TD2

10
Analyse fonctionnelle et convexe
1.12
ENSAE
Séance du T.D. 2 : préparer les exercices 7,8,9,10,11,12.
Moitié de la Séance de TD3 : préparer 13,14,15
Exercice 1.7
topologiques :
Dire si les espaces suivants, munis des familles d’ouverts spécifiées, sont des espaces
i) Z (ensemble des entiers relatifs) muni de T = {∅} ∪ {n.Z, n ∈ N}, où n.Z = {n.x, x ∈ Z}.
ii) Q (ensemble des rationnels) dont les ouverts sont : ∅, où les unions (quelconques) d’intervalles
ouverts (finis ou non) de Q (on appelle ici intervalle ouvert de Q un ensemble de la forme {x ∈
Q, a < x < y} avec a, b dans Q).
Exercice 1.8
Trouver les topologies engendrées par :
i) χ = {[x, x + 1], x ∈ R} sur R.
ii) L’ensemble des intervalles ouverts sur R.
iii) {{0}, {0, 3, 5}, {5, 6, 7}} sur R.
Exercice 1.9
Soit A et B deux sous-ensembles d’un espace topologique (X, T ). Montrer :
i) A ∩ B ⊂ A ∩ B. A t-on l’inclusion réciproque ?
ii) A ∪ B = A ∪ B.
iii) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B).
iv) int(A) ∪ int(B) ⊂ int(A ∪ B). A t-on l’inclusion réciproque ?
v) Le complémentaire de A est l’intérieur du complémentaire de A.
vi) Le complémentaire de int(A) est l’adhérence du complémentaire de A.
Exercice 1.10 Difficile Montrer que dans les exemples de la proposition 1.3.1, les voisinages
introduits vérifient bien les propriétés (i), (ii), (iii) et (iv) de la proposition. Montrer que dire qu’une
suite fn de fonctions de R dans R converge vers une fonction f de R dans R pour la topologie de la
convergence simple est équivalent à dire que fn converge simplement vers f , ce qui signifie que pour
tout x ∈ R, fn (x) converge vers f (x). Montrer que dire qu’une suite fn de fonctions de R dans R
converge vers une fonction f de R dans R pour la topologie de la convergence uniforme est équivalent
à dire que fn converge uniformément vers f sur R, ce qui signifie que supx∈R | fn (x) − f (x) | converge
vers 0.
!
Exercice 1.11 Difficile Soit X = {0, 1} muni de la topologie discrète. Soit E = +∞
i=1 Xi avec
Xi = X pour tout i.
i) On munit E de la topologie produit. Pour tout entier n, soit x(n) ∈ E dont les n premières
coordonnées sont nulles, et les suivantes égales à 1. Est-ce que la suite x(n) converge dans E muni
de la topologie produit (On rappelle que tout ouvert pour la topologie
!+∞ produit s’écrit comme une
union quelconque de pavés, c’est à dire d’ensembles de la forme i=1 Oi avec Oi ouvert de Xi , et
pour tout i sauf pour un nombre fini, Oi = Xi ).
!
ii) Maintenant, si on munit E de la topologie engendrée par les ouverts de la forme +∞
i=1 Ui avec
Ui ouvert de Xi , montrer que x(n) ne converge plus.
iii) Montrer que de toute suite y(n) d’éléments de E on peut extraire une sous-suite qui converge,
dans E muni de la topologie produit.
P. Bich
Espace topologique
11
Exercice 1.12 Soit (X, T ) un espace topologique, et Y un sous-ensemble de X. Montrer que Y
(intersection des fermés contenant Y ) et l’ensemble des points d’adhérence de Y (points x ∈ X tels
que tout voisinage de x rencontre Y ) coı̈ncident.
Exercice 1.13 Soit (X, T ) un espace topologique qui admet une base localement dénombrable
de voisinages, ce qui signifie : pour tout x ∈ X, il existe une famille dénombrable décroissante (pour
l’inclusion) de voisinages Vi (i = 1, 2, ..., n, ...) de x avec : Pour tout voisinage V de x, il existe i ≥ 0
tel que Vi ⊂ V .
Montrer que si y ∈ Y , où Y ⊂ X, alors il existe une suite de points de Y qui converge vers y.
Montrer qu’un ensemble Y est fermé si et seulement si toute suite convergente de points de Y
converge dans Y .
Exercice 1.14 Soit E un ensemble, et T l’ensemble contenant ∅ ainsi que tous les complémentaires
(dans E) des parties finies de E. Montrer que T est une topologie. Si on suppose que E est infini,
est-ce que E, muni de cette topologie, est séparé ?
Exercice 1.15 Difficile On appelle topologie de Zariski sur C2 (respectivement sur C) la topologie dont les ouverts sont les compléments des variétés algébriques affines. Par définition, une variété
algébrique affine sur C2 (respectivement sur C) est de la forme {(x, y) ∈ C2 , Fi (x, y) = 0 ∀i ∈ I}
(respectivement {x ∈ C, Fi (x) = 0 ∀i ∈ I}), avec (Fi )i∈I famille (pas forcément finie) de polynômes
sur C2 (respectivement sur C). Montrez que cela définit bien une topologie. Montrez que la topologie
de Zariski sur C2 ne coı̈ncide pas avec la topologie produit sur C × C, chaque ensemble C étant lui
même muni de la topologie de Zariski. (on pourra montrer que le complémentaire de la diagonale est
ouvert pour une topologie et pas pour l’autre, en utilisant que tout ouvert pour la topologie produit
s’écrit comme une union quelconque de pavés.)