Probabilité mathématique et distributions théoriques

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Probabilité mathématique et distributions théoriques
3.1 Notion de probabilité
3.1.1 Définition classique de la probabilité
Définitions
• Une expérience ou une épreuve est dite aléatoire lorsqu’on ne peut en prévoir exactement le résultat, en
raison du fait que tous les facteurs qui déterminent ce résultat ne sont pas maîtrisés ou contrôlés.
• Un événement aléatoire est un événement qui peut se réaliser ou ne pas se réaliser au cours d’une
expérience aléatoire.
Citons comme exemples d’expériences et d’événements aléatoires : le tirage d’une carte d’un paquet de
cartes à jouer et le fait d’extraire un cœur, la mise en germoir d’une graine et la germination de cette graine,
la fécondation de deux individus l’un par l’autre et la naissance d’un individu mâle.
Définition
Si mrésultats peuvent se produire avec des chances égales au cours d’une expérience aléatoire, et si
kde ces résultats conduisent à la réalisation de l’événement A, on définit classiquement la probabilité
de l’événement A comme étant le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles ou
également possibles :
P(A) = k
m
✍MÉTHODE 27
Si un paquet de 52 cartes contient 13 cœurs, et si toutes les cartes ont des chances égales d’être tirées,
quelle est la probabilité d’extraire un cœur en prélevant une carte ?
Remarques
Cette définition classique de la probabilité présente cependant divers inconvénients. Elle est tout d’abord
incomplète, en ce sens qu’elle revient à définir la notion de probabilité à partir de la notion d’égale probabilité
des différents cas.
En outre, cette définition n’est pas suffisamment générale, car elle n’est utilisable que quand les diffé-
rents cas envisagés sont également probables et dénombrables. Cette définition ne s’applique par exemple
pas à l’étude du sexe observé à la naissance, car de nombreuses observations montrent que les deux événe-
ments « naissance mâle » et « naissance femelle » ne sont pas également probables : dans l’espèce humaine
notamment, les naissances masculines sont plus fréquentes que les naissances féminines. De même, si on
doit choisir au hasard une ou plusieurs parcelles cultivées dans une région donnée, en sélectionnant au ha-
sard un ou plusieurs points de la carte cadastrale correspondante, la définition classique de la probabilité ne
s’applique pas : on peut éventuellement admettre ici que tous les cas sont également possibles, c’est-à-dire
que tous les points ont la même probabilité d’être choisis, mais ces différents cas ne sont évidemment pas

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dénombrables.
Pour remédier à ces divers inconvénients, une définition plus générale de la probabilité peut être intro-
duite par analogie avec la notion empirique de fréquence.
3.1.2 Définition fréquentielle de la probabilité
Définition
Lorsqu’une expérience aléatoire a été répétée un certain nombre de fois n, on peut déterminer le nombre
de réalisations de l’événement A qui lui est associé, c’est-à-dire son effectif nA, et en calculer la fréquence :
fA=nA
n
Si l’expérience est répétée un grand nombre de fois dans des conditions uniformes, on constate généra-
lement que la fréquence a tendance à se stabiliser à la longue. Ce phénomène est connu sous le nom de
phénomène de stabilité des fréquences ou de régularité statistique.
On peut alors postuler, pour tout événement aléatoire qui satisfait à ces conditions, l’existence d’un nombre
fixe dont la fréquence a tendance à s’approcher. Ce nombre est par définition la probabilité mathématique
de l’événement considéré.
Exemple de régularité statistique : dix mille jets d’une pièce de monnaie
Le jet d’une pièce de monnaie est un exemple particulièrement simple d’expérience aléatoire, et l’appari-
tion du côté « face » est un événement associé à cette expérience.
La première idée qui vient à l’esprit est basée sur la définition classique de la probabilité : elle revient
à admettre la valeur 1
2comme probabilité de cet événement. Il faut remarquer cependant que cette valeur
n’a aucune raison d’être rigoureusement exacte. En effet, puisque les deux faces de la pièce de monnaie
considérée sont nécessairement distinctes, il n’y a pas de raison de supposer a priori que les événements
« face » et « pile » possèdent des probabilités strictement égales.
Pour une pièce donnée, la probabilité de l’événement « face » peut être déterminée par voie fréquentielle.
Faisons l’expérience (ou une simulation sur ordinateur). Après chaque jet, on a pu déterminer l’effectif et
la fréquence de l’événement considéré. Le tableau suivant en donne l’essentiel. La représentation graphique
des valeurs observées (voir figure ??), en fonction du nombre total d’expériences, montre que la fréquence a
bien tendance à se stabiliser aux environs de 0,5, mais sans garantir que cette valeur soit strictement exacte.
n nAfA
1 0 0,000
2 0 0,000
3 0 0,000
4 1 0,250
5 2 0,400
6 3 0,500
7 3 0,429
8 4 0,500
9 4 0,444
10 4 0,400
12 6 0,500
14 8 0,571
n nAfA
16 9 0,562
18 10 0,556
20 10 0,500
25 13 0,520
30 17 0,567
35 18 0,514
40 21 0,525
45 22 0,489
50 25 0,500
60 29 0,483
70 32 0,457
80 35 0,438
n nAfA
90 40 0,444
100 44 0,440
120 53 0,442
140 65 0,464
160 74 0,462
180 86 0,478
200 98 0,490
250 125 0,500
300 146 0,487
350 173 0,494
400 199 0,498
450 226 0,502
n nAfA
500 255 0,510
600 312 0,520
700 368 0,526
800 413 0,516
900 458 0,509
1000 502 0,502
1200 596 0,497
1400 704 0,503
1600 810 0,506
1800 918 0,510
2000 1013 0,506
2500 1272 0,509
n nAfA
3000 1510 0,503
3500 1772 0,506
4000 2029 0,507
4500 2293 0,510
5000 2533 0,507
6000 3009 0,502
7000 3516 0,502
8000 4034 0,504
9000 4538 0,504
10000 5067 0,507

Cours 22 BTSA
0
1
100101102103104
face
pile
FIGURE 3.1 – fréquence d’apparition de face dans 10000 jets d’une pièce
3.2 Quelques propriétés de la probabilité mathématique
3.2.1 Définitions et axiomes de base
Définitions
• Lors d’une expérience aléatoire, un résultat possible est appelé événement élémentaire.
• L’ensemble des résultats possibles est appelé univers.
Définitions
• Un événement est un sous-ensemble de l’univers.
• Un événement est réalisé dès que l’un de ses événements élémentaires est réalisé.
Définition
Deux événements A et B sont incompatibles (ou disjoints)
lorsque A ∩B=;.
AB
Ω
Définition
L’événement contraire (ou complémentaire) de l’événement A
est l’ensemble des éléments de l’univers qui n’appartiennent pas
à A. On le note A.
AA
Ω

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Axiomes
L’univers lié à une expérience aléatoire étant Ω, la probabilité d’un événement A est noté P(A).
P(A)est un nombre réel compris entre 0 et 1 tel que :
• P(Ω) = 1 ;
• si A et B sont deux événements incompatibles, P(A∩B) = P(A) + P(B).
✍MÉTHODE 28
L’un des dés pour jeu de rôle comporte 20 faces numérotées de 1 à 20.
Lorsqu’on lance ce dé une fois et que on note le nombre indiqué sur la face supérieure, on procède à
une expérience aléatoire.
Il y a 20 résultats possibles à cette expérience. Chacun de ces résultats s’appelle un événement élémen-
taire.
L’ensemble de ces résultats se nomme univers de l’expérience aléatoire. Nous le noterons Ω.
1. L’ensemble A est l’événement : « le nombre obtenu est un multiple de 5 ». Décrire l’événement A.
2. L’ensemble B ={1, 3,5,7,9,11,13,15,17,19}. Quel est l’événement B ?
3. Décrire A ∩B par une phrase et donner tous ses éléments.
4. Décrire A ∪B par une phrase et donner tous ses éléments.
5. Considérons l’événement C : « le nombre obtenu est inférieur ou égal à 4 ».
Autrement dit : C ={1,2, 3,4}. Que peut-on dire des événements A et C ?
6. Décrire A par une phrase et donner tous ses éléments.
3.2.2 Quelques autres propriétés
Théorème
Si l’univers contient névénements élémentaires équiprobables,
• la probabilité de chacun d’eux est 1
n;
• la probabilité d’un événement A constitué de kévénements élémentaires est k
n. Ce que l’on écrit aussi :
P(A) = nombre de résultats favorables à A
nombres de résultats possibles
Théorème
A et B étant deux événements d’un univers Ω:
• P(A) = 1−P(A)
• P(;) = 0
• P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B)
✍MÉTHODE 29
Dans l’expérience aléatoire qui consiste à jeter une fois un dé à 20 faces (méthode 28), on suppose que
le dé est bien équilibré.
1. Quelle est la probabilité de sortir de chacun des 20 nombres ?
2. A, B et C sont les événements décrits dans la méthode précédente, calculer P(A), P(B), P(C), P(A),
P(A∩C), P(A∩B), P(A∪B).

Cours 24 BTSA
3.3 Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1 Probabilité conditionnelle
Définition
On considère une expérience aléatoire et l’ensemble des issues Ωmuni d’une loi de probabilité P. A et B
sont deux événements de Ω, A étant de probabilité non nulle. La probabilité de B sachant que Aest réalisé
est notée PA(B)et est définie par le quotient :
PA(B) = P(A∩B)
P(A)
Théorème
P(A∩B) = P(A)×PA(B)
Définition
Dire que trois événements forment une partition de Ωsignifie
que, les événements pris deux à deux sont toujours disjoints et
la réunion des trois est l’ensemble Ω.
A1
A3
A2
Ω
Théorème
Si les événements A1, A2, A3, ... Anforment une partition de Ω
alors la probabilité de l’événement B de l’ensemble Ωest :
P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + ···+P(B∩An)
=PA1(B)×P(A1) + PA2(B)×P(A2) + ···+PAn(B)×P(An)
A1
A3
A2
B
Ω
✍MÉTHODE 30
Pour fabriquer un objet, un artisan achète des pièces auprès de trois fournisseurs A1, A2et A3.
25% des pièces proviennent du fournisseur A1, 40% des pièces proviennent du fournisseur A2et le reste
provient du fournisseur A3.
5% des pièces provenant du fournisseur A1, 10% de celles provenant du fournisseur A2et 0,1% de celles
provenant du fournisseur A3ont un défaut.
On prend au hasard une des pièces.
1. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.
2. Calculer la probabilité de l’événement B : « la pièce achetée par l’artisan présente un défaut ».
3.3.2 Indépendance
Définition
Les événements A et B sont indépendants lorsque la probabilité de l’un ne dépend pas de la réalisation de
l’autre. Autrement dit : PA(B) = P(B)ou PB(A) = P(A).