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1. GÉOMÉTRIE PLANE ET TRANSFORMATIONS
GÉOMÉTRIE PLANE ET GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE
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1.1. Langage géométrique : notations et vocabulaire
Le langage géométrique est un langage technique : les mots, expressions, locutions
y ont souvent un sens précis (par exemple, segment, droite, perpendiculaire, milieu…). Les
objets géométriques (points, droites, figures) sont désignés à l’aide de lettres.
Étant donné deux points A et B distincts, par convention :
- [AB] désigne le segment d’extrémités A et B ;
- AB désigne la longueur du segment [AB] (ou parfois, la distance de A à B) ;
- (AB) désigne la droite passant par les points A et B ;
- [AB) désigne la demi-droite d’origine A passant par B.
Il existe aussi une notation conventionnelle pour les droites parallèles ou
perpendiculaires :
(AB) // (CD) signifie : la droite (AB) est parallèle à la droite (CD).
(AB) > (CD) signifie : la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (CD).
Nous invitons les candidats au concours à utiliser les notations correctes car les
correcteurs sont vigilants sur cet aspect.
Exemples
Lorsqu’on parle des côtés opposés d’un carré ABCD qui sont parallèles, on écrit (AB) // (CD).
Lorsqu’on parle des côtés opposés d’un carré ABCD qui sont de même longueur, on écrit
AB = CD.
On écrit : AB = 4cm et pas [AB] = 4cm.
On écrit : (AB) > (BC) et pas [AB] > [BC].

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GÉOMÉTRIE PLANE ET TRANSFORMATIONS
Remarque
Certains mots n’existent pas ou peu dans la langue courante (« segment », « parallèle »…)
alors que d’autres sont employés dans la langue courante avec des sens parfois différents
(« sommet » pour une montagne, « milieu » pour une ronde, « arête » pour un poisson…).
NB. Dans ce chapitre, les mots ou expressions du vocabulaire de base – point, ligne droite,
demi-droite, segment, ligne brisée, sommet, demi-plan, triangle (quelconque, équilatéral,
isocèle, rectangle), droites parallèles, sécantes ou concourantes, droites perpendiculaires,
angle (droit, plat, nul, aigu, obtus), cercle, rayon, diamètre, corde, arc de cercle – vous sont
assez familiers pour qu’ils ne soient pas redéfinis.
1.2. Segments, droites, distance, orthogonalité, parallélisme
1.2.1. Généralités
La mesure de la longueur du segment [AB] s’appelle la distance de A à B. Elle
est notée AB.
Le milieu d’un segment est le point de ce segment qui est à égale distance de
ses extrémités.
Inégalité triangulaire
Si un point M appartient au segment [AB], alors AM + MB = AB.
Inversement, si AM + MB = AB, alors le point M appartient au segment [AB].
Si un point M n’appartient pas au segment [AB], alors AM + MB > AB.
Inversement, si AM + MB > AB, alors le point M n’appartient pas au segment [AB].
1.2.2. Orthogonalité, parallélisme
Deux droites sécantes sont deux droites qui ont un seul point commun qui est
leur point d’intersection.
d
d’
A
d
d’
A
d’’
d
d’
Étant donné une droite d
et un point A, il passe par A
une seule droite d’ qui soit
perpendiculaire à d .
Étant donné une droite d et
un point A extérieur à d , il
existe une droite parallèle à
d et une seule qui passe par
A (axiome d’Euclide).
Si une droite d est parallèle
à une droite d’ et si d’ est
parallèle à une droite d”
alors la droite d est parallèle
à la droite d” (pour évoquer
cette propriété, on parle de la
transitivité du parallélisme).
d
d’
d’
d
d
d’
d’’
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Remarque
On dit aussi :
• deux droites qui n’ont aucun point commun sont (strictement) parallèles ;
• deux droites qui ont tous leurs points confondus sont parallèles.
d
d’
d’’
’’
d
d’
A
I
Si deux droites sont
perpendiculaires à une
même troisième, elles sont
parallèles entre elles.
En d’autres termes, si d’ > d
et si d’ > d” alors d // d’’ .
Réciproquement, si deux
droites sont parallèles, toute
droite perpendiculaire à
l’une est perpendiculaire à
l’autre.
Distance d’un point à
une droite
La distance du point A à la
droite d est la distance de
A à I, point d’intersection
de d avec d’ qui est la
perpendiculaire à d passant
par A.
1.2.3. Médiatrice d’un segment
• Définition
La médiatrice du segment (@GL.) [AB] est l’ensemble des points M du
plan équidistants de A et de B, c’est-à-dire tels que MA = MB.
• Propriétés (admises)
- La médiatrice du segment [AB] est une
droite perpendiculaire au segment [AB] en
son milieu.
- Si un point est équidistant des extrémités A
et B d’un segment, alors ce point appartient
à la médiatrice de [AB] (cas ici du point M).
Comme toute droite, la médiatrice d du
segment [AB] partage le plan en deux demi-
plans P1 et P2. Soit A un point de P1 et
B un point de P2, Pour tout point P de P1,
on a PA < PB, c’est-à-dire que P est plus
proche de A que de B, et pour tout point Q
de P2, on a QA > QB, c’est-à-dire que Q est
plus proche de B que de A.
d’
d
P1
P2
d’’
d
d’
A

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Remarque
Les médiatrices des côtés d’un carré ou d’un rectangle son aussi appelés axes médians
(@GL.) du carré ou du rectangle. Les segments joignant les milieux des côtés parallèles sont
alors appelés médianes du carré ou du rectangle.
1.3. Angles
1.3.1. Généralités
N.B. Nous avons décidé dans cet ouvrage de ne pas distinguer les concepts de
secteur angulaire et d’angle.
Un angle du plan est une région du plan délimitée par des demi-droites [Ox) et
[Oy) de même origine. Ces demi-droites sont les côtés de l’angle. Le sommet de l’angle est
l’origine commune aux demi-droites.
En fait, comme la figure ci-dessus permet de le comprendre, les demi-droites
[Ox) et [Oy) délimitent deux angles dont la réunion recouvre le plan tout entier. L’angle
hachuré est dit saillant, noté . C’est celui qui contient le segment [AB]. L’autre angle est
dit rentrant, il est noté xOy. C’est celui qui ne contient pas le segment [AB]. Sauf indication
contraire, on considèrera l’angle saillant.
La mesure des angles s’effectue en degrés ( ° ).
Pour exprimer la mesure de l’angle ci-dessus, on écrira = 30° ou = 30°.
• Quand les demi-droites [Ox) et [Oy) sont confondues, on a un angle saillant
réduit à la demi-droite qu’on appelle « angle nul » et un angle rentrant recouvrant tout le
plan qu’on appelle « angle plein ».
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La mesure de l’angle nul est 0° et la mesure de l’angle plein est 360°.
O
B
A
O
B
A
La mesure d’un angle
saillant est comprise entre
0° et 180°.
La mesure d’un angle
rentrant est comprise entre
180° et 360°.
Lorsqu’un angle mesure
180°, on dit qu’il est plat.
• Deux angles
x yO
∑
et sont opposés par le sommet s’ils ont le même
sommet et si les angles et sont plats. Leurs mesures sont égales.
O
B
A
C
B
A
C
O
B
A
C
Des angles sont adjacents
s’ils ont le même sommet et
s’ils ont un côté commun.
Des angles sont complémen-
taires si la somme de leurs
mesures est égale à 90°.
Des angles sont supplémen-
taires si la somme de leurs
mesures est égale à 180°.
1.3.2. Bissectrice d’un angle
• Définition
La bissectrice d’un angle (@GL.) est la demi-droite qui partage cet angle
en deux angles adjacents de même mesure.

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• Propriétés (admises)
La bissectrice d’un angle est aussi l’ensemble des points équidistants des
côtés de cet angle. Par exemple, dans la figure ci-dessous, [Oz) est la bissectrice de .
Tout point M de [Oz) est équidistant de [Ox) et de [Oy), côtés de l’angle (on a déjà défini la
distance d’un point à une droite) (§ 1.2.2.).
1.3.3. Droites parallèles et angles
Théorème 1
Deux droites parallèles coupées par une
sécante forment des angles alternes internes
égaux.
Théorème réciproque
Si deux droites coupées par une sécante
forment des angles alternes internes égaux,
alors ces deux droites sont parallèles.
Théorème 2
Deux droites parallèles coupées par une
sécante forment des angles alternes
externes égaux
Théorème réciproque
Si deux droites coupées par une sécante
forment des angles alternes externes égaux,
alors ces deux droites sont parallèles.
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Théorème 3
Deux droites parallèles coupées par une
sécante forment des angles correspondants
égaux.
Théorème réciproque
Si deux droites coupées par une sécante
forment des angles correspondants égaux,
alors ces deux droites sont parallèles
1.4. Cercle, disque
Rappel
Le cercle (@GL.) de centre O est l’ensemble
des points situés à égale distance du point O.
Cette distance s’appelle le rayon du cercle.
Un cercle est donc défini par son centre O et
son rayon R.
Le disque (@GL.) de centre O et de rayon R
est l’ensemble des points du cercle et ceux
intérieurs au cercle.
Vocabulaire : corde, arc, rayon, diamètre,
secteur circulaire.
1.4.1. Positions relatives d’une droite et d’un cercle
Soient C le cercle de centre O et de rayon R, d une droite et I le pied de la
perpendiculaire abaissée de O sur d . Le nombre de points d’intersection du cercle C avec la
droite d dépend de la distance du centre O à la droite d , la distance OI.
Trois cas sont possibles :
- si OI > R, la droite d et le cercle C ne sont pas sécants ;
- si OI = R, la droite d est tangente au cercle C en I ;
- si OI < R, la droite d et le cercle C sont sécants en deux points distincts.
(@DOC. Compléments sur le cercle).

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1.4.2. Positions relatives de deux cercles
Soient deux cercles C et C’, de centres respectifs O et O’, de rayons respectifs
R et R’.
Trois cas peuvent se produire :
- les cercles n’ont pas de points communs ;
- les cercles ont un seul point commun ;
- les cercles ont deux points communs.
(@DOC. Compléments sur le cercle).
1.4.3. Angle au centre, angle inscrit
A
C
B
Définition préalable
Dans un cercle, une corde est un segment
reliant deux points du cercle. À noter qu’un
diamètre du cercle est une corde de plus
grande mesure possible. Un angle inscrit
dans un cercle est un angle formé par deux
cordes issues d’un même point du cercle.
Ici, est un angle inscrit, interceptant
l’arc .
(@DOC. Compléments sur le cercle)
1.5. Polygones
•
n désignant un entier naturel supérieur ou égal à 3, un polygone à n côtés est
une ligne brisée fermée constituée de n segments et n’ayant pas trois sommets consécutifs
alignés.
Les segments formant la ligne brisée sont les côtés du polygone. Les extrémités des côtés sont
les sommets du polygone. Chaque sommet définit ainsi un angle du polygone : il y a autant
d’angles que de côtés.
Une diagonale d’un polygone est un segment joignant deux sommets non consécutifs .
• Un polygone est dit croisé si deux côtés non consécutifs sont sécants.
• Un polygone est convexe si quels que soient les points P et Q intérieurs au polygone
le segment [PQ] est entièrement à l’intérieur du polygone.
Dans le cas contraire, le polygone n’est pas convexe : on peut trouver deux points P et
Q intérieurs au polygone ABCD tels que le segment [PQ] ne soit pas entièrement intérieur
B
A
C
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au polygone. Notamment, une diagonale du polygone est extérieure au polygone. Par
exemple, dans le polygone non convexe ci-dessous, [AC] est une diagonale extérieure du
polygone ABCD.
Polygone convexe Polygone non convexe
Remarque
Dans un polygone convexe, tous les angles sont saillants et dans un polygone non convexe,
il y a au moins un angle rentrant.
! Somme des angles d’un polygone
n étant le nombre de côtés d’un polygone, la somme de ses angles en degrés, est
( n − 2) × 180.
Exemple
Pour un pentagone, n = 5. La somme des angles est (5 − 2) × 180 = 3 × 180 = 540. La
somme des angles d’un pentagone est de 540°.
(@AI. Déterminer la valeur d’un angle).
! Un polygone est régulier lorsque tous ses côtés ont même longueur et lorsque ses angles
saillants formés par deux côtés consécutifs sont tous égaux. C’est le cas du triangle équilatéral
et du carré.
! Si un polygone est régulier, il existe un cercle qui passe par tous ses sommets, on l’appelle
cercle circonscrit (@GL.) au polygone et on dit que le polygone est inscrit dans le cercle. Le
centre de ce cercle est aussi appelé centre du polygone régulier.
(@DOC. Compléments sur le cercle)
1.5.1. Triangles
• Propriété
La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.
• Théorème (« inégalité triangulaire »)