TD2

10 Analyse fonctionnelle et convexe ENSAE
1.12 S´eance du T.D. 2 : pr´eparer les exercices 7,8,9,10,11,12.
Moiti´e de la S´eance de TD3 : pr´eparer 13,14,15
Exercice 1.7 Dire si les espaces suivants, munis des familles d’ouverts sp´ecifi´ees, sont des espaces
topologiques :
i) Z(ensemble des entiers relatifs) muni de T={∅}∪{n.Z,n∈N}, o`u n.Z={n.x, x ∈Z}.
ii) Q(ensemble des rationnels) dont les ouverts sont : ∅, o`u les unions (quelconques) d’intervalles
ouverts (finis ou non) de Q(on appelle ici intervalle ouvert de Qun ensemble de la forme {x∈
Q, a < x < y}avec a, b dans Q).
Exercice 1.8 Trouver les topologies engendr´ees par :
i) χ={[x, x + 1],x∈R}sur R.
ii) L’ensemble des intervalles ouverts sur R.
iii) {{0},{0,3,5},{5,6,7}} sur R.
Exercice 1.9 Soit Aet Bdeux sous-ensembles d’un espace topologique (X, T). Montrer :
i) A∩B⊂A∩B. A t-on l’inclusion r´eciproque ?
ii) A∪B=A∪B.
iii) int(A∩B)=int(A)∩int(B).
iv) int(A)∪int(B)⊂int(A∪B). A t-on l’inclusion r´eciproque ?
v) Le compl´ementaire de Aest l’int´erieur du compl´ementaire de A.
vi) Le compl´ementaire de int(A) est l’adh´erence du compl´ementaire de A.
Exercice 1.10 Difficile Montrer que dans les exemples de la proposition 1.3.1, les voisinages
introduits v´erifient bien les propri´et´es (i), (ii), (iii) et (iv) de la proposition. Montrer que dire qu’une
suite fnde fonctions de Rdans Rconverge vers une fonction fde Rdans Rpour la topologie de la
convergence simple est ´equivalent `a dire que fnconverge simplement vers f, ce qui signifie que pour
tout x∈R,fn(x) converge vers f(x). Montrer que dire qu’une suite fnde fonctions de Rdans R
converge vers une fonction fde Rdans Rpour la topologie de la convergence uniforme est ´equivalent
`a dire que fnconverge uniform´ement vers fsur R, ce qui signifie que supx∈R|fn(x)−f(x)|converge
vers 0.
Exercice 1.11 Difficile Soit X={0,1}muni de la topologie discr`ete. Soit E=!+∞
i=1 Xiavec
Xi=Xpour tout i.
i) On munit Ede la topologie produit. Pour tout entier n, soit x(n)∈Edont les npremi`eres
coordonn´ees sont nulles, et les suivantes ´egales `a 1. Est-ce que la suite x(n) converge dans Emuni
de la topologie produit (On rappelle que tout ouvert pour la topologie produit s’´ecrit comme une
union quelconque de pav´es, c’est `a dire d’ensembles de la forme !+∞
i=1 Oiavec Oiouvert de Xi, et
pour tout isauf pour un nombre fini, Oi=Xi).
ii) Maintenant, si on munit Ede la topologie engendr´ee par les ouverts de la forme !+∞
i=1 Uiavec
Uiouvert de Xi, montrer que x(n) ne converge plus.
iii) Montrer que de toute suite y(n) d’´el´ements de Eon peut extraire une sous-suite qui converge,
dans Emuni de la topologie produit.

P. Bich Espace topologique 11
Exercice 1.12 Soit (X, T) un espace topologique, et Yun sous-ensemble de X. Montrer que Y
(intersection des ferm´es contenant Y) et l’ensemble des points d’adh´erence de Y(points x∈Xtels
que tout voisinage de xrencontre Y) co¨ıncident.
Exercice 1.13 Soit (X, T) un espace topologique qui admet une base localement d´enombrable
de voisinages, ce qui signifie : pour tout x∈X, il existe une famille d´enombrable d´ecroissante (pour
l’inclusion) de voisinages Vi(i=1,2, ..., n, ...) de xavec : Pour tout voisinage Vde x, il existe i≥0
tel que Vi⊂V.
Montrer que si y∈Y, o`u Y⊂X, alors il existe une suite de points de Yqui converge vers y.
Montrer qu’un ensemble Yest ferm´e si et seulement si toute suite convergente de points de Y
converge dans Y.
Exercice 1.14 Soit Eun ensemble, et Tl’ensemble contenant ∅ainsi que tous les compl´ementaires
(dans E) des parties finies de E. Montrer que Test une topologie. Si on suppose que Eest infini,
est-ce que E, muni de cette topologie, est s´epar´e ?
Exercice 1.15 Difficile On appelle topologie de Zariski sur C2(respectivement sur C) la topolo-
gie dont les ouverts sont les compl´ements des vari´et´es alg´ebriques affines. Par d´efinition, une vari´et´e
alg´ebrique affine sur C2(respectivement sur C) est de la forme {(x, y)∈C2,F
i(x, y)=0∀i∈I}
(respectivement {x∈C,F
i(x)=0∀i∈I}), avec (Fi)i∈Ifamille (pas forc´ement finie) de polynˆomes
sur C2(respectivement sur C). Montrez que cela d´efinit bien une topologie. Montrez que la topologie
de Zariski sur C2ne co¨ıncide pas avec la topologie produit sur C×C, chaque ensemble C´etant lui
mˆeme muni de la topologie de Zariski. (on pourra montrer que le compl´ementaire de la diagonale est
ouvert pour une topologie et pas pour l’autre, en utilisant que tout ouvert pour la topologie produit
s’´ecrit comme une union quelconque de pav´es.)