Chapitre 4 : probabilités discrètes 1.Probabilités élémentaires

Chapitre 4 : probabilités discrètes
1. Probabilités élémentaires
1.1. Vocabulaire
Définition 1. Expérience aléatoire. C’est une expérience dont on on connaît parfaîtement les conditions
de déroulement et pour laquelle on ne peut prévoir l’issue (i.e le résultat).
Exemple 1.
1
Jeter un dé à 6 faces ;
2
Lancer une pièce de monnaie.
Lors de la réalisation d’une expérience aléatoire , on est amené à choisir successivement :
1
un univers Ω
2
les événements, parties de Ω
3
une probabilité
Définition 2. Univers. C’est l’ensemble de toutes les issues possibles de l’expérience, souvent noté Ω.
Exemple 2. Donner les univers dans les deux cas de l’exemple 1.
Remarque 1. il y a des expériences aléatoires qui comportent une infinité d’issues (l’univers est infini).
Définition 3. Evénements. Il s’agit des parties de Ω dont on va pouvoir « mesurer » les chances qu’elles
se réalisent (i.e dont on va pouvoir calculer la probabilité) Si Ω est un univers fini les événements seront
alors n’importe quelle partie de Ω. On parle d’événement élémentaire (ou d’issue) lorsque l’événement est
réduit à un élément.
Exemple 3. Pour le lancer du dé, donner des événements et dire s’ils sont élémentaires ou non.
1.2. Opérations sur les événements
Définition 4.
1
L’intersection des événements A et B est l’événement noté A ∩ B appelé aussi « A et B ».
2
La réunion de deux événements A et B est l’événement noté A ∪ B que l’on appelle aussi « A ou B ».
3
Deux événements d’ intersection vide (A ∩ B = ∅) sont dits incompatibles ou disjoints.
4
On appelle l’événement contraire d’un événement A que l’on note A l’ensemble de toutes les
éventualités qui ne sont pas dans A. Deux événements contraires sont incompatibles.
1.3. Probabilité
Définition 5. On appelle probabilité ou loi de probabilité sur Ω toute fonction P allant de l’ensemble
des événements de Ω dans [0, 1] et vérifiant :
1. P(Ω) = 1
2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) où A et B disjoints
Propriété 1.
1. P(A) = 1 − P(A)
2. P(∅) = 0
3. P(A) = P(A)
Propriété 2.
1
Si Ω = {e1 ; e2 ; . . . ; en } est un univers fini, définir une (loi de) probabilité, revient donc à associer à
chaque événement ei un réel positif ou nul pi tel que p1 + p2 + · · · + pn = 1.
2
P(A) est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui composent A.
1
1
).
On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les pi sont égaux (chacun vaut donc =
n
card(Ω)
3
Exemple 4. Un dé est truqué pour que le 6 apparaîsse deux fois plus souvent que les autres faces qui elles
ont toutes la même probabilité . Calculer P({4; 5; 6}).
Propriété 3.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Exemple 5.
1 On interroge 35 élèves sur leurs dernières vacances :
⋆ 30 sont partis en vacances, dont 10 à l’étranger et 11 qui ont fait du sport.
⋆ 12 ont fait du sport en France, dont 4 qui ne sont pas partis en vacances.
Combien d’élèves sont partis en vacances en France sans faire de sport ?
2 Un organisme organise deux excursions parmi un groupe de touristes. Chaque excursion est fréquentée
par 80% des touristes. Donner un encadrement du pourcentage de touristes qui participent aux deux
excursions.
2. Probabilités conditionnelles
1 Supposons que les faces paires d’un dé à six faces soient colorées en blanc et les faces
Exemple 6.
impaires en noires. On lance ce dé ; de loin on se rend compte qu’une face blanche est apparue ( on note
B cet événement) ; quelle est la probabilité que l’on ait obtenu un six ?
2 Dans une entreprise, il y a 150 femmes ingénieurs , 80 femmes ouvrières, 100 hommes ingénieurs et 130
hommes ouvriers. On notera F, H, I et O les 4 événements associés à l’énoncé.
(a) Présenter les résultats dans un tableau à double entrée.
(b) Quelle est la probabilité d’être ingénieur ? D’être ingénieur sachant qu’on est une femme ? D’être
une femme sachant qu’on est ingénieur ?
(c) Calculer P(F ), P(I), P(F ∩ I). Répondre aux questions précédentes sans utiliser le tableau.
2.1. Définition-propriété
Définition 6. Soient A et B deux événements de Ω avec B tel que P(B) 6= 0.
On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B le nombre noté PB (A) ou encore P(A/B)
défini par :
P(A ∩ B)
PB (A) =
P(B)
Remarque 2. Il ne faudra pas confondre P(A ∩ B) et PB (A) dans le premier cas on « regarde » A ∩ B par
rapport à Ω alors que dans le second, on regarde par rapport à B (on restreint l’univers à B).
Propriété 4.
Soient A et B deux événements de Ω. Alors : P(A ∩ B) = P(A) × PA (B) = P(B) × PB (A)
2.2. Arbres pondérés
Un arbre est pondéré, si chaque branche est affectée d’une probabilité. Un chemin va de la racine à une
extrémité en passant par des branches de l’arbre. L’origine commune à deux branches s’appelle un nœud.
On prend comme exemple une situation où l’on réitère
deux fois une expérience comportant deux issue A et B
contraire l’une de l’autre (B = A). On note A1 (resp.
A2 ) l’événement « A se réalise à la première (resp.
deuxième) expérience ». Même notations pour B.
L’univers associé à cette situation comporte quatre issue : Ω = {A1 ∩ A2 ; A1 ∩ B2 ; B1 ∩ A2 ; B1 ∩ B2 }
P(A1 )
P(B1 )
PA1 (A2 )
A2
PA1 (B2 )
B2
PB1 (A2 )
A2
PB1 (B2 )
B2
A1
B1
Vocabulaire
Règle 1 la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
Par exemple sur l’arbre ci-dessus : P(A1 ) + P(B1 ) = 1 ou encore PA1 (A2 ) + PA1 (B2 ) = 1
Règle 2 La probabilité de l’événement représenté par un chemin est égal au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin .
Par exemple : la probabilité du chemin A1 − A2 est P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × PA1 (A2 )
Règle 3 La probabilité d’un événement D est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à D. C’est la formule des probabilités totales .
Par exemple : la probabilité de l’événement «obtenir exactement une fois A » est : P(A1 ∩B2 )+P(B1 ∩A2 ).
Exemple 7.
1
⋆ L’urne U1 contenant 1 boule rouge et 5 boules jaunes.
⋆ L’urne U2 contenant 3 boules rouges et 1 boule jaune.
⋆ L’urne U3 contenant 1 boule rouge et 2 boules jaunes.
(a) On lance un dé puis on choisit l’urne 1 si le dé tombe sur 1, l’urne 2 si le dé tombe sur un nombre
pair et l’urne 3 sinon. Ensuite, on tire une boule dans l’urne choisie.
Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge ?
(b) On tire une boule jaune. Quelle est la probabilité que cette boule ait été tirée dans U1 ?
2
Le test de dépistage d’une maladie posséde les caractéristiques suivantes :
(a) La probabilité qu’un individu malade ait un test positif est 0,99 (sensibilité du test).
(b) La probabilité qu’un individu sain ait un test négatif est 0,98 (spécificité du test).
Exprimer la probabilité qu’un individu dont le test est positif soit malade en fonction de la proportion
de malade dans la population, notée p. Interpréter.
3. Variables aléatoires
Souvent, à chaque résultat d’une expérience aléatoire on associe un nombre réel. On définit ainsi une
fonction X : Ω 7→ R. Dans cette section, on ne considère que des univers Ω finis ou infinis dénombrables
(c’est à dire que l’on peut compter, comme les entiers naturels).
3.1. Définitions
Définition 7. Lorsqu’à chaque événement élémentaire ω de l’univers on associe un nombre réel, on dit
que l’on a définit une variable aléatoire (réelle) qui est donc une fonction X : Ω 7→ R.
X(Ω), appelé l’univers image de X est l’ensemble des valeurs prises par X.
Les événements élémentaires de X(Ω) sont notés (X = k), où k ∈ X(Ω).
Exemple 8. On lance une pièce de monnaie bien(équilibrée trois fois de suite. Soit X la variable aléatoire
1 si deux côtés identiques apparaîssent successivement ,
.
donnant le nombre de « face » obtenues et soit Y =
0 sinon.
Donner Ω, X(Ω) et Y (Ω), l’ensemble de toutes les valeurs que prennent X et Y .
Définition 8. La loi de probabilité de X est la donnée des probabilités P(X = xi ) pour tous les
xi ∈ X(Ω). Lorsque le nombre d’éléments de l’univers image est petit, on présente la loi de probabilité sous
forme de tableau.
Exemple 8 (suite). Donner les lois de probabilité de X et Y .
3.2. Caractéristiques d’une variable aléatoire discrère
Définition 9. On suppose que X(Ω) = {x1 ; x2 ; . . . ; xn } avec n ∈ N.
n
X
⋆ L’espérance de X est définie par : E(X) =
p i xi = p 1 x1 + p 2 x2 + · · · + p n xn .
i=1
⋆ La variance de X est définie par : V (X) = p1 (x1 − E(X))2 + p2 (x2 − E(X))2 + · · · + pn (xn − E(X))2
Théorème 5.
Formule de Kœnig-Huygens (admise). On a : V (X) = E(X 2 ) − (E(X))2 .
⋆ L’écart type de X est défini par : σ(X) =
p
V (X). Il a donc la même unité que E(X).
Exemple 8 (suite). Calculer l’espérance, la variance et l’écart type des variables aléatoires X et Y .
Théorème 6.
Soit X une variable aléatoire et a et b deux réels. On a :
1
E(aX + b) = aE(X) + b
2
V (aX + b) = a2 V (X)
4. Loi binômiale
4.1. Indépendance
Il est naturel de dire que deux événements A et B de probabilité non nulles sont indépendants si la donnée
de l’information «B est réalisé» (resp. «A est réalisé») n’agit pas sur la réalisation de A (resp. B), i.e. si
PB (A) = P(A) (resp. PA (B) = P(B)). Dans ce cas la formules des probabilités composées devient :
Définition 10. 2 événements A et B sont indépendants pour P si : P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
4.2. Cadre d’application de la loi binômiale
On répète, n fois, de manière indépendante, une même épreuve possédant deux issues appelées (par
habitude) succès (noté S), de probabilité p ∈ [0; 1] et échec (noté E ou encore S) de probabilité 1 − p.
Remarque 3. Une issue est donc une liste ordonnée de S et de E : (E ;E ;S ;S ;· · · ;E ;E ;S) que l’on note
souvent pour aller plus vite : EESS· · · EES.
Définition 11 (Loi binômiale). Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de succès dans
l’expérience précédente. On dit alors que X suit la loi binômiale de paramètres n et p. On peut noter
X ֒→ B(n; p)
4.3. Tirages simultanés et nombres de chemins : combinaisons
Propriété 7.
Définition Soit n ∈ N et 0 6 k 6 n. alors le nombre nk (lu "k parmi n" et appelé coefficent binômial)
est égal au nombre de chemins de l’arbre réalisant exactement k succès pour n répétitions d’une même
expérience.
Remarque 4. On peut calculer les coefficients binômiaux à l’aide de la calculatrice. Sur TI, on écrit la
valeur de n, puis, MATH, PRB, nCr (ou "Combinaison" sur les modèles français), ENTREE, puis on écrit
la valeur de k.
Exemple 9. Donner la valeur de 10
3
4.4. Propriétés de la loi binômiale
Théorème 8.
Si X suit la loi binômiale de paramètres n et p, alors pour tout k ∈ {0; 1; · · · ; n} :
n k
P (X = k) =
p (1 − p)n−k
k
Remarque 5. La probabilité d’avoir n succès est P (X = n) = pn et celle d’avoir n échecs est P (X = 0) =
(1 − p)n
1 (Métropole, juin 2011, partie B) On choisit successivement 10 personnes de la population
Exemple 10.
au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces
10 personnes, sachant que 2% des personnes sont contaminées par le virus dans la population.
(a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
(b) Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
2
On lance un dé à six faces n fois (n ∈ N∗ ). Comment choisir n pour que la probabilité pn d’obtenir au
moins un 6, au cours des n lancers, soit supérieure ou égale a 0,95 ?
Propriété 9.
Si X suit la loi binômiale de paramètres n et p, alors :
E(X) = np et V (X) = np(1 − p)
5. Annales
Exercice 1. Pondichéry, avril 2011
Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert :
• un assortiment de macarons, choisi par 50 % des clients ;
• une part de tarte tatin, choisie par 30 % des clients.
20 % des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts.
Le restaurateur a remarqué que :
• parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80 % prennent un café ;
• parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, 60 % prennent un café ;
• parmi les clients n’ayant pas pris de dessert, 90 % prennent un café.
On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note p la probabilité associée à cette expérience
aléatoire.
On note :
• M l’évènement : « Le client prend un assortiment de macarons » ;
• T l’évènement : « Le client prend une part de tarte tatin » ;
• P l’évènement : « Le client ne prend pas de dessert » ;
• C l’évènement : « Le client prend un café » et C l’évènement contraire de C.
1
2
En utilisant les données de l’énoncé, préciser la valeur de p(T ) et celle de PT (C), probabilité de l’évènement C sachant que T est réalisé.
Recopier et compléter l’arbre ci-dessous :
0,8
0,5
C
M
C
C
T
C
C
P
C
3
(a) Exprimer par une phrase ce que représente l’évènement M ∩ C puis calculer p(M ∩ C).
4
5
(b) Montrer que p(C) = 0, 76.
Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu’il prend un café ?
(On donnera le résultat arrondi au centième).
Un assortiment de macarons est vendu 6 (, une part de tarte tatin est vendue 7 (, et un café est vendu
2 (.
Chaque client prend un plat (et un seul) au prix unique de 18 (, ne prend pas plus d’un dessert ni plus
d’un café.
(a) Quelles sont les six valeurs possibles pour la somme totale dépensée par un client ?
(b) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme totale
dépensée par un client :
Sommes si
p (si )
18
0,02
20
0,18
24
...
...
...
...
(c) Calculer l’espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat.
Exercice 2. Antilles-Guyane, juin 2011
Dans chaque programme de construction proposé par un grand constructeur immobilier, les acquéreurs
doivent choisir entre la pose de moquette, de carrelage ou de sol plastifié pour revêtir le sol du salon. Pour
le revêtement des murs du salon, ils ont le choix entre peinture ou papier peint.
Le recueil des choix des acquéreurs par l’entreprise donne les résultats suivants :
⋆ 20 % ont choisi la moquette ;
⋆ 50 % ont choisi le carrelage ;
⋆ les autres acquéreurs ont choisi la pose de sol plastifié.
Parmi les acquéreurs ayant choisi la moquette, 46 % choisissent le papier peint pour le revêtement des murs.
Parmi les acquéreurs ayant choisi le carrelage, 52 % choisissent le papier peint pour le revêtement des murs.
42,7 % des acquéreurs ont choisi le papier peint pour le revêtement des murs.
On interroge au hasard un acquéreur de logement construit par cette entreprise.
On considère les évènements suivants :
M l’évènement : « l’acquéreur a choisi la pose de moquette » ;
C l’évènement : « l’acquéreur a choisi la pose de carrelage » ;
S l’évènement : « l’acquéreur a choisi la pose de sol plastifié » ;
P l’évènement : « l’acquéreur a choisi la pose de papier peint » ;
P l’évènement contraire de P , correspondant à : « l’acquéreur a choisi la peinture ».
Les résultats seront donnés sous forme décimale, et arrondis au millième.
1
2
3
4
Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré, qui sera complété tout au long de l’exercice.
(a) Décrire l’évènement M ∩ P .
(b) Calculer la probabilité p(M ∩ P ).
(a) Montrer que la probabilité que l’acquéreur ait choisi la pose de sol plastifié et de papier peint est
égale à 0,075.
(b) L’acquéreur a choisi le sol plastifié. Calculer la probabilité qu’il ait choisi le papier peint.
On interroge au hasard et de façon indépendante trois acquéreurs parmi tous les clients du constructeur.
(a) Calculer la probabilité, notée p1 , qu’au moins un des trois acquéreurs ait choisi le papier peint.
(b) Calculer la probabilité, notée p2 , qu’exactement deux des trois acquéreurs aient choisi le papier
peint.
Exercice 3. Métropole, septembre 2010
On s’intéresse à la population des personnes âgées de plus de 65 ans d’un certain pays en 2006.
Dans cette population :
⋆ 58 % sont des femmes ;
⋆ 5 % des personnes sont atteintes d’une maladie incurable appelée maladie A et parmi celles-ci les deux
tiers sont des femmes.
On choisit au hasard une personne dans cette population.
On note :
F l’évènement : « la personne choisie est une femme » ;
H l’évènement : « la personne choisie est un homme » ;
A l’évènement : « la personne choisie est atteinte de la maladie A » ;
A l’évènement : « la personne choisie n’est pas atteinte de la maladie A ».
Les résultats seront arrondis au millième.
1
(a) Donner la probabilité de l’évènement F et celle de l’évènement A.
Donner la probabilité de l’évènement F sachant que l’évènement A est réalisé, notée pA (F ).
(b) Définir par une phrase l’évènement A ∩ F puis calculer sa probabilité.
(c) Montrer que la probabilité de l’évènement A sachant que F est réalisé est égale à 0, 057 à 10−3 près.
2
La personne choisie est un homme. Démontrer que la probabilité que cet homme soit atteint de la
maladie A est égale à 0, 040 à 10−3 près.
3
Peut-on affirmer que, dans ce pays en 2006, dans la population des personnes âgées de plus de 65 ans,
une femme risquait davantage de développer la maladie A qu’un homme ? Justifier.
Exercice 4.
D’après Polynésie juin 2010, spécialité
Dans une société, le service informatique utilise deux logiciels de gestion : d’une part, le logiciel Aurora, leader
du marché, et d’autre part le logiciel Bestmath, son concurrent. Le chef de réseau informatique enregistre
chaque année, en janvier et en juillet, le nombre d’utilisateurs des deux logiciels et fournit des rapports
réguliers sur le comportement des utilisateurs.
Lors de l’enquête de janvier 2009, le chef de réseau a constaté que 32 % des informaticiens utilisait le logiciel
Aurora, les autres informaticiens utilisaient le logiciel Bestmath.
Lors de chaque relevé suivant (juillet 2009, janvier 2010, ... ), le chef du réseau informatique a constaté
que 20 % des utilisateurs du logiciel Aurora avaient changé de logiciel et utilisaient désormais le logiciel
Bestmath, tandis que 25 % des utilisateurs du logiciel Bestmath avaient changé de logiciel et utilisaient
désormais Aurora.
Les semestres sont comptés à partir de janvier 2009, qu’on appellera semestre 0 (juillet 2009 est donc le
semestre 1).
Pour tout entier naturel n, on désigne par :
• an la probabilité de l’événement An : "un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Aurora le
semestre n" ;
• bn la probabilité de l’événement An : "un informaticien pris au hasard utilise le logiciel Bestmath le
semestre n".
1
Calcul de a1 et de b1
(a) Compléter l’arbre pondéré suivant :
A1
A0
B1
A1
B0
B1
(b) Calculer a1 et b1 .
2
Relation de récurrence
(a) En s’inspirant de la première partie, dresser un arbre pondéré qui relie le semestre n et le semestre
n + 1.
(b) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : an+1 = 0, 55an + 0, 25.
5
− an .
9
Démontrer que la suite (Un ) est géométrique, déterminer sa raison ainsi que le premier terme.
(c) On considère la suite (Un ) définie pour tout entier naturel n par : Un =
(d) En déduire l’expression de Un puis de an en fonction de n.
(e) Le distributeur du logiciel Aurora peut-il espérer que son logiciel soit utilisé un jour par plus de
60 % des informaticiens de l’entreprise ?
Exercice 5. Pondichéry, 2013, 5 points
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de
la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
L’enquête révèle que 55 % des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui
souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10 % sont pour une répartition des
cours plus étalée sur l’année scolaire.
On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :
⋆ L : l’élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi ;
⋆ C : l’élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
1
Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2
Calculer P (L ∩ C) la probabilité de l’évènement L ∩ C.
3
Montrer que P (C) = 0, 5675.
4
Calculer PC (L), la probabilité de l’évènement L sachant l’évènement C réalisé. En donner une valeur
arrondie à 10−4 .
5
On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de
l’établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves favorables à une répartition
des cours plus étalée sur l’année scolaire. Le nombre d’élèves étant suffisamment grand, on considère
que X suit une loi binomiale.
(a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
(b) Calculer la probabilité qu’aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des
cours plus étalée sur l’année scolaire. En donner une valeur arrondie à 10−4 .
(c) Calculer la probabilité qu’exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus
étalée sur l’année scolaire.