BCPST1 – DUCOS – 2016/2017 – MATHEMATIQUES : DEVOIR DE VACANCES L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé. Exercice 1 : On définit la suite (u n) de la façon suivante : pour tout entier naturel n, u n = 1 xn 0 1 x dx . 1. Calculer u 0 . 2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n + 1 + u n = 1 . n 1 b. En déduire la valeur exacte de u 1 . a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rang n de la 3. suite (u n) où n est un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur. Variables i et n sont des entiers naturels u est un réel Entrée Saisir n Initialisation Affecter à u la valeur ……… Traitement Pour i variant de 1 à ……… Affecter à u la valeur ………………… Fin de Pour Sortie Afficher u b. À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant : n 0 1 2 3 4 5 10 50 100 un 0,6931 0,3069 0,1931 0,1402 0,1098 0,0902 0,0475 0,0099 0,0050 Quelle(s) conjecture(s) concernant le comportement de la suite (u n) peut-on émettre ? 4. a. Démontrer que la suite (u n) est décroissante. b. Démontrer que la suite (u n) est convergente. c. Démontrer que la suite (u n) converge vers 0. Exercice 2 : Soit a un nombre réel fixé non nul. Le but de cet exercice est d’étudier la suite (u n) définie par : u 0 = a et, pour tout n de N, u n + 1 = e 2 u n − e u n . 1. Etudier les variations puis déterminer le signe de la fonction g définie pour tout réel x par : g (x) = e 2 x – e x – x . 2. Etudier le sens de variation de la suite (u n). 3. Etudier la suite (u n) dans le cas où a = 0. 4. Dans cette question, on suppose que a < 0. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n ≤ 0. b. Démontrer que la suite (u n) est convergente. 5. Dans cette question, on suppose que a > 0. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : u n + 1 – u n ≥ g (a) . b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : u n ≥ a + n ×g (a). c. Déterminer la limite de la suite (u n). 6. Compléter la partie « Traitement » de l’algorithme suivant qui a pour but de déterminer le plus petit entier n tel que u n > M. Dans cet algorithme a et M désignent des réels strictement positifs. Variables n est un entier u et M sont deux réels Initialisation n prend la valeur 0 Saisir la valeur de a Saisir la valeur de M u prend la valeur …… Traitement Tant que …… …… …… Fin tant que Sortie Afficher n Exercice 3 : 1. Soit u la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : u(x) = ln(x) + x – 3 . Démontrer que l’équation : u(x) = 0, admet une unique solution α, comprise entre 2 et 3 ; et déterminer le signe de u(x) en fonction de x. 2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = ln x + 2 ln x . x a. Déterminer la limite de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. b. Etudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[. 3. On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et la courbe représentative de la fonction ln. a. Etudier la position relative des courbes C et . b. Calculer l’aire du domaine délimité par les courbes C et , les droites d’équations x = 1 et x = e 2 . Exercice 4 : Soient f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ et telle que, pour tout x réel : f(x) = et (I n) la suite définie pour tout entier naturel n par : I n = x x e x n 0 f (x) dx . Question préliminaire : Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, e x − x ≥ 1. ; ex . 2 a. Démontrer que la fonction f est positive sur l’intervalle [0 ; +∞[. b. Etudier le sens de variation de la suite (I n). 2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, I n ≤ n 0 2 x e x dx . b. En déduire que, pour tout entier naturel n, I n ≤ 2. Indication : On pourra chercher à calculer la dérivée de la fonction : x (− x − 1) e – x . 3. Montrer que la suite (I n) est convergente. Exercice 5 : On pose v 1 = ln(2) et considère la relation de récurrence définie pour tout n N*, par : v n + 1 = ln(2 – e v n ). 1. Démontrer par récurrence que pour tout n N*, v n est bien défini et strictement positif. 2. On peut donc ainsi définir une suite (v n) n ≥ 1 . On considère alors la suite (u n) n ≥ 1 , définie par : u n = e v n . a. Démontrer par récurrence que pour tout n N*, u n = n 1 . n b. En déduire que la suite (v n) converge et déterminer sa limite. 3. On définit enfin la suite (S n) telle que, pour tout n N*, S n = n vk = v1 + v2 + … + vn . k 1 a. Recopier et compléter l’algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de S n pour une valeur de n choisie par l’utilisateur : Variables n, k entiers S, v réels Initialisation Saisir la valeur de n v prend la valeur ……… S prend la valeur ……… Traitement Pour k variant de …… à …… faire …… prend la valeur …… …… prend la valeur …… Fin Pour Sortie Afficher S b. À l’aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de (S n). Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous : n 10 100 1000 100000 100000 1000000 Sn 2,4 4,6 6,9 9,2 11,5 13,8 Quelle(s) conjecture(s) pouvez-vous émettre quant au comportement de la suite (S n) ? c. Démontrer que pour tout n N* : S n = ln(n + 1), et conclure.