L’opérateur maximal est borné pour le cas X = Lp(.) (Ω) sous les conditions (IV.9) et
(IV.10).
4
Opérateurs linéaires dans Lϕ(Ω)
On suppose que ϕ(u) et ψ(v) deux N-fonctions complémentaires. Soit v(x) une fonction
fixe dans Lψ (Ω), d’après l’inégalité de Hölder (II.46) que la fonctionnelle linéaire
l(u) =
Z
u(x)v(x)dx, u(x) ∈ Lϕ (Ω)
(IV.13)
Ω
est défini sur l’espace entier Lϕ (Ω).
L’inégalité
klk ≤ kvkψ ≤ 2klk
(IV.14)
est vérifiée, avec la note que klk la norme du fonctionnel l(u)
klk = sup |l(u)|.
kukϕ ≤1
L’inégalité gauche dans (IV.14), depuis l’inégalité de Hölder
|l(u)| = |(u, v)| ≤ kukϕ kvkψ ,
l’inégalité droite dans (IV.14), d’après (II.51)
kvkψ = sup |(u, v)| ≤ sup |(u, v)| = 2klk.
ρ(u;ϕ)≤1
kukϕ ≤2
99
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
Nous rappelons que, pour chaque fonction u(x) ∈ Lϕ (Ω), on a
kukϕ = α
1/α 1/β
1/α
Z
β
ϕ[u(x)]dx
Ω
avec 1/α + 1/β = 1, donc
klk = sup
kukϕ ≤1
Z
Ω
u(x)v(x)dx
=
sup
α1/α β 1/β {
=
ϕ[u(x)]dx}
R
Ω
1
α1/α β 1/β R
Ω
=
1/α
sup
ϕ[u(x)]dx≤1
≤1
Z
kvkψ
1/α
α β 1/β
Z
Ω
Ω
u(x)v(x)dx
u(x)v(x)dx
(IV.15)
Théorème IV.10
On suppose que la N-fonction ϕ ne satisfaite pas la condition ∆2 , alors (IV.13) n’est pas
en général une fonctionnelle linéaire sur l’espace Lϕ (Ω)
Preuve.
Soit E ϕ un sous-espace linéaire de Lϕ .
La fermeture de E ϕ dans Lϕ , est l’ensemble de tout les fonctions bornées, d’après le
théorème II.18 et la relation E ϕ ⊂ Lϕ , alors E ϕ est un sous espace de Lϕ .
Soit u0 (x) ∈ Lϕ \E ϕ , on définit la fonctionnelle linéaire l(u) sur Lϕ par l(u0 ) = 1 et
l(u) = 0 pour tout u(x) ∈ E ϕ , et on faire l’extension sur tout l’espace Lϕ utilisant le
théorème de Han-Banach.
Soit la fonctionnelle
Z
l(u) = u(x)v(x)dx, u(x) ∈ Lϕ ,
Ω
où v(x) est une fonction quelconque.
On construire la suite de fonctions bornées


vn (x) = 
100
v(x), |v(x)| ≤ n
n = 1, 2, ...
0, |v(x)| > n
IV.4 Opérateurs linéaires dans Lϕ (Ω)
par la construction de la fonctionnelle l(u), on a
Z
Ω
vn (x)v(x)dx = 0, n = 1, 2, ...
Alors que la fonction v(x) égale zéro presque partout, mais aussi on trouve l(u0 ) = 0,
contradiction avec l(u0 ) = 1.
Théorème IV.11
La formule (IV.13), où v(x) ∈ Lψ , define la forme générale d’une fonctionnelle linéaire
sur E ϕ .
Preuve.
Soit l(u) une fonctionnelle linéaire définie sur E ϕ , on définit sur tous les sous-ensembles
mesurables E de Ω, l’ensemble de fonctions F (E) par l’égalité F (E) = l[χ(x; E)], où χ(x; E)
est la fonction caractéristique de l’ensemble E, la fonction F (E) est absolument continue
puisque en vertu (II.45), on a
|F (E)| = |l(χ(x; E)| ≤≤ klk mes Eψ
−1
1
,
mes E
ce que suit
lim |F (E)| = 0,
mes(E)
et en vertu du théorème de Radon-Nikodym, la fonction F (E) est représentée comme suite
F (E) =
Z
E
v(x)dx,
où v(x) est une fonction sommable sur Ω, alors l’égalité
l(u) =
Z
u(x)dx
(IV.16)
Ω
est valide, pour toute fonction mesurable u(x).
Soit u(x) une fonction arbitraire dans Lϕ , la suite des fonctions bornées un (x), n =
1, 2, ..., n est converge presque partout vers u(x), on peut trouver, telle que
|un (x)| ≤ |u(x)| presque partout, si kun (x)k ≤ ku(x)k.
101
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
La suite des fonctions positives |un (x)v(x)| est aussi converge vers la fonction |u(x)v(x)|
presque partout, alors d’après le lemme du Fatou et la relation
Z Z
Ω
k(x, y)u(y)v(x)dxdy < ∞,
Ω
on a
Z
Ω
u(x)v(x)dx
≤ sup
Z
n
|u(x)v(x)|dx
Ω
= sup |l(|un (x)|sgn v(x))||
n
≤ klk sup kun kϕ
n
≤ klkkukϕ < ∞,
alors v(x) ∈ Lψ .
On note par l1 (u), tel que
l1 (u) =
Z
u(x)v(x)dx,
Ω
la fonctionnelle définie dans Lϕ , en vertu à la relation (IV.40) les fonctionnelles l(u) et l1 (u)
sont linéaires et continues et donne même valeurs sur l’ensemble des fonctions bornées qui
est dense dans E ϕ , i.e., la formule (IV.40) est valide pour toute les fonctions u(x) ∈ E ϕ .
Conditions de continuité des opérateurs intégraux linéaires
Dans cette partie on s’intéresse aux opérateurs intégraux de la forme
Au(x) =
Z
k(x, y)u(y)dy
(IV.17)
Ω
Le problème fondamental dans cette section consistent a l’étude des conditions où l’opérateur
(IV.17) est continu considéré comme un opérateur de Lϕ1 dans Lϕ2 , i.e. qu’il satisfait la
condition
kAukϕ2 ≤ kAkkukϕ1
où kAk est un certain nombre.
Nous rechercherons naturellement des conditions pour la continuité de A dans les diverses
caractéristiques du noyau k(x, y), le noyau appartient à un certain espace d’Orlicz, c’est-à-dire
102
IV.4 Opérateurs linéaires dans Lϕ (Ω)
l’intégrale est finie
Z Z
Ω
ϕ[αk(x, y)]dxdy,
Ω
pour certain α.
Théorème IV.12
Soit ϕ(u) une N-fonction telle que, pour tout u(x) ∈ Lϕ1 , v(x) ∈ Lψ2 , on a
w(x, y) = u(x)v(y) ∈ Lϕ
(IV.18)
kw(x, y)k ≤ Ckukϕ1 kvkψ2
(IV.19)
avec
où C est une constante.
On suppose le noyau k(x, y) de l’opérateur intégral linéaire (IV.17) appartient à l’espace
Lψ , où ψ(v) est la N-fonction complémentaire de la N-fonction ϕ(u). Alors l’opérateur
(IV.17) appartient à l’espace Lϕ1 → Lϕ2 est continue.
Preuve.
En utilisant l’inégalité de Hölder et (IV.19), pour u(x) ∈ Lϕ , v(x) ∈ Lψ , on a
Z
Au(x)v(x)dx =
Ω
Z Z
Ω
k(x, y)u(y)v(x)dxdy
Ω
≤ kk(x, y)kψ kw(x, y)kϕ
≤ Ckk(x, y)kψ2 kw(x, y)kϕ1
(IV.20)
alors ce qui suit que l’opérateur A de Lϕ1 dans Lϕ2 .
Puisque kvkψ2 ≤ 2 pour ρ(v; ψ2 ) ≤ 1, d’après ( IV.20) alors
kAukϕ2 =
sup
ρ(v;ψ2 )≤1
Z
Ω
Au(x)v(x)dx ≤ 2Ckk(x, y)kψ kukϕ1
(IV.21)
ainsi, l’opérateur A est borné et par conséquent, il est continu.
Théorème IV.13
Soient φ(u) et Ψ(v) deux N-fonctions complémentaires.
103
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
On suppose que le noyau k(x, y) de l’opérateur linéaire ( IV.17) appartient à l’espace
LΨ , alors l’opérateur ( IV.20) appartient à {Lϕ1 → Lϕ2 ; c.} si est seulement si une des
conditions suivantes est satisfaisante :
(i) ϕ2 [ψ1 (v)] < Ψ(v).
(ii) ψ1 [ϕ2 (v)] < Ψ(v).
0
(iii) la fonction φ(u) satisfaite la condition ∆ et ψ1 (v) < Ψ(v), ϕ2 (v) < Ψ(v).
Preuve. Pour la preuve voir [47].
Conditions de compacité des opérateurs intégraux linéaires
Cas des noyaux continus
Nous continuons maintenant l’étude de l’opérateur intégral linéaire
Au(x) =
Z
(IV.22)
k(x, y)u(y)dx.
Ω
Nous étudierons le problème des conditions pour la compacité de l’opérateur ( IV.22), i.e.
les conditions dans lesquelles l’opérateur (IV.22) transforme la sphère unité de l’espace
Lϕ1 , en un ensemble compact dans l’espace Lϕ2 .
Lemme IV.6
On suppose que k(x, y) est continu sur Ω.
Soient Lϕ1 et Lϕ2 deux espaces d’Orlicz arbitraires, alors l’opérateur (IV.22) appartient à
Lϕ1 → Lϕ2 est compact.
Preuve.
D’après le théorème IV.13, l’opérateur A appartient à Lϕ1 → Lϕ2 est continu.
Soit S(0, 1) la sphère unité de l’espace Lϕ1 , puisque
Z
Ω
|u(x)|dx ≤ kukϕ1 kχ(x; Ω)kψ1 ≤ mes
Ωϕ−1
1
1
mes Ω
1
mes Ω
(IV.23)
pour u(x) ∈ S(0, 1), et pour x ∈ Ω, u(x) ∈ S(0, 1), on a
Z
|Au(x)| = Ω
k(x, y)u(y)dy ≤ K mes Ω ϕ−1
1
(IV.24)
avec K = max |k(x, y)| , x, y ∈ Ω.
ceci signifie que les fonctions |Au(x)|, u(x) ∈ S sont uniformément bornées. Soit ε > 0,
104
IV.4 Opérateurs linéaires dans Lϕ (Ω)
on choisit un δ > 0 tel que
|k(x1 , y) − k(x2 , y)| <
ε
mes
Ωϕ−1
1
1
mes Ω
,
pour d(x1 , x2 ) < δ,
donc, pour une fonction arbitraire u(x) ∈ S, et d’après la définition de la norme de la
fonction caractéristique sur l’ensemble Ω dans l’espace Lϕ , on a
|Au(x1 ) − Au(x2 )| ≤
≤
Z
Ω
|k(x1 , y) − k(x2 , y)||u(y)|dy
ε
mes Ωϕ−1
1
Z
1
mes Ω
|u(y)|dy ≤ ε.
Ω
Alors les fonctions Au(x), u(x) ∈ S sont équi-continues, d’après le théorème d’Arzela-Ascoli
l’ensemble AS est compact dans l’espace C(Ω), donc est compact dans un espace arbitraire
d’Orlicz.
Théorème IV.14 (Condition suffisante)
Soient φ(u) et Ψ(v) deux N-fonctions complémentaires.
On suppose que k(x, y) de l’opérateur intégral linéaire (IV.22) appartient à l’espace E Ψ ,
alors chacune des conditions suivantes (i), (ii) et (iii) du théorème IV.13 est suffisante
pour l’opérateur (IV.22) appartenant à Lϕ1 → E ϕ2 , est compact et continu.
Preuve.
Puisque k(x, y) ∈ E Ψ , la suite kn (x, y), (n1, 2, ...) des noyaux continus peuvent être
construits, tels que
1
kk(x, y) − kn (x, y)kΨ < .
n
On note par An , les opérateurs intégraux linéaires
An u(x) =
Z
Ω
kn (x, y)u(y)dy,
par le lemme IV.6, ces opérateurs de Lϕ1 dans E ϕ2 et ils sont compacts et continus.
Lemme IV.7 (de Zaanen)
On suppose que le noyau k(x, y) satisfait l’une de ces deux conditions suivantes :
105
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
a) pour presque tout x ∈ Ω, le noyau k(x, y) en fonction de y, appartient à l’espace Lψ1 ,
où la fonction ϕ(x) = kk(x, y)kψ1 appartient à l’espace Lϕ2 ;
b) pour presque tout y ∈ Ω, le noyau k(x, y) en fonction de x, appartient à l’espace Lϕ2 ,
où la fonction ψ(y) = kk(x, y)kϕ2 , appartient à l’espace Lψ1 .
Alors l’opérateur (IV.22) appartient à Lϕ1 → Lϕ2 est continu.
Preuve.
On suppose que la condition a) est vérifiée, alors d’après l’inégalité de Hölder, on a
Z
Ω
Au(x)v(x)dx
≤
Z Z
Ω
k(x, y)u(y)dy |v(x)|dx
Ω
Z
≤ kukϕ1
ϕ(x)kv(x)kdx
(IV.25)
Ω
pour les fonctions arbitraires u(x) ∈ Lϕ1 , v(x) ∈ Lψ2 , on a
kAukϕ2 =
sup
ρ(v;ψ2 )≤1
Z
Ω
Au(x)v(x)dx ≤ kϕkψ2 kukϕ1
(IV.26)
Si la condition b) est vérifiée, alors, en échangeant l’ordre de l’intégration (théorème de
Fubini), on obtient
Z
Ω
Au(x)v(x)dx
≤
k(x, y)v(x)dx |u(y)|dy
Ω
Z
Z Z
Ω
≤ kvkψ2
ψ(y)ku(y)kdy
Ω
≤ kvkψ2 kψkψ1 kukϕ1
(IV.27)
pour les fonctions arbitraires u(x) ∈ Lϕ1 , v(x) ∈ Lψ2 , on a
kAukϕ2 =
sup
ρ(v;ψ2 )≤1
Z
Ω
Au(x)v(x)dx
≤
sup
ρ(v;ψ2 )≤2
Z
Ω
Au(x)v(x)dx
≤ 2kΨkψ1 kukϕ1
Théorème IV.15
On suppose que le noyau k(x, y), en fonction de y appartient à l’espace E ψ1 .
106
(IV.28)
IV.4 Opérateurs linéaires dans Lϕ (Ω)
pour presque tous x ∈ Ω, ou la fonction ϕ(x) = kk(x, y)kψ1 appartient à l’espace E ψ2 ,
alors l’opérateur (IV.22) appartient à Lϕ1 → E ϕ2 est compact et continu.
Preuve.
En vertu du lemme précédent, l’opérateur (IV.22) de Lϕ1 vers Lϕ2 est continu. Il reste de
prouver que cet opérateur transforme la sphère d’unité S(0, 1) de l’espace Lϕ1 , en ensemble
de fonctions qui est compact dans E ϕ2 , en vertu de la compacité de E ψ1 -faiblement de la
sphère S, il suffit de prouver que l’opérateur A transforme une suite de E ψ1 -faiblement
des fonctions convergent sur la sphère S en suite des fonctions dans E ϕ2 qui est converge
en norme.
On suppose que la suite un (x) ∈ T (n = 1, 2, ...) est E ψ1 -faiblement convergente vers la
fonction u0 (x), en vertu de la condition du théorème, la suite de fonctions Aun (x) (n =
1, 2, ...) converge vers la fonction Au0 (x) presque partout et par conséquent elle converge
à cette fonction en mesure. On va démontrer que les fonctions Aun (x) est équi-continues
absolument en norme dans Lϕ2 .
Soit χ(x; E) la fonction caractéristique de l’ensemble E ⊂ Ω, v(x) ∈ Lψ2 . Alors
Z
E
Aun (x)v(x)dx ≤
≤
Z Z
k(x, y)un (x)dy |v(x)|dx
ZE Ω
E
ϕ(x)kv(x)kdx
(IV.29)
ou encore
kAun χ(x; E)kϕ2 =
sup
ρ(v;ψ2 )≤1
Z
E
Aun (x)v(x)dx
≤ kϕ(x)χ(x; E)kϕ2
(IV.30)
Puisque la fonction ϕ(x) appartient à E ψ2 , alors les fonctions Aun (x) est absolument
équi-continues en norme, en vertu du lemme II.7, la suite Aun (x) de E ϕ2 converge en
norm.
Théorème IV.16
On suppose que le noyau k(x, y), en fonction de x appartient à l’espace E ψ2 , pour y ∈ Ω,
ou la fonction ψ(y) = kk(x, y)kϕ2 , appartient à l’espace E ψ1 , alors l’opérateur (IV.22)
appartient à E ϕ1 → E ϕ2 est compact et continu.
107
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
Preuve.
En vertu du Lemma IV.7, A ∈ Lϕ1 → Lϕ2 est continu.
On considère que l’opérateur A est défini
∗
A v(x) =
Z
k(x, y)v(y)dy
Ω
de Lψ2 a Lψ1 , et en vertu du théorème IV.15 l’opérateur A∗ appartient à Lψ2 → Lψ1 est
compact et continu, en vertu du théorème IV.15 l’opérateur A = (A∗ )∗ de E ϕ1 dans E ϕ2 .
Afin d’accomplir la preuve, il reste pour s’avérer que l’opérateur A transforme chaque
suite de E ϕ1 -faiblement des fonctions convergent de la sphère d’unité S de l’espace Lϕ1 ,
dans une suite ce qui converge en ce qui concerne la norme dans le Lϕ2 .
On suppose que la suite un (x) ∈ S (n = 1, 2, ...) de E ψ2 -faiblement convergente vers la
fonction u0 (x), on le voit facilement que kuokϕ1 ≤ 2 la suite Aun (x) est E ψ2 -faiblement
convergente vers la fonction Au0 (x), puisque pour chaque fonction u(x) ∈ E ψ2 , on trouve
d’après l’égalité
Z
Z
Au(x)v(x)dx = u(y)A∗ v(y)dy,
Ω
Ω
donc
lim
n→∞
Z
Ω
A[un (x) − u0 (x)]v(x)dx =
lim
n→∞
Z
Ω
[un (x) − u0 (x)]A∗ v(x)dx = 0.
Soit un ε > 0 donné, on note par A∗ v(x)1 , A∗ v(x)2 , ..., A∗ v(x)s la suite finie a (ε/6)
de l’ensemble {A∗ v} (ρ(v; ψ2 ) ≤ 1) ce qui est compact en vertu de la continuité et la
compacité de l’opérateur A∗ . Alors pour chaque fonction v(x) ∈ Lψ2 , (ρ(v; ψ2 ) ≤ 1) on
peut trouver une fonction vi(v) (x), telle que kA∗ v − A∗ vi(v) k < ε/6.
On suppose l’inégalités
ε
[un (x) − u0 (x)]A∗ vi (x)dx < , (i = 1, 2, ..., s)
2
Ω
Z
sont vérifiant pour n ≥ n0 .
108
IV.5 Opérateurs non-linéaires dans Lϕ (Ω)
Alors pour n ≥ n0 , on a
kAun − Au0 kϕ2 =
=
≤
+
Z
sup A[un (x) − Au0 (x)]v(x)dx
ρ(v;ψ2 )≤1 Ω
Z
∗
sup [un (x) − Au0 (x)]A v(x)dx
ρ(v;ψ2 )≤1 Ω
Z
∗
sup [un (x) − Au0 (x)]A vi(v) (x)dx
ρ(v;ψ2 )≤1 Ω
Z
|un (x) − Au0 (x)||A∗ v(x) − A∗ vi(v) (x)|dx
sup
ρ(v;ψ2 )≤1 Ω
<
ε
+ kun − u0 kM1 sup kA∗ vi(v) − A∗ vk
2
ρ(v;ψ2 )≤1
(IV.31)
i.e., la suite Aun (x) converge en norm vers Au0 (x).
Opérateurs non-linéaires dans Lϕ(Ω)
5
Soit K l’opérateur de Uryson
Ku(x) =
Z
k[x, y, u(y)]dy
(IV.32)
Ω
Nous supposerons que la fonction k(x, y, u) vérifiée les conditions de Carathéodory et
satisfaite l’inégalité
|k(x, y, u)| ≤ k(x, y)[a(x) + R(|u|)]
(IV.33)
(x, y ∈ Ω, −∞ < u < ∞)
avec
Z Z
Ω
ϕ[k(x, y)]dxdy ≤ b < ∞,
(IV.34)
Ω
où ϕ(u) est une N-fonction a(x) est une fonction non négative et R(u) est une fonction
monotone, croissante, positive et continue, pour u > 0.
Nous serons intéressés au problème dans quels cas sont les conditions (IV.33) et (IV.34)
109
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
suffisantes, alors l’opérateur (IV.32) d’Uryson fonctionnent dans l’espace d’Orlicz Lϕ et
soient continu, borné et compact dans cet espace.
Remarque IV.9
(i) Les conditions (IV.33) et (IV.34) implique que la valeur de l’opérateur sur la sphère
S(θ, r; Lϕ ) est bornée
kKukϕ ≤ c
kukϕ ≤ r.
(IV.35)
et
Φ(αu) < ϕ(u), α > 0,
(IV.36)
(ii) Pour que l’opérateur d’Uryson est borné, notre attention principale sera porté sur le
0
cas, la N-fonction ψ(v) complémentaire à ϕ(u) est satisfaite la condition ∆ .
Lemme IV.8
0
On suppose que la N-fonction ψ(v) satisfaite la condition ∆ , et soit les conditions (IV.33),
(IV.34), (IV.36) et
ψ[βR(γu)] ≤ kΦ(αu)
sont vérifiant.
Soit a(x) ∈ Lψ , alors l’opérateur (IV.32) est défini sur la sphère S(θ, γ/α; Lϕ ) et l’ensemble
de ses valeurs est uniformément borné dans Lϕ :
kKukϕ ≤ Ckk(x, y)kϕ̂
, kukϕ ≤
γ
,
α
(IV.37)
où la constante C ne dépend pas à le noyau k(x, y).
Preuve.
On suppose que l’inégalité
ψ[βR(γu)] < kΦ(αu)
110
(IV.38)
IV.5 Opérateurs non-linéaires dans Lϕ (Ω)
est vérifiée pour u ≥ u0 , puisque
1
kβR(|u(x)|)kψ
β
Z
1
≤ kakψ +
1 + ψ(βR(|u(x)|))dx ,
β
Ω
ka(x) + R(|u(x)|)kψ ≤ kakψ +
d’après l’inégalité (IV.38) et kukΦ ≤ αγ , on trouve
(
ka(x) + R(|u(x)|)kψ
)
Z
1
α
1 + ψ[βR(γu0 )] mes Ω + k Φ( u(x))dx
≤ kakψ +
β
γ
Ω
1
≤ kakψ + {1 + k + ψ[βR(γu0 )] mes Ω} ,
β
i.e.,
ka(x) + R(|u(x)|)kψ ≤ c1
(IV.39)
en vertu du théorème IV.13, l’opérateur linéaire
Av(x)
Z
k(x, y)v(y)dy
Ω
de Lψ à LΦ , avec
kAvkΦ ≤ 2ckk(x, y)kϕbkvkψ
(IV.40)
en vertu à l’inégalité (IV.33)
|ku(x)| ≤ A[a(x) + R(|u(x)|)],
et d’après (IV.40) et(IV.39), on a
kku(x)kΦ ≤ 2ckk(x, y)kϕbka(x) + R(|u(x)|)kψ
≤ 2cc1 kk(x, y)kϕb.
Théorème IV.17
Soient ϕ et ψ deux N-fonctions complémentaires, et on suppose que la N-fonction ψ
111
Chapitre IV. Les équations intégrales dans les espaces fonctionnels
0
vérifiée la condition ∆ . Soit
|k(x, y, u| ≤ k(x, y)[a(x) + R(|u|)], x, y ∈ Ω, −∞ < u < ∞
où k(x, y) ∈ E ϕ (Ω × Ω), a(x) ∈ Lψ et R(u) est une fonction positive et croissante.
On suppose que, l’on peut trouver des nombres positifs β, γ et C, tels que
ψ[βR(γu)] ≤ Cϕ(u),
alors l’opérateur
Ku(x) =
Z
k[x, y, u(y)]dy,
(IV.41)
Ω
appartient à S(θ, γ; Lϕ ) → Lφ est compact et continu, où φ est une N-fonction satisfaite
l’inégalités suivantes
ψ[βR(γu)] ≤ Cφ(u) ≤ Cϕ(u)
Preuve. Pour la preuve voir [47].
112
Chapitre V
Espace d’Orlicz généralisé ou espace
d’Orlicz-Musielak
Dans ce chapitre on expose une généralisation de l’espace d’Orlicz, d’où une généralisation
de la fonction de Young (N-fonction) ϕ(u), en une N-fonction généralisée Φ(x, u), alors
on a, un espace d’Orlicz généralisé ou espace d’Orlicz-Musielak.
1
Propriétés et définitions
Définition V.1
Soit (A, Σ, µ) un espace mesuré complet σ-fini. La fonction Φ : A × [0, ∞) → [0, ∞] est
dite une généralisation de N-fonction sur (A, Σ, µ), si :
(i) Φ(y, .) est une ϕ-fonction (N-fonction).
(ii) La fonction y 7→ Φ(y, t) mesurable, pour tout t ≥ 0.
Remarque V.1 (1) Si Φ est une fonction généralisée de la N-fonction ϕ sur l’espace
(A, Σ, µ), on écrit Φ ∈ ϕ(A, µ).
(2) Si Ω un sous-ensemble ouvert de Rn et µ la mesure de Lebesgue, où l’abréviation
Φ ∈ ϕ(Ω), on sait que Φ est une généralisation de ϕ.
(3) Toute généralisation de la N-fonction ϕ généré un semimodulaire sur l’espace L0 (A, µ).
113
Chapitre V. Espace d’Orlicz généralisé ou espace d’Orlicz-Musielak
Lemme V.1
Si Φ ∈ ϕ(A, µ) (c’est-à-dire Φ est une généralisation de N-fonction ϕ) et f ∈ L0 (A, µ),
alors la fonction y 7→ Φ(y, |f (y)|) est µ-mesurable et
ρΦ (f ) =
Z
Φ(y, |f (y)|)dµ(y),
A
est un semimodulaire sur f ∈ L0 (A, µ).
Si Φ est positive, alors ρΦ est un modulaire.
Preuve. Par la décomposition de la fonction f en deux parties, positive et négative, il
suffit de considéré le cas f ≥ 0.
Soit fk ↑ f ponctuellement avec fk sont des fonctions simples et non négatives, alors
Φ(y, |fk (y)|) =
X
j
Φ(y, αjk )χAkj ,
qui est mesurable et Φ(y, fk (y)) ↑ Φ(y, f (y)), ainsi Φ(., f (.)) est mesurable.
Il est évidente que ρΦ (0) = 0 et ρΦ (λx) = ρΦ (x) pour |λ| = 1, la convexité de ρΦ est une
conséquence directe de la convexité de Φ.
Maintenant, on montre que ρΦ est continu à gauche, si λk → 1− et y ∈ A, alors
0 ≤ Φ(y, λk f (y)) → Φ(y, f (y)),
par la continuité à gauche et la monotonicité de Φ(y, .) et par conséquent
ρΦ (λk f ) → ρΦ (f ),
en vertu du théorème de la convergence monotone, donc ρΦ est continu à gauche au sens
de la définition II.3.
Considérons maintenait f ∈ L0 (A, µ) telle que ρΦ (λf ) = 0, ∀ > 0, alors pour tout k ∈ N,
on a Φ(y, kf (y)) = 0 pour presque tout y ∈ A. Puisque N est dénombrable, on déduit que
Φ(y, kf (y)) = 0 pour tout y ∈ A et pour tout k ∈ N.
La convexité de Φ et Φ(y, 0) = 0 implique que Φ(y, λf (y)) = 0 pour presque tout y ∈ A
et tout λ > 0, puisque lim Φ(y, t) = ∞ pour tout y ∈ A implique que |f (y)| = 0 pour
t→∞
114
V.1 Propriétés et définitions
presque tout y ∈ A. Par conséquent f = 0, alors ρΦ est un semimodulaire dans L0 (A, µ).
Considérons Φ est positive et ρΦ (t) = 0, alors Φ(y, f (y)) = 0 pour presque tout y ∈ A,
puisque Φ est positive f (y) = 0 pour presque tout y ∈ A ainsi f = 0, alors ρΦ est un
modulaire dans L0 (A, µ).
Définition V.2
Soient Φ ∈ ϕ(A, µ) et ρΦ défini par
ρΦ (f ) =
Z
Φ(y, |f (y)|)dµ(y) pour tout f ∈ L0 (A, µ)
A
alors l’espace semimodulaire
L0 (A, µ)
ρΦ
=
n
=
n
o
f ∈ L0 (A, µ); lim ρΦ (λf ) = 0 ,
λ→0
0
o
f ∈ L (A, µ); ρΦ (λf ) < ∞, pourλ > 0 ,
s’appel l’espace d’Orlicz-Musielak et on noté par LΦ (A, µ).
Remarque V.2
L’espace d’Orlicz-Musielak s’appel aussi espace d’Orlicz généralisé.
Exemple V.1
Soit (A, Σ, µ) espace mesuré complet σ-fini.
Soit Φ ∈ ϕ(A, µ), alors
Z
ρΦ (f ) = Φ(y, |f (y)|)dµ(y)
A
0
est un semimodulaire sur l’espace L (A, µ). Si Φ est positive, alors ρ est un modulaire sur
l’espace L0 (A, µ) et l’espace LΦ (A, µ) s’appel espace d’Orlicz.
Théorème V.1
Si Φ ∈ ϕ(A, µ), alors l’espace d’Orlicz-Musielak est un espace de Banach.
Avant de démontré le théorème on a besoin les lemme suivants :
Lemme V.2
Soient Φ ∈ ϕ(A, µ) et µ(A) < ∞, alors pour toute suite k.kΦ -Cauchy, elle aussi est une
suite de Cauchy converge en mesure.
115
Chapitre V. Espace d’Orlicz généralisé ou espace d’Orlicz-Musielak
Preuve. Soit ε > 0 et soit l’ensemble
Vt = {y ∈ A : φ(y, t) = 0 pour t > 0} ,
alors Vt est mesurable, pour tout y ∈ A la fonction t → φ(y, t) est croissante et lim φ(y, t) =
t→∞
∞, ainsi Vt & ∅, si t → ∞, donc
lim µ(VK ) = µ(∅) = 0.
k→∞
Si µ(A) < ∞ alors il existe K ∈ N tel que µ(VK ) < ε.
On note, si φ est positive, alors Vt = ∅ pour tout t > 0.
Soit l’ensemble E ⊂ A est µ-mesurable, on définit
νK (E) = ρΦ (KχE ) =
Z
Φ(y, K)dµ(y).
E
Si E est µ-mesurable avec νK (E) = 0, alors Φ(y, K) = 0 pour µ-presque chaque y ∈ E,
ainsi µ(E\Vk ) = 0 et par la définition de Vk , par conséquent E est un ensemble µ|A\Vk -nul,
ce qui signifie que la mesure µ(E\Vk ) est absolument continu on respect νK . Puisque
µ(E\Vk ) ≤ µ(A) < ∞ et µ|A\Vk est absolument continu on respect νK , il existe δ ∈ (0, 1)
tel que νK (E)δ implique que µ(E\Vk ) ≤ ε, puisque fk est une suite k.kΦ -Cauchy, il existe
k0 ∈ N tel que
kkε−1 δ −1 (fm − fk )kΦ ≤ 1 pourtout m, k ≥ k0 .
On suppose maintenant que m, k ≥ k0 , par les deux relations
ρ(λx) = ρ(|λ|x) ≤ |λ|ρ(x) pourtoutλ| ≤ 1,
(V.1)
ρ(λx) = ρ(|λ|x) ≥ |λ|ρ(x) pourtoutλ| ≥ 1,
(V.2)
et le lemme II.2, on a
ρΦ (Kε−1 δ −1 (fm − fk )) ≤ δρΦ (Kε−1 δ −1 (fm − fk )) ≤ δ.
On écrit
Em,k,ε = {y ∈ A; |fm (y) − fk (y)| ≥ ε} ,
116
V.1 Propriétés et définitions
alors
νk (Em,k,ε ) =
Z
Φ(y, K)dµ(y)
Em,k,ε
≤ ρΦ (Kε−1 (fm − fk )) ≤ δ.
Par un choix de δ, alors
µ(Em,k,ε \VK ) ≤ ε avec µ(VK ) < ε,
donc µ(Em,k,ε ) ≤ 2ε.
Puisque ε > 0 est arbitraire, cela montre que fk est une suite de Cauchy (on respect la
convergence en mesure).
Si kfk kΦ → 0, alors depuis ci-dessous il existe K ∈ N tel que µ({|fk | ≥ ε}) ≤ 2ε, pour
tout k ≥ K, alors fk → 0 en mesure.
Lemme V.3
Soit Φ ∈ ϕ(A, µ), alors pour toute suite {fk } ⊂ LΦ , k.kΦ -Cauchy admette une sous-suite
converge µ-p.p vers une fonction mesurable f .
Preuve. Soit µ est σ-fini.
Soit A = ∪∞
i=1 Ai avec Ai sont disjoints et µ(Ai ) < ∞ pour tout i ∈ N, alors par le lemme
précédant fk est une suite de Cauchy avec le respect de la convergence en mesure dans
A1 , donc il existe une fonction mesurable f : A1 → (K) et une sous suite fk qui converge
vers f µ-p.p, de même manière on répéter pour Ai et on passe à le diagonal de la suite
on obtient une sous suite fkj et une fonction µ-mesurable f : A → K telles que
fk j → f
µ − p.p.
Preuve du théorème V.2.
Preuve.
Soit fk une suite de Cauchy, par le lemme V.2 il existe une sous suite fkj et une fonction
117
Chapitre V. Espace d’Orlicz généralisé ou espace d’Orlicz-Musielak
µ-mesurable f : A → K telles que fkj → fk pour µ-presque tout y ∈ A implique
Φ(y, |fkj (y) − f (y)|) → 0,
µ − p.p.
Soient λ > 0 et 0 < ε < 1, puisque fk est une suite de Cauchy il existe un K = K(λ, ε) ∈ N
tel que
kλ(fm − fk )kΦ ≤ ε, pourtout m, k ≥ K,
le corollaire II.2 implique
ρΦ (λ(fm − fk )) ≤ ε,
donc par le lemme de Fatou, on a
ρΦ (λ(fm − f )) =
≤
=
Z
lim Φ(y, λ|fm (y) − fkj (y)|dµ(y))
A j→∞
lim inf
j→∞
Z
A
Φ(y, λ|fm (y) − fkj (y)|dµ(y))
lim inf ρΦ (λ(fm − fkj )) ≤ ε.
j→∞
Ainsi
ρΦ (λ(fm − f )) → 0 pour m → ∞ et pour tout λ > 0
et
kfk − f kΦ → 0,
par le lemme II.2, alors toute suite de Cauchy converge dans LΦ .
Lemme V.4
Soient Φ ∈ ϕ(A, µ) et fk , f, g ∈ L0 (A, µ).
1- Si fk −→ f µ-p.p, alors ρφ (f ) ≤ lim inf ρΦ (fk ).
k→∞
2- Si fk % |f | µ-p.p, alors ρφ (f ) = lim ρΦ (fk ).
k→∞
3- Si fk −→ f µ-p.p, |fk | ≤ |g| µ-p.p et ρφ (λg) < ∞ pour tout λ > 0, alors fk →
f dans LΦ
118
V.1 Propriétés et définitions
Preuve.
Les fonctions Φ(y, .) sont semi continues inférieur ainsi le lemme de Fatou implique que
ρΦ (f ) =
≤
≤
≤
Z
Φ(y, lim |fk (y)|)dµ(y)
k→∞
ZA
lim inf Φ(y, |fk (y)|)dµ(y)
A k→∞
lim inf
Z
k→∞
A
Φ(y, |fk (y)|)dµ(y)
lim inf ρΦ (fk )
k→∞
donc on montre (1).
Soit |fk | % |f |, alors par la continuité à gauche et la monotonicité de Φ(y, .), on a
0 ≤ Φ(y, |fk |) % Φ(y, |f |) p.p,
ainsi le théorème de la convergence monotone donné
ρΦ (f ) =
≤
≤
≤
Z
Φ(y, lim |fk (y)|)dµ(y)
k→∞
ZA
lim Φ(y, |fk (y)|)dµ(y)
A k→∞
Z
lim
k→∞ A
Φ(y, |fk (y)|)dµ(y)
lim ρΦ (fk ),
k→∞
ce qui montre (2).
Soit fk → f p.p, |fk | ≤ |g| et ρ(λg) < ∞ pour tout λ > 0, alors
|fk − f | → 0 p.p, |f | ≤ |g| et |fk − f | ≤ 2|g|,
puisque ρΦ (2λg) < ∞, on peut utiliser le théorème de la convergence dominé, alors
lim ρΦ (λ|f − fk ) =
k→∞
Z
A
Φ(y, lim λ|fk (y)|)dµ(y) = 0,
k→∞
puisque λ > 0 est arbitraire, le lemme II.2 implique que fk → f dans LΦ .
119
Chapitre V. Espace d’Orlicz généralisé ou espace d’Orlicz-Musielak
Remarque V.3
Les propriétés précédentes s’appelant propriétés de Fatou, convergence monotone et convergence
dominé (respectivement).
Théorème V.2
Soit Φ ∈ ϕ(A, µ), alors les propriétés suivantes sont vérifiant :
(i) kf kΦ = k|f |kΦ , pour tout f ∈ Lφ
(ii) Si f ∈ Lφ , g ∈ L0 (A, µ) et 0 ≤ |g| ≤ |f |µ-p.p, alors g ∈ Lφ et kgkΦ ≤ kf kΦ
(iii) Si fk −→ f µ-p.p, alors kf kφ ≤ lim inf kfk kΦ
k→∞
Φ
(iv) Si |fk | % |f |µ-p.p avec fk ∈ L (A, µ) et sup kfk kΦ < ∞, alors f ∈ LΦ et kfk k %
k
kf kΦ
Preuve.
Les propriétés (i) et (ii) sont évidentes.
Soient fk −→ f µ-p.p et λ > lim inf kfk kΦ , alors kfk kΦ < λ pour une valeur large de k
k→∞
ainsi par la propriété de la boule unité ρΦ ( fλk ) ≤ 1 pour une valeur large de k, d’après
le lemme V.4, on a ρΦ ( fλ ) ≤ 1 donc kf kΦ ≤ λ deuxième fois par la propriété de la boule
unité, on a
kf kΦ ≤ lim inf kfk kΦ .
k→∞
Ce qui est montre (iii).
Soit |fk | % |f |µ-p.p avec sup kfk kΦ < ∞, par (i) et (ii), on peut voir
k
kf kΦ ≤ lim inf kfk kΦ ≤ sup kfk kΦ < ∞,
k→∞
k
alors on montre que f ∈ LΦ , d’une part |fk | % |f | et (ii) implique que
kf kΦ % lim sup kfk kΦ ,
k→∞
ainsi
lim sup kfk kΦ = kf kΦ ,
k→∞
120
V.2 La condition ∆2
et
kfk kΦ % kf k.
2
La condition ∆2
Définition V.3
On dit que Φ ∈ ϕ(A) satisfaite la condition ∆2 , s’il existe une constante k > 0, telle que
Φ(y, 2t) ≤ kΦ(y, t)
pour tout y ∈ A et t ≥ 0.
Remarque V.4
Le semimodulaire ρ dans X est satisfait la condition ∆2 , s’il existe k ≥ 2 telle que
ρ(2f ) ≤ kρ(f ), ∀f ∈ Xρ
Lemme V.5
Soit ρ un semimodulaire dans X satisfait la condition ∆2 , alors ρ est un semimodulaire
continu et pour ε > 0, il existe δ = δ(ε, k) tel que
ρ(f ) ≤ 1 − ε implique kf kρ ≤ 1, pour f ∈ Xρ
Preuve.
Si ρ(f ) = 0, alors ρ(2m f ) ≤ k m ρ(f ) = 0 ou k la constante de la condition ∆2 de Φ, cela
montre que f = 0 ainsi que ρ est un modulaire, alors ρ est continu à gauche, donc il suffit
de vérifié
ρ(f ) = lim+ ρ(λx),
λ→1
par la monotonicité, on a
ρ(x) ≤ lim+ inf ρ(λx),
λ→1
121
Chapitre V. Espace d’Orlicz généralisé ou espace d’Orlicz-Musielak
et par la convexité de ρ, on a
ρ(af ) ≤ (2 − a)ρ(f ) + (a − 1)ρ(2f )
≤ ((2 − a) + k(a − 1))ρ(f )
≤ (1 + (k − 1)(a − 1))ρ(f ),
pour a ∈ [1, 2] par conséquent
ρ(x) ≥ lim+ inf ρ(λx).
λ→1
Soit ε > 0 et f ∈ Xρ avec ρ(f ) ≤ 1 − ε, on fixe a = a(k, ε) ∈ (1, 2) tel que la côté droite
de l’inégalité précédente est bornée par 1, alors ρ(af ) ≤ 1 et par la propriété de la boule
unité on a kaf kρ ≤ 1.
Définition V.4
On dit que la N-fonction généralisée Φ est uniformément convexe, si pour ε > 0 il existe
un δ > 0, tel que
|u − v| ≤ max{u, v}
ou
u+v
Φ y,
2
≤ (1 − δ)
Φ(y, u) + Φ(y, v)
2
pout tout u, v ≥ 0.
Définition V.5
On dit que le semimodulaire ρ dans X est uniformément convexe, si pour ε > 0 il existe
un δ > 0, tel que
!
f −g
ρ(f ) + ρ(g)
≤ε
ρ
2
2
ou
!
f −g
ρ(f ) + ρ(g)
ρ
≤ (1 − δ)
2
2
pout tout f, g ∈ Xρ .
Théorème V.3
Soit la N-fonction Φ est uniformément convexe, alors ρΦ est uniformément convexe.
122
V.2 La condition ∆2
Preuve.
Soit ε2 , δ2 > 0 être comme dans la définition V.4 et soit ε = 2ε2 , il n’y a rien à montrer
si ρΦ (f ) = ∞ ou ρΦ (g) = ∞.
), ρ( f −g
) < ∞.
Soit ρΦ (f ), ρΦ (g) < ∞ ce qui implique par la convexité de ρ( f +g
2
2
On pose que
!
ρΦ (f ) + ρΦ (g)
f −g
>ε
ρΦ
2
2
et on démontre que
f +g
2
ρΦ
!
δ2 ε
≤ 1−
2
!
ρΦ (f ) + ρΦ (g)
2
ce qui montre que le ρΦ est uniformément convexe.
On définit
ε
E = y ∈ A : |f (y) − g(y)| > max{|f (y)|, |g(y)|} .
2
En particulier
ρΦ
f −g
χA\E
2
!
≤
ε ρΦ (f ) + ρΦ (g)
ε ρΦ (χA\E f ) + ρΦ (χA\E g)
≤
.
2
2
2
2
Et
f −g
2
ρΦ
!
>ε
ρΦ (f ) + ρΦ (g)
,
2
implique que
ρΦ
f −g
χE
2
!
!
f −g
f −g
= ρΦ
− ρΦ χA\E
2
2
ε ρΦ (f ) + ρΦ (g)
>
.
2
2
!
Par un choix de δ2 dans la définition V.4, alors
ρΦ
f +g
χE
2
!
≤ (1 − δ2 )
ρΦ (χE f ) + ρΦ (χE g)
,
2
123
Chapitre V. Espace d’Orlicz généralisé ou espace d’Orlicz-Musielak
donc on estimons
f +g
ρΦ (f ) + ρΦ (g)
− ρΦ
2
2
!
!
ρΦ (χE f ) + ρΦ (χE g)
f +g
≥
− ρΦ χE
.
2
2
On coupé le domaine des intégrales sur les ensembles E et A\E et en utilisant la relation
!
1
f +g
Φ(f ) + Φ(g) − Φ(
) ≥0
2
2
sur A\E, alors
ρΦ (f ) + ρΦ (g)
f +g
− ρΦ
2
2
!
ρΦ (χE f ) + ρΦ (χE g)
2
!
f −g
≥ δ2 ρΦ χE
2
δ2 ρΦ (f ) + ρΦ (g)
≥
.
2
2
≥ δ2
Théorème V.4
Soit ρ un semimodulaire dans X satisfait la condition ∆2 , alors la norme k.kρ dans Xρ
est uniformément convexe. Par conséquent Xρ est uniformément convexe.
Preuve.
Soit ε > 0 fixe et soit x, y ∈ X avec kxkρ , kykρ ≤ 1 et kx − ykρ > ε, alors k x−y
kρ > 2ε .
2
Par le lemme V.5 il existe α = α(ε) > 0 tel que ρ x−y
> α et par le lemme II.2, on a
2
ρ(x), ρ(y) ≤ 1 ainsi
ρ(x) + ρ(y)
x−y
>α
ρ
,
2
2
puisque ρ est uniformément convexe alors il existe β = β(α) > 0, tel que
ρ
124
x+y
2
≤ (1 − β)
ρ(x) + ρ(y)
≤ 1 − β.
2
V.2 La condition ∆2
Lemme V.6
Soit ρ1 , ρ2 deux semimodulaires uniformément convexe dans X, alors ρ = ρ1 + ρ2 est
uniformément convexe.
Preuve.
Si ε > 0 alors il existe un δ > 0, tel que pour j = 1, 2
f −g
2
ρj
ou
ρj
alors
f +g
2
f +g
ρ
2
≤ε
ρj (f ) + ρj (g)
,
2
!
≤ (1 − δ)
f −g
ρ
2
ou
!
!
≤ 2ε
ρj (f ) + ρj (g)
,
2
ρ(f ) + ρ(g)
,
2
!
≤ (1 − δε)
ρ(f ) + ρ(g)
.
2
On fixe f et g et on assumer
f −g
ρ
2
nous pouvons assumer ρ1
ρ1
f −g
2
f −g
2
!
≤ 2ε
ρ(f ) + ρ(g)
,
2
j (g)
pour un choix spécifique de f et de g, donc
≤ ε ρ2 (f )+ρ
2
!
>ε
ρ(f ) + ρ(g)
ρ1 (f ) + ρ1 (g)
≤ε
2
2
ainsi le choix de δ implique
ρ1
f +g
2
!
≤ (1 − δ)
ρ1 (f ) + ρ1 (g)
,
2
Tenant compte de la convexité de ρ2 , on obtient
f +g
ρ
2
!
≤
ρ(f ) + ρ(g)
ρ1 (f ) + ρ1 (g)
−δ
,
2
2
125
Chapitre V. Espace d’Orlicz généralisé ou espace d’Orlicz-Musielak
puisque
f −g
ρ1 (f ) + ρ1 (g)
≥ ρ1
2
2
donc
!
>ε
ρ(f ) + ρ(g)
,
2
ρ(f ) + ρ(g)
ρ(f ) + ρ(g)
≤ (1 − δε)
.
2
2
Lemme V.7
Soient ρ un semimodulaire uniformément convexe dans X et xk , x ∈ Xρ , tels que
xk → x, ρ(xk ) → ρ(x) et ρ(x) < ∞.
Alors
xk − x
−→ 0.
ρ
2
Preuve.
Nous procédons par contradiction. Supposer que il existe un ε > 0 et une sous suite xk
telle que
xk j − x
> ε,
ρ
2
pour tout j ∈ N, puisque ρ est uniformément continu il existe δ > 0 tel que
ρ
xk − x
xk + x
ρ(xk ) + ρ(x)
≤ ε ou ρ
≤ (1 − δ)
2
2
2
En particulier la suite xk satisfaite toujours la deuxième alternative. En même temps que
1
(xk + x) → x on faiblir la semicontinuité inférieur de ρ et ρ(xk ) → ρ(x) implique que
2
xk + x
ρ(x) ≤ lim j → ∞ inf ρ
2
ρ(xkj ) + ρ(x)
≤ (1 − δ) lim j → ∞ inf
2
= (1 − δ)ρ(x).
126
V.3 Séparabilité
Utilisons que ρ(x) < ∞, on obtient ρ(x) = 0 et par la convexité et ρ(xk ) → ρ(x), alors
xk − x
ρ(xk ) + ρ(x)
ρ
≤
→ ρ(x) = 0,
2
2
pour n → ∞. Contradiction.
3
Séparabilité
Définition V.6
Soit Φ une N-fonction généralisée, l’ensemble
n
o
e Φ = f ∈ LΦ ; ρ (f ) < ∞
L
Φ
est appelé la classe de Orlicz-Museilak et l’ensemble
n
o
E Φ = f ∈ Lφ ; ρΦ (λf ) < ∞ pour λ > 0
e Φ.
est un sous espace vectoriel contenant dans L
Définition V.7
On dit qu’une fonction Φ ∈ ϕ(Ω, µ) est localement intégrable sur Ω, si ρΦ (tχE ) < ∞, pour
tout t ≥ 0 et E µ-mesurable tel que E ⊂ Ω, avec µ(E) < ∞.
Remarque V.5
1- On note que la notion de localement intégrable dans définition est différente qu’on
utilise L1loc .
2- L’ensemble E Φ est un sous ensemble fermé de LΦ .
Théorème V.5
Soit S l’ensemble de toute les fonctions simples intégrables sur Ω et soit Φ ∈ ϕ(Ω, µ) une
fonction localement intégrable, alors S ⊂ E Φ , de plus, on suppose que µ est σ-finie, alors
E Φ est la fermeture de S et S est ρ-dense dans LΦ .
127
Chapitre V. Espace d’Orlicz généralisé ou espace d’Orlicz-Musielak
Preuve.
L’intégrabilité locale implique que S ⊂ E Φ . Puisque E Φ est fermé d’après la remarque
précédente, il suffit de prouver que chaque f ∈ E Φ est dans la fermeture du S.
Soit f ∈ E Φ avec f ≥ 0, puisque f ∈ L0 (A) il existe fk ∈ S tel que 0 ≤ fk % f presque
par tout, ainsi fk → f dans LP hi et par le théorème de la convergence dominé f est dans
la fermeture de S.
Si nous laissons tomber la prétention, alors on coupe x en deux parties positives et
négatives (réelle et imaginaires) qui appartiennent aussi à E Φ .
Théorème V.6
Soit Φ ∈ ϕ(Ω, µ) une fonction localement intégrable et soit µ est séparable, alors E Φ est
séparable.
Preuve.
Pour la preuve voir [23].
4
Exemples
Cette section est consacré à des exemples de quelques classes des espaces inspirés par
les espaces d’Orlicz, qui trouvent l’application importante dans la théorie des potentiels
et les équations différtielles, notamment les espaces d’Orlicz-Sobolev, d’Orlicz-Lorentz et
d’Orlicz-Hardy.
• Soient k un entier positif, Ω un ensemble ouvert non vide de Rn et Φ ∈ ϕ une fonction
convexe.
Soit X un espace de mesure de Lebesgue et soit la fonction de valeur x admet une dérivée
Dα x d’ordre |α| ≤ k appartient à l’espace LΦ , avec
ρ(x) =
Z
Ω
Φ(t, |x(t)|)dt, ρα (x) = ρ(Dα x) et ρ(x)
X
ρα (x).
|α|≤k
L’espace modulaire Xρ est appelé espace d’Orlicz-Sobolev généralisé, et on noté par
WΦk (Ω).
• Soient (Ω, Σ, µ) un espace mesuré et Φ ∈ ϕ.
128
V.4 Exemples
Soit h = hΦ : R+ → R+ une fonction monotone croissante, on définit l’espace d’Orlicz-Lorentz
par
o
n
0
LΦ,h = f ∈ L0 : kf kΦ,h < ∞ ,
où
(
0
kf kΦ,h = inf k > 0 :
Z ∞
0
f ∗∗
dh(t) ≤ k .
Φ
k
!
)
• Soient D le disque d’unité ouvert dans le plan complexe et C comme son borne i.e.,
D = {z; |z| < 1}, C = {z; |z| = 1}.
Soit ϕ une fonction non négative dans R, telle que ϕ(x) → 0 si x → −∞ non croissante
fϕ de toute fonction f : D → C, telle
mais positive ϕ(x) > 0, x 6= 0, alors l’ensemble H
que l’intégrale
Z
2π
ϕ log |f (reiθ )| dµ(θ)
0
fϕ est appelé classe de l’espace
est bornée, pour 0 ≤ r < 1. Si la fonction ϕ est convexe, H
d’Orlicz-Hardy.
l’espace d’Orlicz-Hardy, noté par H ϕ est l’ensemble des fonctions f : D → C telle que
fϕ pour α = α > 0.
αf ∈ H
f
129
Conclusion générale et perspectives
Dans notre travail on traiter les équations intégrales au aspect fonctionnel et effectuions
cette etude par des résultat numériques, nous intéressons aux équations intégrales non
linéaires, c-à-d, l’appartenance de tels opérateurs de la forme
Au(x) =
Z
k(x, y, u)dy,
Ω
et le cas particulier l’équation de Hammerstein de la forme
Hu(x) =
Z
k(x, y)f (y, u)dy,
Ω
aux espaces fonctionnels notamment espace de Lebesgue classique, à exposant variable et
en fin l’espace d’Orlicz.
Le rôle le plus essentiel c’est l’étude de la compacité d’un opérateur, pour dire que
l’existence de la solution d’après des critère connus dans ce domaine (de Fredholm et
autres).
L’équation intégrale de type Hammerstein ont été étudiée par de nombreux auteurs et ont
un des domaines les plus importants d’application des méthodes d’analyse fonctionnelle
non linéaire, et en particulier la théorie des opérateurs non linéaires de type monotone.
Les premiers résultats de la solvabilité uniques de l’équation ont été obtenus en 1930 par
Hammerstein à l’aide des méthodes variationnelle. Choisir la meilleure méthode dépend
de l’espace de la recherche de positions en solution, déterminée par les propriétés de la
fonction f et k.
Le but de cet article est d’étudier l’existence des différentes solutions de l’équation de
type Hammerstein avec d’imposition des hypothèses sur l’espace X (espace de Lebesgue
131
Conclusion
classique) et les opérateurs K et Nf .
La première application de la notion opérateurs monotones de l’équation intégrale de
Hammerstein a été faite implicitement par Golomb en 1935 et Vainberg en 1956. Les
Méthodes de Monotoniques ont été appliquées avec succès pour les opérateurs K et Nf
dans les espaces Hilbert, Dolph et Minty (1963) et Kolodner (1964). Par la suite, la théorie
des opérateurs monotones appliqués à l’équation de Hammerstein dans les espaces de
Banach par Amann (1969), Brézis (1968) et Gupta Browder (1969), Browder, Figueiredo
et Gupta (1970), Petryshyn et Fitzpatrick (1971).
Pour résoudre numériquement l’équation de type Hammerstein on peut appliquer les
méthodes de projections, spectrales, ... etc.
L’étude de l’équation de Hammerstein sur un domaine non borné, où la forme suivante
Au(x) =
Z +∞
k(x, y)f (y, u)dy
−∞
bien sur elle change plusieurs notions qu’on a été faite dans cette thèse.
Le principal ouvrages de référence monographie sur l’équation de Hammerstein sont
Pascali-Sburlan (1978) et Zeidler (1990).
Ainsi l’espace le plus riche pour étudier les équations intégrales singulières avec son
importance dans plusieurs domaine scientifiques, où généralement ces équations sont de
la forme suivante
Au(x) =
Z
Ω
1
u(y)dy
|x − y|
(V.3)
cette etude est basé sur les estimations en utilisant la fonction maximale, et on regarde que
cette tache est liée avec un domaine connu les théories des opérateurs pseudo-différentiels.
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