Programme de Mathématiques en MPSI FORMULAIRE

MPSI-MP Année 2005-2006
Programme de Mathématiques en MPSI
FORMULAIRE, DEFINITIONS ET THÉORÈMES1
1 Nombres réels
•Rest un corps commutatif totalement ordonné, c’est à dire un ensemble muni de deux lois +et ×, telles
que (R,+) soit un groupe commutatif, (R,+,×)un anneau intègre dans lequel tous les éléments non nuls
sont inversibles. Rest muni d’une relation d’ordre total 6(x6y⇔y−x∈R+)compatible avec l’addition
(x6y⇒x+a6y+a)et la multiplication par un réel positif. (x6yet a>0⇒xa6ya)
•Soit A⊂Rune partie de R. On dit que Aadmet une borne supérieure dans Rlorsqu’il existe a∈Rtel
que asoit le plus petit élément de l’ensemble des majorants de la partie A,c’estàdire
∀x∈A, x6aet∀b<a,∃x∈A, b < x
Lorsqu’elle existe, cette borne supérieure est unique. Elle est notée sup(A). On définit de façon symétrique
la notion de borne inférieure. Par exemple, si A=n−1
n+2,n∈Non vérifie:
sup(A)=1,inf(A)=min(A)=−1
2:noter que Ane possède pas de plus grand élément pour cet
exemple.
•On introduit par commodité l’ensemble R=R∪{−∞,+∞},afin de pouvoir étendre la notation sup(A)
à toute partie non vide de R:par exemple sup(N)=+∞
•Théorème d’existence de la borne supérieure dans R
Dans R, toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. On peut énoncer un résultat ana-
logue pour les parties non vides et minorées qui admettent une borne inférieure.
•Iest un intervalle de R⇔Iest une partie convexe de R,c’estàdire:
∀(x, y)∈I2,∀λ∈[0,1],λx+(1−λ)y∈I
Exemple I=] −∞,−√5]
•Inégalités triangulaires:
∀(x, y)∈R2,||x|−|y|| 6|x+y|6|x|+|y|
On obtient ||x|−|y|| 6|x+y|à partir de |x0+y0|6|x0|+|y0|en posant x0=x+yet y0=−x
de même
∀(x, y)∈R2,|x−y|6|x|+|y|
•Congruence modulo un réel astrictement positif:
Soit a>0:deux réels xet ysont congrus modulo assi y−x∈a.Z={ka, k ∈Z}
On montre que tout réel xest congru modulo aà un seul réel yappartenant à l’intervalle [0,a[:
∀x∈R,∃!n∈Z,∃!y∈[0,a[,x=na +y
1Seuls les résultats sont énoncés, sans démonstrations, mais accompagnés d’exemples . Il ne s’agit pas d’un cours mais plutôt d’un recueil de définitions, qui peut permettre par son
caractère abrupt de vérifier que l’on a bien compris tel ou tel concept.
1lycée Dessaignes 2005-2006

Exemple: −5
3≡1 3mod 2
•Partie entière d’un réel: lorsque a=1,l’entier relatif nest appelé partie entière de x,notéen=E(x)et
y=x−E(x)est parfois appelé la partie fractionnaire de x.
∀x∈R,x≡x−E(x)mod1
On retiendra:
E(x)∈Zet E(x)6x<E(x)+1
Remarque : On retrouve l’entier ndéfini plus haut dans la congruence modulo apar x=na +yàl’aide
de la partie entière : on a en effet n=E(x
a)
•Valeur décimale approchée par défaut d’un réel:
soit x∈[0,1[ et nun entier naturel non nul:
∃!(a1, ..., an)∈{0,1,2,...,9}n,si y=
n
k=1
ak10−k,alors y6x<y+10
−n
yest la valeur décimale approchée par défaut de xà10−nprès. De plus
∀k∈{1, .., n},a
k=E(10kx)−10E(10k−1x)
par exemple si x=√2−1=0,414... alors a1=4,a
2=1,a 3=4
•Isomorphisme du groupe (R,+) dans le groupe (R+∗,.)
La fonction exponentielle établit un isomorphisme de groupe de (R,+) dans (R+∗,.), dont l’isomor-
phisme réciproque est la fonction logarithme népérien
∀(x, y)∈R2,exp(x+y)=exp(x) exp(y)
∀(x, y)∈R+∗2,ln(xy)=ln(x)+ln(y)
Attention, isomorphisme de groupe est un terme qui,isolé, ne veut rien dire : il faut bien préciser la
structure de groupe (A, ∗..)de départ et la structure de groupe (B,T..)d’arrivée ( en fait préciser les lois )
et ne pas oublier bien sûr de vérifier le caractére bijectif de l’application ainsi que le respect des lois ∗,T
2 Suites de nombres réels
Une suitedenombreréelsest une application de Ndans R. L’ensemble des suites de nombres réels est noté
RN. On note u∈RNou (un)n∈N∈RN.
Soit uune suite de nombres réels
•uest majorée (resp minorée) ssi
∃M∈R,∀n∈N,u
n6M(resp un>M)
•uest bornée ssi
∃M∈R+,∀n∈N,|un|6M
ce qui revient à dire qu’elle est à la fois minorée et majorée
•uest croissante (resp décroissante) si
∀n∈N,u
n+1 −un>0(resp un+1 −un60)
•On appelle suite extraite de (un)n∈Ntoute suite (vn)n∈N=(uϕ(n))n∈Nformée de certains termes de la suite
u, extraits à l’aide d’une fonction ϕ:N→Nstrictement croissante.Siuest bornée, toutes ses suites
extraites le sont. De même si uest monotone, il en va de même de toutes ses suites extraites.
Par exemple, la suite (un=(1+(−1)n)n)n∈Nest minorée, non majorée, non monotone. Sa suite
extraite ( u2n+1)obtenue pour ϕ(n)=2n+1est constante égale à 0.
2lycée Dessaignes 2004-2005

2.1 Suites convergentes
•La suite u∈RNest convergente vers a∈Rlorque
∀ε>0,∃N∈N,∀n>N,|un−a|6ε
Par exemple la suite un=n−1
n+2 est convergente vers 1
•Notation:lim
n→∞ un=a:
lim
n→∞ un=a⇔lim n→∞ un−a=0
•Remarque : il est équivalent de dire lim
n→∞ un=0ou lim n→∞ |un|=0
•Une suite est convergente s’il existe un réel atel que lim
n→∞ un=a
Sinon elle diverge.
Par exemple la suite un=(1+(−1)n)ndiverge
Toute suite convergente est bornée
•Les suites convergentes forment un sous espace vectoriel de RN.De plus:
Si lim
n→∞ un=aet lim n→∞ vn=balors ∀(λ,µ)∈R2(λun+µvn)n∈Nconverge et lim n→∞ λun+µvn=λa+µb
•Les suites convergentes vers 0forment un sous espace vectoriel de RN.Deplus
Si lim
n→+∞un=0et si vest bornée alors lim n→+∞vnun=0
•Lorsqu’une suite converge vers a>0,
∃N∈N,∀n>N,un>0
•Si une suite (un)n∈Nconverge vers a, toute suite extraite de uconverge vers a.
2.2 Suites divergentes vers +∞(resp -∞)
•La suite udiverge vers +∞(resp -∞)ssi
∀A∈R,∃N∈N,∀n>N, A6un(resp un6A)
Attention, une suite qui diverge ne diverge pas forcément vers +∞ou -∞comme le montrent les exemples
un=(1+(−1)n)n,vn=cos(n)
•Si une suite (un)n∈Ndiverge vers +∞, toute suite extraite de udiverge vers +∞
•Les suites obéissent aux règles suivantes en ce qui concerne les inégalités
Si lim
n→+∞vn=0 et si ∃N∈N,∀n>N,|un|6|vn|alors lim n→+∞un=0
Si lim
n→+∞un=+∞et si ∃N∈N,∀n>N,un6vnalors lim n→+∞vn=+∞
Si lim
n→∞ un=lim n→∞ wn=aet si ∀n∈N,u
n6vn6wn,alors lim
n→∞ vn=a
•Suites de références an,n
α
|a|<1⇒lim an=0,|a|>1⇒lim |a|n=+∞
α<0⇒lim nα=0,α>0⇒lim nα=+∞
2.3 Relations de Comparaison
Etant donnée une suite (vn)de nombres réels non nuls, et une suite (un)de nombres réels:
•uest dominée par vlorsque
3lycée Dessaignes 2005-2006

∃A∈R+,∀n∈N,un
vn
6A
On note un=O
n→∞ (vn)(grand O )
•uest négligeable devant vlorsque:
∀ε>0,∃N∈N,∀n>N, un
vn
6ε
•ce qui revient à dire que :
lim
n→∞(un
vn
)=0
On note un=o
n→∞ (vn)(petit o)
La suite uest équivalente à la suite vlorsque un−vn=o
n→∞ (vn), ce qui revient à dire que :
∀ε>0,∃N∈N,∀n≥N, |un−vn|≤ε|vn|
Ou encore lorsque vnne s’annulle pas:
lim
n→∞(un
vn
)=1
On note un∼
n→∞ vn
•Si un∼
n→∞ vnet an∼ n→∞ bnalors anun∼ n→∞ bnvnet an
un∼
n→∞
bn
vn
•Si un=an+bnet bn=o
n→∞ (an)alors un∼ n→∞ an
•Attention de ne pas ajouter deux équivalents
Observer le contre exemple suivant :
n+1 ∼
n→∞ n+2 et −n∼ n→∞ −n+1
n
cependant 1n’est pas équivalent à 2+ 1
n
•Une erreur très répandue est de croire que si deux suites sont équivalentes et si l’une est croissante à partir
d’un certain rang l’autre aussi : on peut se convaincre du contraire grâce au contre-exemple un=n,vn=
n+(−1)n
•Voici le tableau des ’’ Croissances comparées ’’
0<a<b⇒an=o(bn)soit lim
∞(an
bn)=0
1<aet α∈R⇒nα=o(an)soit lim
∞(a−nnα)=0
|a|<1et α∈R⇒an=o(nα)soit lim
∞(ann−α)=0
α>0et β∈R⇒(ln(n))β=o(nα)soit lim
∞(n−α(ln(n))β)=0
α<0et β∈R⇒nα=o((ln(n))β)soit lim
∞(nα(ln(n))−β)=0
a∈Ret α∈R⇒nα=o(n!) et an=o(n!) soit lim
∞(an
n!)=lim
∞(nα
n!)=0
La hiérarchie est donc la suivante lorsque a>1et α>0, la suite factorielle domine anet nα,lasuite
andomine nα,etlasuitenαdomine les suites (ln(n))β
•Si un∼
n→∞ vnalors unet vnsont de même signe à partir d’un certain rang.
2.4 Suites usuelles
4lycée Dessaignes 2004-2005

•Suites arithmétiques
un+1 =un+r
un=u0+nr
n
k=p
uk=(n−p+1)up+un
2
n
k=1
k=n(n+1)
2
•Suites géométriques
un+1 =qun
un=qnu0
n
k=p
uk=up
1−qn−p+1
1−qsi q6=1
n
k=0
qk=1−qn+1
1−q
•Suites arithmético-géométriques (q6=1)
un+1 =qun+r⇔(un+1 −l)=q(un−l)avec l=lq +r
un=qn(u0−l)+l
Exemple: un+1 =2un+1et u0=1.On cherche le point fixe lde la fonction f(x)=2x+1qui est ici
égal à -1 , puis un+1=2
n(u0+1)soit un=2 n+1 −1
•Sommes usuelles n
k=0
k2=n(n+ 1)(2n+1)
6
n
k=0
k3=(
n
k=1
k)2=n2(n+1)
2
4
•Suites homographiques
un+1 =aun+b
cun+d
ces suites peuvent s’étudier en cherchant les solutions l1,l
2de l’équation l=al +b
cl +d,
puis en se ramenant lorsque l16=l2à la suite vn=un−l1
un−l2
, qui vérifie
vn+1 =l2
l1
vn
ce qui permet d’expliciter un
•Théorème de la limite monotone : Toute suite croissante de nombres réels qui est majorée est convergente
:onaalors
lim un=sup {un,n∈N}
L’énoncé subsiste pour les suites décroissantes et minorées , et
lim un=inf {un,n∈N}
•Théorème des suites adjacentes: Si deux suites u, v vérifient : ucroissante , vdécroissante et lim vn−un=
0,alors∀n∈N,u
n6vnet les deux suites uet vconvergent vers la même limite l;deplus
∀(n, p)∈N,u
n6l6vp
5lycée Dessaignes 2005-2006