Programme de Mathématiques en MPSI FORMULAIRE

MPSI-MP
Année 2005-2006
Programme de Mathématiques en MPSI
FORMULAIRE, DEFINITIONS ET THÉORÈMES1
1
Nombres réels
• R est un corps commutatif totalement ordonné, c’est à dire un ensemble muni de deux lois + et ×, telles
que (R, +) soit un groupe commutatif, (R, +, ×) un anneau intègre dans lequel tous les éléments non nuls
sont inversibles. R est muni d’une relation d’ordre total 6 ( x6y ⇔ y −x ∈ R+ ) compatible avec l’addition
(x6y ⇒ x + a6y + a) et la multiplication par un réel positif. (x6y et a>0 ⇒ xa6ya)
• Soit A⊂ R une partie de R. On dit que A admet une borne supérieure dans R lorsqu’il existe a ∈ R tel
que a soit le plus petit élément de l’ensemble des majorants de la partie A, c’est à dire
∀x ∈ A, x6a et ∀b < a, ∃x ∈ A, b < x
Lorsqu’elle existe, cette borne supérieure est unique. Elle est notée sup(A). On définit de façon symétrique
n−1
la notion de borne inférieure. Par exemple, si A =
, n ∈ N on vérifie:
n+2
1
sup(A) = 1, inf(A) = min(A) = − : noter que A ne possède pas de plus grand élément pour cet
2
exemple.
• On introduit par commodité l’ensemble R = R∪ {−∞, +∞} , afin de pouvoir étendre la notation sup(A)
à toute partie non vide de R : par exemple sup(N) = +∞
• Théorème d’existence de la borne supérieure dans R
Dans R, toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. On peut énoncer un résultat analogue pour les parties non vides et minorées qui admettent une borne inférieure.
• I est un intervalle de R ⇔ I est une partie convexe de R, c’est à dire:
∀(x, y) ∈ I 2 , ∀λ ∈ [0, 1], λx + (1 − λ)y ∈ I
√
Exemple I =] − ∞, − 5]
• Inégalités triangulaires:
∀(x, y) ∈ R2 , ||x| − |y|| 6 |x + y| 6 |x| + |y|
On obtient ||x| − |y|| 6 |x + y| à partir de |x0 + y 0 | 6 |x0 | + |y 0 | en posant x0 = x + y et y 0 = −x
de même
∀(x, y) ∈ R2 , |x − y| 6 |x| + |y|
• Congruence modulo un réel a strictement positif:
Soit a > 0 : deux réels x et y sont congrus modulo a ssi y − x ∈ a.Z = {ka, k ∈ Z}
On montre que tout réel x est congru modulo a à un seul réel y appartenant à l’intervalle [0, a[:
∀x ∈ R, ∃!n ∈ Z, ∃!y ∈ [0, a[, x = na + y
1
Seuls les résultats sont énoncés, sans démonstrations, mais accompagnés d’exemples . Il ne s’agit pas d’un cours mais plutôt d’un recueil de définitions, qui peut permettre par son
caractère abrupt de vérifier que l’on a bien compris tel ou tel concept.
1
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5
1
Exemple: − ≡ mod 2
3
3
• Partie entière d’un réel: lorsque a = 1, l’entier relatif n est appelé partie entière de x, notée n = E(x) et
y = x − E(x) est parfois appelé la partie fractionnaire de x.
∀x ∈ R, x ≡ x − E(x) mod 1
On retiendra:
E(x) ∈ Z et E(x)6x < E(x) + 1
Remarque : On retrouve l’entier n défini plus haut dans la congruence modulo a par x = na + y à l’aide
x
de la partie entière : on a en effet n = E( )
a
• Valeur décimale approchée par défaut d’un réel:
soit x ∈ [0, 1[ et n un entier naturel non nul:
n
∃!(a1 , ..., an ) ∈ {0, 1, 2, ..., 9} , si y =
ak 10−k , alors y6x < y + 10−n
n
k=1
y est la valeur décimale approchée par défaut de x à 10−n près. De plus
∀k ∈ {1, .., n}, ak = E(10k x) − 10E(10k−1 x)
√
par exemple si x = 2 − 1 = 0, 414... alors a1 = 4, a2 = 1, a3 = 4
• Isomorphisme du groupe (R, +) dans le groupe (R+∗ , .)
La fonction exponentielle établit un isomorphisme de groupe de (R, +) dans (R+∗ , .), dont l’isomorphisme réciproque est la fonction logarithme népérien
∀(x, y) ∈ R2 , exp(x + y) = exp(x) exp(y)
∀(x, y) ∈ R+∗2 , ln(xy) = ln(x) + ln(y)
Attention, isomorphisme de groupe est un terme qui,isolé, ne veut rien dire : il faut bien préciser la
structure de groupe (A, ∗..) de départ et la structure de groupe (B, T..) d’arrivée ( en fait préciser les lois )
et ne pas oublier bien sûr de vérifier le caractére bijectif de l’application ainsi que le respect des lois ∗, T
2
Suites de nombres réels
Une suite de nombre réels est une application de N dans R . L’ensemble des suites de nombres réels est noté
RN . On note u ∈ RN ou (un )n∈N ∈ RN .
Soit u une suite de nombres réels
• u est majorée (resp minorée) ssi
∃M ∈ R, ∀n ∈ N, un 6M (resp
un >M)
• u est bornée ssi
∃M ∈ R+ , ∀n ∈ N, |un | 6M
ce qui revient à dire qu’elle est à la fois minorée et majorée
• u est croissante (resp décroissante) si
∀n ∈ N, un+1 − un >0 (resp un+1 − un 60)
• On appelle suite extraite de (un )n∈N toute suite (vn )n∈N =(uϕ(n) )n∈N formée de certains termes de la suite
u, extraits à l’aide d’une fonction ϕ : N → N strictement croissante. Si u est bornée, toutes ses suites
extraites le sont. De même si u est monotone, il en va de même de toutes ses suites extraites.
Par exemple, la suite (un = (1 + (−1)n )n)n∈N est minorée, non majorée, non monotone. Sa suite
extraite ( u2n+1 ) obtenue pour ϕ(n) = 2n + 1 est constante égale à 0.
2
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2.1
Suites convergentes
• La suite u ∈ RN est convergente vers a ∈ R lorque
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n>N, |un − a| 6ε
n−1
est convergente vers 1
Par exemple la suite un =
n+2
• Notation: lim un = a:
n→∞
lim un = a ⇔ lim un − a = 0
n→∞
n→∞
• Remarque : il est équivalent de dire lim un = 0 ou lim |un | = 0
n→∞
n→∞
• Une suite est convergente s’il existe un réel a tel que lim un = a
n→∞
Sinon elle diverge.
Par exemple la suite un = (1 + (−1)n )n diverge
Toute suite convergente est bornée
• Les suites convergentes forment un sous espace vectoriel de RN . De plus:
Si lim un = a
n→∞
et lim vn = b alors ∀(λ, µ) ∈ R2 (λun + µvn )n∈N converge et lim λun + µvn = λa + µb
n→∞
n→∞
• Les suites convergentes vers 0 forment un sous espace vectoriel de RN . De plus
Si
lim un = 0 et si v est bornée alors lim vn un = 0
n→+∞
n→+∞
• Lorsqu’une suite converge vers a > 0 ,
∃N ∈ N, ∀n>N, un > 0
• Si une suite (un )n∈N converge vers a , toute suite extraite de u converge vers a.
2.2
Suites divergentes vers +∞ (resp -∞)
• La suite u diverge vers +∞ (resp -∞) ssi
∀A ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n>N, A6un (resp un 6A)
Attention, une suite qui diverge ne diverge pas forcément vers +∞ ou -∞ comme le montrent les exemples
un = (1 + (−1)n )n , vn = cos(n)
• Si une suite (un )n∈N diverge vers +∞ , toute suite extraite de u diverge vers +∞
• Les suites obéissent aux règles suivantes en ce qui concerne les inégalités
Si
Si
lim vn = 0
n→+∞
et
lim un = +∞
n→+∞
si ∃N ∈ N, ∀n>N, |un | 6 |vn |
et si
Si lim un = lim wn = a
n→∞
n→∞
∃N ∈ N, ∀n>N, un 6vn
et si
∀n ∈ N, un 6vn 6wn
alors lim un = 0
n→+∞
alors lim vn = +∞
n→+∞
, alors lim vn = a
n→∞
• Suites de références an , nα
|a| < 1 ⇒ lim an = 0 , |a| > 1 ⇒ lim |a|n = +∞
α < 0 ⇒ lim nα = 0, α > 0 ⇒ lim nα = +∞
2.3
Relations de Comparaison
Etant donnée une suite (vn ) de nombres réels non nuls, et une suite (un ) de nombres réels:
• u est dominée par v lorsque
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On note un = O (vn )
∃A ∈ R+ , ∀n ∈ N,
(grand O )
un
6A
vn
n→∞
• u est négligeable devant v lorsque:
un
6ε
vn
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n>N,
• ce qui revient à dire que :
lim (
n→∞
On note un = o (vn )
n→∞
(petit o)
un
)=0
vn
La suite u est équivalente à la suite v lorsque un − vn = o (vn ), ce qui revient à dire que :
n→∞
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, |un − vn | ≤ ε |vn |
Ou encore lorsque vn ne s’annulle pas:
un
lim ( ) = 1
n→∞ vn
On note un ∼ vn
n→∞
• Si un ∼ vn et an ∼ bn alors an un ∼ bn vn et
n→∞
n→∞
n→∞
bn
an
∼
un n→∞ vn
• Si un = an + bn et bn = o (an ) alors un ∼ an
n→∞
n→∞
• Attention de ne pas ajouter deux équivalents
Observer le contre exemple suivant :
n+1 ∼ n+2
n→∞
cependant 1 n’est pas équivalent à 2 +
et
1
n
− n ∼ −n +
n→∞
1
n
• Une erreur très répandue est de croire que si deux suites sont équivalentes et si l’une est croissante à partir
d’un certain rang l’autre aussi : on peut se convaincre du contraire grâce au contre-exemple un = n, vn =
n + (−1)n
• Voici le tableau des ’’ Croissances comparées ’’
an
)=0
∞ bn
−n α
soit lim(a n ) = 0
0 < a < b ⇒ an = o(bn )
soit lim(
|a| < 1 et α ∈ R ⇒ an = o(nα )
soit lim(an n−α ) = 0
1 < a et α ∈ R ⇒ nα = o(an )
∞
∞
α > 0 et β ∈ R ⇒ (ln(n))β = o(nα )
soit lim(n−α (ln(n))β ) = 0
∞
α < 0 et β ∈ R ⇒ nα = o((ln(n))β )
soit lim(nα (ln(n))−β ) = 0
∞
an
nα
α
n
a ∈ R et α ∈ R ⇒ n = o(n!) et a = o(n!) soit lim( ) = lim( ) = 0
∞ n!
∞ n!
La hiérarchie est donc la suivante lorsque a > 1 et α > 0 , la suite factorielle domine an et nα , la suite
an domine nα , et la suite nα domine les suites (ln(n))β
• Si un ∼ vn alors un et vn sont de même signe à partir d’un certain rang.
n→∞
2.4
Suites usuelles
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• Suites arithmétiques
un+1 = un + r
un = u0 + nr
n
k=p
n
uk = (n − p + 1)
n(n + 1)
2
k =
k=1
• Suites géométriques
up + un
2
un+1 = qun
un = q n u0
n
1 − q n−p+1
uk = up
si q 6= 1
1
−
q
k=p
n
qk =
k=0
1 − q n+1
1−q
• Suites arithmético-géométriques (q 6= 1)
un+1 = qun + r ⇔ (un+1 − l) = q(un − l) avec l = lq + r
un = q n (u0 − l) + l
Exemple: un+1 = 2un + 1 et u0 = 1. On cherche le point fixe l de la fonction f (x) = 2x + 1 qui est ici
égal à -1 , puis un + 1 = 2n (u0 + 1) soit un = 2n+1 − 1
• Sommes usuelles
n
k2 =
k=0
n
n
k
k=0
• Suites homographiques
n(n + 1)(2n + 1)
6
3
k)2 =
= (
k=1
un+1 =
n2 (n + 1)2
4
aun + b
cun + d
ces suites peuvent s’étudier en cherchant les solutions l1 , l2 de l’équation l =
un − l1
, qui vérifie
un − l2
l2
= vn
l1
al + b
,
cl + d
puis en se ramenant lorsque l1 6= l2 à la suite vn =
vn+1
ce qui permet d’expliciter un
• Théorème de la limite monotone : Toute suite croissante de nombres réels qui est majorée est convergente
: on a alors
lim un = sup { un , n ∈ N}
L’énoncé subsiste pour les suites décroissantes et minorées , et
lim un = inf { un , n ∈ N}
• Théorème des suites adjacentes: Si deux suites u, v vérifient : u croissante , v décroissante et lim vn −un =
0, alors ∀n ∈ N, un 6vn et les deux suites u et v convergent vers la même limite l; de plus
un 6 l 6 vp
∀(n, p) ∈ N,
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• Théorème des segments emboités : Soit In = [un , vn ] une suite d’intervalles fermés bornés non vides de
R, décroissante pour l’inclusion ( ∀n ∈ N, In+1 ⊂In ) : alors
n∈N
In 6= ∅
Cas particulier des suites dichotomiques : si la suite In = [un ,vn ] vérifie:
∀n ∈ N, In+1 = [un ,
alors
un + vn
un + vn
] ou In+1 = [
, vn ]
2
2
∃l ∈ R,
n∈N
In = {l}
• Théorème de Bolzano-Weierstrass : Si la suite u ∈ RN est bornée , il existe une suite extraite de u qui
converge dans R.
3
Fonctions réelles d’une variable réelle
Soit A une partie de R: on note RA l’ensemble des fonctions de A à valeurs dans R. (Remarque: cette notation
a pour origine le cas ou A est un ensemble fini A = {x1 , .., xn } de cardinal n, puisqu’alors une application f
de A dans R est caractérisée par le n-uplet {y1 = f (x1 ), ..., yn = f (xn )} ∈ Rn . On retrouve ainsi les suites
réelles de RN comme applications de N dans R. C’est d’ailleurs comme cela qu’il faut les voir.....)
Cet ensemble est muni des trois lois usuelles suivantes : si f et g sont deux fonctions appartenant à RA et si
λ ∈ R , alors
+ addition des fonctions: ∀x ∈ A, (f + g)(x) = f (x) + g(x),
× produit des fonctions: ∀x ∈ A, (f × g)(x) = f (x)g(x)
. produit d’une fonction par un scalaire ∀x ∈ A, (λ.f )(x) = λf (x)
Ainsi définies , ces lois font de (A, +, ×, .) une R algèbre commutative, dont le vecteur nul est la fonction
constante égale à 0 notée 0 : (x ∈ A → 0) et l’élément unité est la fonction constante égale à 1 , notée 1
(x ∈ A 7→ 1)
• Une fonction f ∈ RA est majorée , minorée , bornée si (respectivement)
∃M ∈ R+ , ∀x ∈ A, f (x)6M (majorée) ou
∃M ∈ R+ , ∀x ∈ A, |f (x)| 6M (bornée)
∃M ∈ R+ , ∀x ∈ A, f (x)>M (minorée)
• L’ensemble des fonctions bornées forme une sous-algèbre de RA
• f admet en x0 un maximum absolu sur A (resp minimum absolu sur A) ssi
On note
respectivement
∀x ∈ A, f (x)6f (x0 ) (resp f (x)>f (x0 ))
f (x0 ) = max {f (x), x ∈ A} = max f (x) = max f
x∈A
A
f (x0 ) = min {f (x), x ∈ A} = min f (x) = min f
x∈A
A
• f admet en x0 un maximum local sur A(resp minimum local) ssi
∃α > 0, ∀x ∈ A∩]x0 − α, x0 + α[, f (x)6f (x0 ) (resp f (x)>f (x0 ))
• On note sup(f (x), x ∈ A) = sup(f ) la borne supérieure d’une fonction définie sur A: Il s’agit d’un
A
élément de R. Si f est majorée sur A il s’agit d’un élément de R
• Une fonction est dite croissante (resp strictement croissante) sur A ssi
∀(x, y) ∈ A2 , x6y ⇒ f (x)6f (y)
(resp x<y ⇒ f (x) < f (y))
Attention : le caractère continu ( non discret ) de R ne permet pas, comme pour les suites, de se ramener
6
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à comparer l’image d’un élément de A avec celle de son successeur ( quel est le successeur d’un réel ....)
On définit de même les fonctions décroissantes .
• Fonctions paires , impaires
si A est une partie de R symétrique par rapport à 0 , une fonction f ∈ RA est dite paire ssi
∀x ∈ A, f (−x) = f (x)
Elle est dite impaire ssi
∀x ∈ A, f (−x) = −f (x)
La parité d’une fonction se réduit géométriquement au fait que son graphe est symétrique par rapport à
la droite x = 0 , l’imparité se traduit par le fait que le graphe est symétrique par rapport au point O(0, 0).
L’ensemble PA (resp IA ) des fonctions paires sur A (resp impaires sur A) est un sous-espace vectoriel de
A
R .
Toute fonction f définie sur A est somme d’une fonction paire p et d’une fonction impaire i appelées
respectivement les parties paires et impaires de f
f (x) + f (−x)
f (x) − f (−x)
∀x ∈ A, f (x) = p(x) + i(x) avec p(x) =
, i(x) =
2
2
Cette écriture est unique , ce que l’on peut traduire par le fait que les deux sous espaces PA et IA sont en
somme directe
PA
IA = RA
On peut remplacer dans ces définitions 0 par un autre réel a , ce qui revient à remplacer la fonction
x 7→ f (x) par la fonction x 7→ f (x − a)
En particulier:
• la symétrie par rapport à la droite x = a se traduit par :
∀x ∈ A, f (a − x) = f (x + a)
encore équivalent
f (x) = f (2a − x)
• Un centre de symétrie en A(a, 0) se traduit par
∀x ∈ A, f (a − x) = −f (x + a)
ou encore
−f (x) = f (2a − x)
• Soit T > 0. Une fonction définie sur une partie I est dite T périodique si
∀x ∈ I, x + T ∈ I et x − T ∈ I et f (x + T ) = f (x)
On en déduit que ∀(x, k) ∈ I × Z, f (x + kT ) = f (x). La fonction f est alors définie par sa valeur sur
les éléments I ∩ [0, T [ grâce à la congruence modulo T.
Par exemple la fonction f (x) = d(x, Z) = inf(|x − n| , n ∈ Z) qui donne la distance d’un réel x à
l’ensemble Z des entiers relatif est 1-périodique et paire. On peut reconstruire cette fonction en donnant sa
valeur sur l’intervalle I = [0, 0.5] :cette valeur est évidemment f (x) = x ce qui donne le graphe suivant
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
0 0
-1
-0.2
1
x
2
-0.4
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1
Exercice: démontrer que f est définie sur R par f (x) = x − E(x + )
2
2
• Une fonction est Lipchitzienne de rapport k > 0 sur l’intervalle I ssi
∀(x, y) ∈ I 2 , |f (x) − f (y)| 6k |x − y|
3.1
Etude locale d’une fonction
• Une application f de I dans R admet la limite a ∈ R
Notation: lim f (x) = a
lorsque x tend vers x0 ∈ R lorsque
∀Va ∈ Ta , ∃Wx0 ∈ Tx0 , ∀x ∈ Wx0 ∩ I, f (x) ∈ Va
x→x0
Dans cette définition, si b ∈ R, Tb désigne l’ensemble des intervalles ouverts voisinages de b définis
comme suit :
b ∈ R : Tb = {]b − α, b + α[, α > 0}
b = −∞ : T−∞ = {] − ∞, m[, m ∈ R}
b = +∞ : T+∞ = {]m, +∞[, m ∈ R}
Il faut donc comprendre que la définition précédente se développe comme 9 définitions différentes. La
définition pour a et x0 réels donne par exemple:
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈]x0 − α, x0 + α[∩I, f (x) ∈]a − ε, a + ε[
ou encore en termes de valeurs absolues
∀ε > 0, ∃α > 0, |x − x0 | < α et x ∈ I ⇒ |f (x) − a| < ε
• f est continue au point x0 ∈ R si et seulement si
x0 ∈ I et lim f (x) = f (x0 )
x→x0
ceci se traduit par
∀ε > 0, ∃α > 0, |x − x0 | < α et x ∈ I ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
α s’appelle le module de continuité locale en x0 , il dépend bien entendu à la fois de x0 et de ε : en clair
f (x) est aussi proche que l’on veut de f (x0 ) pourvu que x soit assez proche de x0
• f admet un prolongement par continuité en x0 si
∃a ∈ R, lim f (x) = a
x→x0
et x0 ∈
/I
la fonction prolongée f est égale à f sur I et de plus
f (x0 ) = a
f est alors continue en x0
• Toute fonction admettant une limite finie a en un point est bornée dans un voisinage de ce point.
une fonction qui est bornée au voisinage d’un point n’admet pas forcément de limite en ce point comme
1
le prouve l’exemple f (x) = sin( ) sur ]0, 1] pour x0 = 0
x
• Les fonctions obéissent aux propriétés usuelles des limites (voir suites)
• Si la fonction f est continue au point x0 et si la suite (un )n∈N converge vers x0 , alors la suite (vn = f (un ))n∈N
converge vers f (x0 )
• Caractérisation séquentielle de la continuité:
2
¯
¯
¯
1 ¯¯
¯
Solution: poser g(x) = ¯x − E(x + )¯ . Démontrer que la fonction g est 1 périodique et vérifie:
2
∀x ∈ [−1/2, 1/2[, g(x) = |x| = f (x)
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f est continue au point x0 si et seulement si pour toute suite (un )n∈N qui converge vers x0 , alors la suite
(vn = f (un ))n∈N converge vers f (x0 ).
Remarque: il peut être parfois utile d’utiliser cette caractérisation de la continuité pour démontrer qu’une
fonction est continue en un point.
• Théorème de la limite monotone:
Soit f une fonction croissante (resp décroissante) sur l’intervalle I =]α, β[⊂R. Alors
– si f est majorée sur I (resp minorée sur I), elle admet une limite à gauche l = lim− f (x) ∈ R en β
x→β
de plus
l = lim− f (x) = sup(f (x)) respectivement l = lim− f (x)= inf (f (x))
x→β
x→β
x∈I
x∈I
– sinon lim− f (x) = +∞ respectivement lim− f (x) = −∞
x→β
3.2
x→β
Relations de comparaisons
Soit x0 ∈ R , f et g deux fonctions définies sur un intervalle I contenant ]x0 − r, x0 [ou ]x0 , x0 + r[ ou la réunion
des deux, on définit les relations de comparaisons suivantes
• f est négligeable devant g en x0 ssi
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I − {x0 } , |x − x0 | < α ⇒ |f (x)| 6ε |g(x)|
ceci se note
f (x) = o g(x)
x→x0
cela revient, si g ne s’annule pas localement au voisinage de x0 , à:
f (x)
lim
=0
x→x0 g(x)
x6=x
0
• f est dominée par g en x0 ssi
∃A > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I − {x0 } , |x − x0 | < α ⇒ |f (x)| 6A |g(x)|
ceci se note
f (x) = O g(x)
x→x0
celà revient, si g ne s’annule pas localement au voisinage de x0 , à dire que la fonction x 7→
au voisinage de x0
• f est équivalente à g en x0 ssi
f (x)
est bornée
g(x)
f (x) − g(x) = o g(x)
x→x0
ceci se note
f (x) ∼ g(x)
x→x0
cela revient, si g ne s’annule pas localement au voisinage de x0 , à:
f (x)
lim
=1
x→x0 g(x)
x6=x
0
• Si f (x) ∼ g(x) et a(x) ∼ b(x) alors a(x)f (x) ∼ b(x)g(x)
x0
x0
x0
et
a(x)
b(x)
∼
f (x) x0 g(x)
• Si f (x) = a(x) + b(x) et b(x) =o( a(x)) alors f (x) ∼ b(x)
x0
x0
• Attention à ne pas ajouter les équivalents (voir suites ) , ni à tirer des conséquences sur la monotonie locale
d’une fonction à partir d’un équivalent.
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• Si f (x) ∼ g(x) et si g est positive sur un voisinage de x0 , alors f est également positive sur un certain
x0
voisinage de x0 (qui n’est pas forcément le même )
3.3
Relations de comparaisons des fonctions usuelles en +∞
αx
α<β⇒e
eαx
soit lim( βx ) = 0
+∞ e
soit lim(xα e−βx ) = 0
= o (eβx )
+∞
α ∈ R et β ∈ R+∗ ⇒ xα = o (eβx )
+∞
+∞
soit lim xα−β = 0
α < β ⇒ xα = o (xβ )
+∞
+∞
soit lim x−α (ln(x))β = 0
α > 0 et β ∈ R ⇒ (ln(x))β = o (xα )
+∞
+∞
soit lim xβ−α = 0
α < β ⇒ xβ =o (xα )
0
0
soit lim xα (ln(x))−β = 0
α > 0 et β ∈ R ⇒ (x)α =o (ln(x)β )
0
0
• On peut retenir de façon simple que les exponentielles dominent toujours sur les puissances et que les puissances dominent toujours sur le logarithme (et les puissances du logarithme) dans les problèmes de conflits
de limites du type 0 × ∞,
Attention de bien rester dans le cadre d’application du théorème : par exemple ne pas proposer
√
e ln(x)
lim
= +∞ !!!!
x→+∞
x2
sous prétexte que l’exponentielle l’emporte sur la puissance . En effet ici
√
e ln(x)
= exp[ ln(x) − 2 ln(x)] = exp[ ln(x)(1 − 2 ln(x))] → 0
x→+∞
x2
• f admet un développement limité à l’ordre n en x0 si et seulement si il existe n + 1 réels a0 , ..., an , un
intervalle ]x0 − α, x0 + α[ ( ou ]x0 − α, x0 [ ou ]x0 , x0 + α[ ) et
n
∀x ∈]x0 − α, x0 + α[, f (x) =
• Fonction x →
1
au voisinage de x = 0
1−x
1
=
1−u
1
=
1+u
3.4
•
k=0
ak (x − x0 )k + o (x − x0 )n
x→x0
n
uk + o (un )
u→0
k=0
n
(−1)k uk + o (un )
u→0
k=0
Fonction continue sur un intervalle
Une fonction f définie sur l’intervalle I est continue sur I ssi elle est continue en tous les points de I (
continuité à droite ou à gauche s’il s’agit d’une extrémité de I qui appartient à I)
• L’image d’un intervalle I par une fonction f continue sur I est un intervalle J = f (I)
• L’image d’un intervalle fermé borné I = [a, b] par une fonction continue sur I est l’intervalle fermé f (I) =
[α, β] : ceci revient à dire que la fonction f est bornée et atteint ses bornes supérieures et inférieures sur
le compact [a, b]
• Si f est continue et strictement croissante sur l’intervalle I =]a, b[ , alors
J = f (I) =] lim f (x), lim− f (x)[
x→a+
x→b
et f réalise une bijection de I dans f (I):
10
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De plus la bijection réciproque f −1 de f est elle même continue sur J et de même monotonie que f : son
graphe dans le p^lan rapporté à un repère orthonormé est obtenu par la symétrie orthogonale par rapport
à la première bissectrice appliquée au graphe de f.
On a un énoncé analogue si f est strictement décroissante
• Une fonction f définie sur I à valeur dans R est uniformément continue sur I ssi
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀(x, y) ∈ I 2 , |x − y| < α ⇒ |f (x) − f (y)| < ε
ceci revient à dire que non seulement f est continue en tout point de I, mais que de plus le module de
continuité locale de f en chaque√point de I ne dépend que de ε.
Par exemple la fonction x 7→ x est uniformément continue sur [0, +∞[
En effet supposons 06y6x et |x − y| < α. On a donc
√ √
√
√
– ou bien 06x6α dans ce cas
x − y 6 x6 α
– ou bien α < x et dans ce cas
√
√
|x − y|
|x − y| α
√
x− y = √
√ 6 √ 6√ = α
x+ y
x
α
2
Il suffit donc de choisir α = ε qui est donc un module de continuité uniforme sur [0, +∞[ pour cette
fonction.
• Théorème de Heine : Toute fonction continue sur un compact y est uniformément continue
4
Nombres complexes
4.1
Corps des nombres complexes
• C = {a + ib, (a, b) ∈ R2 } est un corps commutatif ,dont R est un sous-corps , lorsqu’il est muni des deux
lois de composition internes:
(a + ib) + (c + id) = a + b + i(b + d)
(a + ib) × (c + id) = ac − bd + i(ad + bc)
2
l’élément i vérifie i = −1
Pour z = a + ib ∈ C, a = Re(z) et b = Im(z)
sont les parties réelles et imaginaires de z.
• Pour z = a + ib ∈ C
,
z = a − ib est le conjugué de z
• Si l’on introduit la loi de composition externe : (λ, z) ∈ R × C → λ.z ∈ C , C devient une R algèbre de
dimension 2 sur le corps R des nombres réels, dont une base est par exemple (1, i).
• |z| désigne le module de z
√
a2 + b2 >0
z
|z|
|zz 0 | = |z| |z 0 | ; si z 0 6= 0
= 0
0
z
|z |
max(|Re(z)| , |Im(z)|) ≤ |z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)|
Pour z = a + ib ∈ C,
|z| =
• Inégalité triangulaire
∀(z, z 0 ) ∈ C2 ,
||z| − |z 0 || 6 |z + z 0 | 6 |z| + |z 0 |
Cette inégalité s’interprète en terme de distance : en effet si A, B, C sont trois points du plan d’affixes
respectifs a, b, c, en prenant z = b − a et z 0 = c − b, on a donc z + z 0 = c − a et l’inégalité triangulaire se
traduit par
|AB − BC| 6AC6AB + BC
11
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cas d’égalité : |z + z 0 | = |z|+|z 0 | se produit si et seulement si les deux complexes z, z 0 sont proportionnels
dans un rapport positif ce qui signifie qu’il existe λ ∈ R+ tel que z 0 = λz ou z = 0
• On note U = {z ∈ C, |z| = 1} l’ensemble des nombres complexes de module 1.
z
Noter que ∀z ∈ C∗ ,
∈ U, ce qui signifie que tout nombre complexe non nul est proportionnel dans
|z|
un rapport positif à un et un seul élément de U. (U, ×) est un sous groupe du groupe multiplicatif (C∗ , ×)
• Notation d’Euler
∀θ ∈ R on pose eiθ = cos(θ) + i sin(θ)
eiθ = 1
eiθ − e−iθ
eiθ + e−iθ
,
sin θ =
cos θ =
2
2i
∀z ∈ U, ∃!θ ∈ [0, 2π[, z = eiθ
0
∀(θ, θ0 ) ∈ R2 , eiθ = eiθ ⇔ θ − θ0 ≡ 0 mod(2π)
0
0
∀(θ, θ0 ) ∈ R2 , eiθ × eiθ = ei(θ+θ )
R → U
Ainsi l’application Φ :
est un morphisme surjectif de (R+) dans (U, ×) dont le noyau
θ 7→ eiθ
est égal à 2πZ
• Formule de Moivre
∀θ ∈ R, ∀n ∈ Z, (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
On en déduit en particulier l’expression de cos(nθ) et sin(nθ) en fonction des puissances de cos(θ) en
utilisant la formule du binôme de Newton
E(n/2)
cos(nθ) =
k=0
n
2k
(−1)k cosn−2k (θ)(1 − cos2 (θ))k = Tn (cos(θ))
E((n−1)/2
sin(nθ) = sin(θ)
k=0
Tn est le nieme
n
2k + 1
(−1)k cosn−2k−1 (θ)(1 − cos2 (θ))k
polynôme de Tchebichev
eiθ + e−iθ n
On en déduit également la linéarisation de cosn (θ) et sinn (θ) en développant (
) à l’aide du
2
binôme de Newton et en regroupant deux par deux les termes de la somme obtenue
n
1
n
n
cos((2k − n)θ)
cos (θ) = n
k
2
k=0
• argument d’un nombre complexe non nul
∀z ∈ C∗ , ∃!θ ∈ [0, 2π[, z = |z| eiθ
θ est appelé détermination principale de l’argument de z
arg(zz 0 ) ≡ arg(z) + arg(z 0 ) mod(2π)
• Racine nième de l’unité
2ikπ
∀n ∈ N , z = 1 ⇔ ∃k ∈ {0, 1, .., n − 1} , z = e n
L’ensemble Un des racines niemes de l’unité dans C est un groupe multiplicatif de cardinal n , engendré
∗
par z1 = e
2iπ
n
n
:
Un = 1, z1 , z12 , ..., z1n−1
• Racine nième d’un complexe a = ρeiθ
avec z1 = e
2iπ
n
θ+2kπ
∀n ∈ N∗ , z n = ρeiθ ⇔ ∃k ∈ {0, 1, .., n − 1} , z = ρ1/n ei( n )
Les images dans le plan des racines niémes de a forment un polygône régulier à n sommets, distribués sur
12
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le cercle de centre O et de rayon |a|1/n . Pour les obtenir toutes , il suffit de multiplier l’une d’entre elles par
tous les éléments de Un .
4.2
Exponentielle complexe
• Exponentielle complexe
∀z ∈ C, ez = eRe(z) ei Im(z)
si z = x + iy alors ex+iy = ex (cos(y) + i sin(y))
|ez | = ex et arg(ez ) = y
0
0
En particulier ∀(z, z 0 ) ∈ C2 , ez ez = ez+z : l’exponentielle réalise un morphisme de groupe surjectif de
(C, +) dans (C∗ , ×) , dont le noyau est 2iπZ. Ceci signifie que
ez = 1 ⇔ ∃k ∈ Z, z = 2ikπ
• Equation ez = a
ez = a = |a| ei arg(a) ⇔ z = ln(|a|) + i arg(a) + 2ikπ avec k quelconque dans Z
4.3
Les complexes en géométrie plane
−
→ −
→
• u ∈ C : l’application z 7→ z + u s’interprète comme la translation de vecteur u où u admet u pour affixe
• θ ∈ R : l’application z 7→ eiθ z s’interprète comme la rotation d’angle θ et de centre 0
• λ ∈ R : l’application z 7→ λz s’interprète comme l’homothétie de centre 0 et de rapport λ
• l’application z → λeiθ (z − z0 ) + z0 s’interprète comme la similitude directe de centre A d’affixe z0 , de
rapport λ et d’angle θ.
• Soient A, B, M trois points du plan d’affixe respectifs a, b, z: on a
−−→
−−−→
MA
z−a
z−a
\
=
et arg(
) = (MB , MA)
z−b
MB
z−b
• Les quatres points A, B, C, D sont cocycliques ou alignés ssi
d−a
c−a
) = arg(
) mod π
arg(
c−b
d−b
(c − a)(d − b)
∈R
A, B, C, D sont cocycliques ou alignés ⇔
(c − b)(d − a)
4.4
•
•
Trigonométrie
cos(x + y)
cos(x − y)
sin(x + y)
sin(x − y)
=
=
=
=
cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y)
sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)
sin(x) cos(y) − sin(y) cos(x)
p−q
p+q
) cos(
)
2
2
p−q
p+q
) sin(
)
cos(p) − cos(q) = −2 sin(
2
2
p−q
p+q
) cos(
)
sin(p) + sin(q) = 2 sin(
2
2
cos(p) + cos(q) = 2 cos(
13
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sin(p) − sin(q) = 2 sin(
•
cos(a + b) + cos(a − b)
2
cos(a − b) − cos(a + b)
sin(a) sin(b) =
2
sin(a + b) + sin(a − b)
sin(a) cos(b) =
2
cos(a) cos(b) =
•
tan(x) + tan(y)
1 − tan(x) tan(y)
tan(x) − tan(y)
tan(x − y) =
1 + tan(x) tan(y)
tan(x + y) =
•
cos(2θ) = cos2 (θ) − sin2 (θ) = 2 cos2 (θ) − 1 = 1 − 2 sin2 (θ)
sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)
2 tan(θ)
tan(2θ) =
1 − tan2 (θ)
•
•
θ
1 + cos(θ) = 2 cos2 ( )
2
θ
1 − cos(θ) = 2 sin2 ( )
2
θ − θ0 i θ+θ0
θ θ
1 + eiθ = 2 cos( )ei 2
)e 2
e + e = 2 cos(
2
2
cette formule s’interprète comme la somme de deux vecteurs unitaires , formant ainsi la diagonale d’un
losange qui est aussi sa bissectrice intérieure.
•
iθ
5
5.1
iθ0
arc moitié
cos(θ) =
•
p−q
p+q
) cos(
)
2
2
1 − t2
,
1 + t2
sin(θ) =
2t
,
1 + t2
tan(θ) =
2t
θ
avec t = tan( )
2
1−t
2
Calcul différentiel
Dérivée en un point, fonction dérivée
La fonction f : I → R
étant définie sur un voisinage de x0 est dérivable en x0 si et seulement si
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
∃l ∈ R, lim
= l = lim
x→x
h→0
h
x − x0
0
Définition équivalente (développement limité d’ordre 1)
∃l ∈ R ,∀x ∈ I, f (x) = f (x0 ) + l(x − x0 )+ o (x − x0 )
x→x0
l est le nombre dérivé de f en x0 , noté f 0 (x0 )
Toute fonction qui est dérivable au point x0 est continue en x0
La réciproque est fausse comme le prouve l’exemple de la fonction x → |x| en x0 = 0
• f est dérivable sur l’intervalle I si elle l’est en tout point de I , et à droite ou à gauche en ses éventuelles
extrémités si I est fermé
f 0 : x ∈ I 7→ f 0 (x) est alors appelée la fonction dérivée de f
14
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• Si f est dérivable sur l’intervalle I et admet en un point x0 intérieur à I un extrémum local , alors f 0 (x0 ) = 0
la réciproque est fausse comme le montre le contre exemple x 7→ f (x) = x3 en 0
D’autre part l’énoncé de ce théorème suppose que x0 est intérieur à I , et ceci est un point fondamental
, pensez à la fonction x → x sur I = [0, 1] qui admet son maximum en 1
• Composée : si f est dérivable en x0 et g l’est en f (x0 ) alors gof est dérivable en x0 et
(gof )0 (x0 ) = f 0 (x0 ) × g 0 (f (x0 ))
• Si f est dérivable sur I , de dérivée continue en x0 et si f 0 (x0 ) 6= 0 alors f est localement bijective d’un
voisinage de x0 sur un voisinage de y0 = f (x0 ) et sa bijection réciproque f −1 est dérivable en y0 : de plus
1
(f −1 )0 (y0 ) = 0
f (x0 )
On peut retenir aussi la formule sous la forme
1
(f −1 )0 = 0 −1
f of
• Opérations
(f + g)0 = f 0 + g 0
(f g)0 = f 0 g + f g 0
0
0
√ 0
f
f g − fg
1 0 −f 0
f0
√
( )0 =
(
=
(
f
)
=
)
g
g2
f
f2
2 f
0
0
α 0
(exp(f )) = f exp(f )
(f ) = αf 0 f α−1
f0
ln(|f |)0 =
(cos(f ))0 = −f 0 sin(f )
(sin(f ))0 = f 0 cos(f ),
f
• Dérivées d’ordre supérieur
f est k fois dérivable sur l’intervalle I ssi elle est k − 1 fois dérivable sur I et si la fonction f (k−1) est
dérivable sur I : On pose alors
f (k) = (f (k−1) )0
• f est de classe C k sur I si elle est k fois dérivable sur I et si sa dérivée f (k) est continue sur I .
On introduit ainsi un opérateur D dit opérateur de dérivation sur l’ensemble des fonctions k fois dérivables à valeurs dans l’ensemble des fonctions k − 1 fois dérivables sur I. Cet opérateur est défini par
D(f ) = f 0 . On note Dk (lire D puissance k) l’opérateur DoDoD...oD , k fois , et l’on a ainsi:
Dk (f ) = f (k)
En particulier Di oDj (f ) = Dj oDi (f ) = Di+j (f ) pour toute fonction de classe C i+j sur I
• L’opérateur D ainsi que tous les opérateurs Dk sont linéaires
• Formule de Leibniz: si f et g sont de classe C k sur I , f g l’est également et
n
n
Dk (f )Dn−k (g)
Dn (f g) =
k
k=0
• Complément sur la dérivée d’ordre n d’une composée : et pourquoi bon dieu ne parle t’on jamais de la
dérivée niéme de la composée de deux fonctions de classe C n , il doit bien y avoir une formule ...oui la voici
m
m
m
n!
D(f )(x) 1 D2 (f )(x) 2
Dq f (x) q
n
p
...
D (gof )(x) =
D (g)of (x)
m1 !m2 !..mq !
1!
2!
q!
où cette somme est étendue à toutes les suites d’entiers positifs (mi )1≤i≤q vérifiant
m1 + 2m2 + .. + qmq = n
et où p désigne la somme
m1 + m2 + .. + mq = p
par exemple si n = 2 , 2 = 1 × 0 + 2 × 1 = 1 × 2 + 2 × 0 donne les deux suites m1 = 2, m2 = 0 et
m1 = 0, m2 = 1 d’où :
f ”(x)
2! 0
2!
(gof )”(x) =
g (f (x))
+
g”(f (x))(f 0 (x))2
0!1!
2!
2!0!
15
lycée Dessaignes 2005-2006
On comprendra que l’on évite d’en parler....
Exercice3 : calculer (gof )(3) (x) et vérifier que la formule est vraie pour n = 3
5.2
Etude globale des fonctions dérivables
• Théorème de Rolle
Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ , et si f (a) = f (b) alors il existe un point c ∈]a, b[ tel que
f 0 (c) = 0
• Théorème des accroissements finis
Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ , alors il existe un point c ∈]a, b[ tel que f 0 (c) =
f (b) − f (a)
b−a
• Inégalité des accroissements finis
Si f est continue sur [a, b] dérivable sur ]a, b[ et si sa dérivée est bornée , alors
|f (b) − f (a)| 6 |b − a| sup (|f 0 (x)|)
x∈]a,b[
en notant k = sup (|f 0 (x)|) ceci revient à dire que f est k lipchitzienne sur [a, b]
x∈]a,b[
• Théorème de prolongement de la dérivée
Si f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et si f 0 admet une limite finie l à droite au point a , alors
f est de classe C 1 sur [a, b[ et f 0 (a) = l
Il faut cependant faire très attention car le comportement de la dérivée peut être divergent au point a
bien que la fonction f soit dérivable en a . L’exemple le plus simple est la fonction f (x) = x2 sin(1/x) (
prolongée par continuité en 0) qui est dérivable sur R : f 0 (x) = 2x sin x1 − cos x1 si x 6= 0 et f 0 (0) = 0, et
cependant lim f 0 (x) n’existe pas
x→0
0.01
0.4
0.005
0.2
-0.4
0 0
-0.2
0.2
x
0.4
-0.1
-0.2
0 0
-0.05
0.05
x
0.1
-0.005
-0.4
-0.01
x → x2 sin(1/x) sur [−0.5, 0.5]
Zoom sur [−0.1, 0.1]
Un théorème qui énonce des conditions suffisantes ( et pas forcément nécessaires : en français courant
’’ca suffit mais ce n’est pas obligatoire’’) pour qu’une propriété soit vérifiée doit être analysé d’autant plus
soigneusement afin d’éviter de confondre le nécessaire et le suffisant. Travailler sur le nécessaire et le
suffisant par rapport à une propriété , c’est la situer dans le contexte de la logique mathématique un peu
comme on situerait un nombre sur une droite.
5.3
Fonctions convexes
• La fonction f : I → R est convexe sur l’intervalle I ssi l’une des propriétés équivalentes suivantes est
vérifiée:
3
(gof )(3) (x) = g (3) (f (x))(f 0 (x))3 + 3g (2) (f (x))f 0 (x)f (2) (x) + g 0 (f (x))f (3) (x)obtenue avec les triplets
(m1 , m2 , m3 ) = (0, 0, 1), (1, 1, 0), (3, 0, 0)
16
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a)
b)
∀(x, y) ∈ I 2 , ∀λ ∈ [0, 1], f (λx + (1 − λ)y)6λf (x) + (1 − λ)f (y)
∀n>2, ∀(λ1 , ..., λn ) ∈ (R+ )n , ∀((x1 , .., xn ) ∈ I n ,
n
i=1
c)
d)
e)
λi = 1 ⇒ f (
n
i=1
λi xi )6
n
i=1
λi f (xi )
f (x) − f (a)
est croissante sur I − {a}
x−a
f (y) − f (x) f (z) − f (x) f (z) − f (y)
∀(x, y, z) ∈ I 3 , x < y < z ⇒
6
6
y−x
z−x
z−y
2
la partie A = {(x, y) ∈ R , x ∈ I, y>f (x)} est une partie convexe du plan R2
∀a ∈ I, l’application ta : x → ta (x) =
• D’un point de vue géométrique la convexité d’une fonction sur un intervalle I se traduit par le fait que pour
_
tout couple de points A, B du graphe de f , l’arc de courbe AB est situé au dessous de la corde AB
• Si la fonction f est de classe C 1 sur I alors
f est convexe sur I ⇔ f 0 est croissante sur I
Dans ce cas ,le point de vue géométrique se traduit par le fait que pour tout point A du graphe de f , l’arc
_
de courbe AB est situé au dessus de la tangente en A au graphe de f soit
∀a ∈ I, ∀x ∈ I,
f 0 (a)(x − a) + f (a)6f (x)
• Inégalités de convexités pour les fonctions usuelles
∀x ∈ R∗+ ,
ln(x)6x − 1
∀u ∈ ]−1, +∞[,
ln(1 + u)6u
∀x ∈ R, 1 + x6ex
√
1+x
∀x ∈ ] − 1, +∞[,
1+x≤
2
Exercice : Démontrer l’inégalité 4
4x
∀x ∈ [0, π/4], x ≤ tan(x) ≤
π
6
Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles
6.1
Fonctions continues par morceaux
• Une fonction f ∈ R[a,b] est dite en escalier sur [a, b] ssi il existe une subdivision a0 = a < a1 < .. < an = b
de [a, b] telle que pour tout i ∈ {1, .., n} , la restriction de f à l’intervalle ouvert ]ai−1 , ai [ soit constante : on
notera λi = f (x) la valeur de la fonction f sur ]ai−1 , ai [. L’ensemble Esc([a, b], R) des fonctions en escalier
sur I est un sous espace vectoriel de R[a,b]
Si f est en escalier sur la subdivision (a0 , a1 , ..., an ) on note
n
b
f=
a
L’application f →
b
a
i=1
(ai − ai−1 )λi
f est une forme linéaire sur Esc([a, b], R)
• Une fonction f définie sur I = [a, b] est continue par morceaux sur I s’il existe une subdivision a0 = a <
a1 < .. < an = b de I telle que f soit continue sur chacun des intervalles ouverts ]ai , ai+1 [ de la subdivision
, et admette une limite finie à gauche et à droite en chacun des points de la subdivision
2 sin(x)
qui est positif sur l’intervalle [0, π/4]. Elle y est donc convexe or la
cos3 (x)
4x
pente de tangente en 0 est 1 = tan0 (0) et la corde a pour équation y =
π
4
la fonction x → tan(x) vérifie tan ”(x) =
17
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La condition d’existence d’une limite peut aussi s’énoncer comme suit : la restriction de f à chacun des in0
([a, b], R)
tervalles ouverts ]ai , ai+1 [ admet un prolongement par continuité sur le fermé [ai , ai+1 ]. On note Cm
[a,b]
l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a, b]: c’est un sous espace vectoriel de R
0
• Approximation uniforme d’une fonction de Cm
([a, b], R) par une fonction en escalier
Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b] , il est possible de l’encadrer par deux fonctions en
escalier dont la différence n’excède pas une valeur ε fixée arbitrairement
∀ε > 0, ∃(ϕ, ψ) ∈ Esc([a, b], R)2 , ∀x ∈ [a, b], ϕ(x)6f (x)6ψ(x) et ψ(x) − ϕ(x)6ε
On peut également formuler cela à l’aide d’une borne supérieure:
∀ε > 0, ∃ϕ ∈ Esc([a, b], R),
sup (|f (x) − ϕ(x)|) ≤ ε
x∈[a,b]
6.2
Intégrale d’une fonction continue par morceaux
0
• Il existe une application , appelée intégrale au sens de Riemman , définie sur Cm
([a, b], R) à valeurs dans R
b
b
et notée a : f → a f telle que
–
–
l’application
b
a
est linéaire
b
∀f ∈ Esc([a, b], R) , a f =
b
On note également a f (t)dt , ou
• On a les propriétés suivantes
n
i=1 (ai
[a,b]
f >0
f 6g
b
f
a
f
⇒
⇒
6
∀c ∈ [a, b],
− ai−1 )λi
b
f >0
a
b
b
f6 a g
a
b
|f |
a
b
c
f= af
a
+
b
c
f
• Valeur moyenne d’une fonction : Lorsque la fonction f est continue par morceaux sur [a, b] , si l’on prend
la moyenne arithmétique
n
1
Mn =
f (an,i )
n + 1 i=0
des valeurs de la fonction f aux n + 1 points
b−a
an,0 = a, an,k = a + k
, ..., an,n = b
n
régulièrement distribués sur [a, b] , alors cette moyenne tend, lorsque n tend vers ∞, vers la valeur moyenne
de f sur [a, b]
b
1
f
b−a a
• Inégalités de la moyenne
b
a
b
a
f 6(b − a) sup |f |
I
f g 6 sup |f |
[a,b]
b
a
|g|
• L’intégrale comme produit scalaire
b
Si f est continue sur [a, b] et positive , alors a f = 0 ⇒ f = 0
On définit sur C 0 ([a, b], R) la forme bilinéaire symétrique , définie positive
b
(f | g) =
18
fg
a
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C’est le produit scalaire canonique sur C 0 ([a, b], R)
La norme associée , appelée norme N2 est définie par
b
f2
N2 (f ) =
a
• Inégalité de Cauchy-Schwarz
∀(f, g) ∈ C 0 ([a, b], R)2 ,
b
a
b
fg 6
b
f2
a
ou encore
g2
a
|(f | g)| 6N2 (f )N2 (g)
Il y a égalité dans cette inégalité ssi les deux fonctions f et g sont proportionnelles
• Somme de Riemman
Si f est continue sur [a, b] , et si (σ n = (ai,n )06i6n )n∈N∗ est une suite de subdivisions de [a, b] telles que
le pas π n = max (ai,n − ai−1,n ) de σ n tende vers 0 lorsque n → ∞ alors pour toute suite (xi,n ) telle que
16i6n
∀n ∈ N∗ , ∀i ∈ {1, .n} , xi,n ∈ [ai−1,n , ai,n ], on a
n
lim
n→∞
i=1
b
(ai,n − ai−1,n )f (xi,n ) =
n
i=1 (ai,n −ai−1,n )f (xi,n ) est appelée somme de Riemann de f
• Somme de Riemman équirépartie
∀f ∈ C 0 ([a, b], R),
b−a
n→∞
n
f
a
pour la ’’subdivision pointée’’ (ai,n , xi,n )06i6n
n
b
f (a + k b−a
)=
n
lim
k=1
f
a
Cette formule est aussi connue sous le nom de formule des rectangles , on montre que
b−a
n
n
b
f (a +
k b−a
)
n
k=1
−
a
1
f = O( )
n
• Formule des trapèzes
b−a
, la méthode des trapèzes consiste à approximer la
n
fonction f par la fonction g affine par morceaux sur la subdivision (ak )06k6n , valant f (ak ) en ak pour tout
entier k
n
b
b−a
In (f ) =
g(t)dt =
[f (ak−1 ) + f (ak )]
2n k=1
a
On obtient lorsque f est de classe C 2
b
1
In (f ) −
f = O( 2 )
n
a
si f est continue sur [a, b] , en notant ak = a + k
• On peut affiner l’approximation en utilisant une fonction g dont la formule sur chacun des segments [ak , ak+1 ]
est le polynôme de degré 2 qui vérifie
ak + ak+1
ak + ak+1
g(ak ) = f (ak ), g(
) = f(
), g(ak+1 ) = f (ak+1 )
2
2
La formule des trois niveaux donne alors
ak + ak+1
ak+1
f (ak ) + 4f (
) + f (ak+1 )
2
g(t)dt =
6
ak
puis en sommant, on obtient la formule de Simson :
n
b−a
ak−1 + ak
Jn (f ) =
(f (ak−1 ) + 4f (
) + f (ak ))
6n k=1
2
19
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On démontre que lorsque f est de classe C 3
b
Jn (f ) −
f = O(
a
1
)
n3
Exercice: sur un logiciel de calcul , programmez la formule des rectangles, la formule des trapèzes et la
formule de Simson, pour la fonction f (x) = sin(x) sur [a, b] = [0, 1] et n = 10 . Validez les inégalités en
mesurant l’erreur. 5
6.3
Intégration et dérivation
• Soit f ∈ C 0 (I, C). F est une primitive de f sur l0 intervalle I si et seulement si F est dérivable sur I et si
F0 = f .
• Deux primitives de f sur l’intervalle I diffèrent d’une constante.
• Soit f ∈ C 0 (I, C) et a ∈ I : Alors l’unique primitive de f qui s’annule en a est la fonction
x
F (x) =
f (t)dt
a
En particulier
∂
(
∂x
∂
(
∂x
x
f (t)dt) = f (x)
a
v(x)
f (t)dt) = v 0 (x)f (v(x)) − u0 (x)f (u(x))
u(x)
• Si F est une primitive de f sur I alors
b
a
f (t)dt = F (b) − F (a) = [F (x)]ba
• Intégration par parties
Si f est de classe C 1 ainsi que g sur [a, b]
b
0
f (t)g (t)dt =
a
[f (x)g(x)]ba
b
−
f 0 (t)g(t)dt
a
• Changement de variable
Si f est continue sur I et si ϕ est de classe C 1 sur [α, β] à valeurs dans I, alors
ϕ(β)
β
ϕ0 (u).f oϕ(u)du
f (t)dt =
ϕ(α)
6.4
α
Formules de Taylor
• Formule de Taylor-Young
Soit f une fonction de classe C n+1 sur un intervalle I ouvert contenant a : On a
n
(x − a)k k
D (f )(a)+ o(x − a)n
∀x ∈ I, f (x) = f (a) +
k!
x→a
k=1
• Formule de Taylor avec reste sous forme d’une intégrale
Soit f une fonction de classe C n+1 sur un intervalle I ouvert contenant a : On a
n
1 x
(x − a)k k
(x − t)n Dn+1 (f )(t)dt
D (f )(a) +
∀x ∈ I, f (x) = f (a) +
k!
n!
a
k=1
5
Erreurs: rectangles 0.04; trapèzes 0.00038, Simson 0.000000016
20
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• Inégalité de Taylor-Lagrange
Soit f une fonction de classe C n+1 sur un intervalle I ouvert contenant a et b : On a
n
f (b) − f (a) −
6.5
6.5.1
k=1
|b − a|n+1
(b − a)k k
D (f )(a) 6
max ( Dn+1 (f )(t)
k!
(n + 1)! t∈[a,b]
Etude des fonctions usuelles
Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances
• Fonctions exponentielle réelle
∀a ∈ R+∗ , ∀x ∈ R, ax = ex ln a
∂ x
a = ln a.ax
∂x
10
8
6
4
2
-2
0 0
-1
1
x
2
fonctions 2x , 0.5x , 3x , 0.3x
• Fonctions logarithmes réelles
∀a > 0, a 6= 1, ∀x > 0, loga (x) =
ln(x)
ln(a)
1
∂
loga (x) =
∂x
x ln(a)
y = ax ⇔ x = loga (y)
4
2
-4
-2
0 0
2
x
4
-2
-4
ln(x), log2 (x), log1/2 (x)
• Fonctions puissances
∀x > 0, ∀α ∈ R, xα = eα ln(x)
∂ α
(x ) = αxα−1
∂x
21
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5
4
3
2
1
0 0
1
2
x
3
4
5
x, x2 , x3 , x0.5 , x0.3 , x0 , x−0.5 , x−1 , x−2
6.5.2
•
Fonctions hyperboliques
ex + e−x
2
ex − e−x
∀x ∈ R, sh(x) =
2
sh(x)
ex − e−x
=
∀x ∈ R, th(x) = x
−x
e +e
ch(x)
0
ch (x) = sh(x)
sh0 (x) = ch(x)
1
th0 (x) = 1 − th2 (x) = 2
ch (x)
∀x ∈ R, ch(x) =
3
2
1
-3
-2
-1
0 0
1
x
2
3
-1
-2
-3
ch(x),sh(x),th(x)
∀t ∈ R, ch2 (t) − sh2 (t) = 1
Cette formule est à l’origine de l’appellation ’’ hyperbolique ’’ puisque la courbe paramètrée t → (ch(t), sh(t))
admet pour support une des deux branches de l’hyperbole équilatère d’équation x2 − y 2 = 1
22
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3
2
1
0 00.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
-2
-3
x=ch(t),y=sh(t): branche d hyperbole
6.5.3
Fonctions circulaires
• sin,cos,tan
cos(x) = Re(eix ),
sin(x) = Im(eix ),
tan(x) =
sin(x)
cos(x)
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
c’est le paramètrage du cercle de centre 0 et de rayon 1 qui est à l’origine de la dénomination circulaire
∂
∂
(cos(x)) = − sin(x), (sin(x)) = cos(x)
∂x
∂x
1
∂
(tan(x)) = 1 + tan2 (x) =
∂x
cos2 (x)
1
0.5
-4
-2
-0.5 0 0
-1
2
4
x
cos(x): R → [−1, 1]
3
2
1
0.5
-4
-2
-0.5 0 0
-1
1
2
x
4
-3
-2
-1
0 0
1
x
2
3
-1
-2
-3
π
+ kπ → R
2
• La fonction cos établit une bijection de [0, π] dans [−1, 1] , la bijection réciproque est notée arccos
sin(x):R → [−1, 1]
tan(x): R−
23
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3
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
0 0 0.5
x
-0.5
1
arccos(x): [−1, 1] → [0, π]
∂
−1
(arccos(x)) = √
∂x
1 − x2
∀x ∈ [−1, 1], cos(arccos(x)) = x
∀x ∈ [0, π], arccos(cos(x)) = x
Remarque:
∀x ∈ [π, 2π], arccos(cos(x)) = 2π − x, ∀x ∈ [2π, 3π], arccos(cos(x)) = x − 2π
• La fonction sin établit une bijection de [−π/2, π/2] dans [−1, 1] , la bijection réciproque est notée arcsin
1
0.5
-1
0 0
-0.5
0.5
x
1
-0.5
-1
π π
arcsin(x): [−1, 1] → [− , − ]
2
2
∂
1
(arcsin(x)) = √
∂x
1 − x2
∀x ∈ [−1, 1], sin(arcsin(x)) = x
∀x ∈ [−π/2, π/2], arcsin(sin(x)) = x
• La fonction tan établit une bijection de ] − π/2, π/2[ dans ] − ∞, +∞[ , la bijection réciproque est notée
arctan
∂
1
(arctan(x)) =
∂x
1 + x2
∀x ∈ R,
tan(arctan(x)) = x
∀k ∈ Z, ∀x ∈] − π/2 + kπ, π/2 + kπ[,
arctan(tan(x)) = x − kπ
1
π
∀x ∈ R∗ , arctan(x) + arctan( ) = signe(x)
x
2
24
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1.5
1
0.5
-4
6.5.4
-0.5 0 0
-1
-1.5
-2
2
x
4
x → arctan(x)
Fonction exponentielle complexe
• a = x + iy est un complexe et t ∈ R. On rappelle que exp(at) = ext (cos(yt) + i sin(yt)). Soit ϕ une
fonction dérivable définie sur une partie de R à valeurs dans C: ϕ(t) = Re(ϕ(t)) + i Im(ϕ(t). On a alors
les deux formules
∂ at
e = aeat
∀a ∈ C, ∂t
∂ ϕ(t)
e
= ϕ0 (t)eϕ(t)
∂t
6.6
Primitives des fonctions usuelles
• le symbole
désigne l’ensemble des primitives de la fonction considérée
On a précisé sur quels intervalles ces formules sont valables.
(t − a)n+1
+C
∀a ∈ C, ∀n ∈ Z− {−1} , (t − a)n dt =
n+1
1
dt = ln(|t|) + C
t
R− {a} si n < 0 et R si n ≥ 0
]0, +∞[ et ] − ∞, 0[
cos(t)dt = sin t + C
R
tan(t)dt = − ln |cos(t)| + C
R− {π/2 + kπ}
P = polynôme et a ∈ C∗ :
eat P (t)dt = eat Q(t) + C
1
dt = arctan(t) + C
1 + t2
1
t
1
dt
=
arctan(
)+C
a ∈ R∗+ :
a2 + t2
a
a
x
1
dt = ln( tan( ) ) + C
sin t
2
25
R deg P=deg Q
R
R
R− {kπ}
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ch(t)dt = sh(t) + C
R
1
1+t
1
dt
=
)+C
ln(
1 − t2
2
1−t
tα+1
α ∈ R, α 6= −1, tα dt =
+C
α+1
6.7
R− {−1, 1}
]0, +∞[
ln(t)dt = t ln(t) − t + C
]0, +∞[
sin(t)dt = − cos(t) + C
R
eat dt =
R
eat
+C
a
1
√
dt = arcsin(t) + C
1 − t2
1
x π
dt = ln( tan( + ) ) + C
cos(t)
2 4
R− {π/2 + kπ}
sh(t)dt = ch(t) + C
R
th(t)dt = ln(|ch(t)|) + C
R
] − 1, 1[
Développements limités des fonctions usuelles
• Les développements suivants sont au voisinage de 0
f (x0 + t) = f (x0 ) +
n
k=1
f (k) (x0 )
tk
+ ot→0 (tn )
k!
tk
+ ot→0 (tn )
k=0
k!
n
t2k+1
(−1)k
+ ot→0 (t2n+2 )
sin(t) =
k=0
(2k + 1)!
eat =
cos(t) =
n
ak
n
k=0
(−1)k
t2k
+ ot→0 (t2n+1 )
(2k)!
tan(t) = t + 13 t3 + O (t4 )
sh(t) =
n
k=0
t2k+1
+ ot→0 (t2n+2 )
(2k + 1)!
26
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n
ch(t) =
k=0
t2k
+ ot→0 (t2n+1 )
(2k)!
th(t) = t − 13 t3 + O (t4 )
(1 + t)α = 1 +
ln(1 + t) =
n
α(α−1)...(α−k+1) k
t
k=1
k!
+ ot→0 (tn )
n
(−1)k+1 k
t + ot→0 (tn )
k=1
k
n
1 k
n
k=1 k t + ot→0 (t )
ln(1 − t) = −
1
= nk=0 tk + ot→0 (tn )
1−t
1
= nk=0 (−1)k tk + ot→0 (tn )
1+t
(−1)k 2k+1
+ ot→0 (t2n+2 )
arctan(t) = nk=0
t
2k + 1
7
Fonctions intégrables ur un intervalle quelconque
• Soit f une fonction continue sur l’intervalle I de R à valeurs dans R+ .
f est intégrable sur I si et seulement si il existe un réel M>0 tel que
b
∀[a, b]⊂I,
Dans ce cas on définit
b
f = sup
avec
∞
n=0 [an , bn ]
f (t)dt6M
a
I
[a,b]⊂I
bn
f (t)dt = lim
n→∞
a
= I et ∀n ∈ N, [an , bn ]⊂[an+1 , bn+1 ]
f (t)dt
an
• Si f est une fonction continue sur l’intervalle I de R à valeurs dans R+ non intégrable , alors
b
f (t)dt = +∞
sup
[a,b]⊂I
a
Il arrive que l’on utilise pour les fonctions positives la dénomination : intégrale convergente , intégrale
divergente , au lieu de fonction intégrable, fonction non intégrable. C’est parfois plus commode car cela
permet de parler de la nature d’une intégrale : le théorème suivant justifie cette appellation.
• Soit F une primitive quelconque de f sur I = [a, c[ , f étant positive sur [a, c[ :
et dans ce cas
f est intégrable sur [a, c[ ⇔
F admet une limite finie en c−
b
[a,c[
f (t)dt = lim−
b→c
a
f (t)dt = lim− F (b) − F (a)
b→c
1
sur [1, +∞[
tα
1
est intégrable sur [1, +∞[ ⇔ α > 1
tα
1
• Intégrabilité de t 7→ α sur ]0, 1]
t
1
est intégrable sur ]0, 1] ⇔ α < 1
tα
• Intégrabilité de t 7→
27
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• Intégrabilité de t 7→
1
sur [c, b[
(b − t)α
1
est intégrable sur [c, b[ ⇔
(b − t)α
α<1
• Si f et g sont équivalentes au point b et si f est positive sur [c, b[ alors
même nature
[c,b[
f (t)dt et
[c,b[
g(t)dt sont de
• Par définition, une fonction f continue sur I est intégrable sur I si et seulement si |f | l’est.
8
Equations différentielles
• Soit a une fonction continue sur l’intervalle I contenant α.
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène du premier ordre
(H)
y 0 (x) − a(x)y(x) = 0
forme un sous espace vectoriel de RI de dimension 1 , admettant pour base la fonction
x
x → y(x) = exp
la solution générale est donc donnée par


y(x) = λe
a(t)dt
α
x
α

a(t)dt
• Si b est une fonction continue sur I, l’ensemble des solutions de l’équation avec second membre
(E)
y 0 − a(x)y(x) = b(x)
s’obtient en ajoutant à la solution générale de (H) une solution particulière de (E) , que l’on peut trouver en
faisant ’’varier la constante’’ λ. On obtient:



t
x
−
b(t)e
y(x) =
α
α
x
a(u)du
dt + µ

e
α
a(t)dt
• Soient a, b, c trois éléments de C. On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients
constants l’équation
(E)
ay”(x) + by 0 (x) + cy(x) = 0
l’équation caractéristique de (E)
(eq)
aX 2 + bX + c = 0
gère les solutions de (E) sur R à valeurs dans C par l’intermédiaire de son discriminant ∆
–
–
∆ 6= 0 ; si r1 , r2 sont les deux racines complexes de (eq)
(E) ⇔ ∃(λ, µ) ∈ C2 , y(x) = λer1 x + µer2 x
les solutions de E forment ainsi un espace vectoriel de dimension 2 , admettant pour base le couple
de fonctions (x → er1 x ,x → er2 x )
∆ = 0 ; si r1 est la racine double complexe de (eq) alors
(E) ⇔ ∃(λ, µ) ∈ C2 , y(x) = λer1 x (λ + µx)
les solutions de E forment ainsi un espace vectoriel de dimension 2, admettant pour base le couple de
fonctions (x → er1 x ,x → xer1 x )
Remarque : on retrouve les solutions à valeurs dans R en prenant la partie réelle des solutions complexes. Par exemple l’équation différentielle√y”(x) + y 0 (x) + y(x) = 0 admet pour solutions réelles
2iπ
x 7→ Re(λejx + µejx ) ou j = e 3 = − 12 + i 23
28
lycée Dessaignes 2004-2005
On montre alors que les solutions s’expriment sous la forme
√
√
1
1
3
3
y(x) = αe− 2 x cos(
x) + βe− 2 x sin(
x)
2
2
9
Notions sur les fonctions de deux variables
9.1
9.1.1
Espace R2 . Fonctions continues
Espace R2
• Normes usuelles :
Soit x = (x1 , x2 ) ∈ R2
N∞ (x) = sup(|x1 | , |x2 |)
N2 (x) = x21 + x22
N1 (x) = |x1 | + |x2 |
2
sont trois exemples de normes sur R . N2 est la norme euclidienne. Ces normes sont équivalentes .
N∞ (x)6N2 (x)6N1 (x)62N∞ (x)
Dans la suite on note N l’une d’entre elles
• Partie bornée A ⊆ R2 est bornée ssi
∃M ∈ R+ , ∀x ∈ A, N(x)6M
• Boule ouverte (resp fermée) de centre a et de rayon r pour la norme N
B(a, r) = x ∈ R2 , N(x − a) < r
B 0 (a, r) = x ∈ R2 , N(x − a) ≤ r
• Adhérence d’une partie
Un point a ∈ R2 est adhérent à A s’il est limite d’une suite de points de A, c’est à dire s’il existe une
suite (an )n∈N d’éléments de A telle que lim N(a − an ) = 0.
n→∞
L’adhérence A de A est l’ensemble des point adhérents à A.
Par exemple l’adhérence de B(a, r) dans R2 est B 0 (a, r).
Exercice 6 . Démontrer que l’adhérence de Q2 dans R2 est égale à R2 .
• Partie ouverte
Une partie de R2 est ouverte si et seulement si , lorsqu’elle contient un point a elle contient au moins une
boule ouverte centrée en A
Exemple A =]0, ∞[×]0, ∞[ est une partie ouverte car si a = (a1 , a2 ) ∈ A , alors B(a, min(a1 , a2 ))⊂A
A =]0, ∞[×[0, ∞[ ne l’est pas car le point (1, 0) ∈ A mais aucune boule de centre (1, 0) n’est incluse
dans A
• Partie fermée
Une partie A est fermée lorsque
A=A
Cela revient au même de dire que le complémentaire de A est une partie ouverte
• Théorème de Bolzano-Wierstrass
De toute suite bornée de points de R2 on peut extraire une sous suite-convergente.
6
E(10n x)
E(10n y)
∈
Q,
y
=
∈ Q.
n
10n
10n
2
la suite Xn = (xn , yn ) est une suite de Q qui vérifie N∞ (X − Xn ) ≤ 10−n donc qui converge vers X
Soit X = (x, y) ∈ R2 .Posons xn =
29
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9.1.2
Fonctions continues
• Une fonction définie sur A⊂ R2 à valeurs dans C est lipchitzienne sur A si et seulement si il existe k > 0
tel que
∀(x, y) ∈ A2 , |f (x) − f (y)| 6kN(x − y)
• Une fonction définie sur A⊂ R2 à valeurs dans C est continue en a ∈ A si et seulement si
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ A, N(x − a) < α ⇒ |f (x) − f (a)| < ε
Il est clair que toute fonction lipchitzienne sur A est continue en tout point de A
• Applications partielles en un point
Soit f définie en a = (a1 a2 ). On appelle applications partielles f1 , f2 au point a les deux applications
f1 (x) = f (x, a2 )
f2 (y) = f (a1 , y)
elles reviennent à considérer une restriction de f sur chacune des deux droites passant par a et parallèle
aux axes Ox, Oy
• Définition séquentielle de la continuité
f est continue en a si et seulement si pour tout suite (un )n∈N de points de A qui converge vers a
à dire telle que lim N(un − a) = 0) , alors la suite (f (un ))n∈N converge vers f (a)
( c’est
n→∞
• Toute fonction continue sur une partie A qui est fermée et bornée , à valeurs dans R , est bornée et atteint
ses bornes
• La continuité dans R2 est une notion assez délicate . Par exemple, il est nécéssaire pour une fonction f
continue en a que ses deux applications partielles soient continues en a1 et a2 mais ce n’est pas suffisant:
ceci provient du fait qu’il existe une infinité de directions pour s’approcher d’un point dans R2 ( de plus on
peut s’approcher d’un point sans nécéssairement suivre un direction donnée, par exemple en suivant une
spirale qui s’enroule autour de ce point) ceci n’est pas le cas dans R .
xy 2
Par exemple, l’application f : (x, y) → f (x, y) = 2
et f (0, 0) = 0 est continue en (0, 0) car
x + y2
|f (x, y) − f (0, 0)| 6x , en effet cela prouve que f (x, y) tend vers f (0, 0) lorsque le couple (x, y) tend
vers (0, 0). Dans cet exemple les deux applications partielles f1 = f2 en (0, 0) sont nulles. Considérons
xy
et g(0, 0) = 0 . Elle n’est pas continue en (0, 0)
maintenant l’application g : (x, y) → g(x, y) = 2
x + y2
1 1
1 −1
1
1
) = − , cependant g1 = g2 = 0 sont toutes deux continues en 0
car lim g( , ) = et lim g( ,
n→∞
n n
2 n→∞ n n
2
puisqu’elles sont nulles.
• Il peut être parfois commode de passer en coordonnées polaires pour prouver la continuité d’une application
en 0,en posant r = x2 + y 2 et x = r cos θ, y = r sin θ. En effet dire que (x, y) → (0, 0) se traduit par
r → 0 . Par exemple dans le cas de f et g, on trouve f (x, y) = r cos θ sin2 θ et g(x, y) = cos θ sin θ , ce
qui permet alors facilement de retrouver les résultats précédents
|x|α |y|β
Exercice7 : soit f (x, y) = 2
, f (0, 0) = 0 où α, β, γ sont trois réels positifs. Etudier la continuité
(x + y 2 )γ
de f
9.2
Fonctions de deux variables: calcul différentiel.
• Dérivée selon un vecteur h
−
→
f est une fonction définie autour du point a = (a1 , a2 ) ∈ R2 et h = (h1 , h2 ) ∈ R2 − {0} est un vecteur
f (x, y) = rα+β−2γ |cos θ|α |sin θ|β . Si α + β − 2γ > 0 alors f (x, y) →(x,y)→(0,0) 0. Si
θ=π/4 , f (x, y) 9(x,y)→(0,0) 0
7
30
α + β − 2γ ≤ 0
, en fixant
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donné. Il s’agit alors de considérer l’application d’une variable réelle
−
→
ϕ→ : t → ϕ→ (t) = f (a + t h )
h
h
et de regarder si elle est dérivable en 0. On pose alors:
∂f
f (a + th) − f (a)
f (a1 + th1 , a2 + th2 ) − f (a1 , a2 )
= lim
−
→ (a) = lim
t→0
t→0
t
t
∂h
Remarque : on le note parfois ∂→ f (a)
h
• Dérivées partielles
−
→ −
→
On dérive selon e1 ,et e2 vecteurs de la base canonique de R2
∂f
f (a + te1 ) − f (a)
f (a1 + t, a2 ) − f (a1 , a2 )
∂f
= lim
−
→ (a) est noté: ∂x (a) = lim
t→0
t→0
t
t
∂ e1
∂f
f (a + te2 ) − f (a)
f (a1 , a2 + t) − f (a1 , a2 )
∂f
= lim
−
→ (a) est noté ∂y (a) = lim
t→0
t→0
t
t
∂ e2
• Développement limité à l’ordre 1 en a
Si les dérivées partielles de f existent et sont continues sur un voisinage de a = (a1 , a2 ) alors f admet au
point a un développement limité à l’ordre 1 donné par l’expression suivante de f (a+h) où h = (h1 , h2 ) ∈ R2
f (a + h) = f (a) + dfa (h) + o(h)
∂f
∂f
avec dfa (h1 , h2 ) =
(a)h1 +
(a)h2
∂x
∂y
dfa est appelé la différentielle en a de f
• Gradient de f
∂f
∂f
(a),
(a)) ∈ R2
∂x
∂y
ce vecteur donne la direction des plus fortes variations de la fonction f
∂f
∂f
(grad(f )(a) | (h1 , h2 )) =
(a)h1 +
(a)h2 = dfa (h1 , h2 )
∂x
∂y
ce qui signifie d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz que
|dfa (h1 , h2 )| 6N2 (grad(f )(a))N2 (h)
dfa (h1 , h2 ) est maximum lorsque h et colinéaire au gradient de f
−−−−−−−−−−→
Par exemple si f (x, y) = x2 + 4y 2 , on trouve grad(f )(a1 , a2 ) = (2a1 , 8a2 ).
La ligne de niveau de f qui passe par le point (a1 , a2 ) est l’ellipse d’équation x2 + 4y 2 = a21 + 4a22 .
−−−−−−−−−−→
Si le point m(x, y) se déplace dans la direction de grad(f )(a1 , a2 ), il maximise l’accroissement de f.
Sur le graphique qui suit on a représenté deux lignes de niveau de l’application f (x, y) = x2 + 4y 2 , c’est
à dire les parties du plan définies par: f (x, y) = k ou k est une constante (ici k = 5 , k = 6) . Lorsque
l’on se trouve au point m(1, 1) pour k = 5, si l’on veut augmenter la fonction f le plus possible , il faut se
−−−−−−−−→
déplacer dans la direction donnée par grad(f )(1, 1) = (2, 8) indiquée sur la figure . Noter que la direction
du gradient est orthogonale à la direction de la tangente en M à la ligne de niveau, ce qui est tout à fait
grad(f )(a) = (
31
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logique puisque l’on souhaite s’en échapper le plus vite possible.
3
2
y
1
-3
-2
-1
0 0
1
x
2
3
-1
-2
-3
deux lignes de niveaux de x2 + 4y 2 et gradient
• Soit A⊂ R2 , et f ∈ RA . f admet au point a ∈ A un maximum local ssi
∃α > 0, ∀x ∈ A ∩ B(a, α), f (x)6f (a)
• Si f est de classe C 1 sur une partie ouverte A de R2 et admet en un point a de A un extrémum local , alors
dfa = 0 , ou ce qui revient au même grad(f )(a) = 0
9.3
Dérivées d’ordre supérieur
• f est de classe C k sur la partie A de R2 ssi elle y est de classe C k−1 et si toutes ses dérivées partielles d’ordre
k − 1 sont de classe C 1 sur A
On note alors pour xi ∈ {x, y}
∂ k−1 f
∂kf
∂
(
)=
∂x1 ∂x2 ...∂xk
∂x1 ...∂xk
Par exemple
∂f
∂f
(a1 + t, a2 ) −
(a1 , a2 )
2
∂ f
∂y
∂y
(a1 , a2 ) = lim
t→0
∂x∂y
t
∂f
∂f
(a1 , a2 + t) −
(a1 , a2 )
2
∂ f
∂y
∂y
(a1 , a2 ) = lim
t→0
∂y 2
t
• Théorème de Schwarz: Si f est de classe C 2 sur A
∂2f
∂2f
=
∂x∂y
∂y∂x
9.4
Champs de vecteurs
• Un champ scalaire C 2 dans R2 est une application de classe C 2 d’une partie A de R2 à valeurs dans R :
A
→ R
f:
(x, y) → f (x, y)
−−−−−→
∂f
∂f
grad(f )(x, y) = ( (x, y),
(x, y))
∂x
∂y
Exemple: en physique, le potentiel est un champs scalaire.
• Un champ de vecteurs C 2 dans R3 est une application de classe C 2 d’une partie A de R3 à valeurs dans
R3 :
A
→ R3
f:
m = (x, y, z) → f (m) =(f1 (x, y, z), f2 (x, y, z), f3 (x, y, z))
Exemple: En physique , le champ de gravité de la terre.
32
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On représente souvent un champ de vecteurs par la famille des couples (m, f (m)). voici par exemple
un champ sur R2 ,associé à l’équation différentielle du modèle de Volterra modélisant l’évolution d’une
x0 = x(1 − y)
population (x =proies, y =prédateurs)
y 0 = 3y(x − 1)
• Divergence
∂f1
∂f2
∂f3
(x, y, z) +
(x, y, z) +
(x, y, z)
∂x
∂y
∂z
∂f1
∂x
1
∂f2
. 1
=
∂y
1
∂f3
∂z
(x,y,z)
div(f )(x, y, z) =
• Rotationnel
rot(f )(x, y, z) = (
=
10
10.1
10.1.1
∂f3 ∂f2 ∂f1 ∂f3 ∂f2 ∂f1
−
,
−
,
−
)(x, y, z)
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
∂
∂x
f1
∂
∧ f2 (x, y, z)
∂y
f3
∂
∂z
Nombres et structures algébriques
Ensembles, applications
Ensembles
• Soient R, S deux propositions: on définit les propositions
RetS, RouS, R ⇒ S, nonR, R ⇔ S par la table de vérité suivante
33
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R
V
V
F
F
S
V
F
V
F
RetS
V
F
F
F
RouS
V
V
V
F
R⇒S
V
F
V
V
nonR
F
F
V
V
R⇔S
V
F
F
V
(non(RetS)) ⇔ ((nonR) ou (nonS))
(non(RouS)) ⇔ ((nonR) et (nonS))
(non(non(R)) ⇔ R
• Implication
(R ⇒ S) ⇔ (nonR ou S)
[non(R ⇒ S)] ⇔ (R et nonS)
En clair , une implication est fausse lorsque son hypothèse R ( ou prémisse) est vraie et que sa conclusion S
est fausse. Par exemple l’implication 2 < 1 ⇒ 1 < 2 est vraie ( eh oui!) mais l’implication 5 < 6 ⇒ 6 < 5
est fausse.
• Quantificateurs
[non[∀x ∈ E, R(x))]] ⇔ [∃x ∈ E, nonR(x)]
[non[∃x ∈ E, R(x))]] ⇔ [∀x ∈ E, nonR(x)]
Sur ce sujet , on ne peut que conseiller de lire le livre de Lewiss Caroll : Logique sans peine, édité chez
Hermann et illustré par max Ernst dont voici quelques morceaux choisis, présentés sous forme de syllogismes
dont il faut trouver la conclusion
SyllogismeN ◦ 1
SyllogismeN ◦ 2
0
Aucun de mes fils n est malhonnête
Tous les chats comprennent le francais
8
on respecte toujours un homme honnête quelques poulets sont des chats 9
SyllogismeN ◦ 3
Seuls les braves méritent la victoire
quelques fanfarons sont des l âches 10
• Raisonnement par contrapposée
(R ⇒ S) ⇔ (nonS ⇒ nonR)
Par exemple si f ∈ R et a ∈ I, il revient au même de prouver que
[[f est continue en a] ⇒ [pour toute suite ( un )n∈N convergente vers a, la suite f (un ))n∈N converge vers
f (a)] ]
ou que
[ [il existe une suite ( un )n∈N convergente vers a telle que la suite f (un ))n∈N ne converge pas vers f (a)] ⇒
[ f n’est pas continue en a]]
Noter que la négation de la phrase ’’pour toute suite (un )n∈N convergente vers a, la suite (f (un ))n∈N converge vers f (a)” a tout d’abord nécessité de l’écrire : [∀u ∈ I N , P (u) ⇒ Q(u)] où P (u) est la proposition
’’u converge vers a” et Q(u) la proposition ’’(f (un ))n∈N converge vers f (a)” , afin de pouvoir la nier sous
la forme [∃u ∈ I N , P (u) et non Q(u)]
On comprend ainsi l’intérêt de l’écriture quantifiée sous la forme la plus dépouillée d’une proposition mathématique : cela évite l’ambiguïté d’une interprétation hasardeuse . Il ne faut cependant pas
tomber dans l’excès inverse , qui peut rendre un discours mathématique totalement indigeste: le mieux est
l’ennemi du bien.
I
• Soit E un ensemble . On définit l’ensemble P(E) des parties de E
8
9
10
Aucun de mes fils n est jamais traité sans respect
quelques poulets comprennent le français
quelques fanfarons ne méritent pas la victoire
34
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P(E) = {A, A⊆E}
Noter que: ∅ ∈ P(E)
• Soit E un ensemble et R(x) une fonction propositionnelle , c’est à dire une proposition dont la valeur de
vérité dépend de x ∈ E
F = {x ∈ E, R(x)} définit une partie de E , formée des éléments de E tels que la proposition R(x) soit
vraie
Exemples F = {x ∈ R, 1 + x + x2 ∈ R− } : vérifier que F = ∅
√
3 11
−1
2
−
+ ib, b ∈ R et |b| ≥
G = {x ∈ C, 1 + x + x ∈ R } vérifier que G = x =
2
2
• Soient R, S deux fonctions propositionnelles sur E et
F = {x ∈ E, R(x)} , G = {x ∈ E, S(x)}
On a alors
F ∩ G = {x ∈ E,
F ∪ G = {x ∈ E,
CE (F ) = {x ∈ E,
• Produit cartésien
10.1.2
R(x) et S(x)}
R(x) ou S(x)}
non(R(x))}
E × F = {(x, y), x ∈ E et y ∈ F }
Applications , lois de composition
• Une application de E (ensemble de départ) vers F (ensemble d’arrivée ) est la donnée d’une partie G de
E × F appelée graphe de f : qui doit vérifier
∀x ∈ E, ∃!y ∈ F, (x, y) ∈ G
On appelle y l’image de x (elle est unique ), et x un antécédent de y (il n’est pas forcément unique , et
peut ne pas exister si l’on prend un élément y quelconque dans F ) et l’on note
y = f (x)
On note f (E) ou Im(f ) l’ensemble
Im(f ) = {y ∈ F, ∃x ∈ E, y = f (x)}
Plus généralement, si A⊂E, on appelle image de la partie A et l’on note f (A) l’ensemble des images des
éléments de A
f (A) = {y ∈ F, ∃x ∈ A, y = f (x)}
−1
Inversement si F 0 est une partie de F on note f (F 0 ), image réciproque de F 0 par f, l’ensemble des
éléments de E dont l’image est élément de F 0 :
−1
f (F 0 ) = {x ∈ E, ∃y ∈ F 0 , y = f (x)}
Attention : ne pas confondre cette notation avec f −1 , bijection réciproque de f.
On note F E l’ensemble des applications de E vers F .
Exemple12 : Soit f : R → R définie par f (x) = x − E(x). Déterminer
1
f (Z),
• Identité de E
1
f ({0}),
IdE :
1
f ({1/2}),
E
x
f (R),
f (]0, 1[)
→ E
→ IdE (x) = x
11
poser x = a + ib et identifier
12
f (Z) = {0} , f ({0}) = Z, f ({1/2}) = Z+1/2, f (R) = [0, 1[, f (]0, 1[) = R − Z
1
1
1
35
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• Une application f ∈ F E est
f est injective
f est surjective
f est bijective
⇔ [∀(x, x0 ) ∈ E 2 , [f (x) = f (x0 ) ⇒ x = x0 ]]
⇔ [∀y ∈ F, ∃x ∈ E, y = f (x)]
⇔ [∀y ∈ F, ∃!x ∈ E, y = f (x)]
• La composée de deux injections (resp surjections , resp bijections ) est injective (resp surjective , resp
bijective)
• Si gof est injective (resp surjective) alors f est injective (resp g est surjective)
• Si f ∈ F E est bijective, il existe une unique application f −1 ∈ E F vérifiant
∀(x, y) ∈ E × F, y = f (x) ⇔ x = f −1 (y)
f −1 est la bijection réciproque de f
f of −1 = IdF
f −1 of = IdE
• Loi de composition interne sur E . On nomme ainsi toute application de E × E à valeurs dans E
E×E → E
∗:
(x, y)
→ x∗y
∗
n
Notation : si n ∈ N alors x = x ∗ x.. ∗ x , n fois est l’itéré nième de x pour la loi ∗
• Associativité
∗ associative ⇔ ∀(x, y, z) ∈ E 3 , x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z
quand une loi est associative il est inutile de mettre des parenthèses : attention certaines lois ne sont pas
c
associatives ... par exemple la loi définie sur N∗ par a ∗ b = ab ne l’est pas puisque (ab )c = abc 6= a(b ) en
général
• Elément neutre : Il existe un élément neutre e pour ∗ dans E ssi
∀x ∈ E, e ∗ x = x ∗ e = x
Si e existe et si la loi ∗ est associative , alors e est unique.
• Inverse d’un élément : Si e existe et si la loi ∗ est associative , on dit que l’élément x est inversible pour ∗
ssi il existe un élément x0 tel que
x0 ∗ x = x ∗ x0 = e
x0 est alors unique et s’appelle l’inverse de x pour la loi ∗: il est noté x−1
• Commutativité
∗ commutative ⇔ ∀(x, y) ∈ E 2 , x ∗ y = y ∗ x
Exercice : Soit un ensemble E muni d’une loi ∗ qui est associative, qui posséde un élément neutre e, et
telle que ∀x ∈ E, x2 = e : alors la loi ∗ est commutative
13
10.1.3
Relations d’équivalences, relations d’ordre
• Une partition de l’ensemble E est une famille (Ei )i∈I de parties non vides et disjointes de E dont la réunion
est égale à E
Ei = E, et ∀(i, j) ∈ I 2 , i 6= j ⇒ Ei ∩ Ej = ∅ et ∀i ∈ I, Ei 6= ∅
i∈I
• Une relation d’équivalence sur E est la donnée d’une partition (Ei )i∈I de E . On définit alors R par
xRy ⇔ ∃i ∈ I, {x, y} ⊂ Ei
R est réflexive : ∀x ∈ E, xRx
∀(x, y) ∈ E 2 , x ∗ y ∈ E , donc (x ∗ y)2 = e = (x ∗ y) ∗ (x ∗ y) , donc (x ∗ e) ∗ y = [x ∗ [(x ∗ y) ∗ (x ∗ y)]] ce qui donne
grâce à l’associativité x ∗ y = y ∗ x
13
36
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R est symétrique : ∀(x, y) ∈ E 2 , xRy ⇔ yRx
R est transitive : ∀(x, y, z) ∈ E 3 , [[xRy et yRz] ⇒ [xRz]]
Un système de représentants pour R est la donnée d’une partie F de E telle que
∀x ∈ E, ∃!y ∈ F, xRy
La classe d’équivalence de l’élément x de E est définie par
Cl(x) = {y ∈ E, xRy}
Remarque: Il existe un unique élément i0 de I tel que Cl(x) = Ei0
∀(x, y) ∈ E 2 , [Cl(x) ∩ Cl(y) = ∅ ou Cl(x) = Cl(y)]
Par exemple si n est un entier naturel non nul, la relation xRy ⇔ x ≡ y mod n est une relation
d’équivalence sur Z. La classe de x est Cl(x) = x + nZ. Il existe n classes disjointes E0 , ..., En−1 .
( Ek = Cl(k) = k + nZ)06k6n−1
• Une relation C est une relation d’ordre sur E si C est réflexive , transitive et antisymétrique
C est antisymétrique: ∀(x, y) ∈ E 2 , [xCy et yCx] ⇒ x = y
C est un ordre total si ∀(x, y) ∈ E 2 , [xCy ou yCx]
Un ordre non total est dit partiel
Par exemple la relation 6 est une relation d’ordre total sur R. la relation ⊂ est une relation d’ordre partiel
sur P(E) lorsque Card(E) ≥ 2
• Majorant, minorant d’une partie A
Soit A⊂E . a ∈ E est un majorant de A (resp minorant) ssi ∀x ∈ A, xCa (resp aCx)
• Plus grand élément, plus petit élément
max(A) = a ⇔ a est un majorant de A et a ∈ A
min(A) = a ⇔ a est un minorant de A et a ∈ A
lorsqu’ils existent max(A), min(A),sont uniques
Par exemple si E = P(N) , et A = {∅, {1, 2} , {1, 3} , {1, 2, 7}} ,
a = {1, 2, 3, 7} est un majorant de A , mais n’est pas plus grand élément de A, a = ∅ est le plus petit
élément de A
1 4
Exercice : Comparer max(min(ai,j )) et min(max(ai,j )) . Vérifier sur l’exemple a =
3 2
i
j
j
i
Solution:
max(min(ai,j )) 6 min(max(ai,j ))
i
j
j
i
en général il n’y a pas égalité : On étudie la cas général :
∀i, j, ai,j 6 max(ai,j )
i
donc
(indépendant de i et j)
min(ai,j )6 min(max(ai,j ))
donc
j
j
i
max(min(ai,j )) 6 min(max(ai,j ))
i
j
j
i
en effet sur notre exemple on constate que
max(min(ai,j )) = 2 et min(max(ai,j )) = 3
i
10.2
10.2.1
j
j
i
Nombres entiers naturels , ensembles finis , dénombrement
Nombres entiers naturels
• Toute partie non vide de N possède un plus petit élément . Toute partie majorée non vide de N possède un
plus grand élément.
37
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• Principe de récurrence . Soit A une partie de N telle que
n0 ∈ A
∀n ∈ A, [n>n0 et n ∈ A] ⇒
Alors {n ∈ N, n>n0 } ⊂A
• Principe de récurrence avec prédécesseurs .
Soit A une partie de N telle que
n0 ∈ A
∀n ∈ A, [ {n0 , .., n} ⊂A]
Alors {n ∈ N, n>n0 } ⊂A
10.2.2
⇒
[n + 1 ∈ A]
[n + 1 ∈ A]
Ensembles finis
• L’ensemble E est fini ssi il existe un entier naturel n tel que E soit en bijection avec {1, .., n} : n est alors
unique , et se note Card(E) ( autres notations [E], #E )
• ∅ est fini de cardinal nul
• Si E est fini alors toute partie E 0 ⊂E de E est finie et
Card(E 0 )6Card(E)
De plus
Card(E 0 ) = Card(E) ⇒ E 0 = E
• Soit E et F
deux ensembles finis de cardinaux égaux . Soit d’autre part f ∈ F E : On a
f injective ⇔ f surjective ⇔ f bijective
• Soient E et F deux ensembles et Φ une bijection de E dans F ;
Alors si E est fini, F l’est également et ils ont le même cardinal
10.2.3
Sommes et produits
•
n
ai = a1 + ... + an
i=1
n
i=1
p
n
(
p
ai,j ) =
i=1 j=1
(
i=1 j=1
n
(
ai,j ) =
j=1 i=1
p
n
10.2.4
ai = a1 × a2 ... × an
(i,j)∈{1,.,n}×{1,..,p}
p
n
ai bj ) = (
ai )(
i=1
ai,j
bj ) =
i=1
ai bj
(i,j)∈{1,.,n}×{1,..,p}
Opérations sur les ensembles finis. Dénombrement
• Si E et F sont deux ensembles finis , E ∪ F, E ∩ F le sont et
Card(E ∪ F ) = Card(E) + Card(F ) − Card(E ∩ F )
Card(E ∪ F ∪ G) = Card(E) + Card(F ) + Card(G)
−Card(E ∩ F ) − Card(F ∩ G) − Card(E ∩ G)
+Card(E ∩ F ∩ G)
38
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n
Card(
n
(−1)k+1
Ei ) =
i=1
k=1
(i1 ,..,ik )∈Pk ({1,..n})
Card(Ei1 ∩ .. ∩ Eik )
Pk ({1, ..n}) désignant ici l’ensemble des parties à k éléments de {1, ..n}
• Produit cartésien
Card(E × F ) = Card(E) × Card(F )
• Lemme des bergers
Soit f une application surjective de E dans F telle que
−1
∃p ∈ N∗ , ∀y ∈ F, Card( f ({y})) = p
alors
Card(E) = p × Card(F )
• Ensemble F E des applications de E dans F parfois noté F(E, F )
Card(F E ) = Card(F )Card(E)
• Ensemble des parties de E
Card(P(E)) = 2Card(E)
P(E) → F(E, {0, 1})
Cette formule se démontre en utilisant la bijection Φ :
A
→ 1A
ou 1A est définie par : ∀x ∈ E, 1A (x) = 1 si x ∈ A et 1A (x) = 0 si x ∈
/A
1A est la fonction caractéristique de A
• Nombre d’injections
Soit E,F deux ensembles finis de cardinal respectifs p = Card(E),
n = Card(F ) tels que p6n. le nombre d’injections de E dans F est
Apn = n(n − 1)..(n − p + 1)
cela revient à choisir successivement les images des éléments de E, en prenant soin de les choisir différentes .
• Nombre de bijections Si E et F sont de même cardinal , le nombre de bijections de E dans F est
Ann = n!
Une application bijective de E dans lui même est appelée permutation de E.
S(E) = f ∈ E E , f bijective
card(S(E)) = n!
• Combinaisons
Soit E un ensemble de cardinal n . On appelle combinaison à p éléments de E toute partie de E de
cardinal p. Il existe Cnp parties à p éléments de E
n
p
n
p
+
n
n
p−1
k=0
n(n − 1)..(n − p + 1)
n!
=
p!
p!(n − p)!
n+1
=
Formule de Pascal
p
=
n
n
k
= 2n ,
n
p
n
=
p
(−1)n
k=0
n
k
=0
n−1
p−1
39
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n+p
k=n
n
p
=
n
n−p
n
k
=
n+1
n+p+1
• Triangle de Pascal
n\p 0 1 2 3 4 5 6
0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
2 1 2 1 0 0 0 0
3 1 3 3 1 0 0 0
4 1 4 6 4 1 0 0
5 1 5 10 10 5 1 0
6 1 6 15 20 15 6 1
14
Exercice : Déterminer le nombre d’applications {1, 2, .., 2n} dans lui même qui transforme tout nombre
pair en un nombre pair , et dont la restriction à l’ensemble des nombres impairs est injective.
10.3
Structures algébriques usuelles
• Un groupe est un couple (G, ∗) formé d’un ensemble G muni d’une loi de composition interne ∗, associative
, possédant un élément neutre e , et telle que tous les éléments de E possédent un inverse dans E
• Soit (G, ∗) un groupe et G0 une partie non vide de G . G0 est un sous-groupe de G si elle est stable pour la
loi ∗ et si de plus (G0 , ∗) est un groupe. Ceci est équivalent à montrer que
e ∈ G0
∀(x, y) ∈ G02 , x ∗ y −1 ∈ G0
• Une application f de (G, $) dans (H, $) est un morphisme ssi
∀(x, y) ∈ G, f (x$y) = f (x)$f (y)
Si f est un morphisme surjectif et si (G, $) est un groupe alors (H, $) est un groupe et de plus
eH = f (eG )
−1
f (x ) = (f (x))−1
• Le noyau d’un morphisme de groupe f est
ker(f ) = {x ∈ G, f (x) = eH }
C’est un sous groupe de (G, $)
• L’image d’un morphisme de groupe f est
Im(f ) = f (G)
• Un morphisme f est injectif ssi ker(f ) = {eG } . Il est surjectif ssi Im(f ) = H
• Un groupe est commutatif ssi la loi du groupe l’est . (Z, +) est un exemple de groupe commutatif
10.3.1
Sous groupe engendré par un élément.
Une telle application f est entièrement connue lorsque l’on connait le couple formé de ses deux restrictions (f1 , f2 ) aux
nombres pairs P et aux nombres impairs I. Pour déterminer l’image des éléments de P, il faut et suffit que l’on se donne une
application de P dans lui même ce qui correspond à nn choix. Pour déterminer l’image des éléments I il faut et il suffit que l’on
2n!
se donne une injection de I dans E , ce qui correspond à An2n =
choix possibles . Or le cardinal des possibilités pour le
n!n
n .2n!
telles applications.
couple (f1 , f2 ) correspond à celui d’un produit cartésien. Il y a donc
n!
14
40
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• Soit (G, ∗) un groupe commutatif et a ∈ G . On note
∀n ∈ N∗ , an = a ∗ .. ∗ a, n f ois
∀n ∈ Z− , an = (a−n )−1 et a0 = e.
Gr(a) = {an , n ∈ Z}
L’ensemble Gr(a) est un sous-groupe de G appelé sous groupe engendré par a
Par exemple si (G, ∗) = (U, ×) est le groupe des complexes de module 1, et a = e
Gr(a) = 1, a, a2 , a3 , a4 = U5
n’est autre que le sous groupe des racines cinquièmes de l’unité dans C.
2iπ
5
• Ordre d’un élément dans un groupe
Soit a ∈ G. On dit que a est d’ordre fini ssi il existe un entier p>1 tel que
ap = e et ∀k ∈ {1, .., p − 1} , ak 6= e.
p est l’ordre de a :il est unique lorsqu’il existe , mais n’existe pas nécessairement
par exemple dans (U, ×), a = ei n’est pas d’ordre fini 15 , alors que a = e
2iπ
5
est d’ordre 5
• Groupe cyclique . Un groupe G est cyclique lorsqu’il existe un élément a de ce groupe tel que
Gr(a) = G
Par exemple ( Z, +) est cyclique car Z = Gr(1) = Gr(−1) , U5 est cyclique car U5 = Gr(e
cependant (R, +) n’est pas cyclique puisque si a 6= 0, Gr(a) = Za = {na, a ∈ Z} , et Za 6= R
On appelle générateur d’un groupe cyclique tout élément a qui vérifie Gr(a) = G
2iπ
5 )
• Le groupe Un des racines nièmes de l’unité est cyclique , de cardinal n. Il admet pour générateur α = e
ainsi que tous les éléments de la forme αk ou 16k6n − 1 est un nombre premier avec n.
10.3.2
,
2iπ
n ,
Le groupe symétrique
• Groupe symétrique . On nomme ainsi le groupe Sn des permutations de {1, .., n}
Card(Sn ) = n!
• La transposition ti,j de Sn est l’application telle que ti,j (i) = j, ti,j (j) = i qui laisse tous les autres éléments
de {1, .., n} invariants
• Le cycle ci1 ,..,ik est l’application c telle que ∀j ∈ {1, .., k − 1} , c(ij ) = ij+1 et c(ik ) = i1
Une transposition est un cycle de longueur 2
• Génération de Sn par les transpositions
∀σ ∈ Sn , ∃p ∈ N∗ , ∃t1 , .., tp , p transpositions telles que σ = t1 ot2 o.......otp
Remarque : toute permutation peut se décomposer comme produit commutatif de cycles à supports dis1 2 3 4 5 6 7
joints Par exemple f :
est la composée commutative de c1,4,2 , c3,5 , c6,7
4 1 5 2 3 7 6
• Signature d’une permutation
∀σ ∈ Sn , σ = t1 ot2 o.......otp ⇒ ε(σ) = (−1)p
L’application ε est un morphisme de (Sn , o) dans ({−1, 1} , ×). C’est d’ailleurs le seul morphisme non
trivial.
• Le noyau de ce morphisme est l’ensemble des permutations dont la signature est égale à 1 , que l’on nomme
permutations paires
An = {σ ∈ Sn , ε(σ) = 1}
An est un sous groupe de Sn , appelé groupe alterné.
15
en effet ak = eik :
ak = 1 ⇔ k = 2rπ ⇔ k = r = 0 car sinon on aurait π ∈ Q
41
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1 2 3
2 1 3
◦
• Exercice: peut on passer de la position du taquin n 1 : 4 5 6 à la position n 2 : 4 5 6
7 8
7 8
16
utilisant la case vide pour faire glisser les pièces verticalement ou horizontalement ?
◦
10.3.3
en
Anneaux, Corps
• Un anneau (A, +, ×) est un ensemble muni de deux lois internes +, × tel que
(A, +) est un groupe commutatif
× est associative
× possède un élément neutre 1A
× est distributive sur +
si la loi × est commutative , l’anneau est dit commutatif
• Eléments inversibles
On note A∗ l’ensemble des éléments de A qui admettent un inverse pour la loi ×
A∗ = {x ∈ A, ∃y ∈ A, xy = yx = 1A }
A∗ est un groupe multiplicatif
• Corps .
Un corps est un anneau commutatif dans lequel tous les éléments non nuls sont inversibles
• Un anneau commutatif est intègre ssi
∀(x, y) ∈ A2 , xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0
(Z, +, ×) est un anneau intègre . (Q, +, ×) est un corps
• Divisibilité dans Z. Soient (a, b) ∈ Z2 . b est un multiple de a ssi il existe k ∈ Z tel que b = ka
dans ce cas a est un diviseur de b. On le note:
a | b ⇔ ∃k ∈ Z, b = ka
• Division euclidienne dans Z
∀(a, b) ∈ Z × N∗ , ∃!(q, r) ∈ Z × N, a = bq + r et 06r6b − 1
q est le quotient et r est le reste dans la division euclidienne de a par b
• Formule du binôme
Soit A un anneau et x, y deux éléments de A qui commutent . Alors
n
n
n
(x + y) =
xk y n−k
k
k=0
n−1
n
n
2
2
x −y
10.3.4
Espaces vectoriels
= (x − y)(
xn−k−1 y k )
k=0
x − y = (x − y)(x + y)
x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 )
x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 )
Non . associons à chaque position du taquin la suite des chiffres lus dans la table en parcourant successivement les lignes de
gauche à droite. On obtient ainsi une permutation de {1, .., 8} . la position n◦ 2 définit une permutation de signature -1, alors que
la position n◦ 1 a pour signature 1 : or toutes les transformations possibles sur le taquin sont soit l’identité pour le glissements
horizontaux, soit des cycles d’ordre 3
pour les glissements verticaux, dont la signtaure est égale à 1. Il est donc impossible
en composant de telles permutations d’obtenir une signature égale à −1
16
42
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• Soit (E, +) un groupe commutatif et K un corps . On nomme loi de composition externe sur E à domaine
d’opérateurs dans K toute application de K×E dans E notée (α, x) → α.x qui vérifie les quatre axiomes
α.(x + y) = α.x + α.y
(α + β).x = α.x + β.x
• ∀(x, y) ∈ E 2 , ∀(α, β) ∈ K2 ,
α.(β.x) = (αβ).x
1K .x = x
Le triplet (E, +, .) est alors appelé K espace vectoriel
Les éléments de E sont appelés vecteurs . Le vecteur nul est noté 0E
Les éléments de K sont appelés scalaires. Le scalaire nul est noté 0K
• Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E ssi F est un sous groupe additif de E , stable pour . ,
ce qui revient à dire que
F 6= ∅ et ∀(x, y) ∈ F, ∀α ∈ K, x + αy ∈ F
• Soient (E, +, .) et (F, ⊕, ¯) deux K espaces vectoriels et f ∈ F E . f est une application linéaire ssi les
deux propriétés suivantes sont vérifiées
∀(x, y) ∈ E 2 , f (x + y) = f (x) ⊕ f (y)
∀(x, α) ∈ E × K, f (α.x) = α ¯ f (x)
On note L(E, F ) l’ensmble des applications linéaires de E dans F
• Une forme linéaire sur E est une application linéaire de E dans K
Rem: il suffit de bien comprendre comment fonctionnent les formes linéaires pour comprendre l’algèbre
linéaire , ce sont en effet les briques élémentaires de cette théorie
L(E, K) est noté E ∗ , c’est le dual de E
• La composée de deux applications linéaires est linéaire
• Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E
On note L(E) l’ensemble des endomorphismes de E
• On appelle isomorphisme de E vers F toute application linéaire bijective de E dans F
On note parfois Isom(E, F ) l’ensemble des isomorphismes de E vers F
• On appelle automorphisme de E tout isomorphisme de E dans E .
On note GL(E) l’ensemble des automorphismes de E
• Si f est un isomorphisme de E dans F , alors f −1 est un isomorphisme de F dans E
• Espace produit
Soient (E, +, .) et (F, ⊕, ¯) deux K espaces vectoriels . E × F est un K espace vectoriel lorsqu’il est
muni des lois produit (E × F, ¢, ¡)
(x, y sont deux vecteurs quelconques et α un scalaire quelconque )
(x, y) ¢ (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y ⊕ y 0 )
α ¡ (x, y) = (α.x, α ¯ y)
Il va de soi que ces symboles sont là pour montrer la distinction entre les différentes lois , et que dans la
pratique pour ne pas compliquer inutilement, on note souvent l’addition + et la loi externe . quelquesoit
l’espace dans lequel on travaille.
• Soit X un ensemble et (E, +, .) un K espace vectoriel . l’ensemble F(X, E) = E X des applications de
X dans E est espace vectoriel sur K lorsqu’il est muni des lois (E X , ⊕, ¯) (f et g sont deux applications
quelconques et α un scalaire quelconque)
∀x ∈ X, (f ⊕ g)(x) = f (x) + g(x)
∀x ∈ X, (α ¯ f )(x) = α.f (x)
43
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• En particulier L(E, F ) est un sous espace vectoriel de F E . De plus
∀(u, u0 , v, v 0 ) ∈ L(F, G)2 × L(E, F )2 , ∀α ∈ K
uo(v + αv 0 ) = uov + α.uov 0
(u + αu0 )ov = uov + α.u0 ov
ce que l’on traduit en disant que les deux applications suivantes sont linéaires
L(E, F ) → L(E, G)
Φu :
v
→ uov
Φv :
L(F, G) → L(E, G)
u
→ uov
• Noyau , Image . soit f ∈ L(E, F ).
Im(f ) = f (E) = {y ∈ F,
−1
∃x ∈ E,
y = f (x)}
ker(f ) = f ({OF }) = {x ∈ E, f (x) = OF }
Im(f ) est un sous espace vectoriel de F , et ker(f ) est un sous-espace vectoriel de E
• Equation u(x) = b. Soit u ∈ L(E, F ) et b ∈ F
L’équation u(x) = b dont l’inconnue est x ∈ E n’admet aucune solution lorsque b ∈
/ Im(f ). Si b ∈ Im(f )
, et si x0 est un antécédent de b par u alors
u(x) = b = u(x0 ) ⇔ x − x0 ∈ ker(u)
• Combinaison linéaire . Soient (xi )16i6n une famille de vecteurs de E. On appelle combinaison linéaire de
cette famille tout vecteur x qui s’écrit
n
αi .xi
x=
i=1
où les αi sont des scalaires
Par exemple , la fonction f1 : x → cos(2x) est combinaison linéaire des fonctions f2 : x → sin2 (x) et
f3 : x → cos2 (x): en effet f1 = f3 − f2
• Soient F , G deux sous-espaces vectoriels de E . Alors F ∩ G est aussi un sous-espace vectoriel de E . Les
sous-espaces {OE } et E sont appelés les sous-espaces triviaux
• Sous-espace vectoriel engendré par une partie
Soit A une partie de E . On appelle sous-espace vectoriel engendré par A le plus petit sous espace vectoriel
de E qui contient A . C’est aussi l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles d’éléments de
A. On le note vect(A)
vect(A) =
F
F, sev de E contenant A
n
vect(A) =
x ∈ E,
∗
∃n ∈ N ,
n
∃(α1 , .., αn ) ∈ K ,
n
∃(x1 , .., xn ) ∈ A ,
• Somme de deux sous- espaces vectoriels F et G de E
F + G = {z ∈ E, ∃(x, y) ∈ F × G,
F + G = vect(F ∪ G)
x=
αi .xi
k=1
z = x + y}
• Sous-espaces supplémentaires
Deux sous espaces vectoriel F et G de E sont supplémentaires ssi
F +G=E
F ∩ G = {OE }
Ceci revient à dire que tout vecteur x de E s’écrit de manière unique sous la forme d’une somme
x = xF + xG , xF ∈ F, xG ∈ G
44
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xF s’appelle le projeté de x sur F parallèlement à G.
On note alors
E =F ⊕G
• Projecteurs associés
→ E
est la projection sur F parallèlement à G : elle vérifie
→ xF
pF opF = pF
Im(pF ) = ker(Id − pF ) = F
ker(pF ) = Im(Id − pF ) = G
On définit de même la projection pG sur G parallèlement à F .
pF + pG = IdE
pF et pG sont des projecteurs associés.
l’ application pF :
E
x
• Caractérisation des projecteurs . soit p ∈ L(E)
pop = p ⇔ p est la projection sur Im(p) parallèlement à ker(p)
L’écriture
x = p(x) + (x − p(x))
met en évidence la décomposition de x en somme d’un vecteur p(x) de Im(p) et d’un vecteur x − p(x)
de ker(p)
Remarque : on dit indifféremment projection vectorielle ou projecteur
10.3.5
Algèbres
• Soit A un ensemble muni de deux lois de composition internes notées + et × et d’une loi de composition
externe sur le corps K. (A, +, ×, .) est une K algèbre si et seulement si
(A, +, .) est un K espace vectoriel
(A, +, ×) est un anneau commutatif
∀α ∈ K2 , ∀(x, y) ∈ A2 , α.(x × y) = (α.x) × y = x × (α.y)
• Soit E un K espace vectoriel . (L(E), +, o, .) est une K algèbre
Arithmétique élémentaire
10.4
10.4.1
Numération
• Numération en base a, où a est un entier >2
Soit n ∈ N. Il existe un unique entier naturel p , et un unique (p+1)-uplet (α0 , ..., αp ) ∈ {0, 1, .., a − 1}p+1
tel que
p
αk ak
n=
k=0
et αp 6= 0 . Les αk sont appelés les chiffres de l’écriture de n en base a
On obtient αk par l’algorithme suivant écrit en langage MAPLE
decomp
:
= proc(n, a)
local ,L, m, r;
L : = NULL; m := n;
while m < > 0 do
r : = irem(m, a); m := iquo(m, a);
L : = L, r
45
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od;
RET URN(L)
end;
Ici NULL désigne la liste vide , irem le reste iquo le quotient
decomp(100, 3); réponse : 1, 0, 2, 0, 1
• Algorithme d’exponentiation rapide :
Pour calculer xn on décompose n en base 2: n =
p
i=0
αi 2i , puis on remarque que
i
xn =
x2
i tel que αi =1
2i
2i+1
2i 2
p
De plus la suite x vérifie x
= (x ) . Il suffit donc de calculer x, x2 , x4 , .., x2 par élévation au carré
successives , ce qui fait p ∼ ln2 (n) calculs , et de multiplier celles de ces puissances dont l’indice est tel que
n
αi = 1. on gagne donc un facteur
par rapport à la méthode simple qui consisterait à multuplier x , n
ln2 (n)
fois pas lui même. Par exemple si n = 106 ; le gain est de l’ordre de 50000
multrap
= proc(x, n)
local m, p, y, r;
m : = n; p := 1; y := x;
while m < > 0 do r := irem(m, 2); m := iquo(m, 2);
if r = 1 then p := p ∗ y f i;
y : = yˆ2 od;
RET URN(p);
end;
Remarque :
:
multrap(x, 100) : Réponse x100
on peut encore faire mieux en utilisant la base 3 et le fait que tout entier naturel peut s’écrire
p
i=0
αi 3i
avec
αi =
{−1, 0, 1}
10.4.2
Divisibilité dans l’anneau Z
• Ensemble des diviseurs positifs de n
∀n ∈ N∗ , Div(n) = {k ∈ N, k | n}
• Plus grand commun diviseur , plus petit commun multiple
p gcd(m, n) = n ∧ m = max(Div(|n|) ∩ Div(|m|))
ppcm(n, m) = n ∨ m = min(nZ ∩ mZ ∩ N∗ )
• Nombres premiers entre eux
n ∧ m = 1 ⇔ n et m sont premiers entre eux
Dans ce cas
n ∨ m = |nm|
• Paramétrage d’un couple d’entiers à l’aide de leur pgcd
∀(n, m) ∈ N2 , ∃!(n0 , m0 ) ∈ N2 , n0 ∧ m0 = 1 et n = n0 (n ∧ m)
• Lien entre pgcd et ppcm
et m = m0 (n ∧ m)
(n ∧ m)(n ∨ m) = |nm|
46
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• Théorème de Bezout : n et m sont deux entiers relatifs
n ∧ m = 1 ⇔ ∃(u, v) ∈ Z2 , nu + mv = 1
n ∧ m = d ⇒ ∃(u, v) ∈ Z2 , nu + mv = d
la réciproque est vraie lorsque d = 1 , mais fausse dans les autres cas
• Théorème de Gauss
[n ∧ m = 1 et n | mp] ⇒ n | p
• Algorithme d’Euclide
n ∧ m est le dernier reste non nul dans la suite strictement décroissante rk d’entiers naturels définie
par
a = bq0 + r0 , b = r0 q1 + r1 , r0 = r1 q2 + r2 , r1 = r2 q3 + r3 ...etc.
p gcd : = proc(a, b)
local x, y, z;
x : = a; y := b; z := irem(a, b);
while z < > 0 do x := y; ,y := z; z := irem(x, y) od;
RET U RN(y);
end;
17
Exercice : a, b étant deux entiers naturels non nuls donnés, déterminer tous les entiers c tels que
c | ab, a | bc, b | ac
10.4.3
Nombres premiers
• Nombres premiers
Un entier naturel p ≥ 2 est premier ssi
Div(p) = {1, p}
• Si p est premier , il est premier avec tout nombre qu’il ne divise pas
• L’ensemble P des nombres premiers est infini
• Décomposition en facteurs premiers
∗
∀n ∈ N ,
∗
∃!r ∈ N ,
r
r
∃!(p1 , .., pr ) ∈ P ,
∗r
p1 < .. < pr , ∃!(α1 , .., αr ) ∈ N ,
pαi i
tels que n =
i=1
On définit la fonction valuation d’ordre p , notée vp par :
0 si p ne figure pas dans la décomposition en facteurs premiers de n
vp (n) =
α si p figure dans la décomposition en facteurs premiers de n avec l’exposant α
On a alors
vp (nm) = vp (n) + vp (m)
n
vp ( ) = vp (n) − vp (m)
m
Exercice18 . Combien y a t’il de solution c au problème c | ab, a | bc, b | ac lorsque a = 900 et
b = 54
10.5
Polynômes, fractions rationnelles
posons d = a ∧ b, a = dα, b = dβ. On doit alors résoudre c | αβd2 , α | βc, β | αc et puisque α ∧ β = 1, on en
déduit par le théorème de Gauss que α | c, β | c, donc αβ | c . Enfin c = kαβ | αβd2 ⇔ k | d2 . Les solutions sont donc les
entiers c = kαβ où k est un diviseur de d2 .
18
On a ici d = 18 = 2 × 32 , d’ou d2 = 22 × 34 . un diviseur de d2 s’écrit k = 2α × 3β avec 0 ≤ α ≤ 2 et 0 ≤ β ≤ 4. Il y a
donc 15 solutions positives
17
47
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10.5.1
Algèbre K[X] et corps K(X)
• Polynôme : c’est une suite a = (an )n∈N ∈ KN , nulle à partie d’un certain rang .
On note X la suite (0, 1, 0, 0, ....) et 1 la suite (1, 0, 0, 0, ....)
On définit les lois +, ×, . par
(a + b)n = an + bn
n
(a × b)n =
ak bn−k
k=0
(α.a)n = αan
On remarque que X = (0, 0, .., 0, 1, 0, 0, ...), puis que tout polynôme a peut s’écrire comme une combinaison linéaire de la famille (X i )i∈N . Dès lors, on abandonne la notation séquentielle (an )n∈N pour une
nouvelle notation :
n
p
ak X k
P =
k=0
(K[X], +×, .) est une K algèbre intègre
• Degré d’un polynôme
n
si an 6= 0, deg(
deg(0) = −∞
an 6= 0 est le coefficient dominant de P .
Lorsque an = 1 P est unitaire
ak X k ) = n
k=0
par convention
deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q)
deg(αP ) = deg(P )
deg(P + Q) ≤ max(deg(P ), deg(Q))
• Espace Kp [X]
les polynômes de degré inférieur ou égal à p forment un sous-espace vectoriel de E noté Kp [X]
• Division euclidienne dans K[X]
∀(A, B) ∈ K[X] × (K[X] − {0}), ∃!(Q, R) ∈ K[X]2
A = BQ + R et deg(R) < deg(B)
Q est le quotient et R le reste dans la division euclidienne de A par B
• Divisibilité :
Le polynôme B divise le polynôme A ssi il existe un polynôme Q tel que A = BQ, ce qui se note
B|A
• Corps K(X)
C’est le corps des fractions de K[X]
K(X) =
Si
P
, (P, Q) ∈ K[X] × K[X] − {0}
Q
P
∈ K(X) on définit le degré de F par
Q
deg(F ) = deg(P ) − deg(Q)
48
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10.5.2
Fonction polynômiale, fonction rationnelle
• Soit P =
n
k=0
ak X k ∈ K[X], on appelle fonction polynomiale associée à P la fonction
K → K
fP :
n
k
x 7→
k=0 ak x
• Equation algébrique
C’est une équation du type fP (x) = 0 ,ou fP est la fonction polynomiale associée à P
n
ak xk = 0K
k=0
• Racine(s) d’un polynôme
Ce sont les solutions de l’équation algébrique fP (x) = 0 associée au plolynôme P
α est racine de P ⇔ fP (α) = 0
α est racine de P ⇔ le reste dans la division de P par (X − α) est nul
• Ordre de multiplicité d’une racine
α est racine de P d’ordre r > 0 ⇔ (X − α)r | P et non[(X − α)r+1 | P ]
(r−1)
α est racine de P d’ordre r > 0 ⇔ [fP (α) = fP0 (α) = .. = fP
(r)
(α) = 0] et [fP (α) 6= 0]
• Pôles d’une fraction rationnelle
P
F = admet pour pôles les réels a racines du polynôme Q telles que l’ordre de a dans Q soit strictement
Q
supérieur à l’ordre de a dans P ( si a n’est pas racine de P ce second ordre est nul)
• Formules de Taylor pour les polynômes
deg(P )
P (X) =
n=0
deg(P )
P (a + X) =
n=0
(X − a)n (n)
P (a)
n!
X n (n)
P (a)
n!
• Un polynôme est scindé sur K si ce polynôme peut s’écrire comme produit de polynômes de degrés 1
n
P =a
(X − αk )
(1)
ak X k
(2)
k=1
(α1 , .., αn ) sont alors les racines de P
• Relations entre coefficients et racines de P :
Soit
n
P =
k=0
un polynôme scindé admettant (α1 , .., αn ) pour racines : On a les formules
−an−1
=
αi
an
i
+an−2
=
αi αj
an
1≤i<j≤n
−an−3
=
an
αi αj αk
1≤i<j<k≤n
k
(−1) an−k
=
an
αi1 αi2 .. αik
1≤i1 <i2 <..<ik ≤n
49
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n
(−1)k a0
=
an
αk
k=1
Ces formules s’obtiennent en développant (1) et en identifiant dans (2)
n
a
n
n
(X − αk ) = a(X −
αi X
n−1
+
αi αj X
i
k=1
n−2
n
+ ... + (−1)
i<j
αk )
k=1
• Théorème de d’Alembert-Gauss
dans C[X] , tous les polynômes sont scindés
Les polynômes irréductibles de C[X] sont donc ceux dont le degré est 1
Les polynômes irréductibles de R[X] sont ceux dont le degré est 1 ou ceux dont le degré est 2 et dont le
discriminant est négatif
• Factorisation de aX 2 + bX + c ∈ C[X] lorsque ∆ = b2 − 4ac < 0
aX 2 + bX + c = a(X − z)(X − z)
où
√
√
−b − i 4ac − b2
−b + i 4ac − b2
et z =
z=
2a
2a
• Factorisation de X n − 1 dans C , dans R
n−1
n
X −1 =
k=0
(X − e
2ikπ
n )
n−1
X 2n − 1 = (X − 1)(X + 1)
k=1
(X 2 − 2 cos(
n
X 2n+1 − 1 = (X − 1)
(X 2 − 2 cos(
k=1
p
2kπ
)X + 1)
2n + 1
p−1
Exercice : Montrer que si p ≤ n , le polynôme P = X 2 + X 2
n
n−1
Q = X2 + X2 + 1
19
10.5.3
kπ
)X + 1)
n
+ 1 divise le polynôme
Divisibilité dans l’anneau K[X]
• La théorie du pgcd est en tout point analogue à celle développée dans Z , ceci tient au fait que l’anneau Z et
l’anneau K[X] sont tous deux euclidiens (munis d’une division euclidienne)
10.5.4
Décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle
P
une fraction rationelle de C[X]. Il existe un unique polynôme E tel que
Q
P1
F =E+
et deg(P1 ) < deg(Q)
Q
E est la partie entière de F
• Partie entière : Soit F =
• Décomposition en éléments simples
p
p−1
p−1
p−1
Les racines de P = X 2 + X 2
+ 1 = (X 2
− j)(X 2
− j 2 ) sont les 2p−1 racines ’’2p−1 iemes ” de j et les 2p−1
p−1
p−1 iemes
2
racines ’’ 2
’’ de j ( conjuguées des précédentes ) Soit α une de ces racines , par exemple telle que α2
= j : On a
h p−1 i2n−p
n−1
n−p
n−1
n−1
α2
= α2
= j2
or j 4 = j , j 8 = j 2 , j 16 = j...etc ( soit j soit j 2) . Donc Q(α) = (α2
− j)(α2
− j2) =
19
n
n−1
α2 + α2
+ 1 = 0. On en déduit que Q est divisible par P puisque les racines de P sont toutes simples
50
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Si Q =
r
k=1 (X
, alors la fraction F =
− αk )pk
P
s’écrit de manière unique
Q
r
pk
k=1
j=1
F =E+
λj,k
(X − αk )j
où E est la partie entière de F
λj,k
k
L’expression pj=1
s’appelle la partie polaire de F relative au pôle αk
(X − αk )j
• Calcul de λj,pk
λpk ,k
s’obtient en multipliant F par (X − αk )pk et en donnant à X la
(X − αk )pk
λpk ,k
λpk −1,k
à F pour obtenir
et
valeur αk . On peut alors procéder de même en soustrayant
p
(X − αk ) k
(X − αk )pk −1
ainsi de suite
Le numérateur de la fraction
• Cas d’un pôle simple
Si α est un pôle simple de F , la partie polaire relative à α dans F s’écrit
P (α)
Q0 (α)
λ=
• Décomposition en éléments simples de
si P =
r
k=1 (X
− αk )pk alors
λ
où
(X − α)
P0
P
r
pk
P0
=
P
(X − αk )
k=1
On retrouve cette formule de façon heuristique en dérivant
r
”
ln(P ) =
k=1
11
pk ln(X − αk ) ”
Algèbre Linéaire
11.1
Espaces vectoriels de dimension finie
11.1.1
Familles libres, génératrices, bases
• Une famille (ai )16i6n de vecteurs de l’espace vectoriel E est libre ssi la seule combinaison linéaire des
vecteurs de la famille qui soit nulle est celle dont tous les coefficients sont nuls
n
n
∀(λ1 , .., λn ) ∈ K ,
k=1
λi ai = 0E ⇒ (λ1 , .., λn ) = (0K , 0K , .., 0K )
• Une famille est liée si il existe une combinaison linéaire nulle autre que la combinaison triviale
n
k=1
λi ai = 0E et (λ1 , .., λn ) 6= (0K , 0K , .., 0K )
C’est donc une famille non libre
attention: (λ1 , .., λn ) 6= (0K , 0K , .., 0K ) signifie que l’un au moins des λi est non nul et non que tous les
λi sont non nuls
Par exemple dans R[X] la famille (X, (X−1)2 , (X+1)2 ) est liée puisque −4X−(X−1)2 +(X+1)2 = 0
Lorsque qu’une famille contient le vecteur nul , elle est liée
51
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la famille (ai )16i6n de vecteurs de l’espace vectoriel E est liée ssi l’un des vecteurs de la famille peut
s’exprimer comme une combinaison linéaire des autres
Par exemple : X = −1/4(X − 1)2 + 1/4(X + 1)2
• Famille libre de cardinal 1
Une famille (a) de un vecteur unique est libre ssi a 6= 0E
• Famille libre de cardinal 2
/ V ect(b))
Une famille (a, b) de deux vecteur est libre ssi b 6= 0E et a n’est pas colinéaire à b ( a ∈
• Famille libre de cardinal 3
Une famille (a, b, c) de trois vecteurs est libre ssi c 6= 0E et b n’est pas colinéaire à c ( b ∈
/ V ect(c)) et
a∈
/ V ect(b, c)
On pourrait continuer ainsi cette caractérisation , cependant la meilleure façon de prouver qu’une famille
est libre est sans conteste de revenir à la définition originale
n
k=1
λi ai = 0E ⇒ (λ1 , .., λn ) = (0K , 0K , .., 0K )
Exemple20 : Montrer que la famille des fonctions fi (x) = (sin(ix))1≤i≤n est libre
• Famille génératrice de E
Une famille (ai )16i6n est génératrice ssi tout vecteur de E est combinaison linéaire des vecteurs de cette
famille , ou encore
V ect((ai )16i6n ) = E
n
Soit
:
∀x ∈ E, ∃(λ1 , .., λn ) ∈ Kn , x =
λi ai
k=1
Par exemple la famille (1, X, .., X n ) est génératrice dans Kn [X] , mais ne l’est pas dans Kn+1 [X]
• Base : une famille (ai )16i6n est une base de E ssi elle est à la fois libre et génératrice
Dans ce cas
n
∀x ∈ E, ∃!(x1 , .., xn ) ∈ Kn , x =
xi ai
k=1
La suite finie (x1 , .., xn ) s’appelle la suite des coordonnées de x
• Base canonique de Kn : C’est
où δ i,j =
(ei = (δ i,j )16j6n )16i6n
0 si i 6= j
est le symbole de Kroneker
1 si i = j
ei = (0, 0, .., 1iieme position , 0, .., 0)
• Caractérisation d’une application linéaire de L(E, F ) par la donnée des images des vecteurs d’une
base de E
Soit (ai )16i6n une base de E et (bi )16i6n une famille de n vecteurs quelconques de F . Il existe une et une
seule application linéaire f ∈ L(E, F ) qui vérifie
∀i ∈ {1, .., n} , f (ai ) = bj
Elle est définie par la formule
n
∀x ∈ E, si x =
n
xi ai alors f (x) =
i=1
xi bi
i=1
Rπ
Rπ
remarquons tout d’abord que si i 6= j, −2 0 sin(ix) sin(jx)dx = 0 cos((i+j)x)+cos((i−j)x)dx = 0
Supposons
Rπ
P
P
une relation de la forme ni=1 λi fi = 0 . Soit j un entier compris entre 1 et n. On a donc 0 = 0 fj (x)( ni=1 λi fi (x))dx =
Rπ
Rπ
λj 0 sin2 (jx)dx ce qui prouve que λj = 0 . La méthode utilise le produit scalaire (f | g) = 0 f g, employé par exemple dans
les séries de Fourier.
20
52
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11.1.2
Dimension d’un espace vectoriel
• Un espace vectoriel E sur K est de dimension finie s’il possède une partie génératrice finie G. Dans ce cas
si l’on considère une famille libre L⊂G, on démontre qu’il existe une base B de E telle que L⊂B⊂G
• Dans ce cas toutes les bases de E ont même cardinal n appelé dimension de E : n = dim E
• Théorème de la base incomplète
Toute famille libre de E peut se complèter en une base de E
• Extraction d’une sous famille basique
toute famille génératrice de E admet une sous famille qui est une base de E.
• Deux espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension.
• Critères pour qu’une famille finie soit basique en dim finie :
Si L une famille libre de E :
card(L)6 dim E
L est une base de E ⇔ card(L) = dim E
Si G une famille génératrice de E :
card(G)> dim E
G est une base ⇔ card(G) = dim E
• Base de E × F
si (ai )16i6n et (bj )16i6m sont des bases respectives de E et F , alors
((ai , 0F )16i6n , ((0E , bj )16i6m )
constitue une base de E × F
dim(E × F ) = dim(E) + dim(F )
• Base de L(E, F )
si (ai )16i6n et (bj )16i6m sont des bases respectives de E et F , alors la famille des application (ui,j ) 16i6n
16j6m
définies par
∀i ∈ {1..n} , ∀j ∈ {1..m} , ∀k ∈ {1..n} , ui,j (ak ) = δ i,k bj
est une base de L(E, F ) et l’application f définie par
m
∀i ∈ {1..n} , f (ai ) =
admet dans cette base l’expression
m
n
λk,i ui,k
f=
En particulier
λk,i bk
k=1
k=1 i=1
dim(L(E, F )) = dim(E) × dim(F )
• Dual E ∗ de E
L(E, K) = E ∗ est le dual de E
les éléments de E ∗ sont les formes linéaires
dim(E ∗ ) = dim(E)
• Formes linéaires coordonnées
Soit (ai )16i6n une base de E . Tout vecteur x de E s’écrit de façon unique sous la forme x =
53
n
i=1
xi ai .
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Pour un indice i fixé , l’application
e∗i :
s’appelle la ième forme coordonnée
E
x
→ K
→ xi
e∗i ∈ E ∗ (e∗i )16i6n est une base du dual de E
Par exemple si E = R4 , et si ( ei )16i64 est la base canonique de E, alors pour x = (1, −2, 3, −4) ,
e∗1 (x) = 1, e∗2 (x) = −2, e∗3 (x) = 3, e∗4 (x) = −4
Si l’on considère l’application
E
−→ K
ϕ:
x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7−→ x1 − x3 + 2x4
alors ϕ est une forme linéaire et
ϕ = e∗1 − e∗3 + 2e∗4
11.1.3
Dimension d’un sous-espace vectoriel
• Tout sous-espace vectoriel F d’un espace vectoriel de dimension finie E est lui même de dimension finie ,
de plus
dim F 6 dim E et dim F = dim E ⇔ F = E
• Rang d’une famille de vecteurs
Soit (ai )i∈{1,..,p} une famille de p vecteurs de E. Le rang de cette famille est la dimension du sous-espace
V ect((ai )16i6p ) qu’elle engendre
rg((ai )i∈{1,..,p} ) = dim[V ect((ai )16i6p )]
rg((ai )i∈{1,..,p} ) ≤ min(p, dim E)
rg((ai )i∈{1,..,p} ) = p ⇔ (ai )i∈{1,..,p} est libre
rg((ai )i∈{1,..,p} ) = dim(E) ⇔ (ai )i∈{1,..,p} est génératrice
• Supplémentaires en dimension finie
si E est de dimension finie, tout sous espace F de E possède des sous-espaces vectoriels supplémentaires
G . De plus
F +G=E
F ∩ G = {0E }
F ⊕G=E ⇔
⇔
dim(F ) + dim(G) = dim(E)
dim(F ) + dim(G) = dim(E)
Attention, la notion algèbrique de supplémentaire ne doit absolument pas être confondue avec la notion
ensembliste de complémentaire. Par exemple si l’on considère l’espace E = R2 rapporté à sa base canonique, le sous espace F = V ect(e1 ) admet une infinité de sous espaces supplémentaires G = V ect(u) ( il
est nécéssairement de dimension 1), il suffit de choisir un vecteur u non colinéaire à e1 de telle sorte que
V ect(e1 ) ∩ V ect(u) = {0E }
• Formule de Grassmann
11.1.4
dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G)
Rang d’une application linéaire
• Soit u ∈ L(E, F ) et S un supplémentaire de ker(u) dans E. Alors la restriction de u à S établit un isomorphisme de S dans Im(u)
ker(u) ⊕ S = U ⇒ u|S ∈ Isom(S, Im(u))
• Théorème du rang
dim(ker(u)) + dim(Im(u)) = dim(E)
54
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• Rang d’une application linéaire
rg(u) = dim(Im(u)
rg(u) + dim(ker(u)) = dim(E)
rg(u) ≤ min(dim(E), dim(F ))
rg(u) = dim(E) ⇔ u injective
rg(u) = dim(F ) ⇔ u surjective
• Eléments inversibles de L(E)
Soit u ∈ L(E) un endomorphisme de E
u est un automorphisme de E
• Groupe linéaire GL(E)
⇔
ker u = {0E }
⇔
rg(u) = dim(E)
GL(E) = {u ∈ L(E), u inversible}
(GL(E), o) est un groupe
• Homothéties de rappport λ 6= 0
On nomme ainsi l’application λ.IdE : x → λx
L’ensemble des homothéties est un sous-groupe de GL(E)
• Affinité de base F de direction G et de rapport λ
Soient F, G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E : F ⊕ G = E. L’affinité de base F de
direction G et de rapport λ est l’application qui au vecteur x = xF + xG associe le vecteur f (x) = xF + λxG
x = xF + xG → f (x) = xF + λxG
f = pF + λ.pG
où pF et pG sont les projecteurs associés à F et G
• Cas particulier de la symétrie par rapport à F et de direction G
Il s’agit de l’application
x = xF + xG → s(x) = xF − xG
s = pF − pG = 2pF − IdE = IdE − 2pG
s2 = IdE
• Caractérisation des symétries
Soit f ∈ L(E) telle que
Alors
f 2 = IdE
ker(f − IdE ) ⊕ ker(f + IdE ) = E
de plus f est la symétrie par rapport au sous-espace ker(f − IdE ) de ses vecteurs invariants , et de direction
le sous-espace ker(f + IdE ) des vecteurs transformés en leur opposé.
D’autre part si l’on note p la projection sur ker(f − IdE ) dans la direction de ker(f + IdE )
s = 2p − IdE
55
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symétrie vectorielle
Exercice : Soit f l’application linéaire de R3 dans R4 telle que
f ((x, y, z)) = (x + y, x + z, −x + y − 2z, 2x − y + 3z)
Déterminer rg(f ) et une base de ker f , Im f
21
11.2
Calcul matriciel
11.2.1
Opérations sur les matrices
• Une matrice n à lignes et p colonnes dans le corps K est une application de {1, .., n} × {1, .., p} à valeurs
dans K . On la note
M = (mi,j )16i6n
16j6p
Mn,p (K) est l’ensemble de ces matrices.
(Mn,p (K), +, .) est un K espace vectoriel lorsqu’il est muni des lois usuelles
( voir l’ensemble des applications de X dans E : F(X, E), ici X = {1, .., n} × {1, .., p} et E = K)
• Base canonique de Mn,p (K)
Soit (i, j) ∈ {1, .., n} × {1, .., p} .On note Ei,j la matrice qui admet un 1 en position (i, j) et des 0 ailleurs
. On a donc
∀(k, l) ∈ {1, .., n} × {1, .., p} , (Ei,j )k,l = δ i,k δ k,l
(Ei,j )k,l désignant le terme d’indice (k, l) de la matice Ei,j et δ le symbole de kronecker
dim(Mn,p (K)) =np
• Produit matriciel
Soit A = (ai,j )16i6n ∈ Mn,p (K) et B = (bi,j )
16i6p
16j6q
16j6p
∈ Mp,q (K)
On définit C = AB ∈ Mn,q (K) par C = (ci,j )16i6n avec
16j6q
p
∀(i, j) ∈ {1, .., n} × {1, .., q} , ci,j =
ai,k bk,j
k=1
Par exemple
a0 b0 c0
d0 e0 f 0
×
a b
c d
e f
=
a0 a + b0 c + c0 e a0 b + b0 d + c0 f
d0 a + e0 c + f 0 e d0 b + e0 d + f 0 f
dans l’ordre on trouve ker f = V ect(e1 − e2 − e3 ), on en déduit que 1 + rg(f ) = 3 donc que rg(f ) = 2 donc Im(f ) =
V ect(f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )) est un sous espace vectoriel de R4 de dimension 2 engendré par la famillle libre ( f (e1 ) = (1, 1, −1, 2),f (e2 ) =
(1, 0, 1, −1)). Noter que l’on remarque que f (e1 − e2 − e3 ) = 0 ⇒ f (e3 ) = f (e1 ) − f (e2 )
21
56
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a b
c d
e f
×
a0 b0 c0
d0 e0 f 0
a0 a + d0 b ab0 + be0 ac0 + bf 0
ca0 + dd0 b0 c + e0 d cc0 + df 0
ea0 + f d0 eb0 + f e0 c0 e + f 0 f
=
• Isomorphisme canonique entre Mn,p (K) et L(Kp , Kn )
(Ndlr: c’est sans doute le point le plus important à comprendre en algèbre linéaire )
Soit f ∈ L(Kp , Kn ): on note B =(ej )16i6p la base canonique de Kp et C =(εi )16i6n celle de Kn . On
appelle matrice de f de la base B dans la base C la matrice
M = (mi,j )16i6n
16j6p
dont les coefficients sont définis par
n
∀j ∈ {1, .., p} , f (ej ) =
mi,j εi
i=1
m1,1 . . . . . . m1,p
..
..
.
.
M =
..
..
.
.
mn,1 . . . . . . mn,p
x1
x2
Soit x = pj=1 xj ej un vecteur de Kp : on note X =
∈ Mp,1 (K), que l’on identifiera à x. Dans
..
.
xp
y1
y2
ce cas f (x) = ni=1 yi εi image de x par f est identifiée au vecteur colonne Y =
∈ Mn,1 (K). On
..
.
yn
a alors
MX = Y
m1,1 . . . . . . m1,p
x1
y1
..
..
x
y2
2
.
.
×
=
.
..
..
..
..
.
.
.
xp
yn
mn,1 . . . . . . mn,p
Exercice22 Déterminer la matrice de l’application linéaire f de R3 dans R2 définie par
f ((a, b, c)) = (a + b, −a + b + c)
• Algèbre Mn (K) des matrices carrées
on note Mn (K) =Mn,n (K) .
Le produit matriciel × définit une loi de composition interne dans Mn (K)
(Mn (K), +, ×, .) est une K algèbre, en général non commutative et non intègre (sauf si n = 1)
par exemple
1 2
1 2
1 −1
1 −1
22
mat(f ) =
µ
1
1 0
−1 1 1
×
×
1 −1
1 −1
1 2
1 2
=
=
3 −3
3 −3
0 0
0 0
¶
57
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L’élément unité est la matrice
1 0
... 0
.
0 1 0 ..
In = .
...
.. 0
0
0 ... 0 1
Une matrice est dite scalaire si elle est de la forme λIn : Les matrices scalaires forment un sous espace
vectoriel de Mn (K) de dimension 1 , stable pour × (sous algèbre)
Une matrice est dite diagonale si elle est de la forme
a1,1 0
... 0
.
0
a2,2 0 ..
M= .
...
..
0
0
0
. . . 0 an,n
Les matrices diagonales forment un sous espace vectoriel de Mn (K) de dimension n, stable pour × (sous
algèbre)
une matrice est dite triangulaire supérieure si elle est de la forme
a1,1 a1,2 . . . a1,n
..
.
0
a2,2
M= .
...
..
an−1,n
0
0
. . . 0 an,n
n(n + 1)
Les matrices triangulaires supérieures forment un sous espace vectoriel de Mn (K) de dimension
,
2
stable pour × (sous algèbre)
Exercice 23 . Montrer que le produit de deux matrices de Mn (K) triangulaires supérieures est triangulaire
supérieure
• Matrices inversibles , Groupe linéaire
Soit M ∈ Mn (K). M est inversible ssi elle admet un inverse pour la loi × , c’est à dire s’il existe une
matrice M −1 telle que
MM −1 = M −1 M = In
L’ensemble des matrices inversibles de Mn (K) forme un groupe pour le produit matriciel , appelé groupe
linéaire
GLn (K)
1 2
3 4
−1
1 2
1 2
=
−2
3
2
1
− 12
∈
/ GL2 (R)
• Transposition
Soit M ∈ Mn,p (K) . On note t M ∈ Mp,n (K) la matrice telle que
∀(i, j) ∈ {1, .., p} × {1, .., n} , (t M)i,j = Mj,i
t
(AB) = t B t A
t
(λA + µB) = λt A + µt B
• Cas particulier des matrices colonnes
soit M = (mi,jP
) et N = (ni,j ) vérifiant : i > j ⇒ mi,j = ni,j = 0. Posons C = M N. Soient i, j deux indices tels que
i > j. On a ci,j = nk=1 mi,k nk,j = 0 car si k < i alors mi,k = 0 et si k ≥ i alors k > j et donc nk,j = 0
23
58
lycée Dessaignes 2004-2005
Si X =
x1
x2
..
.
xp
, alors t X =
en particulier si X =
t
x1
x1
x2
..
.
xp
YX =
x2
. . . xp
et Y =
y1
y2
. . . yp
y1
y2
..
.
yp
×
x1
x2
..
.
xp
x1
x2
× y1 y2 . . . yp =
Remarque : X t Y =
..
.
xp
en colonnes on obtient X t Y = y1 X y2 X . . . yp X
p
=
k=1
x1 y1
..
.
xp−1 y1
xp y1
xi yi ∈ K
x1 y2 . . . x1 yp
..
x2 y2
.
..
.
. . . xp−1 yp
xp y2 . . . xp yp
• Matrices carrées symétriques , antisymétriques
Soit M ∈ Mn (K). M est symétrique (resp antisymétrique) si et seulement si t M = M (resp t M = −M
)
11.3
Sn (K) = M ∈ Mn (K), M = t M , An (K) = M ∈ Mn (K), −M = t M
n(n + 1)
n(n − 1)
dim(Sn (K)) =
,
dim(An (K)) =
2
2
M + tM M − tM
+
M=
2
2
Sn (K)⊕An (K) =Mn (K)
Matrices et applications linéaires
• Matrice d’une application linéaire
soit u ∈ L(E, F ) et B =(ej )16j6p une base de E, C =(εi )16i6n une base de F
On appelle matrice de u de la base B dans la base C la matrice
matB,C (u) = (mi,j )16i6n
16j6p
dont les coefficients sont définis par
n
∀j ∈ {1, .., p} , u(ej ) =
soit x =
mi,j εi
i=1
m1,1 . . . . . . m1,p
..
..
.
.
matB,C (u) =
..
..
.
.
mn,1 . . . . . . mn,p
p
j=1 xj ej est un vecteur de E, on note
x1
x2
X = matB (x) =
∈ Mp,1 (K)
..
.
xp
59
lycée Dessaignes 2005-2006
que l’on identifiera à x. Dans ce cas u(x) =
n
i=1
yi εi , image de x par u, est identifiée au vecteur colonne
y1
y2
∈ Mn,1 (K)
Y = matC (u(x)) =
..
.
yn
On a alors
matB,C (u) × matB (X) = matC (u(x))
m1,1 . . . . . . m1,p
x1
y1
..
..
x2
y2
.
.
×
=
..
..
..
..
.
.
.
.
x
yn
p
mn,1 . . . . . . mn,p
Exercice24 Déterminer la matrice de l’application linéaire f de R2 [X] dans R3 [X] définie par
f (P ) = XP (X + 1)
lorsque l’espace de départ et l’espace d’arrivée sont rapportés aux bases canoniques
• Matrice de la composée de deux applications linéaires.
Soit u ∈ L(E, F ), v ∈ L(F, G) et E =(ek )16k6p une base de E, E 0 =(e0j )16j6q une base de F, et
E” =(e”i )16i6n une base de G. On a la formule
matE,E” (vou) = matE 0 ,E” (v) × matE,E 0 (u)
en effet : si x ∈ E,
matE” (v [u(x)]) = matE 0 ,E” (v) × matE 0 (u(x)) = matE 0 ,E” (v) × matE,E 0 (u) × matE (x)
or par définition
matE” (v [u(x)]) = matE,E” (vou) × matE (x)
En identifiant les deux relations , et du fait que cette égalité a lieu pour tout vecteur x ∈ E on en déduit
le résultat.
• Matrice d’un endomorphisme
soit u ∈ L(E) et B =(ej )16i6n une base de E
On appelle matrice de u dans la base B la matrice matB (u) = (mi,j ) 16i6n dont les coefficients sont
16j6n
définis par
n
∀j ∈ {1, .., n} , u(ej ) =
matB (u) =
∀(u, v)
∀u
∀(λ, u)
∀(n, u)
• Matrices de passages
Soient B =(ei )16i6n
24

0
 1
mat(f ) = 
0
0
0
1
1
0

0
1 
2 
1
∈
∈
∈
∈
m1,1 . . . . . .
..
.
..
.
mn,1 . . . . . .
mi,j ei
i=1
m1,n
..
.
..
.
mn,n
L(E)2 , matB (uov) = matB (u) × matB (v)
GL(E), matB (u−1 ) = matB (u)−1
K×L(E), matB (λ.u) = λ. matB (u)
N×L(E), matB (un ) = matB (u)n
, B 0 =(e0j )16j6n deux bases de E. On appelle matrice de passage de la base B
60
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à la base B 0 la matrice PB,B0 ∈ Mn (K) dont la j ieme colonne exprime les coordonnées de e0j dans la base
(ei )16i6n . C’est aussi la matrice de l’identité de E lorsque l’espace E de départ est muni de la base B 0 et
l’espace E d’arrivée de la base B;
n
PB,B0 = (αi,j ) 16i6n ⇔ ∀j ∈
16j6n
{1, .., n} , e0j
=
αk,j ek
k=1
Si X = matB (x) et X 0 = matB0 (x) et P = PB,B0 alors
X = P X0
PB,B0 ∈ GLn (K) et (PB,B0 )−1 = PB0 ,B
PB,B0 × PB0 ,B” = PB,B”
Exemple: B = (e1 , e2 ) est la base canonique de R2 : former l’équation de l’hyperbole 4x21 − x22 = 1
dans le repère centré en 0 et de base
B 0 = (e1 − 2e2 , e1 + 2e2 )
1
1
PB,B0 =
; soit x = x1 e1 + x2 e2 = x01 e01 + x02 e02 , un vecteur quelconque décomposé dans la
−2 2
base B et dans la base B 0 : d’après les formules de changement de base:
x1 = x01 + x02
X = P X0 ⇔
x2 = −2x01 + 2x02
4x21 − x22 = 1 ⇔ 4(x01 + x02 )2 − (−2x01 + 2x02 )2 = 1
4x21 − x22 = 1 ⇔ 16x01 x02 = 1
On retrouve un résultat classique de géomètrie , à savoir que dans un repère dont les axes sont les asymptotes d’une hyperbole H, les points de cette hyperbole sont caractérisés par le fait que le produit de leurs
coordonnées est constant
2
y1
-1 -0.5 0 0 0.5
x
1
-1
-2
hyperbole rapportée à ses asymptotes
• Effet d’un changement de base sur la matrice d’une application linéaire
Soit u ∈ L(E, F ) etB = (ej )16i6p , B 0 = (ej )16i6p deux bases de E,
C = (εi )16i6n , C 0 = (ε0i )16i6n deux bases de F
matB0 ,C 0 (u) = PC 0 ,C × matB,C (u) × PB,B0
• Effet d’un changement de base sur la matrice d’un endomorphisme
si u ∈ L(E) et si B = (ej )16i6n , B 0 = (ej )16i6n sont deux bases de E , en notant P = PB,B0 , on a la
formule
matB0 (u) = P −1 × matB (u) × P
11.4
Opérations élémentaires sur les matrices
61
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• M ∈ Mn,p (K) est une matrice quelconque , que l’on écrira
L1
..
M=
ou M = (C1 , ..Cp )
.
Ln
selon que l’on travaille en lignes(Li ) ou en colonnes (Cj )
le codage L1 ← L1 + L2 signifie par exemple: remplacer L1 par L1 + L2
• Opérations élémentaires sur les lignes
Voici la liste des opérations élémentaires sur les lignes et leurs trancriptions en termes de produits matriciels
– ajouter à la ligne Li la ligne λLj , j 6= i
Li ← Li + λLj
M ← Πn,λ,i,j × M
où Πn,λ,i,j = In + λEi,j est la matrice n × n dont la diagonale est constituée de 1 et qui a un λ en
position (i, j), des 0 ailleurs
– permuter Li et Lj , j 6= i
où Θn,i,j
Li ↔ Lj
M ← Θn,i,j × M
est la matrice In dans laquelle on a permuté la ligne i et la ligne j
– multiplier la ligne Li par λ
Li ← λLi
M ← Ωn,i,λ × M
où Ωn,i,λ est la matrice In dans laquelle on a multiplié la iieme ligne par λ
• Opérations élémentaires sur les colonnes
Voici la liste des opérations élémentaires sur les colonnes et leurs trancriptions en termes de produits
matriciels
– ajouter à la colonne Cj la colonne λCi , j 6= i
Cj ← Cj + λCi
M ← M × Πp,λ,i,j
où Πp,λ,i,j = Ip + λEi,j est la matrice p × p dont la diagonale est constituée de 1 et qui a un λ en
position (i, j), des 0 ailleurs
– permuter Cj et Ci , j 6= i
où Θp,i,j
Ci ↔ Cj
M ← M × Θp,i,j
est la matrice Ip dans laquelle on a permuté la colonne i et la colonne j
– multiplier la colonne Cj par λ
Cj ← λCj
M ← M × Ωp,j,λ
où Ωp,i,λ est la matrice Ip dans laquelle on a multiplié la j ieme colonne par λ
• Interêt de ces opérations.
suppposons que l’on effectue sur la matrice M ∈ Mn (K) des opérations élémentaires en ligne , et que
l’on aboutisse à l’issue de ces opérations à la matrice In , cela s’interprète matriciellement comme une série
d’opérations × à gauche par des matrices de transformations notées pour simplifier Ti d’ou
Tq × Tq−1 × ...T1 × M = In
62
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Donc
M −1 = Tq × Tq−1 × ...T1
C’est la méthode de Gauss pour obtenir l’inverse d’une matrice carrée, pour obtenir Tq × Tq−1 × ...T1 ,
il suffit d’effectuer sur In les mêmes opérations que l’on a effectuées sur M ( en effet Tq × Tq−1 × ...T1 =
Tq × Tq−1 × ...T1 × In )
Le même raisonnement vaut en colonnes (attention: pas de mélange ligne-colonne )
11.5
Rang d’une matrice
• Le rang d’une matrice M ∈ Mn,p (K) est le rang de l’application linéaire f canoniquement associée à M .
C’est aussi le rang des vecteurs colonnes de la matrice M
• Le rang d’une matrice M est invariant par application des opérations élémentaires . En particulier on peut
ajouter à une ligne (resp une colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (resp des autres colonnes)
sans changer le rang de la matrice M .
Attention ceci est une recette qui permet de simplifier la matrice pour en lire le rang , les matrices
intermédiaires obtenues dans ce calcul n’ont aucun lien direct avec l’application linéaire f associée à
M.
•
rg(M) = rg(t M)
Si U est inversible rg(UM) = rg(M)
Si V est inversible rg(MV ) = rg(M)
• On note Jr ∈ Mn,p (K) la matrice dont le bloc supérieur gauche r × r est Ir et tous les autres coefficients
sont nuls . On a alors le critère
rg(M) = r ⇔ ∃(U, V ) ∈ GLn (K)×GLp (K), M = UJr V
ceci revient à dire que rg(M) = r si et seulement si il existe une base B de Kp et une base C de Kn telles
que, si f est l’application linéaire canoniquement associée à M,
Ir 0
matB,C (f ) = Jr =
0 0
U et V s’interprètent comme des matrices de passage.
1 2 a
25
1 1 1
Exercice : déterminer le rang de la matrice A =
où a ∈ C.
2 a 1
11.6
Systèmes d’équations linéaires
• Un système linéaire (S) de n équations à p inconnues est la donnée de n(p + 1) scalaires (ai,j )16i6n et
16j6p
(bi )16i6n .
25
à l’aide des opérations élémentaires suivantes
L2 ←− L2 − L1 , L3 ←− L3 − 2L1 ,

1 2
a
 dont le
L3 ←− L3 + (a − 4)L2 on trouve que la matrice A est équivalente à la matrice A0 =  0 −1 1 − a
0 0
−a2 + 3a − 3
√
3±i 3
rang est égal à 2 si a =
, et à 3 dans tous les autres cas
2

63
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Les p inconnues sont x1 , .., xp et appartiennent au corps K
a1,1 x1 + ... + a1,p xp = b1
a2,1 x1 + ... + a2,p xp = b2
(S) :
..
.
an,1 x1 + ... + an,p xp = bn
a1,1 x1 + ... + a1,p xp = 0
a2,1 x1 + ... + a2,p xp = 0
Le système homogène associé est : (H) :
..
.
an,1 x1 + ... + an,p xp = 0
Résoudre (S) ,c’est trouver tous les p − uplets : x = (x1 , .., xp ) qui le vérifient
• On note A = (ai,j )16i6n la matrice principale du système et f l’application linéaire canoniquement associée
à A.
16j6p
On note b = (b1 , .., bn ), et B = mat(b) =
b1
b2
..
.
bn
le second membre
x1
x2
On note X = mat(x) =
l’inconnue sous forme vectorielle
..
.
xn
(remarque : interprèter un système commme ayant une inconnue dans Kp et non p inconnues dans K
c’est toute la force de l’algèbre linéaire.)
L’équation se traduit alors par
(S) ⇔ AX = B ⇔ f (x) = b
• Résolution de (S)
– Le système (S) admet au moins une solution si et seulement si b ∈ Im(f )
– les solutions de (S) s’obtiennent en ajoutant à une solution particulière de (S) l’ensemble de toutes les
solutions de (H)
– Les solutions de (H) constituent le noyau de f et donc forment un sous-espace vectoriel de E. Ce sous
espace est de dimension p − rg(A)
– Pratiquement , on peut utiliser la méthode du pivot de Gaus pour transformer S en un autre système
équivalent et plus simple. Il s’agit en fait de transformer le système en un système dont la matrice
principale est triangulaire supérieure et de remonter les équations
• Systémes de Cramer
Un système est dit de Cramer lorsque n = p = r , c’est à dire qu’il a autant d’équations que d’inconnues
et que le rang de la matrice principale du sytème est égal à la taille de cette matrice
Lorsqu’un système est de Cramer , il possède une unique solution.
x+y =1
y + z = 1 , où a est un paramètre réel,
Exemple: Résoudre le système
x + az = 1
(S) est de cramer si et seulement si a 6= −1 et si a = −1 il est incompatible ( il n’y a pas de solutions).
x+y =1
y+z =1
En effet la suite d’opérations élémentaires : L3 ← L3 − L1 ; L3 ← L3 + L2 aboutit à
(1 + a)z = 1
1
a
1
donc si a 6= −1, z =
,y =
,x =
si a = −1 , la dernière équation est impossible.
1+a
1+a
1+a
64
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11.7
Déterminants
11.7.1
Forme n-linéaire symétrique, antisymétrique , alternée
• Soit E un espace vectoriel sur K et n un entier naturel non nul. On munit E n de sa structure d’espace produit
. Soit f une application de E n à valeurs dans K
→ K
En
f:
(x1 , .., xn ) 7→ f ((x1 , .., xn ))
Par exemple on peut prendre E = K , et considérer l’application qui au n − uplet (x1 , x2 , .., xn ) associe
f ((x1 , x2 ., xn )) = x1 x2 ..xn
– f est n − linéaire si elle est linéaire par rapport à x1 , et à x2 , .., et à xn
(c’est le cas de l’exemple). On parle alors de forme n-linéaire
– f est symétrique si , lorsque l’on permutte deux indices i et j cela n’a pas de répercussion sur la valeur
f ((x1 , x2 ., xn )) (c’est le cas de l’exemple)
– f est antisymétrique si , lorsque l’on permutte deux indices i et j cela transforme f ((x1 , x2 ., xn )) en son
opposé (ce n’est pas le cas de l’exemple)
– f est alternée si , lorsque deux coordonnées xi et xj d’indices distincts sont égales, alors f ((x1 , x2 ., xn )) =
0 (ce n’est pas le cas de l’exemple)
• Lorsque le corps de base est égal à Q, R où C,
f est antisymétrique ⇔ f est alternée
11.7.2
Déterminant de n vecteurs dans une base B
• Soit E un K espace vectoriel de dimension n. On note Λn (E) l’espace vectoriel des formes n−linéaires
alternées sur E
dim(Λn (E)) = 1
• Soiet B = (ai )1≤i≤n une base de E. On appelle déterminant en base B noté det l’unique forme n-linéaire
B
alternée sur E qui vérifie
det(a1 , ..., an ) = 1
si (xj =
n
i=1
xi,j ai )1≤j≤n ∈ E n
B
alors
det(x1 , .., xn ) =
B
ε(σ).x1,σ(1) .x2,σ(2) ...xn,σ(n)
σ∈Sn
par exemple
n = 2 : det(x1 , x2 ) = x1,1 x22 − x1,2 x2,1
B
n = 3 : det(x1 , x2 , x3 ) = x1,1 x2,2 x3,3 +x2,1 x1,3 x3,2 +x3,1 x1,2 x2,3
B
−x1,1 x2,3 x3,2 −x2,1 x1,2 x3,3 −x3,1 x1,3 x2,2
Cette formule se retient sous le nom de règle de Sarrus
1 2 a
par exemple avec cette règle det 1 1 1
= 1 + 4 + a2 − 2a − 2 − a = a2 − 3a + 3 (attention la
2 a 1
règle de Sarrus ne fonctionne que pour n = 3)
• Famille liée : Une famille de vecteurs est liée ssi son déterminant dans une base (quelquesoit cette base) est
nul
(x1 , .., xn ) liée ⇔ det(x1 , .., xn ) = 0
B
65
lycée Dessaignes 2005-2006
par exemple on retrouve que le rang de A =
1 2 a
1 1 1
2 a 1
est strictement inférieur à 3 ssi a2 −3a+3 = 0
• Effet d’une permutation des vecteurs
∀σ ∈ Sn , det(xσ(1) , ..., xσ(n) ) = ε(σ) det(x1 , .., xn )
B
B
• Transformations élémentaires
Lorsque l’on permute deux vecteurs , on multiplie le déterminant par −1
Lorsque l’on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres vecteurs , on ne modifie pas la
valeur du déterminant.
Lorsque l’on multiplie un vecteur par λ , le déterminant est multiplié par λ
Exemple : Soit ( xj )1≤j≤n ∈ E n une famille de n vecteurs. Exprimer
D = det(
B
xi ,
i6=1
xi , ..,
i6=2
xi )
i6=n
en fonction de det(x1 , .., xn ).
notons s =
B
n
i=1
xi . On a
D = det(
B
xi ,
i6=1
xi , ..,
i6=2
i6=n
xi ) = det(s − x1 , s − x2 , .., s − xn )
développons ce déterminant par n − linéarité: on obtient 2 n termes
det(s − x1 , .., s − xn ) = det(s, .., s) + det(−x1 , .., s) + ..... + det(−x1 , .., −xn )
dans cette somme , dès que le vecteur s apparait au moins deux fois dans un déterminant , celui ci est
nul. Donc il ne reste plus qu’une somme de n + 1 déterminants :
D = det(s, −x2 , , .., −xn ) + det(−x1 , s, −x3 , , .., −xn ).. + det(−x1 , −x2 , , .., s)
+ det(−x1 , −x2 , , .., −xn )
d’autre part en ajoutant à s la somme −x2 − .. − xn de tous les autres vecteurs on obtient:
det(s, −x2 , , .., −xn ) = det(x1 , −x2 , .., −xn )
Donc
D = n(−1)n−1 det(x1 , x2 , .., xn ) + (−1)n det(x1 , .., xn ) = (n − 1)(−1)n−1 det(x1 , x2 , .., xn )
• Caractérisation des bases
soit B 0 = (e0l )1≤j≤n une famille de n vecteurs de E
B 0 est une base de E ⇔ det(B 0 ) 6= 0
B
11.7.3
Déterminant d’un endomorphisme
• Soit u ∈ L(E) et B = (ai )1≤i≤n une base de E.
det(u) = det(u(a1 ), .., u(an ))
B
ce scalaire est indépendant de la base B et se note det(u)
∀(u, v) ∈ L(E)2 , det(uov) = det(u) det(v)
u ∈ GL(E) ⇔ det(u) 6= 0
1
∀u ∈ GL(E), det(u−1 ) =
det(u)
• Effet d’une application linéaire sur un déterminant
Soit (xj )1≤j≤n ∈ E n une famille de n vecteurs de E et f ∈ L(E).
det(f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )) = det(f ) × det(x1 , x2 , ..., xn )
B
B
• Soit A ∈ Mn (K) on appelle det(A) le déterminant de l’endomorphisme canoniquement associé à A =
66
lycée Dessaignes 2004-2005
(ai,j )1≤i,jn
det(AB) = det(A) det(B)
det(λ.A) = λn det(A)
det(t A) = det(A)
det(A) =
ε(σ).a1,σ(1) .a2,σ(2) ...an,σ(n)
σ∈Sn
• Comatrice
Soit (i, j) ∈ {1, .., n}2 . On note Di,j le déterminant de la matrice Ai,j obtenue en supprimant la iième ligne
et la j ieme collone de A. Le cofacteur de ai,j est (−1)i+j Di,j . La comatrice de A est la matrice Com(A)
des cofacteurs, définie par com(A)i,j = (−1)i+j Di,j
Com(A) = ((−1)i+j Di,j )1≤i,j≤n
A × t Com(A) = t Com(A) × A = det(A)In
1 t
si det(A) 6= 0, A−1 =
Com(A)
det(A)
• Formules de Cramer
Soit (S) AX = B un système de n équations à n inconnues de matrice A = [C1 , .., Cn ]
(S) est de Cramer ⇔ det(A) 6= 0
x1
x2
on a les formules de Cramer
dans ce cas si X =
..
.
xn
det([C1 , ., Ci−1 , B, Ci+1 ., Cn ])
∀i ∈ {1, .., n} , xi =
det(A)
cos θ.x + sin θ.y = a
Exercice 26 : Résoudre le système linéaire
à l’aide des formules de Cramer
− sin θ.x + cos θ.y = b
12
12.1
Géomètrie Affine
Translations , sous-espaces affines
E est un R espace vectoriel: ses éléments seront appelés indifféremment points ou vecteurs.
Lorsque E est considéré comme un ensemble de points , c’est le point de vue affine. Dans ce cas les éléments
de E sont notés A, B, C, ..., M, N, P et il peut même être commode de noter E autrement (par exemple E )
Lorsque E est considéré comme un ensemble de vecteurs c’est le point de vue vectoriel . Dans ce cas les
→ −
−
→ −
→
−
→ −
→ −
→
éléments de E sont notés a , b , c , ..., m , n , p
Evidemment puisque les deux points de vues sont possibles, un point et un vecteur c’est à priori la même chose .
En fait la dualité points/vecteurs repose essentiellement sur l’existence d’une application définie canoniquement
E ×E → E
−→ −
→ −
→
de E × E dans E ( il faudrait d’ailleurs dire de E × E dans E ) par Φ :
(A, B) 7→ AB = B − A
−→
c’est ainsi que l’on définit le vecteur AB d’origine a et d’extrémité b
−
→
l’application Φ est telle que pour tout vecteur x ∈ E , et pour tout point A ∈ E , il existe un seul point B ∈ E
−→ −
→
−
→
tel que AB = x : ce point est défini par B = A + x
¯
¯
¯
¯
¯ a sin θ ¯
¯ cos θ
a ¯¯
¯
¯
¯
¯ b cos θ ¯
¯ − sin θ b ¯
26
det(A) = 1 6= 0 donc le sytème est de Cramer. x =
= a cos θ − b sin θ et y =
= b cos θ +
det A
det A
a sin θ. Bien sûr on peut résoudre directement par combinaison linéaire , ou même par substitution , a condition de discuter sur θ
,mais l’interêt de cette méthode est qu’il n’y a pas à réflèchir , on applique bêtement.
67
lycée Dessaignes 2005-2006
−
→
cette notation permet donc d’ajouter un point A et un vecteur x
• Translations d’un espace vectoriel
−
→
−
→
Soit x ∈ E. La translation de vecteur x est l’application t−→
x de E dans lui même définie par
−
→
0
t−→
x : M 7→ M = M + x
On a donc
−−−→0 −
→
(M)
⇔
MM
= x
M 0 = t−→
x
Par exemple , si H = V ect(sin, cos) est le sous espace vectoriel des solutions de l’équation différentielle y” + y = 0 , engendré par les deux fonctions sin, cos et B l’ensemble des solutions de l’équation
différentielle y” + y = x, on a en notant id l’application définie sur R par id(x) = x , B = A + id =
f ∈ RR , ∃(a, b) ∈ R2 , ∀x ∈ R, f (x) = a sin x + b cos x + x
• Sous-espace affine
Soit F un sous espace vectoriel de E et A ∈ E un point donné . On appelle sous espace affine passant
par A et dirigé par F la partie W notée A + F définie par
−
→
−
→
W = A + F = M ∈ E, ∃ x ∈ F, M = A + x
par exemple si F = V ect(sin, cos) est le sous espace vectoriel de E =RR formé des solutions de l’équation différentielle y” + y = 0 , qui est engendré par les deux fonctions ( sin, cos) et W l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y” + y = x, on a en notant id l’application définie sur R par id(x) = x
,
W = id + F = f ∈ RR , ∃(a, b) ∈ R2 , ∀x ∈ R, f (x) = a sin x + b cos x + x
W est donc le sous espace affine de E passant par le point id ( eh oui ici la fonction x → x est considèrée
comme un point de l’espace ) et dirigé par W .
Autre exemple: la droite W de R2 d’équation x+y +1 = 0 est le sous espace affine de E =R2 passant
par le point A = (0, −1) (par exemple) et dirigé par le sous espace vectoriel F de R2 : F = vect(e1 − e2 )
4
y
-4
-2
2
0 0
2
x
4
-2
-4
x+y+1=0 de direction x+y=0
la dimension de W = A + F est définie comme égale à la dimension de F : en particulier si F = {0},
W est un point (dim W = 0) , si dim W = 1 , W est une droite, si dim W = 2 , W est un plan. Au delà ,
on utilise le terme général de sous-espace affine
E est bien entendu un sous-espace affine de lui même.
On appelle vecteurs directeurs de A + F toute famille de vecteurs qui constitue une base de F
Par exemple les fonction sin, cos sont des vecteurs directeurs du sous espace affine des solutions de
y” + y = x , et le vecteur e1 − e2 est un vecteur directeur de la droite affine d’équation x + y + 1 = 0
• Unicité de la direction d’un sous espace affine
si W = A + F alors ∀B ∈ W , W = B + F
• Sous-espaces affines parallèles
Soient W et W 0 deux sous espaces affines de E . Par définition W est parallèle à W 0 si et seulement si la
direction de W est incluse dans la direction de W 0 , c’est a dire s’il existe deux points A et A0 de E et deux
sous-espaces vectoriel F, F 0 de E tels que
W = A + F et W 0 = A0 + F 0 et F ⊆ F 0
68
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par exemple si W et W 0 sont les deux sous-espaces affines de R3 d’équations respectives x+y+z+1 = 0
x+y =0
et
, W est le plan passant par A(0, 0, −1) et de vecteurs directeurs ( e1 − e2 , e2 − e3 ) , et
z=1
W 0 la droite passant par A0 (0, 0, 1) et de vecteur directeur e1 − e2 . W 0 est donc parallèle à W
si W 0 et W ont la même direction ils sont dit fortement parallèles : c’est la notion de parallèlisme
classique ( par exemple dans R3 droites parallèles , plans parallèles )
• Intersection de deux sous-espaces affines
Soient W, W 0 deux sous espaces affines de E de directions respectives F, F 0 . Alors ou bien W ∩ W 0 = ∅,
ou bien W ∩ W 0 est lui même un sous-espace affine de E: dans ce second cas , la direction de W ∩ W 0 est
égale à F ∩ F 0
En particulier supposons que E =R3 : les règles d’incidences sont les suivantes
A) si W et W 0 sont des plans :
A1◦ ) W et W 0 sont fortement parallèles: dans ce cas ou bien W = W 0 ou bien W ∩ W 0 = ∅
A2◦ ) W et W 0 ne sont pas fortement parallèles et alors W ∩ W 0 est une droite.
B) si W est un plan et W 0 une droite:
B1◦ ) W 0 est parallèle à W : dans ce cas ou bien W 0 ⊆ W ou bien W ∩ W 0 = ∅
B2)◦ W 0 n’est pas parallèle à W : dans ce cas W ∩ W 0 est un point
C) si W et W 0 sont des droites
C1◦ ) W et W 0 sont coplanaires ( incluses dans un même plan) : dans ce cas il y a deux sous-cas
C1◦ a) si W et W 0 sont fortement parallèles et alors ou bien W = W 0 ou bien W ∩ W 0 = ∅
C1◦ b) si W et W 0 ne sont pas parallèlles, alors elles sont sécantes en un point .
◦
C2 )W et W 0 ne sont pas coplanaires. dans ce cas W ∩ W 0 = ∅
Exemple: montrer plus généralement dans le cas ou n est quelconque que lorsque F ⊕ F 0 = E ( c’est à
dire le cas B2 ◦ ), alors W ∩ W 0 est un point .
En effet posons W = A + F et W 0 = A0 + F 0 : Cherchons les points M ∈ W ∩ W 0 . Soit M un tel point
:
−−−
→
−−→
0
0
⇔
AM
∈
F
et
A
M
∈
F0
M
∈
W
∩
W
−−→0 −−→ −−
→
−
−
→
or AA = AM − A0 M . De plus, puisque F ⊕ F 0 = E, le vecteur AA0 qui est élément de E se décompose
de façon unique sous la forme
−−→0 −
→
→
→ −
−
→ −
AA = u + u0 avec ( u , u0 ) ∈ F × F 0
→
−
→ −
les deux vecteurs u et u0 sont donc déterminés de façon unique à l’aide de A et de A0 , et il est nécéssaire
−
→
−−→
−−→
−
→
d’avoir AM = u et MA0 = u0 . Examinons la première de ces deux conditions : Il existe un et un
−−→
−
→
seul point M0 tel que AM 0 = u . Montrons que ce point M0 vérifie aussi la deuxième condition: en effet
−−→0 −
→0
−−−→0
M0 A = −u + AA = u . On en déduit donc l’existence et l’unicité du point M .
12.2
Barycentres
• Définition du barycentre de n points
Soient (Ai )1≤i≤n une famille de n points et (λi )1≤i≤n une famille de n scalaires réels tels que
0 ;Le barycentre de la famille (Ai )1≤i≤n affecté des masses (λi )1≤i≤n est le point G défini par
n
−−→
−
→
λi GAi = 0
n
i=1
λi 6=
i=1
n
∀M ∈ E,
−−→
λi MAi = (
i=1
n
−−→
λi )MG
i=1
on ne modifie pas G en multipliant toutes les masses par un même réel λ 6= 0
En particulier il est toujours possible de supposer ni=1 λi = 1 en divisant chaque masse par la somme
de toutes les masses
Notation : G = bar((Ai )1≤i≤n ,(λi )1≤i≤n )
69
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• Associativité du barycentre
soient G = bar((Ai )1≤i≤n ,(λi )1≤i≤n ), G0 = bar((A0i )1≤i≤n0 ,(λ0i )1≤i≤n0 ) si
n
i=1
λi +
n
G” = bar((Ai )1≤i≤n ∪
(A0i )1≤i≤n0 , (λi )1≤i≤n
∪
(λ0i )1≤i≤n0 )
0
= bar((G, G ), (
n0
i=1
n0
λ0i )
λi ,
i=1
λ0i 6= 0 alors
i=1
• Stabilité d’un sous-espace affine par barycentration
Soit W un sous espace affine de E. Soient (Ai )1≤i≤n une famille de n points de W et (λi )1≤i≤n une famille
de n scalaires réels tels que ni=1 λi 6= 0 , alors le barycentre G = bar((Ai )1≤i≤n ,(λi )1≤i≤n ) appartient à
W.
• Segment [A, B]
[A, B] = {M ∈ E, ∃λ ∈ [0, 1], M = bar((A, B), (λ, 1 − λ))}
−−→
−→
M ∈ [A, B] ⇔ ∃λ ∈ [0, 1], AM = λAB
• Partie convexe de E
Soit A ⊆ E une partie de E . A est dite convexe lorsque dès qu’elle contient deux points M et N elle
contient le segment [M, N]
A convexe ⇔ ∀(M, N) ∈ A2 , [M, N] ⊆ A
Exercice27 : Soit A une partie non vide de l’espace affine E. On appelle enveloppe convexe de A, notée
C(A) l’ensemble de tous les barycentres possibles de points de A affectés de masses positives ( on peut prendre autant de points que l’on veut ). Par exemple l’enveloppe convexe de trois points A, B, C non alignés
est le triangle ABC et tous les points intérieurs à ce triangle. Montrer C(A) est convexe. Comparer pour
l’inclusion C(X1 ∩ X2 ) et C(X1 ) ∩ C(X2 ) ou X1 et X2 sont deux parties quelconques de E d’intersection
non vide.
12.3
Applications affines, transformations affines
• Application affine
Soit f une application de l’espace affine E dans l’espace affine E 0 . f est une application affine si et
seulement si il existe une application linéaire ϕf et un point A ∈ E tels que
−−→
∀M ∈ E, f (M) = f (A) + ϕf (AM)
dans ce cas , pour tout couple de points (M, N) ∈ E 2 on a
−−−−−−−→
−−→
f (M)f (N) = ϕf (MN)
ϕf est l’application linéaire associée à f
En particulier toute application linéaire est une application affine qui vérifie f (0E ) = 0E 0
• Conservation du barycentre
Soit f une application affine . Pour toute famille de points (Ai )1≤i≤n pondérés par les masses (λi )1≤i≤n ,
si G = bar((Ai )1≤i≤n , (λi )1≤i≤n ), alors f (G) = bar((f (Ai ))1≤i≤n , (λi )1≤i≤n )
Exemple: si T = {A, B, C} est une partie du plan formée de trois points non alignés, l’ensemble XT =
{f ∈ GA(E), f (T ) = T } des transformations du plan qui laissent T globalement invariante est un sousgroupe de GA(E), formé de six application : chacune de ces six applications est caractérisée par l’image
des trois points A, B et C:
si M, M 0 sont deux points de C(A), on a M = bar((Ai )1≤i≤p , (λi )1≤i≤p ) et M 0 = bar((A0i )1≤i≤n , (λ0i )1≤i≤n ) ou les
λI ,λ0i sont tous positifs ou nuls. Soit λ ∈ [0, 1] et N = bar((M, M 0 ), (λ, 1 − λ)).Le théorème d’associativité fournit N =
bar((Ai )1≤i≤p ∪ (A0i )1≤i≤n , (λλi )1≤i≤p ∪ ((1 − λ)λ0i )1≤i≤n ) donc N est un barycentre de points de A affectés de masses
positives et donc N ∈ C(A). si M ∈ C(X1 ∩ X2 ) , M est un barycentre positif de points de X1 donc M ∈ C(X1 ) et de
même M ∈ C(X2 ) . Donc C(X1 ∩ X2 ) ⊆ C(X1 ) ∩ C(X2 ). Cependant l’inclusion inverse est fausse , il suffit par exemple de
considérer sur une droite trois points A, B, C dans cet ordre et X1 = {A, B} , X2 = {A, C} .On a C(X1 ) = [A, B], C(X2 ) =
[A, C], C(X1 ∩ X2 ) = {A} , C(X1 ) ∩ C(X2 ) = [A, B]
27
70
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par exemple 28 l’application f telle que f (A) = A, f (B) = C et f (C) = B admet pour endomorphisme associé l’application linéaire ϕf telle que
−→
−→
−→
−→
ϕf (AB) = AC et ϕf (AC) = AB
Pour toute application f ∈ XT , l’image par f de l’isobarycentre
G = bar((A, B, C), (1, 1, 1))
du triangle T est égale à bar((f (A), f (B), f (C), (1, 1, 1)) = G
−
→
• La translation de vecteur x est une application affine de E dont l’endomorphisme associé est IdE
• On appelle homothétie de centre Ω et de rapport k l’application affine f = hΩ,k définie par
−−−−→
−−→
Ωf (M) = kΩM
son endomorphisme associé est égal à k.IdE
si k 6= 1 , Ω est l’unique point fixe de f : on le retrouve en résolvant l’équation f (M) = M
si k = 1 , f est l’identité de E
Inversement si f est une application affine d’endomorphisme associé k.Id avec k 6= 1 alors f est une
homothétie de rapport k.
• Projection affine : Soit F et F 0 deux sous espaces supplémentaires de E et A un point de E .Soit d’autre
part W = A + F . Puisque F ⊕ F 0 = E , les deux sous espaces M + F 0 et A + F se coupent en un
unique point noté p(M)
∀M ∈ E, {p(M)} = (M + F 0 ) ∩ (A + F )
On appelle projection sur W parallèlement à F 0 l’application p ainsi définie
L’endomorphisme associé à la projection p est la projection sur F parallèlement à F 0
Exemple dans R3 : déterminer les coordonnées de la projection du point M0 (x0 , y0 , z0 ) sur la droite
1
1
∆ = A + vect(e1 − e2 + e3 ) où A =
0
parallèlement au plan Π d’équation
X +Y +Z =0
On cherche l’intersection de la droite ∆ avec le plan Π0 = M0 + Π qui passe par M0 et qui est dirigé par
Π. L’équation cartésienne de Π0 dans le repère R =( 0, e1 , e2 , e3 ) est
X + Y + Z = x0 + y0 + z0
λ+1
−−−−→
−λ + 1 .
p(M0 ) ∈ ∆ ⇔ ∃λ ∈ R, Ap(M0 ) = λ(e1 − e2 + e3 ) ⇔ p(M0 ) =
λ
Donc
p(M0 ) ∈ ∆ ∩ Π0 ⇔ λ + 2 = x0 + y0 + z0
, d’ou
x0 + y0 + z0 − 1
−(x0 + y0 + z0 ) + 3
p(M0 ) =
(x0 + y0 + z0 ) − 2
• Symétrie affine : Soit F et F 0 deux sous espaces supplémentaires de E et A un point de E .Soit d’autre part
W = A + F .On appelle symétrie par rapport à W parallélément à F 0 l’application qui à tout point M de
−−−−→
E associe l’unique point s(M) tel que le milieu I de (M, s(M)) appartienne à W et que la vecteur Ms(M)
appartienne à F 0 . On montre alors que
−−−−−−−→
−−−−−→
p(M)s(M) = −p(M)M
L’endomorphisme associé à s est la symétrie vectorielle par rapport à F parallèlement à F 0
Exemple: dans l’exemple précédent la symétrie de base ∆ et de direction Π est définie si M = (x, y, z)
28
l’application f donnée en exemple est en fait la symétrie affine par rapport à la droite (AG) de direction la droite (BC) .
71
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et s(M) = (x0 , y 0 , z 0 ) on devra résoudre le système
y + y0
z + z0
x + x0
= λ + 1,
= −λ + 1,
= λ, x0 − x + y 0 − y + z 0 − z = 0
2
2
2
ce qui fournit : λ + 2 = x + y + z donc
x0 = x + 2y + 2z − 2
y 0 = −2x − 3y − 2z + 6
s(M) =
z 0 = 2x + 2y + z − 4
Autre exemple : cherchons la forme analytique des 6 transformations XT = {f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 } laissant
le triangle A(1, 0); B(2, 1), C(0, 2) globalement invariant
G = bar((A, B, C), (1, 1, 1)) = (1, 1) est invariant par ces 6 applications
−−→
−−−−→
−−→
−−−−→
−→
−
→ −→ −
→
GA = − e2 et GB = e1 d’ou si f ∈ XT ϕf (GA) = Gf (A) et ϕf (GB) = Gf (B)
−
→
−
→
On en déduit ϕf ( e1 ) et ϕf ( e2 ) et la matrice de ϕf dans la base canonique
−→
par exemple cherchons la symétrie affine f par rapport à la droite (GC) parallélement à ( BA)
−→
−→
−→
−→
f (A) = B, f (B) = A, f (C) = C ⇒ ϕf (GA) = GB et ϕf (GB) = GA donc mat(ϕf2 ) =
0
−1
−1 0
donc la forme analytique de f est donnée par M(x, y) → M 0 (x0 = −y + a, −x + b)
puisque f (G) = G on en déduit que a = 2 et b = 2
M(x, y) → M 0 (x0 = −y + 2, −x + 2)
• Soit f une application affine de E dans lui même et A ∈ E. Il existe une unique application affine u laissant
le point A invariant et une unique translation t telle que tou = f
• Une application affine f de E dans E est appelée transformation lorsque f est bijective. On note GA(E)
l’ensemble des transformations affines de E. f est une transformation de E ssi son endomorphisme associé
est un automorphisme de E
si f ∈ GA(E), alors
f ∈ GA(E) ⇔ ϕf ∈ GL(E)
f −1 ∈ GA(E) et ϕf −1 = (ϕf )−1
• En particulier les translations et les homothéties de rapport non nul sont des transformations de E.
• Affinité de base W et de direction F 0
On se donne F et F 0 deux sous espaces supplémentaires de E et W un sous espace affine dirigé par F
. Soit d’autre part λ ∈ R . On appelle affinité de base W de direction F 0 et de rapport λ l’application
a : M → M 0 telle que si p désigne la projection sur W parallélément à F 0 , alors
−−−−−−−→
−−−−−→
p(M)a(M) = λp(M)M
Si λ = 0 on retrouve la projection p : a = p
Si λ = 1 on obtient IdE : a = IdE
Si λ = −1 , on obtient la symétrie de base W et de direction F 0
• Groupe des translations
Soit T l’ensemble des translations de E . T est un sous-groupe commutatif de GA(E)
f ∈ T ⇔ϕf = Id
→
−
→ = t−
→ −
→
−
→ −1 = t −
t−→
−u
u ot v
u + v ; (t u )
E → GA(E)
L’application Φ : −
est un isomorphisme de (E, +) dans (GA(E), o)
→
u 7→ t−→
u
• Groupe des homothéties-translations
Soit HT l’ensemble des transformations affines qui sont soit des translations , soit des homothéties de
72
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rapport non nul.
f ∈ HT ⇔∃k ∈ R∗ , ϕf = k.Id
Lorsque l’on compose deux homothéties hΩ,k , hΩ0 ,k0 de rapports k, k0 non nuls , on a deux cas qui se
présentent
kk 0 6= 1 : hΩ,k ohΩ0 ,k0 = hΩ”,kk0
kk 0 = 1 : hΩ,k ohΩ0 ,k0 = t−→
u
−
→
dans la formule précédente , Ω” est obtenu en déterminant l’unique point fixe de hΩ,k ohΩ0 ,k0 , et u vérifie:
−−−→
−
→ −−−−−−−−−
u = M hΩ,k ohΩ0 ,k0 (M)
ou M est un point quelconque de E
Lorsque l’on compose une homothétie hΩ,k et une translation t−→
v on obtient quelque soit l’ordre de composition une homothétie de rapport k
hΩ,k ot−→
t−→
v = hΩ1 ,k
v ohΩ,k = hΩ2 ,k
−
→
Ω1 (resp Ω2 ) est l’unique point fixe de hΩ,k ot−→
v (resp t v ohΩ,k )
(hΩ,k )−1 = hΩ,1/k
Ces diverses propriétés permettent de prouver que HT est un sous-groupe de (GA(E), o) , en général
non commutatif
Exemple : caractériser le point Ω”, centre de l’homothétie hΩ,k ohΩ0 ,k0
−−→
−−→
hΩ,k ohΩ0 ,k0 (Ω”) = Ω” posons M = hΩ0 ,k0 (Ω”), on a donc Ω” = hΩ,k (M) d’où Ω0 M = k0 Ω0 Ω” et
−→
−−→ −→ −−→ −→ 1 −−→
−−→
−−→
1 −−→
ΩΩ” = kΩM donc k0 Ω0 Ω” = Ω0 Ω + ΩM = Ω0 Ω + ΩΩ” et finalment (k0 − )ΩΩ” = (1 − k0 )Ω0 Ω
k
k
soit
−−→ k(1 − k 0 ) −→0
ΩΩ” =
ΩΩ
1 − kk 0
• Un repère cartésien d’un espace affine E est un couple R =(0, B) formé d’un point 0 ∈ E et d’une base
−
→ −
→
B = ( e1 , .., en ) de E. Si M ∈ E est un point de E , les coordonnées de M dans le repère R sont les n rtéels
définis par :
n
−−→
−
→
OM =
xi ei
i=1
−
→ −
→
On appelle repère cartésien canonique de Rn le repère (0, ( e1 , .., en )) où 0 = (0, .., 0) et ei est le
iieme vecteur de base canonique de Rn
• Expression d’une application affine.
Soit f une application affine de Rn dans Rm , d’application linéaire associée ϕf . Si A = (ai,j ) 1≤i≤m est
1≤j≤m
−−→
la matrice de ϕf relativement au bases canoniques , la relation f (M) = f (O) + ϕf (OM) permet d’obtenir
les coordonnées de f (M) sous la forme
x01 = nj=1 a1,j xj + b1
x02 = nj=1 a2,j xj + b2
.......
x0m = nj=1 am,j xj + bm
• Equations cartésiennes de droites du plan
−
→
−
→
Soit D = A + vect( u ) une droite de R2 avec A(xA , yA ) et u (xu , yu ) donnés par leurs corrdonnées dans
−−→ −
→
le repère canonique . On obtient une équation cartésienne de D en écrivant : M ∈ D ⇔ det(AM, u ) =
x − xA xu
0⇔
=0
y − yA yu
Une telle équation se présente sous la forme
ax + by + c = 0 avec (a, b) 6= (0, 0)
−
→
w = (−b, a) est un vecteur directeur de D
−
→
u = (a, b) est un vecteur normal à D (voir produit scalaire)
73
lycée Dessaignes 2005-2006
• Parallèlisme de deux droites
les droites D et D0 d’équations respectives
ax + by + c = 0 et a0 x + b0 y + c0 = 0
sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux ( ou directeurs , cela revient au même ) sont colinéaires soit
a a0
= 0 = ab0 − ba0
b b0
• Equations cartésiennes de plans de l’espace
−
→ −
→
−
→
−
→
Soit P = A + vect( u , v )) un plan de R3 avec A(xA , yA , zA ) et u (xu , yu , zu ), v (xv , yv , zv ) donnés
par leurs cordonnées dans le repère canonique . On obtient une équation cartésienne de P en écrivant :
x − xA xu xv
−−→ −
→
M ∈ P ⇔ det(AM, u , v) = 0 ⇔ y − yA yu yv = 0
z − zA zu zv
Une telle équation se présente sous la forme
ax + by + cz + d = 0
−
→
−
→
si a 6= 0, w = (−b, a, 0) et w0 = (−c, 0, a) sont deux vecteurs directeurs libres de P
• Parallèlisme de deux plans
les plans P et P 0 d’équations respectives ax + by + cz + d = 0 et a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0 sont parallèles
ssi leurs vecteurs normaux sont colinéaires soit
a
a0
−
→
b
b0
∧
= 0
c
c0
• Définition d’une droite de l’espace par deux équations
Soient P, P 0 deux plans de R3 non parallèles . P ∩ P 0 = D est donc une droite qui est entièrement
caractérisée par le système formé de deux équations cartésiennes de P et P 0
ax + by + cz + d = 0
a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0
Inversement un tel système définit bien une droite lorsque les deux plans P, P 0 définis par les équations
du système ne sont pas parallèles
x+y+z+1=0
Exemple:
définit une droite D de R3 , que l’on peut caractériser en résolvant ce
x − y + 2z − 1 = 0
système par rapport aux inconnues principales x, y. z sera alors pris comme paramètre:
3
1
x = − z, y = −1 + z
2
2
−
→ 3 1
On voit donc que le point A(0, −1, 0) appartient à D et que le vecteur u (− , , 1) est un vecteur directeur
2 2
−
→
de D. Donc D = A + vect( u )
• Equations paramètriques d’un sous espace affine de Rn
−
→ −
→
Soit W = A+F un sous espace affine de E =Rn où A(a1 , .., an ) est un point de Rn et F = vect( f1 , .., fp )
−
→
un sous-espace vectoriel de Rn de dimension p. Les coordonnées de A et des vecteurs f i sont données dans
le repère canonique :
−
→
∀j ∈ {1, .., p} , fj = (fi,j )1≤i≤n
On appelle système d’équations paramètriques de W le système obtenu en écrivant que le point M(x1 , .., xn )
−−→
de E appartient à W c’est à dire vérifie AM ∈ V ect(f1 , .., fp ), ce qui revient à dire qu’il existe (λ1 , .., λp ) ∈
74
lycée Dessaignes 2004-2005
−−→
Rp tels que AM =
p
j=1
−
→
λj fj
x1 =
x2 =
p
j=1
p
j=1
λj f1,j + a1
λj f2,j + a2
...........
xn = pj=1 λj fn,j + an
Une telle équation pemet de retrouver très facilement le sous espace W à l’aide du point A et des vecteurs
directeurs
• Equation paramètrique d’une droite du plan R2
−
→
−
→
A(xA , yA ) et u = (xu , yu ) . Soit D la droite D = A + vect( u )
x = λxu + xA
M(x, y) ∈ D ⇔ ∃λ ∈ R,
y = λyu + yA
x=t+3
définissent la demi droite passant par le point A(3, 2)
par exemple les équation ∃t ∈ R+ ,
y = −t + 2
−
→
dirigée par le vecteur u (1, −1), (demi-droite seulement car t ≥ 0)
• Equation paramètrique d’une droite de l’espace R3
−
→
−
→
A(xA , yA , zA ) et u = (xu , yu , zu ) . Soit D la droite D = A + vect( u )
x = λxu + xA
y = λyu + yA
M(x, y, z) ∈ D ⇔ ∃λ ∈ R,
z = λzu + zA
3
1
par exemple le système de dux équations x = − z et y = −1 + z peut se réécrire
2
2
3
x=− z
2
1
y = −1 + z
2
z=z
−
→ −3 1
ce qui caractérise la droite passant par A(0, −1, 0) dirigée par u ( , , 1)
2 2
• Equation paramètrique d’un plan de R3
−
→
−
→
A(xA , yA , zA ) et u = (xu , yu , zu ), v = (xv , yv , zv )
−
→ −
→
Soit P le plan P = A + vect( u , v )
x = λxu + µxv + xA
M(x, y, z) ∈ P ⇔ ∃(λ, µ) ∈ R , y = λyu + +µyv + yA
z = λzu + µzv + zA
Exemple : Déterminer l’intersection du plan P passant par les trois points A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)
et de la surface S d’équation xy = −z
−→ −→
P = A + vect(AB, AC) admet pour équation paramètrique
x=λ+µ+1
2
y = −λ
∃(λ, µ) ∈ R ,
z = −µ
d’où
M ∈ P ∩ S ⇔ (λ + µ + 1)(−λ) = µ
M ∈ P ∩ S ⇔ λ2 + λ(1 + µ) + µ = 0
M ∈ P ∩ S ⇔ λ = −1 ou λ = −µ
x=µ
y = 1 soit la droite ∆1 passant par B(0, 1, 0) dirigée par u(1, 0, −1)
λ = −1 fournit ∃µ ∈ R
z = −µ
2
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λ = −µ
x=1
y = µ soit la droite ∆2 passant par A(1, 0, 0) dirigée par v(0, 1, −1)
z = −µ
fournit ∃µ ∈ R
Donc
P ∩ S = ∆1 ∪ ∆2
13
13.1
Espaces vectoriels euclidiens
Produit scalaire
• Soit E un espace vectoriel sur R . On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique
définie positive sur E c’est à dire toute application ϕ de E 2 à valeurs dans R : (x, y) → ϕ(x, y) telle que ϕ
soit linéaire par rapport à x ( lorsque y est fixé), soit linéaire par rapport à y (lorsque x,est fixé), vérifie
∀(x, y) ∈ E 2 , ϕ(x, y) = ϕ(y, x)
et de plus
∀x ∈ E − {0E } , 0 < ϕ(x, x)
−
→−
→
On note ϕ(x, y) = (x | y) ou x . y dans le cas d’un produit scalaire utilisé en géomètrie
• Produits scalaires usuels
dans Rn : le produit scalaire canonique
n
(x | y) =
dans C 0 ([a, b], R)
xi yi
i=1
b
(f | g) =
• Norme euclidienne d’un vecteur
f (t)g(t)dt
a
(x | x)
kxk =
kxk = 0 ⇔ x = 0E
kλ.xk = |λ| kxk
• Inégalité de Cauchy-Schwarz
∀(x, y) ∈ E 2 , |(x | y)| ≤ kxk kyk
Il y a égalité dans cette inégalité si et seulement si les deux vecturs x et y sont colinéaires
conséquences sur les produits scalaires usuels:
n
n
xi yi
i=1
≤
i=1
b
yi2
i=1
b
f (t)g(t)dt
a
n
x2i
b
f 2 (t)dt
≤
a
g 2 (t)dt
a
• Distance associée à la norme euclidienne
∀(x, y) ∈ E 2 , d(x, y) = ky − xk = d(y, x)
• Inégalité triangulaire
conséquence
∀(x, y) ∈ E 2 , kx + yk ≤ kxk + kyk
|kxk − kyk| ≤ kx + yk
76
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( en effet kxk=k−y + x + yk ≤ k−yk+kx + yk )
∀(x, y, z) ∈ E 3 , d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
• Vecteurs unitaires
u est dit unitaire lorsque kuk = 1. Si u est un vecteur quelconque non nul il existe exactement deux
1
1
vecteurs unitaires qui sont colinéaires à u:
.u et −
.u
kuk
kuk
• Vecteurs orthogonaux
Soient (u, v) ∈ E 2 .On dit que u et v sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul
(u | v) = 0
• Sous espaces-vectoriels orthogonaux
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. F et G sont dits orthogonaux lorsque tout vecteur de
F est orthogonal à tout vecteur de G
F ⊥ G ⇔ ∀(x, y) ∈ F × G, (x | y) = 0
• Orthogonal d’un sous-espace vectoriel
Soit F un sous-espace vectoriel de E. On appelle orthogonal de F l’ensemble noté F ⊥ des vecteurs de
E qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de F ,
x ∈ F ⊥ ⇔ ∀y ∈ F, (x | y) = 0
L’orthogonal de F est un sous espace vectoriel de E , qui est ortogonal à F . De plus
F ∩ F ⊥ = {0E }
• Famille orthogonale finie
Une famille finie (ai )1≤i≤n est orthogonale si elle est constituée de vecteurs non nuls et deux à deux
orthogonaux
∀(i, j) ∈ {1, .., n}2 , i 6= j ⇒ (ai | aj ) = 0
Toute famille orthonogonale finie est libre
• Famille orthonormale finie
Une famille finie (ai )1≤i≤n est orthonormale si elle est constituée de vecteurs deux à deux orthogonaux
et unitaires
∀(i, j) ∈ {1, .., n}2 , (ai | aj ) = δ i,j
Toute famille orthonormale finie est libre
• Relation de Pythagore pour une famille orthogonale finie
si (ai )1≤i≤n est une famille orthogonale finie alors
2
n
ai
n
=
i=1
i=1
kai k2
• Relations entre produit scalaire et norme
kx + yk2
kx − yk2
kx + yk2 + kx − yk2
kx + yk2 − kx − yk2
13.2
=
=
=
=
kxk2 + kyk2 + 2(x | y)
kxk2 + kyk2 − 2(x | y)
2(kxk2 + kyk2 ) :identité du parallèlogramme
4(x | y) :identité de polarisation
Espace Euclidien
• Un espace Euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire
• Dans un espace euclidien il existe des bases orthonormales . En particulier si (ei )1≤i≤n est une base de E ,
77
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il existe une base (fi )1≤i≤n orthonormale telle que
∀i ∈ {1, .., n} , vect(e1 , .., ei ) = vect(f1 , .., fi )
Le procédé appliqué pour obtenir cette base est appelé procédé d’orthonormalisation de Schmidt . Il
1
.e1 , puis u2 = e2 + λ.f1 et calculer λ de telle sorte que (u2 | f1 ) = 0 : on trouve
consiste à poser f1 =
ke1 k
λ = −(e2 | f1 )
On obtient alors un vecteur u2 orthogonal à f1 et on pose
1
f2 =
.u2
ku2 k
On déclare ensuite u3 = e3 +λf2 +µf1 et l’on calcule λ, µ de telle sorte que (u3 | f1 ) = (u3 | f2 ) = 0 :on
trouve
λ = −(e3 | f1 ) et µ = −(e3 | f2 ).
On obtient alors un vecteur u3 orthogonal à la fois à f1 et à f2 : on pose
1
f3 =
.u3
ku3 k
On construit ainsi par récurrence finie la suite des vecteurs fi en posant à l’étape n◦ i
ui = ei + λi−1 fi−1 + ... + λ1 f1
où les vecteurs f1 , .., fi−1 sont calculés précédemment. Il suffit d’ajuster les coefficients λj de telle sorte
que ui soit orthogonal à chacun des fj pour tout j tel que 1 ≤ j ≤ i − 1: on trouve λj = −(ei | fj ). Ensuite
il ne reste plus qu’à normer le vecteur ui
• Expression des coordonnées d’un vecteurs dans une base orthonormale
Soit (fi )1≤i≤n une base orthonormale de E: On a
n
∀x ∈ E, x =
i=1
(fi | x).fi
• Expression du produit scalaire dans une base orthonormale
si (ei )1≤i≤n est une base orthonormale de E alors en posant x =
n
i=1
xi ei et y =
n
i=1
yi ei
n
(x
|
y) =
xi yi
i=1
n
x2i
kxk =
i=1
n
d(x, y) =
i=1
(yi − xi )2
• Suppémentaire orthogonal
L’orthogonal d’un sous espace vectoriel F est un suppémentaire de F appelé supplémentaire orthogonal
et noté F ⊥
F ⊕ F⊥ = E
dim(F ⊥ ) = dim(E) − dim(F )
• Projecteurs orthogonaux
⊥
Soit p un projecteur de E. On dit que p est un projecteur orthogonal lorsque Im(p) = ker(p) . un tel
projecteur vérifie
pop = p
∀(x, y) ∈ E 2 , (p(x) | y) = (x | p(y))
78
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Exercice29 : On se donne deux sous espaces suppémentaires F et G dans E non nécéssairement orthogonaux. Soit p la projection sur F parallèlement à G . On suppose que
∀x ∈ E, kp(x)k ≤ kxk
⊥
Soit x ∈ (ker p) . Démontrer que kp(x)k2 = kxk2 + kp(x) − xk2 . En déduire que G = F ⊥ et que p est
un projecteur orthogonal.
• Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel
Soit F un sous-espace vectoriel de E. On appelle projection orthogonale pF sur F la projection sur F
⊥
⊥
(Im(pF ) = F ) parallèlement à la direction F (ker(pF ) = F )
⊥
x = pF (x) + pF ⊥ (x) avec pF (x) ∈ F et pF ⊥ (x) ∈ F
kxk2 = kpF (x)k2 + pF ⊥ (x)
2
Exercice30 : R3 étant muni du produit scalaire canonique, déterminer la matrice dans la base canonique
de la projection orthogonale sur le plan F d’équation x + y + z = 0
• Expression de la projection sur un sous espace muni d’une base orthonormale
Soit F un sous espace vectoriel de E et (fi )1≤i≤p une base orthonormée de F . Alors si pF désigne la
projection orthogonale sur F on a
p
∀x ∈ E,
pF (x) =
i=1
(fi | x).fi
p
kpF (x)k2 =
i=1
(fi | x)2
en particulier si dim(F ) = 1 :supposons F = vect(u) où u est un vecteur unitaire. Alors
∀x ∈ E, pF (x) = (x | u).u
3
y+z =
Exemple : dans R , la projection orthogonale sur le
√plan F√d’équation x + √
√ 0 peut√s’obtenir
en considérant la base orthonormée de F : f1 = (1/ 2, −1/ 2, 0) , f2 = (1/ 6, 1/ 6, −2/ 6). on a
x1 − x2
x1 + x2 − 2x3
√
f1 +
f2 .
alors si x = (x1 , x2 , x3 ), pF (x) = √
2
6
• Distance d’un point à un sous espace vectoriel.
Soit F un sous espace vectoriel de E. Pour tout vecteur x ∈ E on appelle distance de x à F le réel
d(x, F ) = inf {d(x, y), y ∈ F }
Cette distance est atteinte pour y = pF (x) et vaut
d(x, F ) = kx − pF (x)k
d(x, F )2 = kxk2 − kpF (x)k2
si (fi )1≤i≤p est une base orthonormale de F , alors
p
2
2
d(x, F ) = kxk −
i=1
(fi | x)2
On écrit p(x) = p(x)−x+x et on remarque que (x | p(x)−x) = 0 puisque p(x)−x ∈ ker p et x ∈ ker p⊥ .On applique alors
le théorème de pythagore pour obtenir l’égalité kp(x)k2 = kxk2 + kp(x) − xk2 . Ensuite puisque kp(x)k ≤ kxk on en déduit que
kp(x) − xk = 0 et donc que x = p(x) ∈ Im p . Ceci prouve que ker p⊥ ⊆ Im p. or dim ker p⊥ = dim E−dim ker p = dim Im p.
d’ou ker p⊥ = Im p.
30
un vecteur normal à F est (1, 1, 1) , une base de F est ( (1, −1, 0) ,(1, 0, −1)). On a donc p(e1 ) + p(e2 ) + p(e3 ) = 0,
1
1
p(e1 )−p(e2 ) = e1 −e2 , p(e1 )−p(e3 ) = e1 −e3 d’ou en résolvant p(e1 ) = (2e1 −e2 −e3 ), p(e2 ) = (−e1 +2e2 −e3 )p(e3 ) =
3
3


2/3
−1/3
−1/3
1
−1/3 
M =  −1/3 2/3
(−e1 − e2 + 2e3 )donc
3
−1/3 −1/3 2/3
29
79
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13.3
Automorphismes orthogonaux
• Automorphisme orthogonal
Soit f un automorphisme de l’espace vectoriel euclidien E. f est un automophisme orthogonal si et
seulement si f conserve le produit scalaire
∀(x, y) ∈ E 2 , (f (x) | f (y)) = (x | y)
Il est équivalent de dire que f conserve la norme
∀x ∈ E, kf (x)k = kxk
Il est équivalent de dire que f transforme une base orthonormale (ei )1≤i≤n de E en une base orthonormale (f (ei ))1≤i≤n de E.
• Groupe orthogonal O(E)
l’ensemble des automorphismes orthogonaux forme un sous groupe du groupe linéaire (GL(E), o) , appelé groupe orthogonal et noté O(E).
En d’autres termes , la composée de deux automorphismes orthogonaux est un aotomiophisme orthogonal.
L’inverse d’un automorphisme orthogonal est un automorphisme orthogonal.
• Symétrie orthogonale
Soit F un sous espace vectoriel de E et pF la projection orthogonale sur F . On appelle symétrie orthogonale par raport à F l’application
sF = 2pF − Id
sF ∈ O(E)
si x = xF + xF ⊥ avec (xF , xF ⊥ ) ∈ F × F ⊥ , alors s(x) = xF − xF ⊥
• Symétrie orthogonale par rapport à une droite, ou demi-tour
Soit D = vect(u) ou u est un vecteur unitaire . La symétrie orthogonale par rapport à D est définie par
sD (x) = 2(x | u).u − x
elle laisse tous les vecteurs de D invariants et transforme les vecteurs de D⊥ (qui est un hyperplan) en
leurs opposés. On l’appelle aussi le demi-tour d’axe D
• Réflexion d’hyperplan P
si dim(P ) = dim(E) − 1, P est un hyperplan de E. La symétrie orthogonale par rapport à P s’appelle
une réflexion: elle laisse tous les vecteurs de P invariants et transforme les vecteurs de D⊥ (qui est une
droite) en leurs opposés . En notant u un vecteur unitaire normal à F , c’est à dire tel que F ⊕ V ect(u) = E
et kuk = 1 on a
sP (x) = x − 2(x | u).u
• Echange dce deux vecteurs unitaires par une réflexion
Etant donné deux vecteurs unitaire a et b ditincts , il existe une et une seule reflexion s qui transforme a
en b.Elle a pour hyperplan (vect(b − a))⊥
• Matrices orthogonales
Soit n ≥ 1 un entier naturel et M ∈ Mn (R) . la matrice M est orthogonale si et esulement si l’endomorphisme f de Rn canoniquement associé à M est un automorphisme orthogonal . On note On (R)
l’ensemble des matrices orthogonales . On (R) est un sous-groupe de (GLn (R), ×)
• Caractérisation des matrices orthogonales
Soit M ∈ Mn (R) . La matrice M est orthogonale ssi les colonnes de M forment une base orthonormale
de Rn de M . Ceci revient à dire que
t
M × M = M × t M = In
ou encore : M −1 = t M
• Changement de base orthonormale
80
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Soient B, B0 deux bases orthonormaes de Rn . la matrice de passage de B à B0 est orthogonale . Réciproquement si B est une base ortho,normale et si la matrice de passage de B à B0 est orthogonale , almors B0
est une base orthonormale.
• Déterminant d’une matrice orthogonale
M ∈ On (R)
f ∈ O(E)
⇒ det(M) = 1 ou det(M) = −1
⇒ det(f ) = 1 ou det(f ) = −1
• Bases orthonormales directes de Rn
La base B1 est appelée base orthonormale directe de Rn lorsque la matrice de passage de la base canonique
B0 de Rn à B1 a pour déterminant 1.Dans le cas contraire , B1 est dite rétrograde.
• Déterminant d’une réflexion
det(sP ) = −1
• Groupe spécial orthogonal.
Par définition , f ∈ L(E) est une rotation ssi f ∈ O(E) et det(f ) = 1 (attention de ne pas retenir quee la
deuxième condition det f = 1, qui caractérise non pas les rotations mais les automorphismes de conservant
l’aire algèbrique.
SO(E) = {f ∈ O(E), det(f ) = 1}
SOn (R) = {M ∈ On (R), det(M) = 1}
si f ∈ L(E) , f
SO(E) est un sous groupe de (O(E), o)
SOn (R) est un sous groupe de (On (R), ×)
• Caractérisation des rotations
Un endomorphisme f de E est une rotation ssi il transforme une base orthonormée directe en une base
orthonormée directe.
• Produit mixte de n vecteurs
Soient (ai )1≤i≤n unefamille de n vecteurs de Rn .on applelle produit mixte des n vecteurs ai de déterminant
de la famille (ai )1≤i≤n dans une base orthonormale directe quelconque B
[x1 , ...., xn ] = det(a1 , .., an )
B
−→
−→
−→
si n = 2 |[x1 , x2 ]| représente l’aire du parallèlogramme OACB avec OA = x1 , OB = x2 , et OC =
x1 + x2
−→
−→
si n = 3 |[x1 , x2 , x3 ]| représente le volume du parallélépipède OABCDEF G avec OA = x1 et OB = x2
−→
−→
, OC = x3 et OG = x1 + x2 + x3
∀f ∈ L(E), [f (x1 ), ...., f (xn )] = det(f ) × [x1 , ...., xn ]
En particulier si n = 2 , une application linéaire multiplie une aire (ou un volume si n = 3) par la valeur absolue de son déterminant. Il existe par exemple des applixcations qui ne sont pas des automorphismes orthogonaux et qui conservent les aires en dimension 2: tel est le cas de l’endomorphisme f de matrice dans la base
1 1
. Sur le shéma qui suit on a porté les points A(0, 0), B(0, 1), C(1, 2), D(2, 1), E(2, 0)
canonique
0 1
et leurs images par f : l’aire de la partie A est conservée .
81
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2
1.5
1
0.5
-1
0 0
1
x
2
3
Les automorphismes orthogonaux conservent bien entendu les aires ou les volumes , mais ce ne sont pas
les seuls!
• Produit vectoriel
soient u, v deux vecteurs de R3 . le produit vectoriel de u par v est l’unique vecteur u ∧ v de R3 qui vérifie
∀x ∈ R3 , det(u, v, x) = (u ∧ v | x)
u1
v1
u2
v2 , alors
si les coordonnées de u et v sont données dans la base canonique par u =
et v =
u3
v3
u2 v2
u3 v3
u2 v3 − u3 v2
u1 v1
−u1 v3 + u3 v1
−
=
u∧v =
u3 v3
u1 v2 − u2 v1
u1 v1
u2 v2
(u ∧ v | u) = (u ∧ v | v) = 0
13.4
Automorphismes orthogonaux du plan
• Description de O(R2 )
dans le plan tout automorphisme orthogonal est soit une reflexion , soit le produit de deux réflexions ,
c’est à dire une rotation.
• Matrice dans une base orthonormée directe de la rotation d’angle θ
la rotation d’angle θ est l’automorphisme rθ de SO(R2 ) qui transforme e1 = (1, 0) en rθ (e1 ) = (cos θ, sin θ)
. Sa matrice dans la base canonique B est
cos θ − sin θ
MB (rθ ) =
sin θ cos θ
• Mesure de l’angle orienté de deux vecteurs non nuls
[
soient u, v deux vecteurs non nuls . On appelle mesure de l’angle (u,
v) l’unique réel θ modulo 2π tel que
u
v
rθ (
)=
kuk
kvk
[
On a alors, en notant θ = mes((u,
v)), les formules suivantes:
(u | v) = kuk kvk cos θ
[u, v] = kuk kvk sin θ
rθ (u)) = θ + 2kπ
∀x ∈ R2 , (u,\
[
[
remarque : par commodité on confond souvent l’angle (u,
v) et sa mesure mes((u,
v))
82
lycée Dessaignes 2004-2005
• Matrice d’une réflexion
θ
θ
soit su la réflexion par rapport à la droite D = vect(u) , pour u = cos( ).e1 + sin( ).e2 .
2
2
Alors su (u) = cos(θ).e1 + sin(θ).e2 et la matrice de s dans la base canonique est donnée par
cos θ sin θ
MB (s) =
sin θ − cos θ
• Composée de deux réflexions
[
u et v étant deux vecteurs unitaires , tels que θ = (u,
v) on a alors
sv osu = r2θ
13.5
Automorphismes orthogonaux de l’espace
• Angle de deux vecteurs de R3
Soient u et v deux vecteurs unitaires non colinéaires de R3 . On pose
u∧v
w1 =
et u1 = u, v1 = w1 ∧ u1
ku ∧ vk
La famille (u1 , v1 , w1 ) est une base orthonormale de R3 . Le plan vect(u, v) = vect(u1 , v1 ) est ainsi orienté
par le choix de la base orthonormale (u1 , v1 ), l’orientation correspondante de la droite vect(w) étant alors
[
donnée par le vecteur u ∧ v. On appelle mesure de l’angle de u et v la mesure de cet angle (u,
v) pour cette
orientation du plan vect(u, v).
Attention: il existe deux façons d’orienter le plan vect(u, v) , chacune de ces deux orientations étant
associée à une orientation de la droite vect(w) . Orienter le plan vect(u, v) revient donc à choisir une
orientation de l’axe vec(u ∧ v) ( par u ∧ v ou −u ∧ v)
Plus généralement on définit l’angle de deux vecteurs quelconques x, y à l’aide des vecteurs unitaires
[
associés : en notant θ une mesure de (x,
y), on a:
(x | y) = kxk kyk cos θ
kx ∧ yk = kxk kyk |sin θ|
•
Définition d’une rotation par son axe et son angle
Soit w un vecteur unitaire et θ ∈ R . Soit u un vecteur unitaire orthogonal à w et v = w ∧ u. La famille
B =(u, v, w) st une base orthonormale directe de R3 . On appelle rotation d’axe D = vect(w) et d’angle θ
l’élément rw,θ de SO(R3 ) défini par
cos θ − sin θ 0
sin θ cos θ
0
matB (rw,θ ) =
0
0
1
Inversement soit r une rotation différente de Id. L’ensemble des vecteurs invariants par r est une droite
vectorielle vect(a) (a unitaire) . De plus si b est un vecteur quelconque non nul de (vect(a))⊥ , en notant θ
\
l’angle (b,
r(b)) lorsque vect(a) est orientée par le choix du vecteur a, alors r est la rotation d’axe vect(a)
et d’angle θ : r = ra,θ : pour tout vecteur x de (vect(a))⊥ on a la formule
r(x) = cos θ.x + sin θ.a ∧ x
Plus généralement si x est un vecteur quelconque de R3 , en décomposant le vecteur x par projections
selon vect(a) et (vect(a))⊥ , on a:
x = (x | a).a + (x − (x | a).a) avec x0 = (x − (x | a).a) ∈ (vect(a))⊥
ra,θ (x) = (x | a).a + cos θ.x0 + sin θ.a ∧ x0
La trace de la matrice de la rotation ra,θ dans une base orthonormée directe est égale à
tr(r) = 2 cos θ + 1
Exemple : déterminer la matrice M dans la base canonique de la rotation d’angle π/2 et d’axe orienté
par e1 + e2 + e3
83
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1
ici a = √ (1, 1, 1) . Si x = (x1 , x2 , x3 ) , avec les notations précédentes
3
x = (x | a).a + x0
x1 + x2 + x3
2x1 − x2 − x3 −x1 + 2x2 − x3 −x1 − x2 + 2x3
avec (x | a).a =
(1, 1, 1) et x0 = (
,
,
)
3
3
3
3
x1 + x2 + x3
ra,θ (x) =
(1, 1, 1) + a ∧ x0
3
x1 + x2 + x3
1
ra,θ (x) =
(1, 1, 1) + √ (−x2 + x3 , x1 − x3 , −x1 + x2 )
3
3 √
√
1/3 √
(1 − 3)/3 (1 + √3)/3
M = (1 + √3)/3 1/3 √
(1 − 3)/3
(1 − 3)/3 (1 + 3)/3 1/3
• Caractérisations des automorphismes de l’espace par leurs vecteurs invariants
Soit f ∈ O(E) et F le sous-espace vectoriel des vecteurs invaraints par f
F = ker(f − IdE )
dim(F ) = 3: dans ce cas f = IdE
dim(F ) = 2: dans ce cas f est la réflexion sF par rapport à F
dim(F ) = 1: dans ce cas f est une rotation d’axe F
dim(F ) = 0: dans ce cas −f est une rotation , on dit que f est une anti-rotation
6 −2 −3
3 6
2
.
2 −3 6
On remarque que A est une matrice orthogonale puisque ses vecteurs colonnes forment une base ortho6
−2
−3
1
1
1
3 ∧
6
2
normale: de plus
=
donc cette base est directe : A représente ainsi une
7 2
7 −3
7 6
rotation f d’axe
ker(f − IdE )
dont les équations sont :
−x − 2y − 3z = 0
x = −z
3x − y + 2z = 0 ⇔
y = −z
2x − 3y − z = 0
z=z
l’axe de la rotation est donc F = vect(e1 + e2 − e3 ); on choisit alors de l’orienter par le vecteur
−
→ √1
w =
(1, 1, −1)
3
11
18
soit cos θ =
L’angle θ vérifie 2 cos θ + 1 = tr(A) =
7
14
Pour trouver la valeur de θ , choisissons un vecteur unitaire de F ⊥
−
→ √1
u =
(1, −1, 0)
2
et son image
1
−
→
f ( u ) = √ (8, −3, 5)
7 2
√
−5 3
1
−
→
−
→
−
→
On a u ∧ f ( u ) = (−5, −5, 5) = sin θ. w donc sin θ =
14
14
11
finalement θ = −ar cos( ) pour cett orientation de l’axe F
14
1
Exemple : quelle est la nature de l’endomorphisme f de R de matrice A =
7
3
14
Géomètrie euclidienne du plan et de l’espace
84
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14.1
Distances , angles
• sous espaces affines orthogonaux , projections orthogonales
Deux sous espaces affines W = A + F et W 0 = A0 + F 0 de l’espace affine euclidien E sont orthogonaux
lorsque les sous-espaces vectoriels F, F 0 qui les dirigent sont orthogonaux . si F 0 = F ⊥ on appelle projection
orthogonale sur W la projection pW sur W parallélement à F ⊥ . elle est définie par
−−−→
pw (M) = M 0 ⇔ M 0 ∈ W et MM 0 ∈ F ⊥
par exemple la projection orthogonale sur le plan Π de R3 d’équation cartésienne x − y + z + 1 = 0
est l’application qui au point M(x, y, z) associe le point M 0 (x0 , y 0 , z 0 ) tel que
−−−→
M 0 ∈ Π et MM 0 ∈ Π⊥ = vect(e1 − e2 + e3 )
soit
x0 − y 0 + z 0 + 1 = 0
0
∃λ ∈ R, x − x = λ, y 0 − y = −λ, z 0 − z = λ
−1 − x + y − z
on obtient λ =
et
3
−1 + 2x + y − z 1 + x + 2y + z −1 − x + y + 2z
,
,
)
M 0(
3
3
3
• Distance d’un point du plan à une droite
−
→
−
→
Soit D = A + vect( u ) une droite du plan affine euclidien E où A est un point et u un vecteur directeur
de D. la distance d’un point M de E à D est égale à la distance de M à la projection orthogonale de M sur
D . On l’obtient par la formule
−−→ −
→
det(AM, u )
d(M, D) =
−
→
u
si D a pour équation cartésienne dans un repère orthonormé
ax + by + c = 0
alors la distance de M(xM , yM ) à D est donnée par
|axM + byM + c|
√
d(M, D) =
a2 + b2
−
→
• Distance d’un point de l’espace à une droiteSoit D = A + vect( u ) une droite du plan affine euclidien E
−
→
où A est un point et u un vecteur directeur de D. La distance d’un point M de E à D est égale à la distance
de M à la projection orthogonale de M sur D . On l’obtient par la formule
−−→ −
→
det(AM, u )
d(M, D) =
−
→
u
si D a pour équation cartésienne dans un repère orthonormé
ax + by + c = 0
alors la distance de M(xM , yM ) à D est donnée par
|axM + byM + c|
√
d(M, D) =
a2 + b2
Exercice: Déterminer et reconnaitre le lieu Γ des points M(x, y) dont la distance à la droite d’équation
x + y + 1 = 0 est égale à la distance à l’origine
|x + y + 1|
√
d(M, D) =
, d(M, O) = x2 + y 2 d’ou
2
M(x, y) ∈ Γ ⇔ (x + y + 1)2 = 2(x2 + y 2 )
MF
d’après le cours sur les coniques, on reconnait la définition
= 1 qui caractérise la parabole de
MH
foyer O de directice D
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3
2
y
1
-3
-2
-1
0 0
1
x
2
3
-1
-2
-3
parabole Γ
• Distance d’un point de l’espace à une droite
−
→
−
→
Soit D = A+vect( u ) une droite de l’espac affine euclidien E où A.est un point et u un vecteur directeur
de D. La distance d’un point M de E à D est égale à la distance de M à la projection orthogonale de M sur
D . On l’obtient par la formule
−−→ −
→
AM ∧ u
d(M, D) =
−
→
u
Exercice: déterminer l’équation cartésienne du cylindre droit de rayon 1,d’axe la droite ∆ passant par
−
→
O et dirigée par u = e1 + e2 + e3 .
Il s’agit du lieu des points de l’espace dont la distance à la droite ∆ est égale à 1
(y − z)2 + (x − z)2 + (x − y)2
√
=1
3
3
⇔ x2 + y 2 + z 2 = + xy + xz + yz
2
d(M, D) =
• Distance d’un point à un plan de l’espace
−
→ −
→
−
→
Soit P = A + vect( u , v ) un plan de l’espace affine euclidien E où A est un point et u , v deux vecteurs
directeurs de P . La distance d’un point M de E à P est égale à la distance de M à la projection orthogonale
−−→
de M sur P . On l’obtient en mesurant la projection orthogonale de AM sur la normale au plan P, dirigée
−
→ −
→
par u ∧ v :
−−→ −
→ −
→
(AM | u ∧ v )
d(M, P ) =
−
→ −
→
u ∧ v
−−→ −
−−→ −
→
→
• Lieu des points tels que (AM | u ) = k ou lignes de niveau de M → (AM | u )
−−→ −
−
→
→
Soit A un point du plan et u un vecteur non nul de E. L’ensemble des points M tels que (AM | u ) = k
−
→
est un sous espace affine de E dirigé par (vect( u ))⊥ , de dimension dim(E) − 1,(c’est un hyperplan affine)
−→
k −
→
−
→
et passant par le point H de la droite A + vect( u ) tel que AH =
2 u
kuk
14.2
Isomètries du plan , de l’espace
• On appelle isomètrie affine toute transformation f de E qui conserve les distances
∀(M, N) ∈ E 2 , d(f (M), f (N)) = d(M, N)
Une telle application est caractérisée par le fait que son endomorphisme associé est un automorphisme
orthogonal.
On note Is(E) l’ensmble de isomètries de E
f ∈ Is(E) ⇔ ϕf ∈ O(E)
86
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L’ensemble des isomètries de E forme un sous groupe de (GA(E), o)
• Déplacement
Un déplacement est une isomètrie de E dont l’endomorphisme associé est une rotation. L’ensemble des
déplacements est noté Is+ (E).. Is+ (E) est un sous groupe de (Is(E), o)
f ∈ Is+ (E) ⇔ ϕf ∈ SO(E)
On appelle antidéplacement toute isomètrie qui n’est pas un déplacement
• Réflexion affine
−
→
−
→
Soit A un point de E et u un vecteur non nul de E. Si W = A + (vect( u ))⊥ on appelle réflexion par
rapport à W l’application sW qui au point M de E associe le point M 0 tel que, IM étant le milieu de (M, M 0 ),
−−−→
−
→
IM ∈ W et MM 0 ∈ vect( u ) soit:
−−−→
−
→
−
→
−
→
(AI M | u ) = 0et∃λ ∈ R, MM 0 = λ u
la réflexion par rapport à W est un antidéplacement dont l’automorphisme associé est la réflexion vecto−
→
rielle par rapport à (vect( u ))⊥ . D’autre part
sW osW = IdE
3
Par exemple dans R , la réflexion de plan Π d’équation x − y + z + 1 = 0 est l’application qui au point
x + x0 y + y 0 z + z 0
,
,
)
M(x, y, z) associe le point M 0 (x0 , y 0 , z 0 ) tel que si I = (
2
2
2
−−−→
I ∈ Π et MM 0 ∈ Π⊥ = vect(e1 − e2 + e3 )
soit
x + x0 − y − y 0 + z + z 0 + 2 = 0
∃λ ∈ R, x0 − x = λ, y 0 − y = −λ, z 0 − z = λ
−2 − 2x + 2y − 2z
et
on obtient λ =
3
−2 + x + 2y − 2z 2 + 2x + y + 2z −2 − 2x + 2y + z
,
,
)
M 0(
3
3
3
• Echange de deux points par une réflexion affine
Soient (A, B) deux points de E. Il existe une unique réflexion de E qui transforme A en B . Cette
−→
réflexion se fait par rapport au sous-espace affine W = IM + (vect(AB))⊥ , IM étant le milieu de [A, B]
• Rotation affine
Une rotation f de E est un déplacement admettant au moins un point fixe Ω.
si dim(E) = 2 , lorsque f 6= IdE , ce point Ω est unique et s’appelle le centre de la rotation . La rotation
rΩ,θ de centre Ω et d’angle θ est donc caractérisée, si l’on note M 0 = rΩ,θ (M), par
−−→
−−→
−−→ −−→
∀M ∈ E, (ΩM, ΩM 0 ) = θ et ΩM = ΩM 0
si dim(E) = 3, lorsque f 6= IdE l’ensemble des points invariants de f est la droite passant par Ω et
admettant pour direction la droite vectorielle formée des vecteurs invariants de l’endomorphisme ϕf . Cette
droite ∆ est l’axe de la rotation. La rotation r∆,θ d’axe orienté ∆ et d’angle θ est caractérisée , en notant
H = p∆ (M) le projeté orthogonal du point M sur ∆ et M 0 = rΩ,θ (M)
−−−→
−−→
\
−−→
−−→
M 0 ∈ H + ∆⊥ , HM 0 = HM et (HM , HM 0 ) = θ
14.3
Similitudes planes
• Une similitude de R2 de rapport k est une transformation affine f de E qui multiplie les distances par un
rapport k 6= 0
∀(M, N) ∈ E 2 , d(f (M), f (N)) = k.d(M, N)
87
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l’endomorphisme ϕf associé à f est le produit de k par un automorphisme orhogonal de E
ϕf = k.u et u ∈ O(E)
Si u ∈ SO(E) (c’est à dire est une rotation plane) alors f est une similitude directe
• Une similitude s de R2 de rapport k est la composée d’une isomètrie u (rotation plane ou réflexion plane )
et d’une homothétie h de rapport k : s = hou
si u est une rotation , la matrice de l’endomorphisme associé à s est
k 0
cos θ − sin θ
k cos θ −k sin θ
a −b
×
=
=
0 k
sin θ cos θ
k sin θ k cos θ
b a
ces matrices caractérisent les similitudes directes
si u est une réflexion , la matrice de l’endomorphisme associé à s est
k 0
cos θ sin θ
k cos θ k sin θ
a b
×
=
=
0 k
sin θ − cos θ
k sin θ −k cos θ
b −a
ces matrices caractérisent les similitudes indirectes
•
si k 6= 1 , la similitude f possède un unique point fixe Ω appelé centre.
• Lorsque la similitude est directe , elle est caractérisée par son centre Ω, son angle θ et son rapport k. Elle
s’écrit
s = hΩ,k orΩ,θ
• Ecriture complexe d’une similitude directe
Soit s la similitude directe de centre centre Ω, d’angle θ et de rapport k. En notant ω l’affixe du point Ω ,
zM l’affixe du point M et zM 0 l’affixe du point M 0 = s(M) on a
z 0 = keiθ (z − w) + w
14.4
Cercles et sphères
• Soit D une droite du plan et C le cercle de centre A et de rayon r > 0.
si d(A, D) > r , D ∩ C = ∅
si d(A, D) < r , D ∩ C est constitué de deux points distincts
si d(A, D) = r, D ∩ C = {pD (A)}
• Soit P un plan de E et S la sphère de centre A et de rayon r > 0
si d(A, P ) > r , P ∩ S = ∅
si d(A, P ) < r , P ∩ S est un cercle de P
si d(A, P ) = r, D ∩ C = {pD (A)}
• Equation cartésienne du cercle de centre A et de rayon r
(x − xA )2 + (y − yA )2 = r2
• Equation cartésienne de la sphère de centre A et de rayon r
(x − xA )2 + (y − yA )2 + (z − zA )2 = r2
• Caractérisation d’un cercle où d’une sphère par un dimaètre
dans le plan le cercle C de diamètre [A, B] est caractérisé par:
−−→ −−→
M ∈ C ⇔ MA.MB = 0
dans l’espace , la sphère S de diamètre [A, B] est caractéerisée par
−−→ −−→
M ∈ S ⇔ MA.MB = 0
14.5
Coniques
88
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MF
• Lignes de niveau de
MH
Soit D une droite du plan , F un point qui n’appartient pas à D et e un réel strictement positif. On appelle
MF
conique de foyer F , de directrice D,et d’excentricité e, le lieu Γe,F,D des points dun plan tels que
=e
MH
ou H = pD (M) est le projeté orthogonal de M sur la droite D
MF
Γe,F,D = M ∈ E,
=e
MH
lorsque e < 1, Γe,F,D est une ellipse , losrque e = 1 il s’agit d’une parabole , et si e > 1 c’est une
hyperbole.
x2 y 2
+ =1
a2 b2
c
a > b > 0 . Γ admet pour excentricité e = , pour foyers F1,2 (±c, 0) pour excentricité c = a2 −b2 ,et
a
2
a
pour directrice D1,2 : x = ± . On remarque que F1 M + F2 M = 2a , cette relation caractérisant par
c
ailleurs complètement Γ
c’est la définition bifocale ,à l’origine de la méthode dite du ’’jardinier ’’ pour tracer l’ellipse
Paramètrage de l’ellipse : x = a cos(t), y = b sin(t), t ∈ [0, 2π]
x2
Exemple:
+ y2 = 1
4
√
√
4
a = 2, b = 1, c = 3, F (± 3, 0), D : x = ± √
3
• L’ellipse
2
y1
-2
-1
0 0
1
x
2
-1
-2
• L’hyperbole
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
Γ admet pour excentricité e =
√
c
, pour foyers F (±c, 0) pour c = a2 + b2 ,et pour directrice D1,2 : x = ±
a
b
, les asymptotes ∆, ∆0 : y = ± x
a
Paramètrage de l’hyperbole : x = a.ch(t), y = b.sh(t), t ∈ [0, 2π]
x2
Exemple:
− y2 = 1
4
√
√
4
x
a = 2, b = 1, c = 5, F (± 5, 0), D : x = ± √ ,asymptotes y = ±
2
5
89
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4
y
2
-4
-2
0 0
2
4
x
-2
-4
On note que |F1 M − F2 M| = 2a , relation qui caractérise par ailleurs complètement Γ
• La parabole y 2 = 2px
p
p
Γ admet pour excentricité e = 1 , pour foyer unique F ( , 0) , pour directrice unique D : x = −
2
2
t2
Paramètrage de la parabole x = , y = t
2p
Exemple : y 2 = x
1
1
1
p = , F = ( , 0 ), D : x = −
2
2
2
3
2
y
1
0 0
1
2
x
3
4
5
-1
-2
-3
15
15.1
Courbes du plan
courbe définie par une représentation cartésienne
−
→ −
→
• Soit E un plan affine euclidien et R = (O, i , j ) un repère orthonormal de E. Soient d’autre part I un
intervalle de R et ϕ, ψ deux fonctions de classe C k sur I , avec k ≥ 1
I → E
−−−−→
L’application f :
où le point M(t) ∈ E est défini par
t 7→ OM(t)
−−−−→
−
→
−
→
OM(t) = ϕ(t) i + ψ(t) j = f (t)
définit un arc paramétré Γ de classe C k ( en fait l’arc Γ est le couple (I, f ) )
• Le point M0 = M(t0 ) est dit régulier sur Γ lorsque
−−−→
−
→
−
→ −
→
df
(t0 ) = ϕ0 (t0 ) i + ψ 0 (t0 ) j 6= 0
dt
Dans le cas contraire , M0 est un point singulier
90
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−−−→
df
• La Tangente à Γ en un point régulier M0 est la droite passant par M0 et digée par (t0 )
dt
−−−→
df
tangente au point M(t0 ) : ∆ = M(t0 ) + vect( (t0 ))
dt
• La Demi-tangente à droite (resp à gauche) en un point singulier M0 de Γest définie comme la droite passant
par M0 et dirigée par
−−−−−−−−−−−→
M(t0 )M(t0 + h)
−
→
u =
lim − −−−−−−−−−−−→
+
h→0 (resp0 )
M(t0 )M(t0 + h)
−
→
demi-tangente au point M(t0 ) : ∆ = M(t0 ) + vect( u )
2
t−1
t
Exemple ; x(t) =
, y(t) =
t+1
t+1
t
est du signe de t
x0 (t) = (t+1)
2
t(t+2)
(t+1)2
est du signe de t(t + 2)
−−
→
−
→
si t 6= 0, f 0 (t) 6= 0 : seul le point M(0) = A(−1, 0) est singulier
t
−∞..
−2 ..
−1 ..
0
x (t) ....−
−2 −
||
−
x(t) 1... & 3
& −∞ ||
+∞ &
y(t) −∞ % −4 & −∞ ||
+∞ &
y 0 (t) +
0
−
||
−
y 0 (t) =
0
0
−1
0
0
.. + ∞
+
%1
% +∞
+
6
4
2
-6
-4
-2
0 0
-2
2
4
6
-4
-6
(
asymptotes :
pour t → ∞
pour t → −1
la droite d’équation
t − 1 t2
,
)
t+1 t+1
x = 1 est asymptote verticale
−1
y(t)
lim
=
et
t→−1 x(t)
2
1
1
t2 + t −
1
2
2 = −3
lim y(t) + x(t) = lim
t→1
t→−1
2
t+1
2
y=
est asymptote à Γ pour t → −1
tangente au point singulier M(0) = A(−1, 0)
3
−1
x−
2
2
91
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−−−−−−−→
2h −
h2 −
→
→
M(0)M(h) =
e1 +
. e2 donc
h+1
h+1
√
−−−−−−−→
h4 + 4h2
M(0)M(h) =
∼h→0 2 |h|
h+1
donc
−−−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−−−→
M(t0 )M(t0 + h)
M(t0 )M(t0 + h)
−
→
−
→
lim+ −−−−−−−−−−−→ = 2. e1 , lim− −−−−−−−−−−−→ = −2. e1
h→0
h→0
M(t0 )M(t0 + h)
M(t0 )M(t0 + h)
l’axe ( 0x) est donc tangent à la courbe Γ au point A.
15.2
Courbe définie par une représentation implicite
• Soit F : (x, y) → F (x, y) une application de classe C k définie sur un ouvert U de R2 , dont le gradient
−−−−−−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−→
∂F
∂F
grad(F )(x, y) = (
(x, y),
(x, y))
∂x
∂y
est non nul en tout point de U
L’ensemble
Γ = {M(x, y), (x, y) ∈ U et F (x, y) = 0}
est une partie du plan appelée courbe implicite d’équation F (x, y) = 0
−−−−−−−−−→
• En tout point M0 ∈ Γ la normale N à Γ est la droite passant par M0 et dirigée par le vecteur grad(F )(M0 ) :
−−−−−−−−−→
N = M0 + vect(grad(F )(M0 ))
• La tangente T à Γ au point M(x0 , y0 ) a pour équation:
∂F
∂F
(x − x0 )
(M0 ) + (y − y0 )
(M0 ) = 0
∂x
∂y
√ −−−−−−−−−→
1
par exemple considérons l’ellipse d’équation x2 + y 2 − 2 = 0 au point M0 = (1, 2) grad(F )(M0 ) =
2
√
√
(2, 2): la normale est dirigée par (2, 2)
et la tangente a pour équation cartésienne
√
√
2(x − 1) + 2(y − 2) = 0
4
y
2
-4
-2
0 0
2
x
4
-2
-4
15.3
Courbe définie par une équation polaire
• Repère polaire
−
→
−
→
−
→
−
→
Soit θ ∈ R. On appelle repère polaire d’angle θ le repère (O, u (θ), v (θ)) avec u (θ) = cos θ. e1 +
−
→ −
→
−
→
−
→
sin θ. e2 et v (θ) = − sin θ. e1 + cos θ. e2
−−→
−−→
∂ u(θ) −
∂ v(θ)
→
−
→
= v (θ) et
= − u (θ)
∂θ
∂θ
92
lycée Dessaignes 2004-2005
• Equation polaire d’un arc
Soient ρ et θ deux fonctions de classe C k sur l’intervalle I . On considère le point P (t) défini pour toutes
les valeurs t ∈ I par
−−−→
−
→
OP (t) = ρ(t). u (θ(t))
(1)
−1
lorsque la fonction θ est bijective de I dans J , en posant θ = θ(t), P (t) = M(θ) et r(θ) = ρ(θ (θ))
l’équation (1) est équivalente à
−−−−→
−
→
θ1 ∈ J et OM(θ) = r(θ). u (θ)
(2)
l’équation (2) est une équation polaire de l’arc
Γ = {P (t), t ∈ I} = {M(θ), θ ∈ J}
• Tangente à Γ en un point différent de l’origine O
La tangente à Γ au point M(θ0 ) 6= O est dirigée par le vecteur non nul
−
→
∂M
−
→
−
→
(θ0 ) = r0 (θ0 ). u (θ0 ) + r(θ0 ). v (θ0 )
∂θ
−
→
\
∂M
En notant V = (u(θ0 ),
(θ0 ))
∂θ
r(θ0 )
tan(V ) = 0
r (θ0 )
cette valeur permet de récupérer l’angle V et ainsi de tracer la tangente à Γ
• Tangente à Γ en O = M(θ0 )
−
→
La tangente à Γ au point M(θ0 ) = O est dirigée par le vecteur u (θ0 )
• symétries de Γ
r(−t) = r(t)
r(−t) = −r(t)
r(π − t) = r(t)
r(π − t) = −r(t)
symétrie par rapport à l’axe (Ox) : M(−t) = sOx (M(t))
symétrie par rapport à l’axe (Oy) : M(−t) = sOy (M(t))
symétrie par rapport à l’axe (Oy) : M(π − t) = sOy (M(t))
symétrie par rapport à l’axe (Ox) : M(π − t) = sOx (M(t))
−−−−−−−→
−−−−→
r(π + t) = r(t)
symétrie par rapport au point O : OM(t + π) = −OM(t)
r(π + t) = −r(t) on retrouve le même point!: M(t + π) = M(t)
exemple : r(θ) = sin(2θ): On étudie le point M défini par
−−−−→
−
→
OM(θ) = sin(2θ). u (θ)
r(θ + 2π) = r(θ) : l’étude se fait sur un intervalle de longueur 2π
r(θ + π) = r(θ): la courbe présente une symétrie par rapport à O.
r(−θ) = −r(θ): la courbe présente une symétrie d’axe Oy
si l’on étudie Γ sur un l’intervalle [0, π/2] , en procédant à la symétrie sOy et la symétrie centrale sO on
récupère la courbe en entier :
−−→
∂M
−
→
−
→
0
r (θ) = 2 cos(2θ):
= 2 cos(2θ) u (θ) + sin(2θ). v (θ) on a donc
∂θ
sin(2θ)
tan(V ) =
2 cos(2θ)
θ
0 .. π/4 ....π/2
r0 (θ)
2 + 0
−
r(θ)
0 % 1
&0
tan(V )
∞
la tangente au point M(π/4) est donc caractérisée par V = π/2
−
→
puisque r(0) = r(π/2) = 0, la tangente au point M(0) = O de Γ est la droite (Ox) = O + vect( u (0))
93
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−
→
et la tangente au point M(π/2) = O est la droite (Oy) = O + vect( u (π/2))
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
r(θ) = sin(2θ)
16
Propriétés mètriques des courbes planes paramètrées
• Abscisse curviligne
Soit Γ l’arc paramètré plan défini par la fonction f de classe C k :
−−−−→
t ∈ I → f (t) = OM(t)
−−→
Lorsque Γ ne contient aucun point singuliers ,la fonction t → f 0 (t)
est strictement positive sur I
L’abscisse curviligne sur Γ avec origine en t0 ∈ I est l’application s définie par:
t −−→
s : t ∈ I → s(t) =
f 0 (u) du
t0
ds
=
dt
−−
→
f 0 (t)
• La longueur de l’arc Γ entre les paramètres t = t0 et t = t1 est donnée par
t1 −−→
L=
f 0 (u) du
t0
En particulier l’abscisse curviligne sur Γ avec origine en t0 représente la longueur algèbrique de la partie
de l’arc Γ comprise entre les valeurs t0 et t1 du paramètre
si l’arc est donné en coodonnées cartésiennes M(t) = (x(t), y(t)) alors
t1
x02 (u) + y 02 (u)du
L=
t0
−−−−→
−−→
Si l’arc Γ est donné en coordonnées polaires OM(θ) = r(θ).u(θ)
θ1
r2 (θ) + r02 (θ)dθ
L=
θ0
• L’abscisse curviligne s définit un nouveau paramètrage de l’arc Γ, appelé paramètrage normal. On le note
s → M(s). Avec ce nouveau paramètre s , le vecteur dérivé est unitaire ( la vitesse du point M est constante
par rapport au paramètre s )
−−→
∂M
=1
∂s
exemple1 :
−−−−→
OM(t) = cos(t).e1 + (t − sin(t)).e2
√
t
ds
= sin2 t + (1 − cos t)2 = 2 − 2 cos t= 2 sin( )
dt
2
94
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En prenant l’origine en t = 0, au point A(1, 0) , on a donc
t
u
t
s(t) =
2 sin( )du = 4 − 4 cos( )
2
2
0
_
s(t) représente la longueur de l’arc AM (t)
voici la courbe correspondante appelée cycloïde (ici à l’envers , cette courbe est celle décrite par un point
lié à la circonférence d’ un cercle qui roule sans glisser sur un axe )
6
4
2
-4
-2
0 0
2
4
-2
-4
-6
cycloïde
exemple2 :
−−−−→
−−→
OM(θ) = (1 + cos(θ)).u(θ)
r 0 (θ) = − sin θ
θ
ds √
= 2 + 2 cos θ= 2 cos( )
dθ
2
En prenant l’origine en θ = 0 au point A(2, 0) on obtient
θ
u
θ
s(θ) =
cos( ) du = 4 sin( )
2
2
0
voici la courbe correspondante
1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2
-0.5
-1
cardioïde
• Repère de Frenet
−−→
−
→
dM
Le vecteur T =
est un vecteur unitaire tangent au point M(t) à l’arc Γ; on le nomme le premier
ds
vecteur de Frenet.
−
→
−
→ −
→
le vecteur unitaire normal à T , tel que la base ( T , N ) soit orthonormale directe est appelé second
vecteur de Frenet −
→ −
→
le repère (M(t), T , N ) est le repère de Frenet
−
→
Le vecteur T peut s’écrire
−
→
−
→
−
→
T = cos(α(t)). e1 + sin(α(t)). e2
−
→
\
−
→
où la fonction α est une fonction de classe C k . α(t) représente l’angle ( e1 , T ).
95
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−
→
Dans ce cas le vecteur N s’écrit
−
→
−
→
−
→
N = − sin(α(t)). e1 + cos(α(t)). e2
Si M(x, y) est le point courant de Γ alors
dx
dy
= cos(α(t)),
= sin(α(t))
ds
ds
• Courbure d’un arc
La courbure de l’arc Γ au point M(t) est le réel
γ=
On a les deux formules de Frenet
dα
ds
−→
−
→
dT
= γ. N
ds
−→
−
→
dN
= −γ. T
ds
• Rayon de courbure
Le rayon de courbure en M(t) est l’inverse de la courbure en M(t)
1
R=
γ
exemple : cherchons le rayon de courbure en un point de la cardioïde
r = 1 + cos θ
−−→
−−→
−
→ dM
dθ dM
1
=
×
=
(− sin(θ).u(θ) + (1 + cos(θ)).v(θ))
On a T =
θ
ds
ds
dθ
2 cos( )
2
−
→
θ −−→
θ −−→
θ + π −−→
θ + π −−→
T = − sin( )u(θ) + cos( )v(θ) = cos(
).u(θ) + sin(
)v(θ)
2
2
2
2
−
→
θ+π −
θ+π −
→
→
). e1 + sin(θ +
). e2
T = cos(θ +
2
2
Donc
3θ π
α(t) =
+
2
2
dα dα dθ
3
γ= = × =
θ
ds dθ ds
4 cos( )
2
θ
4 cos( )
2
R=
3
ce rayon correspond à celui du cercle tangent à Γ qui représente localement la meilleure approximation
4
de cet arc . Par exemple au point M(0) = A(2, 0), ce cercle a pour rayon et il est centré sur l’axe Ox au
3
2
point Ω( , 0)
3
√
2 2
de même au point M(π/2) = B(0, 1) , le rayon de courbure est égal à
,le vecteur normal est
3
√
√
−
→ − 2−
4
2 1
2−
→
→
N =
e1 +
e2 . Le centre cercle a pour rayon et il est centré au point Ω0 ( , )
2
2
3
3 3
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1
y
0.5
0 0
-0.5
0.5
1
x
1.5
2
-0.5
-1
cardioïde et cercles de courbure
97
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Table des Matières
1 Nombres Réels
2 Suites de nombres réels
2-1 Suites convergentes
2-2 Suites divergentes vers ±∞
2-3 Relations de comparaison
2-4 Suites usuelles
3 Fonctions réelles d’une vaeriable réelle
3-1 Etude locale
3-2
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