Activité - Notion de système d`équations à deux inconnues

Activité : Notion de système d’équations et de couple solution.
Virginie achète deux cahiers et six livres de poche pour 28 euros. Son frère Antoine achète trois cahiers et cinq
livres de poche pour 26 euros. Leur père veut connaître le prix d’un cahier et celui d’un livre.
1) Dans ce problème, il y a deux nombres à déterminer : le prix d’un cahier en euros, que l’on désigne par c, et
le prix d’un livre en euros, que l’on désigne par l.
Mettre en équations un problème, c’est traduire l’énoncé en langage algébrique.
Compléter le tableau suivant :
En langage naturel En langage algébrique
Virginie achète deux cahiers prix ………
six livres de poche prix ………
deux cahiers et six livres de poche prix total ……….
deux cahiers et six livres de poche pour 28 euros on obtient l’équation ………
son frère Antoine achète trois cahiers prix ………
cinq livres de poche prix ………
……… ………
3 5
c l
+
trois cahiers et cinq livres de poche pour 26 euros on obtient l’équation ………
2) Quelles équations les nombres c et l doivent-ils satisfaire simultanément ?
3) On note
(
)
1
E
l’équation
2 6 28
c l
+ =
, et
(
)
2
E
l’équation
3 5 26
c l
+ =
. Ces équations sont des équations du
premier degré à deux inconnues .
a) Justifier que les nombres
2
c
=
et
4
l
=
vérifient l’équation
(
)
1
E
.
On dit que le couple
(
)
2;4
est un couple solution de l’équation
(
)
1
E
.
( une ) solution
b) Le couple
(
)
4;2
est-il une solution de l’équation
(
)
1
E
? Justifier.
c) Justifier que le couple
(
)
5;3
est une solution de l’équation
(
)
1
E
.
d) Justifier que le couple
(
)
2;4
est une solution de l’équation
(
)
2
E
.
e) Le couple
(
)
5;3
est-il une solution de l’équation
(
)
2
E
? Justifier.
4) a) En utilisant la question 3 , donner un couple simultanément solution des équations
(
)
1
E
et
(
)
2
E
.
On dit que ce couple est un couple solution du système d’équations
( )
2 6 28
3 5 26
c l
Sc l
+ =
+ =
.
( une ) solution
b) Le couple
(
)
5;3
est-il solution du système
(
)
S
? Justifier.
c) Quel est le prix d’un cahier et celui d’un livre ?

Correction :
1)
En langage naturel En langage algébrique
Virginie achète deux cahiers prix
2
c
six livres de poche prix
6
l
deux cahiers et six livres de poche prix total
2 6
c l
+
deux cahiers et six livres de poche pour 28 euros on obtient l’équation
2 6 28
c l
+ =
son frère Antoine achète trois cahiers prix
3
c
cinq livres de poche prix
5
l
trois cahiers et cinq livres de poche prix
3 5
c l
+
trois cahiers et cinq livres de poche pour 26 euros on obtient l’équation
3 5 26
c l
+ =
2) Le couple
(
)
;
c l
doit satisfaire simultanément les équations
2 6 28
c l
+ =
et
3 5 26
c l
+ =
.
On dit que le couple
(
)
;
c l
doit satisfaire le système de deux équations à deux inconnues
2 6 28
3 5 26
c l
c l
+ =
+ =
.
3)
(
)
1
E
:
2 6 28
c l
+ =
;
(
)
2
E
:
3 5 26
c l
+ =
.
a) Si
2
c
=
et
4
l
=
, alors :
2 6 2 2 6 4 4 24 28
c l
+ = × + × = + =
.
Donc les nombres
2
c
=
et
4
l
=
vérifient l’équation
(
)
1
E
.
Le couple
(
)
2;4
est un couple solution de l’équation
(
)
1
E
.
(une) solution
b) Si
4
c
=
et
2
l
=
, alors :
2 6 2 4 6 2 8 12 20 28
c l
+ = × + × = + = ≠
.
Donc le couple
(
)
4;2
n’est pas une solution de l’équation
(
)
1
E
.
c) Si
5
c
=
et
3
l
=
, alors :
2 6 2 5 6 3 10 18 28
c l
+ = × + × = + =
.
Donc le couple
(
)
5;3
est une solution de l’équation
(
)
1
E
.
d) ) Si
2
c
=
et
4
l
=
, alors :
3 5 3 2 5 4 6 20 26
c l
+ = × + × = + =
.
Donc le couple
(
)
2;4
est une solution de l’équation
(
)
2
E
.
e) Si
5
c
=
et
3
l
=
, alors :
3 5 3 5 5 3 15 15 30 26
c l
+ = × + × = + = ≠
.
Donc le couple
(
)
5;3
n’est pas une solution de l’équation
(
)
2
E
.

4) a) D’après la question 3, le couple
(
)
2;4
est un couple simultanément solution des équations
(
)
1
E
et
(
)
2
E
.
Le couple
(
)
2;4
est un couple solution du système d’équations
( )
2 6 28
3 5 26
c l
Sc l
+ =
+ =
.
(une) solution
b) Le couple
(
)
5;3
n’est pas solution de l’équation
(
)
2
E
, donc il n’est pas solution du système
(
)
S
.
c) D’après les questions précédentes, si on note c le prix d’un cahier en euros, et l le prix d’un livre en euros,
alors le couple
(
)
;
c l
doit être une solution du système
( )
2 6 28
3 5 26
c l
Sc l
+ =
+ =
.
Or, le couple
(
)
2;4
est un couple solution de ce système.
En admettant qu’il n’y en ait pas d’autres, le couple
(
)
2;4
serait donc l’unique couple solution du système, et,
dans ce cas, un cahier coûterait donc 2 € et un livre 4 €.
Conclusions :
* Dans un couple, il y a un ordre :
(
)
(
)
2;4 4;2
≠ .
(
)
(
)
; 2;4
x y = signifie que
2
x
=
et
4
y
=
.
Dans un repère, le point
(
)
2;4
A est distinct du point
(
)
4;2
B .
A
2
4
B
4
2
0 1
1
A
2
4
B
4
2
** Pour savoir si un couple
(
)
;
α β
est ou non solution d’une équation
(
)
E
:
ax by c
+ =
du premier degré à
deux inconnues x et y :
1) On calcule le premier membre en remplaçant la première inconnue x par la première valeur
α
, et la
deuxième inconnue y par la deuxième valeur
β
.
2) Puis, on compare avec le second membre c :
- Si
a b c
α β
+
=
, alors le couple
(
)
;
α β
est une solution de l’équation
(
)
E
;
- Si
a b c
α β
+
≠
, alors le couple
(
)
;
α β
n’est pas une solution de l’équation
(
)
E
.
*** Pour démontrer qu’un couple :
- est une solution d’un système : il faut montrer qu’il vérifie simultanément les deux équations du système.
- n’est pas une solution d’un système : il suffit de montrer qu’il ne vérifie pas l’une des deux équations du
système.