![](//s1.studylibfr.com/store/data-gzf/56bdc4cdf8e2572ce150f09f4851a200/1/001203244.htmlex.zip/bg5.jpg)
5
Exercice. Soit Aune F-alg`ebre finie r´eduite. Alors Aest isomorphe `a un
produit d’extensions finies de F.
2.3. Fermeture int´egrale dans une extension s´eparable. Soit Oint´egralement
clos dans son corps des fractions F. Supposons F0/F s´eparable de degr´e d.
Soit O0la fermeture int´egrale de Odans F0.
Proposition 2.13. Soit x∈F0. Pour que x∈O0, il faut et il suffit que fx
ait ses coefficients dans O.
Si le polynˆome caract´eristique a ses coefficients dans O,xest entier car
xannule son polynˆome caract´eristique.
Prouvons la r´eciproque. Soit x∈F0. Soit dle degr´e de F0/F et τ1, . . . , τd
les diff´erents plongements de F0dans sa clˆoture galoisienne Msur F. Le
polynˆome caract´eristique de xest Qi(X−τi(x)) (s´eparabilit´e). Comme
les τi(x) sont entiers sur O, on voit que les coefficients du polynˆome car-
act´eristique de xsont entiers sur Oet dans F. Ils sont bien dans O.
On veut maintenant ´etudier les anneaux d’entiers et d´efinir une version
enti`ere du discriminant.
Rappelons qu’un A-module Mest noeth´erien s’il v´erifie les propri´et´es
suivantes ´equivalentes :
- toute famille non vide de sous-modules de Mposs`ede un ´el´ement max-
imal ;
- toute suite croissante de sous-modules de Mest stationnaire ;
- tout sous-module de Mest de type fini.
Un anneau Aest dit noeth´erien s’il l’est en tant que A-module (tout
id´eal est de type fini). Si Aest noeth´erien, tout Amodule de type fini est
noeth´erien et de pr´esentation finie.
Un anneau principal est noeth´erien. Si Aest noeth´erien, une A-alg`ebre
de type fini est noeth´erienne.
Definition 2.14. Soit Aun anneau int`egre et Kson corps des fractions.
Soit Vun K-espace vectoriel de dimension finie det Mun sous A-module
de V. On dit que Mest un r´eseau si Mest un A-module de type fini qui
engendre Ven tant que K-espace vectoriel.
Exemple : (ωi) une base de V,L=⊕iAωi. Si L⊂Vest un Amodule
libre de rang d, une base de Lest une base de V.
Pour un r´eseau M, il existe un A-module libre L⊂Vde rang det b∈A,
b6= 0, tels que L⊂M⊂b−1L.
Si Aest noeth´erien, et si M1⊂M2⊂M3sont trois A-modules ⊂V,M1
et M3r´eseaux, entraˆıne M2r´eseau de V.
Si Aest principal, les r´eseaux Msont obtenus de la mani`ere suivante : on
choisit une base (ωi) de Vet M=⊕Aωi(un sous-module d’un Amodule
libre de type fini est libre de type fini).
Revenons `a O, F, O0, F 0,F0/F .
Proposition 2.15. Soit x∈F0non nul. Il existe b∈Otel que bx ∈O0