guadeloupe, guyane, martinique septembre 2009

☺ Problème : Guadeloupe, Guyane, Martinique septembre 2009 :
Correction :
Première partie :
1) Longueur BC :
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A :
2 2 2
BC AB AC
= +
2 2 2
3 4
BC
= +
2
9 16
BC
= +
2
25
BC
=
.
D’où :
25
BC =
5
BC
=
cm.
Le segment
[
]
BC
mesure donc 5 cm.
2) Nature de APMQ :
Le quadrilatère APMQ possède trois angles droits : en A, P et Q.
Or, si un quadrilatère possède trois angles droits, alors c’est un rectangle.
Donc le quadrilatère APMQ est un rectangle.
2) APMQ est un rectangle.
Or, si un quadrilatère est un rectangle, alors il possède des côtés opposés parallèles.
Donc les droites
(
)
PM
et
(
)
AQ
sont parallèles.
Dès lors :
Les droites
(
)
AP
et
(
)
CM
sont sécantes en B et les droites
(
)
PM
et
(
)
AC
sont parallèles, donc, d’après le
théorème de Thalès, on a :
BP BM PM
BA BC AC
= = , soit
3 5 4
BP BM PM
= = .
Deuxième partie :
1) Longueurs BP, PM et AP :
D’après la question 3 de la première partie, on a
3 5 4
BP BM PM
= = , avec ici
2
BM
=
cm.
Donc :
2
3 5 4
BP PM
= =
donc
5 2 3
BP
× = ×
et
5 2 4
PM
× = ×
donc
6
5
BP
=
8
5
PM
=
1,2
BP
=
cm.
1,6
PM
=
cm.
Puis :
AP AB BP
= −
3 1,2
AP
= −
1,8
AP
=
cm.

2) Aire du rectangle APMQ :
APMQ
AP PM
= ×A
1,8 1,6
APMQ
= ×A
2,88
APMQ
=Acm².
L’aire du rectangle APMQ mesure 2,88 cm².
Troisième partie :
1) Longueurs BP et PM :
D’après la question 3 de la première partie, on a
3 5 4
BP BM PM
= = , avec ici
=
BM x
cm.
Donc :
3 5 4
= =
BP x PM
donc
5 3
× = ×
BP x
et
5 4
× = ×
PM x
donc
3
5
=
BP x
4
5
=
PM x
0,6
=
BP x
.
0,8
=
PM x
.
2) Longueur AP :
AP AB BP
= −
3 0,6
= −
AP x
.
3) Le quadrilatère APMQ est un carré si
=
AP PM
, c’est-à-dire :
0,8 3 0,6
= −
x x
0,8 0,6 3
+ =
x x
3
1,4
=x
30
14
=x
15
7
=
x.
Le quadrilatère APMQ est donc un carré si
15
7
=
x.
4) Aire du rectangle APMQ :
(
)
= ×
x AP PM
A
(
)
(
)
0,8 3 0,6
= −
x x x
A
(
)
2
2,4 0,48
= −
x x x
A .
5) Graphiquement, l’aire du rectangle APMQ mesure 1 cm² si x est environ égal à 0,5 cm ou 4,5 cm.
6) Graphiquement, l’aire du rectangle APMQ est maximale si x est environ égal à 2,5 cm : elle vaut alors
environ 3 cm².

☺ Problème : France métropolitaine juin 2009 :
Correction :
Première partie :
1) Nature du triangle ABC :
[
]
AB
est le plus grand côté du triangle ABC.
On a :
2 2
17,5 306,25
= =AB .
Par ailleurs :
2 2 2 2
10,5 14 110,25 196 306,25
+ = + = + =CA CB .
On constate que
2 2 2
= +
AB CA CB
.
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.
2) Nature du quadrilatère PRSC :
(
)
(
)
//
PR SC
et
(
)
(
)
//
RS PC
: le quadrilatère PRSC possède donc deux paires de côtés opposés parallèles.
Or, si un quadrilatère possède deux paires de côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.
Donc le quadrilatère PRSC est un parallélogramme.
De plus, le triangle ABC est rectangle en C, donc le parallélogramme PRSC possède un angle droit en C.
Or, si un parallélogramme possède un angle droit, alors c’est un rectangle.
Il en résulte que le quadrilatère PRSC est un rectangle.
3) a) Longueur PR :
Les droites
(
)
AR
et
(
)
CP
sont sécantes en B et les droites
(
)
RP
et
(
)
AC
sont parallèles, donc, d’après le
théorème de Thalès, on a : = =
BR BP RP
BA BC AC
, soit 5
17,5 14 10,5
= =
BR RP
.
5
10,5 14
=
PR
donc
14 5 10,5
× = ×
PR
donc
5 10,5
14
×
=PR
3,75
=
PR cm.
Le segment
[
]
PR
mesure donc 3,75 cm.
b) Aire du rectangle PRSC :
= ×
PRSC
PR PC
A avec
14 5
= − = − =
PC BC BP 9 cm
3,75 9
= ×
PRSC
A
33,75
=
PRSC
A cm².
L’aire du rectangle PRSC mesure donc 33,75 cm².

Deuxième partie :
1)
Calcul de l’aire de PRSC pour
10
=
BP cm :
D’après la question 3 de la première partie : = =
BR BP RP
BA BC AC
donc
10 5
10,5 14 7
= =
PR
donc
7 5 10,5
× = ×
PR
donc
5 10,5
7
×
=PR
7,5
=
PR cm.
= ×
PRSC
PR PC
A avec
14 10
= − = − =
PC BC BP 4 cm
7,5 4
= ×
PRSC
A
30
=
PRSC
A cm².
2) a) Graphiquement, l’aire du rectangle PRSC mesure 18 cm² si la longueur BP est environ égale à 3 cm ou
12 cm.
b) Graphiquement, l’aire du rectangle PRSC semble maximale si la longueur BP est environ égale à 7,8 cm.
c) Graphiquement, l’aire maximale du rectangle PRSC semble comprise entre 36 cm² et 37 cm².
☺ Problème : Liban juin 2009 :
Correction :
Première partie :
1) Longueur MN :
Les droites
(
)
AN
et
(
)
BM
sont sécantes en C et les droites
(
)
MN
et
(
)
BC
sont parallèles, donc, d’après le
théorème de Thalès, on a : = =
CN CM MN
CA CB AB
, soit 50
80 60
= =
CN MN
CA
.
50 5
60 80 8
= =
MN
donc
8 5 60
× = ×
MN
donc
5 60
8
×
=MN
37,5
=
MN m.
Le segment
[
]
MN
mesure donc 37,5 m.
Longueur de BP en cm 5 10
Aire de PRSC en cm² 33,75 30

2) Aires du triangle CMN et du trapèze ANMB :
Les droites
(
)
MN
et
(
)
AB
sont parallèles, et
(
)
MC
est perpendiculaire à
(
)
AB
.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Donc les droites
(
)
MN
et
(
)
MC
sont perpendiculaires. Le triangle MNC est rectangle en M,
D’ où :
2
×
=
MNC
MN MC
A
37,5 50
2
×
=
MNC
A
937,5
=
MNC
A m².
Puis : = −
ANMB ABC MNC
A A A
2400 937,5
= −
ANMB
A
1462,5
=
ANMB
A m².
Donc : <
MNC ANMB
A A .
3) Plus le point M s’éloigne du point C, plus l’aire du triangle MNC augmente. Or, lorsque le point M est à 50 m
de C, l’aire du triangle MNC mesure 937,5 cm² et
937,5 1200
<
. Donc, pour que l’aire du triangle CMN et celle
du trapèze ANMB soient égales, il faut que le point M se situe à plus de 50 m du point C.
Deuxième partie :
1) Longueur MN :
D’après la question 1 de la première partie, on a :
60
=
MN CM
CB
, soit
60 80
=
MN x
donc
60
80
×
=x MN
3
4
=
MN x
.
2) Aire du triangle CMN :
2
×
=
MNC
MN MC
A
3
4
2
×
=
MNC
x x
A
2
3 1
4 2
= ×
MNC
x
A
2
3
8
=
MNC
x
A .
3) a) Graphiquement, pour que les deux parcelles aient la même aire, il faut placer le point M à environ 57 m du
point C.