Chapitre 4 : probabilités discrètes 1.Probabilités élémentaires

Chapitre 4 : probabilités discrètes
1. Probabilités élémentaires
1.1. Vocabulaire
Définition 1. Expérience aléatoire. C’est une expérience dont on on connaît parfaîtement les conditions
de déroulement et pour laquelle on ne peut prévoir l’issue (i.e le résultat).
Exemple 1. 1Jeter un dé à 6 faces ; 2Lancer une pièce de monnaie.
Lors de la réalisation d’une expérience aléatoire , on est amené à choisir successivement :
1un univers Ω2les événements, parties de Ω3une probabilité
Définition 2. Univers. C’est l’ensemble de toutes les issues possibles de l’expérience, souvent noté Ω.
Exemple 2. Donner les univers dans les deux cas de l’exemple 1.
Remarque 1. il y a des expériences aléatoires qui comportent une infinité d’issues (l’univers est infini).
Définition 3. Evénements. Il s’agit des parties de Ωdont on va pouvoir « mesurer » les chances qu’elles
se réalisent (i.e dont on va pouvoir calculer la probabilité) Si Ωest un univers fini les événements seront
alors n’importe quelle partie de Ω. On parle d’événement élémentaire (ou d’issue) lorsque l’événement est
réduit à un élément.
Exemple 3. Pour le lancer du dé, donner des événements et dire s’ils sont élémentaires ou non.
1.2. Opérations sur les événements
Définition 4.
1L’intersection des événements Aet Best l’événement noté A∩Bappelé aussi « A et B ».
2La réunion de deux événements Aet Best l’événement noté A∪Bque l’on appelle aussi « A ou B ».
3Deux événements d’ intersection vide (A∩B=∅) sont dits incompatibles ou disjoints.
4On appelle l’événement contraire d’un événement Aque l’on note Al’ensemble de toutes les
éventualités qui ne sont pas dans A. Deux événements contraires sont incompatibles.
1.3. Probabilité
Définition 5. On appelle probabilité ou loi de probabilité sur Ωtoute fonction Pallant de l’ensemble
des événements de Ωdans [0,1] et vérifiant :
1. P(Ω) = 1 2. P(A∪B) = P(A) + P(B)où Aet Bdisjoints
1. P(A) = 1 −P(A)2. P(∅) = 0 3. P(A) = P(A)
Propriété 1.
1Si Ω = {e1;e2;...;en}est un univers fini, définir une (loi de) probabilité, revient donc à associer à
chaque événement eiun réel positif ou nul pitel que p1+p2+···+pn= 1.
2P(A)est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui composent A.
3On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les pisont égaux (chacun vaut donc 1
n=1 card(Ω)).
Propriété 2.
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Exemple 4. Un dé est truqué pour que le 6 apparaîsse deux fois plus souvent que les autres faces qui elles
ont toutes la même probabilité . Calculer P({4; 5; 6}).
P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B)
Propriété 3.
Exemple 5.
1On interroge 35 élèves sur leurs dernières vacances :
⋆30 sont partis en vacances, dont 10 à l’étranger et 11 qui ont fait du sport.
⋆12 ont fait du sport en France, dont 4 qui ne sont pas partis en vacances.
Combien d’élèves sont partis en vacances en France sans faire de sport ?
2Un organisme organise deux excursions parmi un groupe de touristes. Chaque excursion est fréquentée
par 80% des touristes. Donner un encadrement du pourcentage de touristes qui participent aux deux
excursions.
2. Probabilités conditionnelles
Exemple 6. 1Supposons que les faces paires d’un dé à six faces soient colorées en blanc et les faces
impaires en noires. On lance ce dé ; de loin on se rend compte qu’une face blanche est apparue ( on note
Bcet événement) ; quelle est la probabilité que l’on ait obtenu un six ?
2Dans une entreprise, il y a 150 femmes ingénieurs , 80 femmes ouvrières, 100 hommes ingénieurs et 130
hommes ouvriers. On notera F, H, I et Oles 4 événements associés à l’énoncé.
(a) Présenter les résultats dans un tableau à double entrée.
(b) Quelle est la probabilité d’être ingénieur ? D’être ingénieur sachant qu’on est une femme ? D’être
une femme sachant qu’on est ingénieur ?
(c) Calculer P(F),P(I),P(F∩I). Répondre aux questions précédentes sans utiliser le tableau.
2.1. Définition-propriété
Définition 6. Soient Aet Bdeux événements de Ωavec Btel que P(B)6= 0.
On appelle probabilité conditionnelle de Asachant Ble nombre noté PB(A)ou encore P(A/B)
défini par :
PB(A) = P(A∩B)
P(B)
Remarque 2. Il ne faudra pas confondre P(A∩B)et PB(A)dans le premier cas on « regarde » A∩Bpar
rapport à Ωalors que dans le second, on regarde par rapport à B(on restreint l’univers à B).
Soient Aet Bdeux événements de Ω. Alors : P(A∩B) = P(A)×PA(B) = P(B)×PB(A)
Propriété 4.
2.2. Arbres pondérés
Un arbre est pondéré, si chaque branche est affec-
tée d’une probabilité. Un chemin va de la racine à une
extrémité en passant par des branches de l’arbre. L’ori-
gine commune à deux branches s’appelle un nœud.
On prend comme exemple une situation où l’on réitère
deux fois une expérience comportant deux issue Aet B
contraire l’une de l’autre (B=A). On note A1(resp.
A2) l’événement « Ase réalise à la première (resp.
deuxième) expérience ». Même notations pour B.
L’univers associé à cette situation comporte quatre is-
sue : Ω = {A1∩A2;A1∩B2;B1∩A2;B1∩B2}
A1
P(A1)
A2
PA1(A2)
B2
PA1(B2)
B1
P(B1)
A2
PB1(A2)
B2
PB1(B2)
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Vocabulaire
Règle 1 la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
Par exemple sur l’arbre ci-dessus : P(A1) + P(B1) = 1 ou encore PA1(A2) + PA1(B2) = 1
Règle 2 La probabilité de l’événement représenté par un chemin est égal au produit des pro-
babilités inscrites sur les branches de ce chemin .
Par exemple : la probabilité du chemin A1−A2est P(A1∩A2) = P(A1)×PA1(A2)
Règle 3 La probabilité d’un événement Dest la somme des probabilités des chemins qui abou-
tissent à D. C’est la formule des probabilités totales .
Par exemple : la probabilité de l’événement «obtenir exactement une fois A» est : P(A1∩B2)+P(B1∩A2).
Exemple 7.
1⋆L’urne U1contenant 1 boule rouge et 5 boules jaunes.
⋆L’urne U2contenant 3 boules rouges et 1 boule jaune.
⋆L’urne U3contenant 1 boule rouge et 2 boules jaunes.
(a) On lance un dé puis on choisit l’urne 1 si le dé tombe sur 1, l’urne 2 si le dé tombe sur un nombre
pair et l’urne 3 sinon. Ensuite, on tire une boule dans l’urne choisie.
Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge ?
(b) On tire une boule jaune. Quelle est la probabilité que cette boule ait été tirée dans U1?
2Le test de dépistage d’une maladie posséde les caractéristiques suivantes :
(a) La probabilité qu’un individu malade ait un test positif est 0,99 (sensibilité du test).
(b) La probabilité qu’un individu sain ait un test négatif est 0,98 (spécificité du test).
Exprimer la probabilité qu’un individu dont le test est positif soit malade en fonction de la proportion
de malade dans la population, notée p. Interpréter.
3. Variables aléatoires
Souvent, à chaque résultat d’une expérience aléatoire on associe un nombre réel. On définit ainsi une
fonction X: Ω 7→ R. Dans cette section, on ne considère que des univers Ωfinis ou infinis dénombrables
(c’est à dire que l’on peut compter, comme les entiers naturels).
3.1. Définitions
Définition 7. Lorsqu’à chaque événement élémentaire ωde l’univers on associe un nombre réel, on dit
que l’on a définit une variable aléatoire (réelle) qui est donc une fonction X: Ω 7→ R.
X(Ω), appelé l’univers image de Xest l’ensemble des valeurs prises par X.
Les événements élémentaires de X(Ω) sont notés (X=k), où k∈X(Ω).
Exemple 8. On lance une pièce de monnaie bien équilibrée trois fois de suite. Soit Xla variable aléatoire
donnant le nombre de « face » obtenues et soit Y=(1si deux côtés identiques apparaîssent successivement ,
0sinon..
Donner Ω,X(Ω) et Y(Ω), l’ensemble de toutes les valeurs que prennent Xet Y.
Définition 8. La loi de probabilité de Xest la donnée des probabilités P(X=xi)pour tous les
xi∈X(Ω). Lorsque le nombre d’éléments de l’univers image est petit, on présente la loi de probabilité sous
forme de tableau.
Exemple 8 (suite).Donner les lois de probabilité de Xet Y.
3.2. Caractéristiques d’une variable aléatoire discrère
Définition 9. On suppose que X(Ω) = {x1;x2;...;xn}avec n∈N.
⋆L’espérance de Xest définie par : E(X) =
n
X
i=1
pixi=p1x1+p2x2+···+pnxn.
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⋆La variance de Xest définie par : V(X) = p1(x1−E(X))2+p2(x2−E(X))2+···+pn(xn−E(X))2
Formule de Kœnig-Huygens (admise). On a : V(X) = E(X2)−(E(X))2.
Théorème 5.
⋆L’écart type de Xest défini par : σ(X) = pV(X). Il a donc la même unité que E(X).
Exemple 8 (suite).Calculer l’espérance, la variance et l’écart type des variables aléatoires Xet Y.
Soit Xune variable aléatoire et aet bdeux réels. On a :
1E(aX +b) = aE(X) + b2V(aX +b) = a2V(X)
Théorème 6.
4. Loi binômiale
4.1. Indépendance
Il est naturel de dire que deux événements Aet Bde probabilité non nulles sont indépendants si la donnée
de l’information «Best réalisé» (resp. «Aest réalisé») n’agit pas sur la réalisation de A(resp. B), i.e. si
PB(A) = P(A)(resp. PA(B) = P(B)). Dans ce cas la formules des probabilités composées devient :
Définition 10. 2 événements Aet Bsont indépendants pour Psi : P(A∩B) = P(A)×P(B)
4.2. Cadre d’application de la loi binômiale
On répète, nfois, de manière indépendante, une même épreuve possédant deux issues appelées (par
habitude) succès (noté S), de probabilité p∈[0; 1] et échec (noté Eou encore S) de probabilité 1−p.
Remarque 3. Une issue est donc une liste ordonnée de Set de E: (E;E;S;S;··· ;E;E;S) que l’on note
souvent pour aller plus vite : EESS···EES.
Définition 11 (Loi binômiale).Soit Xla variable aléatoire qui est égale au nombre de succès dans
l’expérience précédente. On dit alors que Xsuit la loi binômiale de paramètres net p. On peut noter
X ֒→ B(n;p)
4.3. Tirages simultanés et nombres de chemins : combinaisons
Définition Soit n∈Net 06k6n. alors le nombre n
k(lu "kparmi n" et appelé coefficent binômial)
est égal au nombre de chemins de l’arbre réalisant exactement ksuccès pour nrépétitions d’une même
expérience.
Propriété 7.
Remarque 4. On peut calculer les coefficients binômiaux à l’aide de la calculatrice. Sur TI, on écrit la
valeur de n, puis, MATH, PRB, nCr (ou "Combinaison" sur les modèles français), ENTREE, puis on écrit
la valeur de k.
Exemple 9. Donner la valeur de 10
3
4.4. Propriétés de la loi binômiale
Si Xsuit la loi binômiale de paramètres net p, alors pour tout k∈ {0; 1; ···;n}:
P(X=k) = n
kpk(1 −p)n−k
Théorème 8.
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Remarque 5. La probabilité d’avoir nsuccès est P(X=n) = pnet celle d’avoir néchecs est P(X= 0) =
(1 −p)n
Exemple 10. 1(Métropole, juin 2011, partie B) On choisit successivement 10 personnes de la population
au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces
10 personnes, sachant que 2% des personnes sont contaminées par le virus dans la population.
(a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
(b) Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
2On lance un dé à six faces nfois (n∈N∗). Comment choisir npour que la probabilité pnd’obtenir au
moins un 6, au cours des nlancers, soit supérieure ou égale a 0,95 ?
Si Xsuit la loi binômiale de paramètres net p, alors :
E(X) = np et V(X) = np(1 −p)
Propriété 9.
5. Annales
Exercice 1. Pondichéry, avril 2011
Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert :
•un assortiment de macarons, choisi par 50 % des clients ;
•une part de tarte tatin, choisie par 30 % des clients.
20 % des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts.
Le restaurateur a remarqué que :
•parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80 % prennent un café ;
•parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, 60 % prennent un café ;
•parmi les clients n’ayant pas pris de dessert, 90 % prennent un café.
On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note pla probabilité associée à cette expérience
aléatoire.
On note :
•Ml’évènement : « Le client prend un assortiment de macarons » ;
•Tl’évènement : « Le client prend une part de tarte tatin » ;
•Pl’évènement : « Le client ne prend pas de dessert » ;
•Cl’évènement : « Le client prend un café » et Cl’évènement contraire de C.
1En utilisant les données de l’énoncé, préciser la valeur de p(T)et celle de PT(C), probabilité de l’évè-
nement Csachant que Test réalisé.
2Recopier et compléter l’arbre ci-dessous :
M
0,5
C
0,8
C
T
C
C
P
C
C
3(a) Exprimer par une phrase ce que représente l’évènement M∩Cpuis calculer p(M∩C).
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