Objectifs à atteindre pour l`examen 1 Connaissances Définir et

Objectifs à atteindre pour l’examen 1
Connaissances
 Définir et identifier une matrice, ses dimensions et ses éléments;
 Être familier avec les différentes notations d’une matrice;
 Identifier et connaître les caractéristiques de matrices particulières
o Matrice nulle;
o Matrice ligne;
o Matrice colonne;
o Matrice carrée;
o Matrice triangulaire inférieure;
o Matrice triangulaire supérieure;
o Matrice diagonale;
o Matrice identité;
o Matrice idempotente;
o Matrice nilpotente et son indice de nilpotence;
o Matrice transposée;
o Matrice symétrique;
o Matrice antisymétrique;
o Matrice régulière;
o Matrice singulière;
 Traduire un problème contextuel en un système d’équations linéaires;
 Connaître les opérations sur une matrice augmentée permettant de transformer un
système d’équations linéaires en un système équivalent;
 Reconnaître, à partir d’une matrice augmentée échelonnée, sous quelles conditions le
système est compatible, incompatible, possède aucune, une unique ou une infinité de
solutions (systèmes d’équations linéaires homogènes et inhomogènes);
 Exprimer à l’aide d’une notation adéquate l’ensemble solution d’un système
d’équations linéaires;
 Connaître le déterminant et les solutions associées à un système d’équations linéaires
dont la matrice des coefficient est une matrice régulière;
 Connaître le déterminant et les solutions associées à un système d’équations linéaires
dont la matrice des coefficient est une matrice singulière;
 Connaître sous quelles conditions il est possible de calculer l’inverse d’une matrice en
utilisant le déterminant;
 Connaître sous quelles conditions il est possible de déterminer l’ensemble solution
d’un système d’équations linéaires en utilisant la méthode de l’inverse;
 Connaître sous quelles conditions il est possible de déterminer l’ensemble solution
d’un système d’équations linéaires en utilisant la méthode de Cramer;

 Définir ce qu’est :
o Une solution triviale;
o Un système d’équations linéaires homogène dépendant;
o Un système d’équations linéaires homogène indépendant;
o Le mineur associé à un élément dans une matrice;
o Le cofacteur associé à un élément dans une matrice;
o Une matrice de cofacteurs;
o Le rang d’une matrice;
o L’adjointe d’une matrice;
 Déduire, en calculant le déterminant, si :
o L’inverse d’une matrice existe ou pas;
o Le système d’équations linéaires homogène associé est indépendant ou
dépendant;
o Le système d’équations linéaires inhomogène associé possède une solution
unique, une infinité ou aucune solution;
 Identifier la matrice de transition et la matrice d’état initial en utilisant une notation
adéquate en fonction d’un contexte donné pour un problème de chaînes de Markov.
Applications
 Effectuer l’addition et la multiplication par un scalaire de matrices de dimensions
compatibles;
 Effectuer le produit matriciel (compatibilité des dimensions, algorithme);
 Calculer l’inverse d’une matrice à l’aide du produit matriciel et de systèmes
d’équations découplés;
 Utiliser la méthode de Gauss et de Gauss-Jordan sur un système d’équations linéaires
représenté à l’aide d’une matrice augmentée;
 Calculer l’inverse d’une matrice en utilisant la méthode de Gauss-Jordan et
reconnaître si une matrice est inversible ou pas;
 Calculer :
o Le mineur associé à un élément dans une matrice;
o Le cofacteur associé à un élément dans une matrice;
o La matrice de cofacteur associée à une matrice;
o Le déterminant d’une matrice carrée à l’aide des théorèmes vus en
classe;
o Le déterminant d’une matrice carrée en utilisant la méthode des
cofacteurs;
o Le rang d’une matrice;
o L’adjointe d’une matrice;
 Calculer l’inverse d’une matrice en utilisant le déterminant;

 Déterminer l’ensemble solution d’un système d’équations linéaires en utilisant la
méthode de l’inverse;
 Déterminer l’ensemble solution d’un système d’équations linéaires en utilisant la
méthode de Cramer;
 Utiliser le produit matriciel dans des problèmes d’application de chaînes de Markov
pour calculer différents états;
 Interpréter le sens d’une matrice de transition et de ses multiples dans des problèmes
d’application de chaînes de Markov;
 Calculer l’état limite (à long terme) d’un problème de chaînes de Markov (matrices de
transition stochastiques) en utilisant la méthode de Gauss ou de Gauss-Jordan.
Démonstration
 Démontrer les propriétés de l’addition de matrices et de la multiplication d’une
matrice par un scalaire (p. 18);
 Démontrer les propriétés du produit matriciel (p. 30, sauf l’associativité);
 Démontrer les propriétés de la transposée d’une matrice (p. 33);
 Démontrer l’exercice 20 de la page 37;
 Démontrer les propriétés des déterminants, adjointes, inverse de matrice (p.133);
 Démontrer les exercices 18, 19 de la page 151.