fiche 1 - Université Lille 1

Université de Lille 1
U.F.R. de Mathématiques
L2 Informatique
Année 2015–2016
Fiche no 1
Ex 1. ***
Trois boules sont tirées successivement d’une urne contenant des boules blanches et
des boules rouges.
(a) Préciser l’ensemble fondamental Ω associé à cette expérience aléatoire.
(b) Quelle mesure de probabilité choisiriez-vous sur Ω ?
Ex 2. ***
On définit les événements :
A = { la première boule est blanche } ,
B = { la deuxième boule est blanche } ,
C = { la troisième boule est blanche } .
Exprimer à l’aide des événements A, B, C les événements suivants :
D={
E={
F ={
G={
H={
toutes les boules tirées sont blanches } ,
les deux premières sont blanches } ,
au moins une boule est blanche } ,
seule la troisième est blanche } ,
une seule boule est blanche } .
Ex 3. **
On lance un dé jusqu’à la première apparition du six. Notons :
Si = { Le i-ème lancer donne un six} .
Écrire à l’aide des événements Si et Sic l’événement
A = { La première apparition du six a lieu après le 5-ème lancer } .
Est-ce que le même événement que
B = { Six n’apparaît pas au cours des 5 premiers lancers }?
Ex 4. ***
En Probabilités, on énumère assez souvent les issues possibles d’une expérience, mais
on ne dresse quasiment jamais la liste de tous les événements observables. Le but de
cet exercice est de comprendre pourquoi.
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U.F.R. de Maths.
(a) Si l’ensemble Ω a n éléments, combien l’ensemble P(Ω) des parties de Ω a-t-il
d’éléments ?
(b) On réalise une expérience simple : un tirage dans une urne contenant 4 jetons
numérotés 1, 2, 3 et 4. Donner l’ensemble Ω des issues possibles de cette expérience et l’ensemble P(Ω) correspondant, qui représente la famille des événements
observables.
(c) On réalise une expérience un peu moins simple : le lancer de deux dés de couleurs
différentes. Quel est le cardinal de Ω ? Quel est le cardinal des événements ?
Ex 5. ***
On lance deux dés à six faces.
(a) Décrire l’espace de probabilité associé à cette expérience et donner la probabilité
d’obtenir :
— Un double ?
— Au plus un nombre pair ?
— Exactement un nombre pair ?
— Deux nombres qui se suivent ?
(b) Soit k ∈ {2, . . . , 12}. Calculer la probabilité, notée qk , d’obtenir, avec les deux dés,
une somme égale à k. Montrer que la famille de réels {qk , k = 2, . . . , 12} définit une
probabilité Q sur l’espace ({2, . . . , 12} , P (2, . . . , 12)).
(c) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme supérieure ou égale à 6 ?
Ex 6. **
On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à n personnes et on s’interesse à la position de deux amis particuliers dans cette file d’attente.
(a) Décrire l’espace de probabilité associé que vous considérez et calculer la probabilité,
notée qr , que deux amis soient distants de r places (i.e. séparés par r−1 personnes).
(b) Quelle est la distance la plus probable entre ces deux amis ?
Ex 7. ***
Dans un lot de pièces métalliques rectangulaires, destinées à un assemblage, on sait
que :
- 3% ont une longuer qui, s’écartant trop des normes, les rend inutilisables.
- 5% ont une larguer les rendant inutilisables.
- 2% s’écartent trop de la norme, à la fois par leur longeur et par leur largeur.
On prend une pièce au hasard. Quelle est la probabilité pour qu’elle soit utilisable ?
Ex 8. ***
On veut fabriquer une probabilité sur N en posant
P ({n}) = C
e−n
n!
pour chaque n ∈ N.
(a) Trouver un nombre C (qui ne varie pas avec n) tel que ceci soit une probabilité.
(b) La probabilité ainsi construite porte-t-elle un nom ?
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L2 Informatique
Probabilités-Statistiques 2015–16
(c) On tire au hasard un entier N selon cette probabilité :
∀n ∈ N P ({N = n}) = C
e−n
.
n!
Calculer P(N ≥ 4).
Ex 9. ***
On lance deux dés et on considère les événements :
A : “le résultat du premier dé est impair”,
B : “le résultat du second dé est pair”,
C : “les résultats des deux dés sont de même parité”.
Étudier l’indépendance deux à deux des événements A, B et C, puis l’indépendance
mutuelle (indépendance de la famille) A, B, C.
Ex 10. ***
Pour chacune des assertions suivantes donner soit une preuve, soit un contre-exemple.
(a) Si un événement E est indépendant d’un événement F , alors il est indépendant de
l’événement complémentaire F c .
(b) Si un événement E est indépendant d’un événement F et d’un événement G, alors
il est indépendant de F ∪ G.
Ex 11. **
Montrer que si A, B et C sont indépendants, A∪B et C sont indépendants. Généraliser.
Ex 12. **
Une urne contient 10 jetons jaunes, 5 blancs et 1 rouges. J’ai tiré un jeton de cette
urne et je vous annonce qu’il n’est pas rouge. Quelle est la probabilité qu’il soit jaune ?
Ex 13. ***
Vous avez un bureau mal rangé sur lequel figurent trois piles de papiers. Vous recherchez
une lettre. Vous savez que cette lettre a autant de chance de se trouver dans chacune
des trois piles. Notons pi (i ∈ {1, 2, 3}) la probabilité de ne pas trouver la lettre dans
la i-ème pile, après un examen rapide de cette pile, alors qu’elle y est. Supposons que
l’on ait rapidement examiné la première pile et rien trouvé. Quelle est la probabilité
qu’elle se trouve en fait dans la j-ème pile (j ∈ {1, 2, 3}) ?
Ex 14. **
On suppose que les événements A1 , . . . , A5 sont indépendants. Donner une expression
plus simple des probabilités : P (A1 |A3 ), P (A3 |A2 ∩A4 ), P (A1 ∩A3 )|A2 ), P (A1 ∩A2 |A3 ∩
A4 ∩ A5 ).
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