fiche 1 - Université Lille 1

Université de Lille 1
U.F.R. de Mathématiques
L2 Informatique Année 2015–2016
Fiche no1
Ex 1. ***
Trois boules sont tirées successivement d’une urne contenant des boules blanches et
des boules rouges.
(a) Préciser l’ensemble fondamental Ωassocié à cette expérience aléatoire.
(b) Quelle mesure de probabilité choisiriez-vous sur Ω?
Ex 2. ***
On définit les événements :
A={la première boule est blanche },
B={la deuxième boule est blanche },
C={la troisième boule est blanche }.
Exprimer à l’aide des événements A,B,Cles événements suivants :
D={toutes les boules tirées sont blanches },
E={les deux premières sont blanches },
F={au moins une boule est blanche },
G={seule la troisième est blanche },
H={une seule boule est blanche }.
Ex 3. **
On lance un dé jusqu’à la première apparition du six. Notons :
Si={Le i-ème lancer donne un six}.
Écrire à l’aide des événements Siet Sc
il’événement
A={La première apparition du six a lieu après le 5-ème lancer }.
Est-ce que le même événement que
B={Six n’apparaît pas au cours des 5 premiers lancers }?
Ex 4. ***
En Probabilités, on énumère assez souvent les issues possibles d’une expérience, mais
on ne dresse quasiment jamais la liste de tous les événements observables. Le but de
cet exercice est de comprendre pourquoi.

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(a) Si l’ensemble Ωanéléments, combien l’ensemble P(Ω) des parties de Ωa-t-il
d’éléments ?
(b) On réalise une expérience simple : un tirage dans une urne contenant 4jetons
numérotés 1, 2, 3 et 4. Donner l’ensemble Ωdes issues possibles de cette expé-
rience et l’ensemble P(Ω) correspondant, qui représente la famille des événements
observables.
(c) On réalise une expérience un peu moins simple : le lancer de deux dés de couleurs
différentes. Quel est le cardinal de Ω? Quel est le cardinal des événements ?
Ex 5. ***
On lance deux dés à six faces.
(a) Décrire l’espace de probabilité associé à cette expérience et donner la probabilité
d’obtenir :
— Un double ?
— Au plus un nombre pair ?
— Exactement un nombre pair ?
— Deux nombres qui se suivent ?
(b) Soit k∈ {2,...,12}. Calculer la probabilité, notée qk, d’obtenir, avec les deux dés,
une somme égale à k. Montrer que la famille de réels {qk, k = 2,...,12}définit une
probabilité Qsur l’espace ({2,...,12},P(2,...,12)).
(c) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme supérieure ou égale à 6 ?
Ex 6. **
On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à nper-
sonnes et on s’interesse à la position de deux amis particuliers dans cette file d’attente.
(a) Décrire l’espace de probabilité associé que vous considérez et calculer la probabilité,
notée qr, que deux amis soient distants de rplaces (i.e. séparés par r−1personnes).
(b) Quelle est la distance la plus probable entre ces deux amis ?
Ex 7. ***
Dans un lot de pièces métalliques rectangulaires, destinées à un assemblage, on sait
que :
-3% ont une longuer qui, s’écartant trop des normes, les rend inutilisables.
-5% ont une larguer les rendant inutilisables.
-2% s’écartent trop de la norme, à la fois par leur longeur et par leur largeur.
On prend une pièce au hasard. Quelle est la probabilité pour qu’elle soit utilisable ?
Ex 8. ***
On veut fabriquer une probabilité sur Nen posant
P({n}) = Ce−n
n!pour chaque n∈N.
(a) Trouver un nombre C(qui ne varie pas avec n) tel que ceci soit une probabilité.
(b) La probabilité ainsi construite porte-t-elle un nom ?
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L2 Informatique Probabilités-Statistiques 2015–16
(c) On tire au hasard un entier Nselon cette probabilité :
∀n∈N P ({N=n}) = Ce−n
n!.
Calculer P(N≥4).
Ex 9. ***
On lance deux dés et on considère les événements :
A : “le résultat du premier dé est impair”,
B : “le résultat du second dé est pair”,
C : “les résultats des deux dés sont de même parité”.
Étudier l’indépendance deux à deux des événements A, B et C, puis l’indépendance
mutuelle (indépendance de la famille) A, B, C.
Ex 10. ***
Pour chacune des assertions suivantes donner soit une preuve, soit un contre-exemple.
(a) Si un événement Eest indépendant d’un événement F, alors il est indépendant de
l’événement complémentaire Fc.
(b) Si un événement Eest indépendant d’un événement Fet d’un événement G, alors
il est indépendant de F∪G.
Ex 11. **
Montrer que si A, B et Csont indépendants, A∪Bet Csont indépendants. Généraliser.
Ex 12. **
Une urne contient 10 jetons jaunes, 5 blancs et 1 rouges. J’ai tiré un jeton de cette
urne et je vous annonce qu’il n’est pas rouge. Quelle est la probabilité qu’il soit jaune ?
Ex 13. ***
Vous avez un bureau mal rangé sur lequel figurent trois piles de papiers. Vous recherchez
une lettre. Vous savez que cette lettre a autant de chance de se trouver dans chacune
des trois piles. Notons pi(i∈ {1,2,3})la probabilité de ne pas trouver la lettre dans
la i-ème pile, après un examen rapide de cette pile, alors qu’elle y est. Supposons que
l’on ait rapidement examiné la première pile et rien trouvé. Quelle est la probabilité
qu’elle se trouve en fait dans la j-ème pile (j∈ {1,2,3})?
Ex 14. **
On suppose que les événements A1, . . . , A5sont indépendants. Donner une expression
plus simple des probabilités : P(A1|A3),P(A3|A2∩A4),P(A1∩A3)|A2),P(A1∩A2|A3∩
A4∩A5).
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