crpe-préparer l`épreuve de mathématiques

GÉOMÉTRIE PLANE ET GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
1. GÉOMÉTRIE PLANE ET TRANSFORMATIONS
1.1. Langage géométrique : notations et vocabulaire
Le langage géométrique est un langage technique : les mots, expressions, locutions
y ont souvent un sens précis (par exemple, segment, droite, perpendiculaire, milieu…). Les
objets géométriques (points, droites, figures) sont désignés à l’aide de lettres.
-
Étant donné deux points A et B distincts, par convention :
[AB] désigne le segment d’extrémités A et B ;
AB désigne la longueur du segment [AB] (ou parfois, la distance de A à B) ;
(AB) désigne la droite passant par les points A et B ;
[AB) désigne la demi-droite d’origine A passant par B.
Il existe aussi une notation conventionnelle pour les droites parallèles ou
perpendiculaires :
(AB) // (CD) signifie : la droite (AB) est parallèle à la droite (CD).
(AB) > (CD) signifie : la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (CD).
Nous invitons les candidats au concours à utiliser les notations correctes car les
correcteurs sont vigilants sur cet aspect.
Exemples
Lorsqu’on parle des côtés opposés d’un carré ABCD qui sont parallèles, on écrit (AB) // (CD).
Lorsqu’on parle des côtés opposés d’un carré ABCD qui sont de même longueur, on écrit
AB = CD.
On écrit : AB = 4cm et pas [AB] = 4cm.
On écrit : (AB) > (BC) et pas [AB] > [BC].
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GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEET
ETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEDANS
DANSL’ESPACE
L’ESPACE
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEETETTRANSFORMATIONS
TRANSFORMATIONS
Remarque
Certains mots n’existent pas ou peu dans la langue courante (« segment », « parallèle »…)
alors que d’autres sont employés dans la langue courante avec des sens parfois différents
(« sommet » pour une montagne, « milieu » pour une ronde, « arête » pour un poisson…).
NB. Dans ce chapitre, les mots ou expressions du vocabulaire de base – point, ligne droite,
demi-droite, segment, ligne brisée, sommet, demi-plan, triangle (quelconque, équilatéral,
isocèle, rectangle), droites parallèles, sécantes ou concourantes, droites perpendiculaires,
angle (droit, plat, nul, aigu, obtus), cercle, rayon, diamètre, corde, arc de cercle – vous sont
assez familiers pour qu’ils ne soient pas redéfinis.
1.2. Segments, droites, distance, orthogonalité, parallélisme
1.2.1. Généralités
La mesure de la longueur du segment [AB] s’appelle la distance de A à B. Elle
est notée AB.
Le milieu d’un segment est le point de ce segment qui est à égale distance de
ses extrémités.
72
Inégalité triangulaire
Si un point M appartient au segment [AB], alors AM + MB = AB.
Inversement, si AM + MB = AB, alors le point M appartient au segment [AB].
Si un point M n’appartient pas au segment [AB], alors AM + MB > AB.
Inversement, si AM + MB > AB, alors le point M n’appartient pas au segment [AB].
A
dd
dd
Étant donné une droite d
et un point A, il passe par A
une seule droite d’ qui soit
perpendiculaire à d.
Étant donné une droite d et
un point A extérieur à d, il
existe une droite parallèle à
d et une seule qui passe par
A (axiome d’Euclide).
d
I
d’
d’
Si deux droites sont
perpendiculaires à une
même troisième, elles sont
parallèles entre elles.
En d’autres termes, si d’ > d
et si d’ > d” alors d // d’’.
Réciproquement, si deux
droites sont parallèles, toute
droite perpendiculaire à
l’une est perpendiculaire à
l’autre.
d’
Distance d’un point à
une droite
La distance du point A à la
droite d est la distance de
A à I, point d’intersection
de d avec d’ qui est la
perpendiculaire à d passant
par A.
• Définition
La médiatrice du segment (@GL.) [AB] est l’ensemble des points M du
plan équidistants de A et de B, c’est-à-dire tels que MA = MB.
d’’
d’’
d’d’
dd
d’
A
A
’’
dd
73
Deux droites sécantes sont deux droites qui ont un seul point commun qui est
leur point d’intersection.
A
d’’
d’’
1.2.3. Médiatrice d’un segment
1.2.2. Orthogonalité, parallélisme
d’d’
Remarque
On dit aussi :
• deux droites qui n’ont aucun point commun sont (strictement) parallèles ;
• deux droites qui ont tous leurs points confondus sont parallèles.
Si une droite d est parallèle
à une droite d’ et si d’ est
parallèle à une droite d”
alors la droite d est parallèle
à la droite d” (pour évoquer
cette propriété, on parle de la
transitivité du parallélisme).
• Propriétés (admises)
- La médiatrice du segment [AB] est une
droite perpendiculaire au segment [AB] en
son milieu.
- Si un point est équidistant des extrémités A
et B d’un segment, alors ce point appartient
à la médiatrice de [AB] (cas ici du point M).
Comme toute droite, la médiatrice d du
segment [AB] partage le plan en deux demiplans P1 et P2. Soit A un point de P1 et
B un point de P2, Pour tout point P de P1,
on a PA < PB, c’est-à-dire que P est plus
proche de A que de B, et pour tout point Q
de P2, on a QA > QB, c’est-à-dire que Q est
plus proche de B que de A.
P1
P2
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEET
ETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEDANS
DANSL’ESPACE
L’ESPACE
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEETETTRANSFORMATIONS
TRANSFORMATIONS
La mesure de l’angle nul est 0° et la mesure de l’angle plein est 360°.
Remarque
Les médiatrices des côtés d’un carré ou d’un rectangle son aussi appelés axes médians
(@GL.) du carré ou du rectangle. Les segments joignant les milieux des côtés parallèles sont
alors appelés médianes du carré ou du rectangle.
B
Un angle du plan est une région du plan délimitée par des demi-droites [Ox) et
[Oy) de même origine. Ces demi-droites sont les côtés de l’angle. Le sommet de l’angle est
l’origine commune aux demi-droites.
O
O
1.3. Angles
1.3.1. Généralités
N.B. Nous avons décidé dans cet ouvrage de ne pas distinguer les concepts de
secteur angulaire et d’angle.
B
A
A
La mesure d’un angle La mesure d’un angle Lorsqu’un angle mesure
saillant est comprise entre rentrant est comprise entre 180°, on dit qu’il est plat.
0° et 180°.
180° et 360°.
Oy et
• Deux angles x∑
sont opposés par le sommet s’ils ont le même
sommet et si les angles
et
sont plats. Leurs mesures sont égales.
75
74
C
C
B
B
B
C
O
A
O
En fait, comme la figure ci-dessus permet de le comprendre, les demi-droites
[Ox) et [Oy) délimitent deux angles dont la réunion recouvre le plan tout entier. L’angle
hachuré est dit saillant, noté
. C’est celui qui contient le segment [AB]. L’autre angle est
dit rentrant, il est noté xOy. C’est celui qui ne contient pas le segment [AB]. Sauf indication
contraire, on considèrera l’angle saillant.
La mesure des angles s’effectue en degrés ( ° ).
Pour exprimer la mesure de l’angle ci-dessus, on écrira
= 30° ou
= 30°.
• Quand les demi-droites [Ox) et [Oy) sont confondues, on a un angle saillant
réduit à la demi-droite qu’on appelle « angle nul » et un angle rentrant recouvrant tout le
plan qu’on appelle « angle plein ».
A
A
Des angles sont adjacents Des angles sont complémen- Des angles sont supplémens’ils ont le même sommet et taires si la somme de leurs taires si la somme de leurs
s’ils ont un côté commun.
mesures est égale à 90°.
mesures est égale à 180°.
1.3.2. Bissectrice d’un angle
• Définition
La bissectrice d’un angle (@GL.) est la demi-droite qui partage cet angle
en deux angles adjacents de même mesure.
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEET
ETGÉOMÉTRIE
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L’ESPACE
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEETETTRANSFORMATIONS
TRANSFORMATIONS
• Propriétés (admises)
La bissectrice d’un angle est aussi l’ensemble des points équidistants des
côtés de cet angle. Par exemple, dans la figure ci-dessous, [Oz) est la bissectrice de
.
Tout point M de [Oz) est équidistant de [Ox) et de [Oy), côtés de l’angle (on a déjà défini la
distance d’un point à une droite) (§ 1.2.2.).
Théorème 3
Deux droites parallèles coupées par une
sécante forment des angles correspondants
égaux.
Théorème réciproque
Si deux droites coupées par une sécante
forment des angles correspondants égaux,
alors ces deux droites sont parallèles
1.4. Cercle, disque
Rappel
Le cercle (@GL.) de centre O est l’ensemble
des points situés à égale distance du point O.
Cette distance s’appelle le rayon du cercle.
Un cercle est donc défini par son centre O et
son rayon R.
Le disque (@GL.) de centre O et de rayon R
est l’ensemble des points du cercle et ceux
intérieurs au cercle.
Vocabulaire : corde, arc, rayon, diamètre,
secteur circulaire.
1.3.3. Droites parallèles et angles
76
Théorème 1
Deux droites parallèles coupées par une
sécante forment des angles alternes internes
égaux.
Théorème 2
Deux droites parallèles coupées par une
sécante forment des angles alternes
externes égaux
Théorème réciproque
Si deux droites coupées par une sécante
forment des angles alternes internes égaux,
alors ces deux droites sont parallèles.
Théorème réciproque
Si deux droites coupées par une sécante
forment des angles alternes externes égaux,
alors ces deux droites sont parallèles.
1.4.1. Positions relatives d’une droite et d’un cercle
Soient C le cercle de centre O et de rayon R, d une droite et I le pied de la
perpendiculaire abaissée de O sur d. Le nombre de points d’intersection du cercle C avec la
droite d dépend de la distance du centre O à la droite d, la distance OI.
Trois cas sont possibles :
- si OI > R, la droite d et le cercle C ne sont pas sécants ;
- si OI = R, la droite d est tangente au cercle C en I ;
- si OI < R, la droite d et le cercle C sont sécants en deux points distincts.
(@DOC. Compléments sur le cercle).
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GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEET
ETGÉOMÉTRIE
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L’ESPACE
1.4.2. Positions relatives de deux cercles
Soient deux cercles C et C’, de centres respectifs O et O’, de rayons respectifs
R et R’.
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEETETTRANSFORMATIONS
TRANSFORMATIONS
au polygone. Notamment, une diagonale du polygone est extérieure au polygone. Par
exemple, dans le polygone non convexe ci-dessous, [AC] est une diagonale extérieure du
polygone ABCD.
Trois cas peuvent se produire :
- les cercles n’ont pas de points communs ;
- les cercles ont un seul point commun ;
- les cercles ont deux points communs.
(@DOC. Compléments sur le cercle).
1.4.3. Angle au centre, angle inscrit
BB
78
C
C
Définition préalable
Dans un cercle, une corde est un segment
reliant deux points du cercle. À noter qu’un
diamètre du cercle est une corde de plus
grande mesure possible. Un angle inscrit
dans un cercle est un angle formé par deux
cordes issues d’un même point du cercle.
Ici,
est un angle inscrit, interceptant
l’arc
.
(@DOC. Compléments sur le cercle)
AA
1.5. Polygones
• n désignant un entier naturel supérieur ou égal à 3, un polygone à n côtés est
une ligne brisée fermée constituée de n segments et n’ayant pas trois sommets consécutifs
alignés.
Les segments formant la ligne brisée sont les côtés du polygone. Les extrémités des côtés sont
les sommets du polygone. Chaque sommet définit ainsi un angle du polygone : il y a autant
d’angles que de côtés.
Une diagonale d’un polygone est un segment joignant deux sommets non consécutifs.
• Un polygone est dit croisé si deux côtés non consécutifs sont sécants.
• Un polygone est convexe si quels que soient les points P et Q intérieurs au polygone
le segment [PQ] est entièrement à l’intérieur du polygone.
Dans le cas contraire, le polygone n’est pas convexe : on peut trouver deux points P et
Q intérieurs au polygone ABCD tels que le segment [PQ] ne soit pas entièrement intérieur
Polygone convexe
Polygone non convexe
Remarque
Dans un polygone convexe, tous les angles sont saillants et dans un polygone non convexe,
il y a au moins un angle rentrant.
! Somme des angles d’un polygone
n étant le nombre de côtés d’un polygone, la somme de ses angles en degrés, est
(n − 2) × 180.
Exemple
Pour un pentagone, n = 5. La somme des angles est (5 − 2) × 180 = 3 × 180 = 540. La
somme des angles d’un pentagone est de 540°.
(@AI. Déterminer la valeur d’un angle).
! Un polygone est régulier lorsque tous ses côtés ont même longueur et lorsque ses angles
saillants formés par deux côtés consécutifs sont tous égaux. C’est le cas du triangle équilatéral
et du carré.
! Si un polygone est régulier, il existe un cercle qui passe par tous ses sommets, on l’appelle
cercle circonscrit (@GL.) au polygone et on dit que le polygone est inscrit dans le cercle. Le
centre de ce cercle est aussi appelé centre du polygone régulier.
(@DOC. Compléments sur le cercle)
1.5.1. Triangles
• Propriété
La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.
• Théorème (« inégalité triangulaire »)
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PLANEETETTRANSFORMATIONS
TRANSFORMATIONS
A, B, C étant 3 points quelconques, on a : AC b AB + BC.
Droites particulières dans un triangle
! Médianes et centre de gravité
a. Définition
La médiane (@GL.) issue de A dans le triangle ABC est la droite qui joint le sommet
A au milieu A’ du côté opposé [BC]. Ce nom désigne à la fois la droite (AA’), le segment [AA’]
et parfois aussi la longueur AA’.
b. Propriétés (admises)
Les trois médianes d’un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point
d’intersection G est le centre de gravité (@GL.) du triangle ABC.
Le centre de gravité G du
triangle ABC est situé aux
2/3 de chaque médiane en
partant du sommet :
AG = 2/3 AA’ ;
BG = 2/3 BB’ ;
CG = 2/3 CC’.
80
Les trois médiatrices d’un triangle
(@GL.) quelconque ABC sont concourantes.
Leur point d’intersection O est le centre du
cercle circonscrit au triangle ABC, c’est-àdire de l’unique cercle passant par les trois
points A, B et C.
(@DOC. Compléments sur le triangle)
! Bissectrices et centre du cercle inscrit
Les trois bissectrices d’un triangle quelconque ABC sont concourantes. Leur point
d’intersection 7 est le centre du cercle inscrit (@GL.) dans le triangle ABC, c’est-à-dire
intérieur au triangle ABC et tangent aux trois côtés. Le point 7 est à l’intérieur du triangle
ABC.
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! Hauteurs et orthocentre
Les trois hauteurs d’un triangle (@GL.) quelconque ABC sont concourantes. Leur point
d’intersection H est l’orthocentre (@GL.) du triangle ABC.
Les deux figures correspondent au cas où le triangle a un angle obtus, cas dans lequel
l’orthocentre est extérieur au triangle, et à celui où le triangle n’a que des angles aigus.
! Médiatrices et centre du cercle circonscrit
Remarque
Le centre du cercle inscrit d’un triangle est équidistant des côtés de ce triangle.
Cas d’égalité de triangles
Il existe trois cas d’égalité des triangles qui reposent sur des égalités de côtés et d’angles.
(@DoC. Compléments sur le triangle)
Triangles particuliers
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ETGÉOMÉTRIE
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Triangle isocèle (@GL.)
Propriétés (admises)
Théorème de Pythagore et sa réciproque
Définition
Un triangle est isocèle s’il a deux
côtés de même longueur. Le triangle
ABC est isocèle de sommet principal
A si AB = AC.
* Le triangle ABC est isocèle de sommet principal
A si et seulement si les angles adjacents à la base
sont égaux.
* Si le triangle ABC est isocèle de sommet principal A
alors les quatre droites : hauteur issue de A, médiane
issue de A, bissectrice de l’angle et médiatrice de la
base [BC] sont confondues.
* Inversement, dans un triangle ABC, si deux des
quatre droites citées ci-dessus sont confondues
alors il est isocèle de sommet principal A.
Énoncé du théorème de Pythagore
Triangle équilatéral (@GL.)
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GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEETETTRANSFORMATIONS
TRANSFORMATIONS
Triangle rectangle (@GL.)
Propriétés (admises)
Définition
Un triangle est rectangle s’il a
deux côtés perpendiculaires. Si le
triangle ABC est rectangle en A, le
côté opposé à A, c’est-à-dire [BC],
s’appelle l’hypoténuse.
Si un triangle ABC est rectangle en A alors le cercle
de diamètre [BC] passe par A ou, ce qui revient
au même, le centre de son cercle circonscrit est le
milieu de [BC].
Réciproquement : tout triangle inscrit dans un cercle
ayant pour diamètre un de ses côtés est rectangle.
Cette propriété permet de construire un triangle
rectangle dont on connaît l’hypoténuse. Elle peut
aussi permettre de démontrer qu’un angle est droit
ou qu’un point appartient à un cercle.
Triangle rectangle isocèle
Les angles à la base valent chacun 45°.
C
Si un triangle est rectangle, alors le carré Si dans un triangle, le carré d’un côté est
de la longueur de l’hypoténuse est égal à la égal à la somme des carrés des deux autres
somme des carrés des longueurs des côtés côtés, ce triangle est un triangle rectangle.
de l’angle droit.
Si ABC est un triangle rectangle en A,
alors :
BC2 = AB2 + AC2
Ce théorème permet de prouver qu’un
triangle est rectangle ou non.
(@DOC. Compléments sur le triangle).
Propriétés (admises)
Définition
* Un triangle est équilatéral si et seulement si ses
Un triangle est équilatéral si ses trois angles mesurent tous 60°.
* Un triangle est équilatéral si et seulement si il est
côtés ont même longueur
isocèle et a un angle de 60°
* Si le triangle ABC est équilatéral alors les
B
points, centre de gravité, orthocentre, centre du
A
cercle circonscrit et centre du cercle inscrit, sont
confondus.
* Inversement, si dans un triangle ABC deux des
points cités ci-dessus sont confondus, le triangle est
C
C
équilatéral.
Théorème réciproque
! Exemple
Soit ABC, triangle rectangle en A, avec AB=3 et AC= 4. Calculer AC.
Solution
Le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore, on a :
BC2 = AB2 + AC2 soit BC2 = 9 + 16 = 25. On en déduit que BC =
=5
! Applications du théorème de Pythagore
La mesure de la longueur de la diagonale d’un carré de côté a (a étant un nombre réel
strictement positif)) est
.
La mesure h de la hauteur d’un triangle équilatéral de côté a (a étant un nombre réel
strictement positif)) est égale à
.
(@DOC. Démonstration de théorèmes et exemples ; @DOC. Synthèse et sujets de
concours)
Le théorème de Pythagore permet de justifier la construction à la règle et au compas de
certains segments dont la mesure s’exprime par un nombre irrationnel comme
,
,
.
(@AI. Énoncer le théorème de Pythagore ; @AI. Utiliser le théorème de Pythagore ;
@AI. Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ; @AI. Utiliser le théorème
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PLANEET
ETGÉOMÉTRIE
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L’ESPACE
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PLANEETETTRANSFORMATIONS
TRANSFORMATIONS
de Pythagore dans l’espace).
Théorème de Thalès et sa réciproque
! Réciproque du théorème de Thalès
! Théorème de Thalès
Soit un triangle ABC, un point B’ sur (AB) et un point C’ sur (AC) tels que (B’C’) soit
parallèle à (BC). On considère donc les trois cas de figures suivantes :
Si
BB
’
CC
Soient un triangle ABC, des points alignés A,
B, B’ et des points A, C, C’, alignés dans le
même ordre.
, alors les droites (BC) et (B’C’)
sont parallèles.
B’
B
A
C
C’
AA
La réciproque du théorème de Thalès permet de montrer que des droites sont parallèles.
B
B’
B’ [AB)
C’ [AC)
84
B’ [AB)
C’ [AC)
’
B’ [AB)
C’ [CA)
C’C
’
’
Alors on a :
Propriété complémentaire
Soit un triangle ABC et une parallèle à (BC) coupant (AB) en B’ et (AC) en C’. Les deux
triangles ABC et AB’C’ ont leurs côtés correspondants proportionnels :
Le théorème de Thalès permet le calcul de certaines longueurs dans un triangle. Il permet
également de justifier la construction du partage d’un segment dans un rapport donné.
Exemple d’application du théorème de Thalès
Tracer un triangle ABC tel que AB = 4 cm, BC = 6 cm et CA = 5 cm.
Soit D  [AB] tel que AD = 3 cm.
Soit E  (AC) tel que (ED) // (BC).
Soit F  (BC) tel que (EF) // (AB).
Calculer ED, AE, EF, BF.
Le corrigé de cet exercice est disponible dans le document « Démonstrations de théorèmes
et exemples » (@DOC.).
(@AI. Résolution d’équations présentant des fractions ; @AI. Énoncer le théorème
de Thalès ; @AI. Utiliser le théorème de Thalès ; @AI. Utiliser le théorème de
Thalès dans l’espace).
! Exemple d’application de la réciproque du théorème de Thalès
On considère un triangle IJK dans lequel IJ = 3 et IK = 4,5 et JK = 5,8. On place le point
L sur la demi-droite [JI) tel que IL = 4 et le point M sur la demi-droite [KI) tel que IM = 6. Que
peut-on dire des droites (JK) et (ML) ?
Le corrigé de cet exercice est disponible dans le document « Démonstrations de théorèmes
et exemples » (@DOC.).
(@DOC. Synthèse et sujets de concours ; @AI. Utiliser la réciproque du théorème
de Thalès).
! Cas particulier du théorème de Thalès : le théorème de la droite des milieux
dans un triangle
Théorèmes
• Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle
au troisième côté.
• Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième
côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
• Dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du
troisième côté.
Exemple :
ABC est un triangle. La parallèle à (AB)
passant par le milieu A’ de [BC] coupe [AC]
en son milieu.
(@DOC. Compléments sur le triangle)
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GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEET
ETGÉOMÉTRIE
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L’ESPACE
1.5.2. Quadrilatères particuliers
Les Trapèzes
! Définition
Un quadrilatère convexe est un trapèze s’il a deux côtés opposés parallèles. Le plus grand
de ces deux côtés est appelé « grande base » et le plus petit, « petite base ».
Remarque
Les parallélogrammes, les rectangles, les losanges, les carrés sont des trapèzes particuliers.
! Trapèze isocèle
86
Définition
Un trapèze de bases [AB] et [CD] est un trapèze isocèle si ses côtés non parallèles sont de
même longueur.
Remarque
Les rectangles et les carrés sont des trapèzes isocèles particuliers.
Propriété (admise)
Les angles à la base d’un trapèze isocèle ont
la même mesure.
Si ABCD est un trapèze isocèle de bases [AB]
et [CD] alors
=
et
=
.
! Trapèze rectangle
Définition
Un trapèze est dit « trapèze rectangle » s’il a un angle droit.
Propriété (admise)
Si un quadrilatère est un trapèze rectangle,
il a au moins deux angles droits (l’un des
côtés est perpendiculaire aux bases).
GÉOMÉTRIE
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PLANEETETTRANSFORMATIONS
TRANSFORMATIONS
Les Parallélogrammes
! Définition
Un quadrilatère ayant ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
Le point d’intersection des diagonales est appelé centre du parallélogramme.
! Propriétés (admises)
- Propriété 1 : un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles.
Propriété réciproque : un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles est un
parallélogramme.
- Propriété 2 : un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur.
Propriété réciproque : un quadrilatère convexe ayant ses côtés opposés de même
longueur est un parallélogramme.
- Propriété 3 : un quadrilatère convexe ayant deux côtés opposés parallèles et de même
longueur est un parallélogramme.
! Parallélogrammes particuliers
Le losange, le rectangle et le carré sont des parallélogrammes particuliers.
(@DOC. Propriétés des quadrilatères)
Exemple d’utilisation des propriétés des quadrilatères
On considère un quadrilatère ABCD non croisé. On appelle I, J, K et L les milieux respectifs de
[AB], [BC], [CD] et [DA].
a. Montrer que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.
b. Quelle condition doit vérifier le quadrilatère ABCD pour que IJKL soit un rectangle ?
Vous trouverez la correction de cet exercice dans le document « Propriétés des quadrilatères »
(@DOC.).
(@AI. Propriétés des quadrilatères particuliers ; @AI. Déterminer la nature d’un
quadrilatère).
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TRANSFORMATIONS
1.6. Transformations du plan
On peut écrire SO (M) = M’. On dit que M’ est l’image
de M par la symétrie SO de centre O ou que M’ est le
symétrique de M par rapport à O.
O est son propre symétrique par rapport à O. C’est
d’ailleurs le seul point invariant par la symétrie de
centre O.
Définitions
- On appelle transformation plane (@GL.) ou transformation du plan dans lui-même
tout procédé qui, à partir de n’importe quel point M du plan, permet de construire un point
M’ du plan. On dit que M’ est l’image de M par cette transformation. M’ est unique. On dit
que M est un antécédent du point M’ par cette transformation.
- On dit qu’un point M est invariant par une transformation ou qu’il est fixe si son image
M’ est confondue avec lui.
- Les isométries (@GL.) du plan sont les transformations qui conservent les distances :
une figure et la figure transformée ont les mêmes dimensions. En particulier, deux points du
plan M et N ont pour images M’ et N’ tel que MN = M’N’. C’est le cas des translations, des
symétries (orthogonale et centrale) et des rotations. Il existe aussi des transformations qui
ne conservent pas les distances, comme par exemple les homothéties qui seront également
étudiées dans ce chapitre.
1.6.1. Les isométries du plan
88
a. Translations
! Définition
! Centre de symétrie d’une figure
On dit qu’une figure possède un centre de symétrie si elle est globalement invariante par
la symétrie par rapport à ce centre. (@DOC. Transformations)
c. Symétries axiales ou symétries orthogonales par rapport à un axe
! Définition
Étant donné une droite d, la symétrie S(d) d’axe d associe à tout point M :
- le point M’ tel que d soit la médiatrice du segment [MM’] si M n’appartient pas à d ;
- le point M lui-même si M est sur d.
S(d) est appelée symétrie d’axe d ou symétrie orthogonale par rapport à d.
On peut écrire S(d)(M) = M’. On dit que M’
est l’image de M par la symétrie S(d) d’axe
(d) ou que M’ est le symétrique de M par
rapport à d.
Remarque : M est le symétrique de M’ par
rapport à d. Les points de l’axe (d) sont les
seuls points invariants par la symétrie axiale
S d’axe (d).
Étant donné des points (fixes) A et A’, la translation t transformant A en A’ associe à tout
point M le point M’ tel que les segments [AM’] et [A’M] aient même milieu.
On peut écrire t (M) = M’. On dit que M’ est
l’image de M par la translation t.
Lorsque M n’appartient pas à la droite
(AA’), M’ est l’image de M par la translation
t si et seulement si AA’M’M est un
parallélogramme.
b. Symétries centrales
! Définition
Étant donné un point (fixe) O, la symétrie SO de centre O associe à tout point M le point
M’ tel que O soit le milieu du segment [MM’].
! Axes de symétrie des figures usuelles
On dit qu’une figure possède un axe de symétrie si elle est globalement invariante par la
symétrie orthogonale par rapport à cet axe.(@DOC. Transformations)
d. Rotations
! Orientation du plan
Soit O un point et C un cercle de centre O. On considère un point M variable se déplaçant
sur C sans changer de sens. On dit que M effectue une rotation autour de O sur C. Il y a
deux manières de déplacer M illustrées par les deux figures ci-dessous, donc deux sens de
rotation :
89
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEET
ETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEDANS
DANSL’ESPACE
L’ESPACE
Sur la première figure, M se déplace dans
le sens contraire des aiguilles d’une montre.
Ce sens est appelé « sens direct » ou « sens
trigonométrique ».
Sur la deuxième figure, M se déplace dans le
sens des aiguilles d’une montre. Ce sens est
appelé « sens indirect ou rétrograde ».
! Définition des rotations
- Étant donné un sens de rotation, un point O et un angle a, la rotation r de centre O
et d’angle a associe à tout point M le point M’ tel que OM’ = OM et
= a (le sens de
rotation de M à M’ autour de O étant le sens choisi).
- Le centre O d’une rotation r d’angle a non nul est le seul point invariant par cette
rotation.
90
Dans l’exemple ci-contre, A’ est l’image de A par la
rotation de centre O et d’angle a = 115°, dans le
sens indirect.
Remarque
La symétrie centrale apparaît comme un cas
particulier de rotation d’angle 180°, dans le sens
direct ou indirect. Pour cette raison, les symétries
centrales sont parfois appelées « demi-tours ».
e. Principaux théorèmes sur les isométries
Le tableau présent dans le document « Transformations » reprend un ensemble de propriétés
importantes qui concernent : l’image d’une droite, les images de deux droites sécantes en
un point I, l’image d’un cercle de centre I et de rayon R, l’image d’un triangle par une
translation t, par une symétrie centrale So, par une symétrie axiale Sd et par la rotation d’angle
a respectivement.
Propriétés communes aux isométries du plan
Les isométries décrites ci-dessus comportent un certain nombre de propriétés communes,
notamment : la conservation de l’alignement, des angles, des aires, des milieux, du parallélisme
et de l’orthogonalité. (@DOC. Transformations). Ceci entraîne des conséquences sur les
figures usuelles.
Exemples
- L’image d’un rectangle par une translation est un rectangle puisque deux segments
perpendiculaires sont transformés en deux segments perpendiculaires. De plus, les deux
rectangles ont même longueur et même largeur. On dit qu’ils sont isométriques (@GL.).
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEETETTRANSFORMATIONS
TRANSFORMATIONS
- L’image d’un losange par une symétrie centrale est un losange puisque les symétries
centrales conservent les distances.
- L’image d’un trapèze par une symétrie axiale est un trapèze puisque deux droites parallèles
sont transformées en deux droites parallèles.
1.6.2. Homothétie
! Définition
- Étant donné un point O et un réel strictement positif k, l’homothétie h de centre O et
de rapport k associe à tout point M le point M’ tel que OM’ = k OM et tel que si M x O, M’
appartient à la demi-droite [OM).
On dit que M’ est l’image de M par l’homothétie h de centre O et de rapport k ou que
M’ est l’homothétique de M par h.
Pour la figure, on a pris k = 4.
! Image d’une droite ou d’un cercle par une homothétie
- L’image d’une droite par une homothétie h est une droite qui lui est parallèle.
- Les images de deux droites sécantes en I par une homothétie h sont deux droites
sécantes en I’ = h (I).
- L’image du cercle de centre I et de rayon R par l’homothétie h est le cercle de centre
I’ = h (I) et de rayon R’ = k × R. (@DOC. Transformations).
! Propriétés des homothéties
- Étant donné un point O et un nombre réel strictement positif k différent de 1, O est le
seul point invariant par l’homothétie de centre O et de rapport k.
- Les homothéties de rapport k > 0 multiplient les distances par k :
. si k > 1, l’effet d’une homothétie de rapport k sur une distance est celui d’un
agrandissement ;
. si 0 < k < 1, l’effet d’une homothétie sur une distance est celui d’une réduction ;
. les homothéties de rapport k x 1 ne sont donc pas des isométries.
(@DOC. Transformations).
! Exemples de conséquence pour des figures usuelles
Exemple 1 : l’image d’un rectangle par une homothétie est un rectangle puisque deux
segments perpendiculaires sont transformés en deux segments perpendiculaires.
Exemple 2 : l’image d’un losange par une homothétie est un losange parce que c’est un
quadrilatère dont les quatre côtés ont même longueur, toutes les distances étant multipliées
par le même nombre.
91
GÉOMÉTRIE PLANE ET GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
GÉOMÉTRIE PLANE ET GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
Exemple d’exercice utilisant les transformations
Soit ABC un triangle équilatéral de centre O. On considère les trois carrés ACDE, ABFG et BCHI
extérieurs au triangle ABC.
a. Montrer de deux manières différentes que les triangles OCD et OEA sont isométriques.
b. Démontrer que le carré CBIH est l’image du carré AGFB par une rotation à déterminer.
c. Prouver que les six points E, G, F, I, H et D sont situés sur un même cercle.
Vous trouverez la correction de cet exercice dans le document « Transformations ».
1.7. Problèmes géométriques
Il existe plusieurs types de problèmes géométriques. Il peut s’agir de reproduire
(@GL.) une figure, de la décrire (@GL.), de la construire (@GL.), de représenter (@GL.)
un objet dans le plan, d’agrandir une figure plane ou un solide, de démontrer une affirmation.
(@DOC. Problèmes géométriques : reproduire, décrire, construire, démontrer ;
@DOC. Des méthodes pour démontrer que… ; @METH. Construction d’un segment
dont la longueur est une fraction). "
92
2. ESPACE ET GÉOMÉTRIE
2.1. Droites et plans de l’espace
Pour décrire les positions relatives de droites et de plans de l’espace, nous utiliserons
l’exemple du cube.
2.1.1. Notations et vocabulaire
une arête vue [HG]
une arête cachée [DC]
Dans cet exemple, les 8 sommets du cube
sont codés : A, B, C, D, E, F, G, H.
Ainsi les 12 arêtes sont [AB], [BC], [CD],
[DA], [EH], [HG], [GF], [FE], [AE], [DH], [CG],
[BF].
Les 6 faces sont les carrés ABCD, EFGH,
ABFE, DCGH, ADHE, BCGF.
On notera (ABFE) le plan qui contient les 4
points A, B, F et E.
2.1.2. Propriétés générales
• Points coplanaires (@GL.)
Définition
Quatre points non alignés sont coplanaires si et seulement si ils appartiennent à un même
plan.
93
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEET
ETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEDANS
DANSL’ESPACE
L’ESPACE
Remarques
- Étant donné quatre points dans l’espace, il n’est pas certain qu’ils soient coplanaires,
alors que trois points le sont toujours.
- Quatre points sont coplanaires :
• si trois d’entre eux sont alignés ;
• ou si deux sont sur une droite d et deux autres sur une droite d’ parallèle à d ;
• ou si deux sont sur une droite d et deux autres sur une droite d’ sécante avec d.
ESPACE
ESPACEETETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIE
2.2.1. Les non-polyèdres
Cylindre
Un cylindre de révolution peut être considéré comme le solide
engendré par la révolution d’un rectangle, autour d’un de ses côtés.
Il est délimité par deux disques appelés les bases et une surface
latérale non plane. Les plans des bases sont parallèles. Son axe est
orthogonal aux plans de bases.
# Droites coplanaires
Deux droites sont coplanaires s’il existe un plan qui contient à la fois ces deux droites. Sur
les deux figures suivantes, les droites d et d’ sont coplanaires.
94
# Positions relatives de droites et de plans dans l’espace
Nous vous invitons à prendre connaissance du document « Positions relatives de droites
et de plans dans l’espace » (@DOC.). Il propose des représentations sur :
- la position de deux plans ;
- la position d’un plan et d’une droite ;
- la position de deux droites de l’espace.
(@AI. Voir dans l’espace)
2.2. Les solides
On distingue les polyèdres des non-polyèdres. Les polyèdres sont les solides qui sont
délimités par des surfaces planes. Il en résulte que pour un solide qui n’est pas un polyèdre,
certaines des faces peuvent ne pas être planes (par exemple, le cylindre) voire aucune (par
exemple, la sphère).
Intéressons-nous d’abord à quelques exemples de solides qui ne sont pas des polyèdres,
comme le cylindre de révolution, le cône de révolution, la sphère.
Ici,le rectangle
ACDK tourne autour
de son côté [CD].
Cône
Un cône de révolution est un solide engendré par la révolution d’un
triangle rectangle autour d’un des côtés de l’angle droit.
Il est délimité par un disque appelé base et une surface non plane.
Son axe est orthogonal à la base.
Les segments qui joignent le sommet du cône à un point quelconque
du cercle de base s’appellent les génératrices du cône et ont tous
la même longueur.
Sphère
La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M
tels que OM = R.
On peut concevoir une sphère comme le solide engendré par la
révolution d’un demi-cercle autour de son diamètre ; ce diamètre est
alors appelé axe de la sphère et ses extrémités, pôles de la sphère.
95
M
2.2.2. Les polyèdres
Un polyèdre est un solide délimité par des surfaces planes. Ces surfaces planes sont
des polygones et sont appelées « faces du polyèdre ». L’intersection de deux faces adjacentes
est une arête du polyèdre et les extrémités des arêtes sont les sommets du polyèdre. On peut
classer les polyèdres en convexes et non convexes.
# Polyèdres convexes
Un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont à l’intérieur du polyèdre. On dit
aussi que tout point d’un segment de droite qui joint deux points quelconques de sa surface
appartient au solide.
Exemples : tous les solides de Platon, toutes les pyramides, le cube…
(@DOC. Les polyèdres – propriétés et représentations)
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEET
ETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEDANS
DANSL’ESPACE
L’ESPACE
ESPACE
ESPACEETETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIE
Relation d’Euler
Propriété des prismes droits : les faces
latérales sont orthogonales aux bases.
Dans l’exemple ci-contre, les bases sont les
pentagones ABCDE et A’B’C’D’E’. Les faces
latérales sont les rectangles CDD’C’, BCC’B’,
ABB’A’, AEE’A’, EDD’E’.
Attention, la « base » d’un prisme n’est
pas obligatoirement la face sur laquelle il
semble posé.
Si A est le nombre d’arêtes, S le nombre de sommets, F le nombre de faces, on a : S + F – A = 2.
Cette relation, appelée relation d’Euler, est valable pour tous les polyèdres convexes.
Il faut noter que l’on peut classer les polyèdres suivant leur nombre de faces, en utilisant les
suffixes grecs. (@DOC. Les polyèdres – propriétés et représentations)
Polyèdres réguliers
Un polyèdre est dit régulier si toutes ses faces sont des polygones réguliers superposables
et s’il existe une sphère tangente à chaque face en son centre. Il n’existe que cinq polyèdres
convexes qualifiés de réguliers : ce sont les solides de Platon. Le cube en fait partie.
(@DOC. Les polyèdres – propriétés et représentations)
96
Remarque
Attention ! La connaissance des 5 polyèdres réguliers est admise
sans démonstration. Ainsi, un polyèdre dont toutes les faces sont
des polygones réguliers de même type n’est pas forcément régulier.
Par exemple, l’hexaèdre ci-contre possède des faces qui sont toutes
des triangles équilatéraux mais ce n’est pas un polyèdre régulier. La
seule justification attendue est qu’il ne fait pas partie des solides
de Platon.
Les Prismes
Définitions et propriétés
• Un prisme est un polyèdre délimité par deux faces polygonales isométriques situées dans
des plans parallèles, ce sont ses bases. Les autres faces, appelées faces latérales, sont des
parallélogrammes. Selon la nature de la base, on parle de prisme à base triangulaire, à base
carrée, à base losange etc. L’exemple ci-dessous est un prisme à base pentagonale.
• Un prisme est droit (@GL.) si les faces latérales sont des rectangles. (voir ci-contre)
Cas particuliers
• Si les faces d’un prisme sont toutes des parallélogrammes,
le prisme est un parallélépipède. Un parallélépipède a 6
faces, 8 sommets et 12 arêtes. Deux faces opposées sont
isométriques donc superposables.
• Si les faces d’un prisme droit sont toutes des rectangles, le
prisme est appelé parallélépipède rectangle ou pavé droit.
• Si les faces d’un parallélépipède rectangle sont toutes
carrées, c’est un cube.
Remarque : notons ainsi que le cube est un hexaèdre mais
également un prisme.
97
Les Pyramides
Définitions générales
• Une pyramide (@GL.) est un polyèdre
dont une face, la base, est un polygone. Ses
autres faces sont des triangles.
Selon la nature de la base, on parle de
pyramide à base triangulaire ou carrée ou
pentagonale, etc.
Si S est le sommet de la pyramide et H le
pied de la perpendiculaire issue de S sur le
plan de la base, on appelle hauteur de la
pyramide indifféremment le segment [SH]
ou sa longueur.
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEET
ETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEDANS
DANSL’ESPACE
L’ESPACE
• Une pyramide est régulière si sa base est
un polygone régulier et si la droite joignant
le centre de sa base à son sommet est
perpendiculaire à sa base en son centre.
Ci-contre un exemple de pyramide régulière
dont la base est un pentagone.
Il existe d’autres types de représentations en perspective, par exemple la perspective
axonométrique. Dans ce dernier cas, on place l’objet de façon que l’une de ses arêtes soit devant
l’observateur qui le dessine. (@DOC. Les polyèdres – propriétés et représentations)
b. Patrons de solides
Rappel
Parmi les pyramides régulières à base triangulaire, le tétraèdre régulier est celle dont toutes
les faces sont des triangles équilatéraux.
(@DOC. Synthèse et sujets de concours)
# Représentations planes de solides
Une représentation plane est un procédé graphique qui permet d’évoquer un solide.
Il existe plusieurs types de représentations planes, nous étudierons les représentations en
perspective.
a. Représentations en perspective
98
Parlons d’abord de « reproduction ». Pour faire la reproduction d’un cube donné, on
peut utiliser du matériel, comme par exemple de la pâte à modeler. On fait une copie de
l’objet de départ : on ne modifie pas ses propriétés. Les faces, qui sont des carrés sur le
modèle, sont des carrés isométriques sur la reproduction.
Si par contre, on fait une représentation en perspective du même cube, certaines de ses
propriétés sont modifiées : par exemple, certaines faces du cube, qui sont des carrés, apparaissent
comme des parallélogrammes sur la représentation en perspective. Sur la représentation cidessous, la face BCHG qui est un carré apparaît comme un parallélogramme.
Représentation en perspective
cavalière : exemple d’un cube
a
ESPACE
ESPACEETETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIE
Un patron de solide (@GL.) est une figure plane d’un seul tenant qui permet de
reconstituer le solide par pliage (sans superposition). On parle aussi de « développement du
solide ». La condition « d’un seul tenant » signifie que les diverses figures constituant les
faces ne peuvent être accolées par un sommet.
Pour un même solide, il existe plusieurs patrons. Ainsi, il existe 11 patrons non
superposables pour le cube. (@DOC. Les polyèdres – propriétés et représentations).
Lorsqu’on réalise effectivement sur papier le solide à partir d’un de ses patrons, il
faut rechercher les couples de segments qui, après pliage, vont constituer une même arête.
Ces segments peuvent être repérés sur les patrons en les coloriant d’une même couleur. On
respecte ainsi les relations d’incidence ou les relations d’adjacence entre les faces du solide.
Cette recherche permettra ensuite de placer correctement le nombre exact de « languettes »
qui permettront de fermer le solide.
Remarque
On emploie le terme « patron de cône », bien que celui-ci ne soit pas d’un seul tenant. En
effet, il est constitué de deux surfaces : un secteur circulaire et un disque.
De même, le « patron » d’un cylindre de révolution est constitué de 3 surfaces (un rectangle
et deux disques), ce qui distingue d’un patron de pyramide à base hexagonale où les faces se
tiennent par des segments.
Patron d’un cône
Patron d’un cylindre
Pyramide à base hexagonale
Conventions
On place l’objet sur un plan horizontal, de façon
que l’une de ses faces soit devant l’observateur qui
le dessine. Seule cette face, ainsi que celles qui lui
sont parallèles, conservent leur forme et peuvent
être représentées en vraie grandeur. Les droites
perpendiculaires à la face avant sont appelées les
arêtes fuyantes, leur longueur est réduite. Elles sont
représentées par des droites faisant un angle fixé a
avec l’« horizontale ».
Ici, on a choisi a = 35° ; le coefficient de réduction
des arêtes fuyantes est 0,7. Remarque : on peut
choisir un autre angle et pour les fuyantes, un autre
coefficient de réduction, inférieur à 1.
Le périmètre du cercle est Le périmètre du cercle
égal à la longueur de l’arc est égal à la largeur du
du secteur circulaire.
rectangle.
Remarque
Lors d’une représentation plane d’un solide, certaines propriétés du solide sont conservées,
d’autres sont perdues. (@DOC. Les polyèdres – propriétés et représentations)
99
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEET
ETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEDANS
DANSL’ESPACE
L’ESPACE
2.3. Enseignement
2.3.1. Enseigner l’espace et la géométrie
Les objectifs relatifs à la géométrie, tels qu’ils sont proposés dans les programmes
2008 à tous les niveaux de la scolarité, concernent la connaissance des propriétés des formes
ou figures dites géométriques, et la maîtrise des instruments de géométrie, mais ils décrivent
aussi des compétences que nous qualifierons de spatiales aux cycles 1 et 2.
Des connaissances relatives à la géométrie doivent être acquises comme, par
exemple, celles qui concernent les figures planes et les solides.
(@DOC. Synthèse et sujets de concours)
# Enseigner l’espace
100
De quoi s’agit-il ? Deux tâches doivent pouvoir être réalisées par les élèves dès la
maternelle selon une progression spécifique (voir programmes 2008) :
- décrire une organisation spatiale, donner des indications sur la position d’un objet, un
lieu, une personne par rapport à des repères spatiaux ;
- reconstituer une organisation spatiale à partir d’une description, retrouver la position
d’un objet, d’un lieu, d’une personne à partir de renseignements.
Ces tâches nécessitent l’utilisation d’un ou plusieurs outils combinés : les indicateurs
spatiaux du langage (à côté de, près de, loin de, au dessus, au dessous, devant, derrière,
à droite, à gauche…), des plans de toutes sortes, des cartes, des maquettes, parfois des
mesures (distances, angles), des calculs (échelle), des codages (coordonnées).
# Enseigner la géométrie
L’enseignement de la géométrie à l’école primaire se distingue de celui pratiqué
au collège.
À l’école élémentaire, il s’agit de tenir compte de deux aspects en géométrie, aspects
devant être travaillés progressivement :
- une géométrie pragmatique du faire, de l’action où la précision des tracés est
importante car la validation se fait avec les instruments. L’essentiel du travail consiste à passer
progressivement d’une géométrie où les objets (figures dessinées, solides, …), sont reconnus
par la vue à une géométrie instrumentée où les objets sont identifiés par leurs propriétés.
L’élève doit non seulement être capable de reconnaître ces propriétés de manière perceptive
mais aussi de les vérifier avec une technique ou un instrument. Le recours à la perception
demeure nécessaire pour faire des hypothèses et des anticipations sur la nature des objets et
sur l’existence de propriétés ;
- une géométrie au sens mathématique qui consiste à réfléchir sur les propriétés des
objets, à mettre en œuvre le raisonnement déductif. Au cycle 3, l’exigence de vérification est
ESPACE
ESPACEETETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIE
évidemment généralisée et doit conduire les élèves à débattre, argumenter sur les solutions
qu’ils ont trouvées.
Au collège les élèves ne pourront tirer leurs affirmations à propos d’un objet (figure
ou solide) de ce qu’ils voient, mais devront raisonner de façon déductive à partir des
renseignements donnés dans l’énoncé et à partir des théorèmes connus.
Observer, énoncer, vérifier les propriétés d’un objet, ni même en tracer quelques-uns,
pourrions-nous ajouter, ne suffit pas pour pouvoir les posséder véritablement, c’est-à-dire
penser à les utiliser pour résoudre des problèmes. Les activités proposées doivent être
finalisées et avoir un but clairement identifié par les élèves, en particulier dans des problèmes
où il s’agit de comparer, reproduire, construire, identifier ou décrire des objets géométriques.
L’accent est donc mis sur la résolution de problèmes, au travers desquels des savoirs et savoirfaire doivent émerger :
- un certain nombre de figures planes et de solides doivent être étudiées : triangle, carré,
rectangle, cercle, losange, cube, parallélépipède rectangle ;
- mais aussi des propriétés : points alignés, présence d’angles droits, parallélisme, égalité
de longueurs, présence d’axe de symétrie ;
- des instruments doivent être maîtrisés : gabarits, règle, équerre, compas, papier calque
pour la symétrie axiale, papier quadrillé ou uni pour reproduire des figures.
# Les différents types d’espaces
Une grande partie des objets utilisés dans les séances de géométrie sont de petite
taille. Ce sont des figures tracées sur des feuilles A4, des emballages, des solides que l’on
peut manipuler. Plusieurs chercheurs en didactique des mathématiques ont déploré que
l’enseignement de la géométrie soit si confiné dans l’espace de la feuille de papier. Or, on peut
aussi travailler dans des espaces plus grands, la cour de récréation ou des terrains aménagés
pour y conduire non pas forcément des activités d’orientation mais aussi des activités de
géométrie. Il semble utile de faire un peu « sortir les élèves de la feuille de papier », de leur
faire « oublier le double décimètre », de les faire travailler sur des supports plus grands :
tableau, cour de récréation, etc. Nous faisons l’hypothèse que les conceptions, par exemple,
de la droite par les élèves peuvent être enrichies par une tâche comme celle qui consiste à
aligner dans la cour des piquets distants de 2 mètres…
Guy Brousseau distingue ainsi trois tailles d’espace : le micro-espace, le méso-espace et
le macro-espace. (@DOC. Espace et géométrie - enseignement)
2.3.2. Exemples d’activités visant à développer des compétences
spatiales
• Dans le méso-espace
Activité en GS de maternelle : parcours dans la salle de motricité.
Matériel : des objets, comme quelques bancs, chaises, tapis, cerceaux,
quilles, etc. sont disposés sur le sol de la salle.
101
GÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEPLANE
PLANEET
ETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEDANS
DANSL’ESPACE
L’ESPACE
Déroulement : deux élèves E1 et E2 mettent au point un parcours au travers
de ces objets : ils passent sur un banc, sous un autre, devant une chaise, à droite d’une autre,
à côté d’un cerceau, dans un autre, le long d’un tapis, etc. Ensuite, l’un d’eux, E1, pilote
d’autres camarades qui n’ont pas participé à l’élaboration du parcours, sans les accompagner,
parmi les objets de façon à ce qu’ils effectuent le parcours préparé, de la même manière, dans
le même ordre. L’autre élève, E2, s’assure que le parcours est bien « dicté ». Les camarades
assis autour du parcours, qui sont déjà passés ou qui attendent leur tour, vérifient que les
instructions sont bien respectées par celui qui effectue le trajet.
(@DOC. Espace et géométrie - enseignement)
• Dans le micro-espace
- Activités de repérage sur quadrillage
a. Repérage sur quadrillage à l’aide de coordonnées au CP.
102
Les programmes pour le cycle 2 demandent aux élèves de savoir
repérer une case ou un nœud sur un quadrillage. On définit deux types de repérage sur
quadrillage : le repérage absolu et le repérage relatif. (@DOC. Espace et géométrie enseignement)
Dans ces activités, les élèves auront donc à :
- coder une case ou un nœud pour indiquer la position d’un objet, ou le déplacement d’un
objet ;
- décoder, c’est-à-dire traduire en langage naturel ou à l’aide d’un autre code la position
d’un objet sur une case ou son déplacement d’une case à une autre.
b. Tableau à double entrée
Un type de repérage sur quadrillage important, mais limité aux cases,
est l’utilisation de tableaux à double entrée. Un travail est fait dans ce sens dès la MS de
maternelle et est poursuivi pendant plusieurs années. En maternelle, on se repère dans un
tableau à double entrée, on en complète, on en remplit, on en produit. Le repérage amène à
s’exprimer, comme on le fait, avec des cases sur quadrillage de façon relative ou absolue. Ce
travail sur les tableaux à double entrée constitue donc une étape du repérage de cases sur
quadrillage.
Les activités sur papier viennent après de nombreuses activités de
repérage ou de déplacement sur des quadrillages tracés sur le sol de la cour de récréation
ainsi que des jeux de communication entre élèves semblables au jeu de la bataille navale.
- Réalisation et lecture de plans ou de cartes aux cycles 2 et 3
Il y a plusieurs difficultés : quand nous tenons un plan, ce qui est représenté
à gauche (ou à droite) sur le plan n’est pas forcément à notre gauche dans l’espace réel (ni
respectivement à notre droite). De même ce qui est en haut du plan (le nord en général) ne
ESPACE
ESPACEETETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIE
représente pas forcément ce qui est devant nous dans l’espace réel. Il faut que les élèves
se rendent compte qu’ils doivent d’abord placer convenablement leur plan par rapport à
l’espace environnant et qu’ils doivent se mettre du même côté.
Conclusion
• Toutes les expressions spatiales ne sont pas maîtrisées en même temps. La distinction
« gauche/droite » n’est pas toujours claire en fin de cycle 2, la distinction « devant/derrière »
vient en général après la distinction « haut/bas ». Par ailleurs, l’expression « au milieu de »
est souvent employée à la place d’autres expressions comme « entre » ou « au centre de ».
• La lecture de plans ou de cartes pose des problèmes à bien des adultes, a fortiori aux
élèves, car il faut gérer l’éventuelle différence d’orientation de l’espace et du plan.
• De même la prise de conscience par un élève que son propre point de vue sur une situation
n’est pas le même que celui d’un autre élève placé ailleurs demande, en maternelle et tout au
long du cycle 2, des mises en situations concrètes, vécues.
2.3.3. Activités de reproduction de figures
Nous étudierons successivement les reproductions d’assemblages, les
reproductions sur papier quadrillé puis sur papier uni.
• Reproduction d’assemblages plans
Il en est de plusieurs types : les puzzles dont les tangrams, les mosaïques,
très utilisés en maternelle et bien intéressants à l’école élémentaire.
Les puzzles sont bien connus de tous. Une fois la reconstitution amorcée,
on prend des indices autant sur le modèle, ce qu’il représente, que sur le contour des pièces
déjà placées. C’est dire que la reconnaissance de formes, dans n’importe quelle position, est
très sollicitée. Pour aider les élèves de maternelle, le contour des pièces est parfois dessiné
sur le support du jeu, il ne s’agit plus alors que d’une situation de reconnaissance de forme
géométrique. Les puzzles sont utilisés à tous les niveaux de maternelle, c’est le cas notamment
du Tangram. (@DOC. Espace et géométrie - enseignement)
• Reproduction sur quadrillage d’un figure donnée sur quadrillage
Exemple :
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PLANEET
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DANSL’ESPACE
L’ESPACE
ESPACE
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GÉOMÉTRIE
Vous pouvez consulter l’analyse de cette activité dans le document « Espace et géométrie
– enseignement » (@DOC.).
• Reproduction de figure sur papier uni sans lignes
Exemple : reproduire cette figure sur papier uni (niveau cycle 3, plutôt CM1, CM2 en raison
de la complexité de la figure).
Phase 1 : chaque élève du groupe A reçoit l’un des deux dessins (le groupe associé reçoit
l’autre). Puis chaque élève écrit un message pour que l’élève du groupe associé puisse
construire à partir du message un dessin exactement superposable au modèle.
Phase 2 : les paires associées échangent ensuite leurs messages et construisent la figure
décrite dans le message reçu.
Phase 3 : les paires associées se rassembleront pour confronter les réalisations aux modèles.
En cas de désaccord, ils doivent proposer des modifications sur les messages permettant
d’obtenir la figure attendue.
Phase 4 : mise en commun des productions et synthèse par le professeur.
Dans le document « Espace et géométrie – enseignement » (@DOC.), vous trouverez
une analyse de ce projet de séance, ainsi que des difficultés rencontrées par les élèves dans
les activités de description. Un exemple de production d’élève dans une activité de description
est aussi présenté.
• Le jeu du portrait
104
Il s’agit d’une figure complexe (@GL.) constituée de deux figures
simples (@GL.) Vous pouvez consulter l’analyse de cette activité dans le document « Espace
et géométrie – enseignement » (@DOC.). Ce document permet notamment de présenter
certaines difficultés rencontrées par les élèves dans des activités de reproduction.
2.3.4. Activités de description et de construction (@GL.)
• Activité de type messager-récepteur au cycle3.
Analysons le projet de séance suivant.
Le maître choisit deux dessins parmi les trois suivants :
Le jeu du portrait est une situation de communication particulière visant
à aider les élèves à comprendre qu’une figure plane (ou un solide) est caractérisée par ses
propriétés. Elle vise également à favoriser la mise en place et l’emploi d’un vocabulaire
approprié et à développer des compétences en argumentation. L’élève doit résoudre un
problème dont le but est d’identifier une figure plane (ou un solide). Pour cela, il cherche à
élaborer un questionnement pertinent et à déduire des informations obtenues la solution à ce
problème. En même temps, il doit élaborer une stratégie pour choisir une figure plane et poser
des questions auxquelles on ne peut répondre que par oui ou non, éliminer les figures qui ne
conviennent pas, ce qui l’oblige à analyser les figures, mais aussi les réponses aux questions
posées par lui-même et par les autres élèves. Une fois la figure trouvée, le professeur peut
reprendre avec les élèves l’ensemble des stratégies ayant conduit à cette réponse (questions
posées, aspects méthodologiques). Deux variantes de ce jeu sont couramment utilisées au
cycle 3 :
* Variante 1 : le maître ou un élève décrit oralement ou par écrit à un élève une figure parmi
un stock pour que les autres élèves la découvrent.
* Variante 2 : le maître ou un élève pense à une figure ; les autres élèves tentent d’identifier la
figure choisie. Les questions posées ne doivent porter que sur les propriétés de la figure.
2.3.5. Activités de construction de figures
Figure 1
Figure 2
Figure 3
Voici le déroulement prévu par le maître : le maître met à disposition des
élèves des feuilles de papier uni, des règles graduées, des équerres, des compas. Il répartit
les élèves en deux groupes A et B, chaque élève du groupe A étant associé à un élève du
groupe B.
• à partir d’un dessin à main levée
Construire à partir d’un dessin à main levée.
Voici un dessin à main levée d’une figure. Le dessin n’est pas
en vraie grandeur.
Construis cette figure en vraie grandeur sur papier uni, avec
les instruments de géométrie.
105
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PLANEET
ETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIEDANS
DANSL’ESPACE
L’ESPACE
Cette activité est préparatoire au changement de statut de la figure dans les
activités géométriques qui s’opère au collège.
Il s’agit d’une situation de résolution de problème. On initie les élèves à
l’argumentation, on les amène à prendre des indices sur le schéma à partir de ce qu’ils savent
et non à partir seulement de ce qu’ils voient. Par exemple, l’élève doit connaître les codages
notamment celui de l’angle droit, déduire des informations données sur la figure et leur
nature (ainsi, il doit savoir qu’un quadrilatère ayant 4 angles droits et 4 côtés égaux est un
carré), repérer le milieu d’un segment, utiliser ses instruments (règle, équerre compas) pour
construire la figure.
• à partir d’un texte géométrique accompagné d’une figure
Une telle activité peut avoir deux buts : soit le texte est long et la figure
est donnée pour guider ses pas à condition qu’il le lise – il se pourrait, en effet, que l’élève
reproduise la figure sans se servir du texte et dans ce cas, l’objectif ne serait pas atteint – soit
la figure est complexe, impossible à reproduire par les élèves sans la lecture du texte et dans
ce cas, texte et figure se complètent bien en un ensemble cohérent.
2.3.6. Problèmes concernant les transformations
106
Les programmes9 indiquent, dès le CE1, que les élèves doivent « percevoir et
reconnaître quelques relations et propriétés géométriques : alignement, angle droit, axe de
symétrie, égalité de longueurs ».
• La symétrie axiale
Parmi toutes les transformations, seule la symétrie axiale est citée dans les
programmes. Mais son étude systématique sera faite en 6e : en particulier, la construction du
symétrique d’un point avec règle et équerre relève du collège.
Deux aspects complémentaires caractérisent la symétrie axiale :
- l’aspect statique ou aspect « invariant » : il s’agit de chercher les axes de symétrie d’une
figure, ou de rechercher des figures invariantes par certaines symétries ;
- l’aspect « dynamique » ou « transformation » : il s’agit de construire le symétrique d’une
figure. En effet, la symétrie axiale est une transformation ponctuelle qui transforme une figure
en une autre.
Les activités la concernant se partagent de la façon suivante :
- au cycle 2, approche allant de la perception à vue ou instrumentée d’axes de symétrie
jusqu’au début de la construction de la symétrique d’une figure sur quadrillage, l’axe étant
une ligne du quadrillage ;
Cycle des apprentissages fondamentaux - progressions pour le cours préparatoire et le cours élémentaire
première année.
9
ESPACE
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GÉOMÉTRIE
- au cycle 3, poursuite de ce travail jusqu’à quelques cas où l’axe coupe la figure et
extension au papier uni avec des techniques comme le pliage et l’utilisation de papier calque
ou d’un miroir. (@DOC. Étude des transformations)
Cependant, ceci ne signifie pas que les autres transformations ne sont pas
rencontrées à l’école mais simplement qu’aucune compétence n’est attendue les concernant.
C’est ainsi que les activités liées aux pavages permettent de rencontrer des rotations et des
translations, transformations qu’il ne sera même pas nécessaire de nommer. Les élèves, au
cours de manipulations, en resteront au niveau d’observations et de constatations. À l’école,
il n’est donc question ni de translation, ni de symétrie centrale, ni de rotation.
Dans les programmes, il n’est nulle part question des homothéties. En
revanche, au cycle 3, les programmes demandent de travailler l’ « agrandissement et réduction
de figures planes, en lien avec la proportionnalité ». Les procédés d’agrandissement ou de
réduction ne reposent donc pas sur l’utilisation des homothéties. Nous verrons un peu plus
loin en quoi ils consistent pratiquement.
Des exemples analysés d’activités sur quadrillage visant à compléter une
figure par symétrie axiale ou à trouver des axes de symétrie vous sont proposés dans le
document « Étude des transformations » (@DOC.).
• Problèmes d’agrandissement ou de réduction de figures planes
(en relation avec la proportionnalité)
Ces problèmes peuvent être résolus dans un cadre numérique ou dans un
cadre géométrique :
- cadre numérique : toutes les dimensions du modèle doivent être multipliées par le
coefficient d’agrandissement (ou de réduction) ;
- cadre géométrique : utilisation implicite de certaines propriétés des homothéties, par
exemple l’image d’un rectangle est un rectangle.
(@DOC. Étude des transformations)
2.3.7. Exemples d’activités en géométrie dans l’espace
Les compétences attendues en fin de cycle 3 ne concernent que quelques solides
(cube, parallélépipède rectangle). Cependant, les activités sont nombreuses (reproduction,
construction, descriptions, représentations planes) et ne se limitent évidemment pas à ces
deux solides.
• Utilisation de matériels divers dès la maternelle : jeux de
construction, solides, emballages
Des matériels divers sont utilisés en maternelle afin d’aider les élèves à
développer des compétences spatiales et à acquérir le vocabulaire adapté.
(@DOC. Exemples d’activités en géométrie dans l’espace)
107
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L’ESPACE
• Activités de reproduction d’assemblages de solides
C’est une tâche souvent proposée en maternelle ou au cycle 2 à partir de
jeux de construction. Les élèves disposent donc d’une construction modèle. Ils doivent bien
repérer les étapes de la construction, dénombrer les blocs nécessaires, bien les ajuster pour
que la construction tienne en équilibre, respecter l’orientation des blocs les uns par rapport aux
autres pour qu’elle soit ressemblante. Ils doivent regarder derrière ou sur le côté, autrement
dit changer de point de vue pour prendre le maximum d’informations. On remarquera que,
même en changeant de point de vue certains blocs peuvent demeurer cachés car ils sont sous
les autres. Il ne faut toutefois pas les oublier dans la réalisation.
On comprend qu’il ne faille pas mettre trop de blocs dans de telles constructions et qu’une
progression soit nécessaire, basée sur la présence ou non de blocs cachés.
• Activités de description de solides
Classement de solides (dès la moyenne section)
108
En géométrie, les élèves sont souvent amenés à effectuer des classements
de figures ou de solides, c’est-à-dire à trouver des critères pour mettre ensemble des objets
proposés, ces critères devant être pertinents. Classer des éléments d’un ensemble, c’est donc
constituer une partition de cet ensemble, c’est-à-dire fractionner cet ensemble en sousensembles disjoints deux à deux. Si le critère est pertinent, tout objet peut être mis dans un
sous-ensemble.
Exemple de déroulement
Les élèves sont mis, en groupe de trois ou quatre élèves de préférence, devant
un ensemble de solides divers. Ils doivent mettre ensemble « ceux qui se ressemblent », ou
« ceux qui vont ensemble », ou encore « ceux qui ont une même propriété », la consigne
variant selon le niveau de scolarité, et dire ou écrire (toujours selon le niveau) pour quelle
raison.
Cette activité permet d’analyser les propriétés des solides – présence de faces planes, de
faces qui ne sont pas planes, de faces arrondies, isométrie de certaines faces, présence
d’angles droits, etc.– et d’utiliser ou préciser du vocabulaire. Les propriétés mises en avant,
le lexique travaillé, dépendent évidemment des solides réunis par l’enseignant ; dans les
premiers niveaux de scolarité, on prendra des solides très contrastés. Par la suite, on pourra
choisir, par exemple, des pavés droits se différenciant uniquement par le nombre de faces
carrées qu’ils possèdent, c’est-à-dire six, deux ou aucune.
C’est aussi dans des activités de type jeu du solide caché (cycles 2 et 3) que les élèves
développent des compétences en description de solides. Ce jeu est identique au jeu de la
figure cachée avec des figures planes (voir § 2.3.4) ; son objectif est l’utilisation du vocabulaire
géométrique à propos des solides.
ESPACE
ESPACEETETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIE
Difficultés des élèves
Bien des activités de description reposent sur le dénombrement des faces,
des sommets et des arêtes de divers polyèdres. Les élèves font souvent des erreurs parce
qu’ils dénombrent deux fois le même élément (face, sommet ou arête) ou l’oublient faute
d’avoir pris des repères sur le solide, tournant et retournant le solide dans leurs mains et
finissant par ne plus savoir ce qu’ils ont déjà dénombré.
D’autres difficultés relèvent du langage géométrique. Les jeunes élèves désignent souvent
les formes des solides à l’aide de termes tirés de la géométrie plane : carré pour cube, rond
pour cylindre, etc.
En fait, l’emploi d’un vocabulaire technique dans ce domaine ne leur est pas familier. Leur
vocabulaire spontané, à propos des formes de solides qu’on leur montre, est fortement
dépendant de l’usage fait des solides montrés ainsi que de leurs dimensions. Ainsi pour des
cylindres dont la hauteur est petite par rapport au diamètre, les élèves parleront de « bague,
bracelet, anneau, rond », alors que pour des cylindres dont la hauteur est grande par rapport
au diamètre, ils parleront plutôt de « tube, tuyau, rouleau ».
De plus, il faut faire abstraction, si on utilise des emballages du commerce, du matériau, de la
couleur, des inscriptions, pour ne voir que le solide « idéal ».
• Activités sur les patrons (cycle 3)
Deux types de tâches peuvent être proposés :
• Tâche n°1 : construire le (ou les) patron(s) d’un solide donné. Cette tâche peut être complétée
par la recherche des languettes nécessaires pour fermer le solide et par la réalisation effective
de l’objet en papier Canson, par exemple.
• Tâche n°2 : reconnaître si une figure plane donnée est ou n’est pas le patron d’un solide
donné.
Dans la tâche n°1, une variable didactique importante est la possibilité de manipuler ou
non le solide. Si l’élève peut manipuler le solide, il peut le poser sur la feuille de papier et
prendre l’empreinte de chaque face en le faisant pivoter. Il devra s’assurer qu’il a bien tracé
l’empreinte de toutes les faces une fois et une seule.
S’il ne peut pas manipuler le solide, il doit en connaître les propriétés : nature et nombre de
faces.
La tâche n°2 n’est réalisable que si l’élève connaît déjà le solide concerné. Là encore, la
possibilité de le manipuler constitue une variable didactique importante.
• Représentations planes de solides
Lecture de certaines représentations graphiques : les représentations en
perspective ou les photographies.
Les élèves savent très tôt lire et utiliser de telles représentations planes. Dès le CP (même avant),
109
GÉOMÉTRIE
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L’ESPACE
ils savent réaliser des assemblages de cubes à partir de photographies ou de perspectives
(@DOC. Exemples d’activités en géométrie dans l’espace). On peut aussi leur
demander d’associer un solide à sa représentation ou à sa photographie. Il est intéressant de
varier les points de vue.
Notons, cependant, que la production de représentation en perspective ne figure pas au
programme de l’école primaire.
2.3.8. Instruments de géométrie plane
La construction de figures nécessite de savoir utiliser les instruments de
géométrie. On dit qu’elle nécessite des compétences manipulatoires. Nous allons passer en
revue les divers instruments ainsi que les rôles qu’ils peuvent avoir dans la construction des
figures mais aussi dans d’autres activités. (@DOC. Utilisation du matériel et difficultés
associées)
• Règle et règle graduée
110
Comme outil d’investigation, la règle peut servir à confirmer des alignements
que la vue a permis de déceler ou d’en découvrir de nouveaux. Elle sert aussi à :
- tracer des droites ou des demi-droites ou des segments ;
- prolonger des droites ;
- mesurer la longueur d’un segment ;
- tracer un segment dont la mesure de longueur est donnée ;
- comparer des longueurs.
ESPACE
ESPACEETETGÉOMÉTRIE
GÉOMÉTRIE
sa production est conforme aux attentes. Il permet la reproduction de figures simples ou
complexes, et dans ce cas, c’est le support le plus pauvre car la reproduction ainsi effectuée
ne nécessite aucune analyse de figure.
Le papier calque permet aussi la reproduction d’angles soit pour les comparer, soit pour
effectuer des reports, ce qui, à l’école primaire, ne peut être fait grâce au rapporteur puisque
l’utilisation de cet instrument commence au collège.
Par retournement, il permet la construction de la figure symétrique d’une figure donnée ou de
vérifier que deux figures sont symétriques, ou qu’une figure possède un axe de symétrie.
(@AI. Niveau et première utilisation des instruments mathématiques)
2.3.9. Les supports : papier quadrillé, papier pointé en réseau carré, papier
millimétré, papier uni
- Le papier quadrillé, comme le papier pointé en réseau carré, constituent une aide
pour de nombreux tracés rectilignes, pour la production d’angles droits, de parallèles, de
perpendiculaires. Il sert à la reproduction de figures simples (comme des rectangles) ou
complexes, elles-mêmes données sur quadrillage…
111
• Compas
-
Le compas sert à :
tracer des cercles ou des arcs de cercles ;
comparer des longueurs ;
reporter des longueurs.
• Équerre
Utilisée seule, l’équerre a deux fonctions principales :
- elle sert à construire des angles droits et donc des droites perpendiculaires ;
- elle sert à vérifier qu’un angle est droit ou non.
Utilisée conjointement avec une règle, elle peut servir à tracer des droites parallèles.
• Papier calque
Il permet de vérifier que deux figures sont superposables. Dans les problèmes
de construction de figure, le maître peut fabriquer un calque « modèle » de la figure qu’il
faut obtenir. Ce calque, mis à la disposition de l’élève, lui permet de constater lui-même si
Papier pointé à réseau carré
- Le papier millimétré n’est pas utilisé en géométrie. Il permet la construction de graphiques,
et sert aussi dans des activités relatives aux fractions et décimaux, ou dans le cadre de la
mesure des aires.
Niveau : le papier quadrillé, papier pointé en réseau carré est utilisé aux cycles 2 et 3, le papier
millimétré en fin de cycle 3. Le papier uni est utilisé au cycle 3. Il permet d’amener les élèves
à se détacher des procédures reposant sur le repérage que permet le papier quadrillé, pour
une meilleure maîtrise des instruments et il aide à l’analyse des figures. Pour les difficultés
d’utilisation du papier quadrillé, nous vous conseillons de vous reporter, par exemple, au
§ 2.3.3.
2.3.10. Gabarits
Des gabarits de forme sont présents dès l’école maternelle. Au cycle 2, les
programmes mentionnent le gabarit d’angle droit, et au cycle 3, les gabarits d’angle.
Les premiers exemples (« boîte à formes », puzzle à encastrement) servent en maternelle.
Dans ces deux cas, il s’agit d’apparier une forme en relief à une forme en creux, la forme en
GÉOMÉTRIE PLANE ET GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
creux jouant le rôle de gabarit pour la forme en relief. (@DOC. Utilisation du matériel et
difficultés associées)
Au cycle 2, les élèves réalisent des empreintes à partir de solides pour lesquels le travail
consiste à en isoler les faces et pour lesquels ce sont donc les faces qui jouent le rôle de
gabarit. Ce travail permet des aller-retour entre l’espace et le plan. Par exemple, les élèves
apprennent ainsi à associer solides et empreintes, à comprendre que l’on ne peut prendre
les empreintes de toutes les faces que pour un polyèdre, à comprendre qu’une empreinte ne
permet pas d’identifier à coup sûr un polyèdre. En effet, plusieurs solides peuvent avoir la
même empreinte.
(@DOC. Synthèse et sujets de concours)
2.3.11. Le recours aux TICE
Les programmes 2008 indiquent que « les technologies de l’information et
de la communication sont utilisées dans la plupart des situations d’enseignement. ». Dans le
domaine géométrique, les programmes n’apportent pas de précision supplémentaire.
(@DOC. Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique) "
112
(@AE.)
(@BIB.)