MPSI-MP Année 2005-2006
Programme de Mathématiques en MPSI
FORMULAIRE, DEFINITIONS ET THÉORÈMES1
1 Nombres réels
Rest un corps commutatif totalement ordonné, c’est à dire un ensemble muni de deux lois +et ×, telles
que (R,+) soit un groupe commutatif, (R,+,×)un anneau intègre dans lequel tous les éléments non nuls
sont inversibles. Rest muni d’une relation d’ordre total 6(x6yyxR+)compatible avec l’addition
(x6yx+a6y+a)et la multiplication par un réel positif. (x6yet a>0xa6ya)
Soit ARune partie de R. On dit que Aadmet une borne supérieure dans Rlorsqu’il existe aRtel
que asoit le plus petit élément de l’ensemble des majorants de la partie A,cestàdire
xA, x6aetb<a,xA, b < x
Lorsqu’elle existe, cette borne supérieure est unique. Elle est notée sup(A). On définit de façon symétrique
la notion de borne inférieure. Par exemple, si A=n1
n+2,nNon vérifie:
sup(A)=1,inf(A)=min(A)=1
2:noter que Ane possède pas de plus grand élément pour cet
exemple.
On introduit par commodité l’ensemble R=R{−∞,+},afin de pouvoir étendre la notation sup(A)
à toute partie non vide de R:par exemple sup(N)=+
Théorème d’existence de la borne supérieure dans R
Dans R, toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. On peut énoncer un résultat ana-
logue pour les parties non vides et minorées qui admettent une borne inférieure.
Iest un intervalle de RIest une partie convexe de R,cestàdire:
(x, y)I2,λ[0,1],λx+(1λ)yI
Exemple I=] −∞,5]
Inégalités triangulaires:
(x, y)R2,||x||y|| 6|x+y|6|x|+|y|
On obtient ||x||y|| 6|x+y|à partir de |x0+y0|6|x0|+|y0|en posant x0=x+yet y0=x
de même
(x, y)R2,|xy|6|x|+|y|
Congruence modulo un réel astrictement positif:
Soit a>0:deux réels xet ysont congrus modulo assi yxa.Z={ka, k Z}
On montre que tout réel xest congru modulo aà un seul réel yappartenant à l’intervalle [0,a[:
xR,!nZ,!y[0,a[,x=na +y
1Seuls les résultats sont énoncés, sans démonstrations, mais accompagnés d’exemples . Il ne s’agit pas d’un cours mais plutôt d’un recueil de définitions, qui peut permettre par son
caractère abrupt de vérifier que l’on a bien compris tel ou tel concept.
1lycée Dessaignes 2005-2006
Exemple: 5
31
3mod 2
Partie entière d’un réel: lorsque a=1,l’entier relatif nest appelé partie entière de x,notéen=E(x)et
y=xE(x)est parfois appelé la partie fractionnaire de x.
xR,xxE(x)mod1
On retiendra:
E(x)Zet E(x)6x<E(x)+1
Remarque : On retrouve l’entier ndéfini plus haut dans la congruence modulo apar x=na +yàlaide
de la partie entière : on a en effet n=E(x
a)
Valeur décimale approchée par défaut d’un réel:
soit x[0,1[ et nun entier naturel non nul:
!(a1, ..., an){0,1,2,...,9}n,si y=
n
k=1
ak10k,alors y6x<y+10
n
yest la valeur décimale approchée par défaut de xà10nprès. De plus
k{1, .., n},a
k=E(10kx)10E(10k1x)
par exemple si x=21=0,414... alors a1=4,a
2=1,a
3=4
Isomorphisme du groupe (R,+) dans le groupe (R+,.)
La fonction exponentielle établit un isomorphisme de groupe de (R,+) dans (R+,.), dont l’isomor-
phisme réciproque est la fonction logarithme népérien
(x, y)R2,exp(x+y)=exp(x) exp(y)
(x, y)R+2,ln(xy)=ln(x)+ln(y)
Attention, isomorphisme de groupe est un terme qui,isolé, ne veut rien dire : il faut bien préciser la
structure de groupe (A, ..)de départ et la structure de groupe (B,T..)d’arrivée ( en fait préciser les lois )
et ne pas oublier bien sûr de vérifier le caractére bijectif de l’application ainsi que le respect des lois ,T
2 Suites de nombres réels
Une suitedenombreréelsest une application de Ndans R. L’ensemble des suites de nombres réels est noté
RN. On note uRNou (un)nNRN.
Soit uune suite de nombres réels
uest majorée (resp minorée) ssi
MR,nN,u
n6M(resp un>M)
uest bornée ssi
MR+,nN,|un|6M
ce qui revient à dire qu’elle est à la fois minorée et majorée
uest croissante (resp décroissante) si
nN,u
n+1 un>0(resp un+1 un60)
On appelle suite extraite de (un)nNtoute suite (vn)nN=(uϕ(n))nNformée de certains termes de la suite
u, extraits à l’aide d’une fonction ϕ:NNstrictement croissante.Siuest bornée, toutes ses suites
extraites le sont. De même si uest monotone, il en va de même de toutes ses suites extraites.
Par exemple, la suite (un=(1+(1)n)n)nNest minorée, non majorée, non monotone. Sa suite
extraite ( u2n+1)obtenue pour ϕ(n)=2n+1est constante égale à 0.
2lycée Dessaignes 2004-2005
2.1 Suites convergentes
La suite uRNest convergente vers aRlorque
ε>0,NN,n>N,|una|6ε
Par exemple la suite un=n1
n+2 est convergente vers 1
Notation:lim
n→∞ un=a:
lim
n→∞ un=alim
n→∞ una=0
Remarque : il est équivalent de dire lim
n→∞ un=0ou lim
n→∞ |un|=0
Une suite est convergente s’il existe un réel atel que lim
n→∞ un=a
Sinon elle diverge.
Par exemple la suite un=(1+(1)n)ndiverge
Toute suite convergente est bornée
Les suites convergentes forment un sous espace vectoriel de RN.De plus:
Si lim
n→∞ un=aet lim
n→∞ vn=balors (λ)R2(λun+µvn)nNconverge et lim
n→∞ λun+µvn=λa+µb
Les suites convergentes vers 0forment un sous espace vectoriel de RN.Deplus
Si lim
n+un=0et si vest bornée alors lim
n+vnun=0
Lorsqu’une suite converge vers a>0,
NN,n>N,un>0
Si une suite (un)nNconverge vers a, toute suite extraite de uconverge vers a.
2.2 Suites divergentes vers +(resp -)
La suite udiverge vers +(resp -)ssi
AR,NN,n>N, A6un(resp un6A)
Attention, une suite qui diverge ne diverge pas forcément vers +ou -comme le montrent les exemples
un=(1+(1)n)n,vn=cos(n)
Si une suite (un)nNdiverge vers +, toute suite extraite de udiverge vers +
Les suites obéissent aux règles suivantes en ce qui concerne les inégalités
Si lim
n+vn=0 et si NN,n>N,|un|6|vn|alors lim
n+un=0
Si lim
n+un=+et si NN,n>N,un6vnalors lim
n+vn=+
Si lim
n→∞ un=lim
n→∞ wn=aet si nN,u
n6vn6wn,alors lim
n→∞ vn=a
Suites de références an,n
α
|a|<1lim an=0,|a|>1lim |a|n=+
α<0lim nα=0,α>0lim nα=+
2.3 Relations de Comparaison
Etant donnée une suite (vn)de nombres réels non nuls, et une suite (un)de nombres réels:
uest dominée par vlorsque
3lycée Dessaignes 2005-2006
AR+,nN,un
vn
6A
On note un=O
n→∞ (vn)(grand O )
uest négligeable devant vlorsque:
ε>0,NN,n>N, un
vn
6ε
ce qui revient à dire que :
lim
n→∞(un
vn
)=0
On note un=o
n→∞ (vn)(petit o)
La suite uest équivalente à la suite vlorsque unvn=o
n→∞ (vn), ce qui revient à dire que :
ε>0,NN,nN, |unvn|ε|vn|
Ou encore lorsque vnne s’annulle pas:
lim
n→∞(un
vn
)=1
On note un
n→∞ vn
Si un
n→∞ vnet an
n→∞ bnalors anun
n→∞ bnvnet an
un
n→∞
bn
vn
Si un=an+bnet bn=o
n→∞ (an)alors un
n→∞ an
Attention de ne pas ajouter deux équivalents
Observer le contre exemple suivant :
n+1
n→∞ n+2 et n
n→∞ n+1
n
cependant 1n’est pas équivalent à 2+ 1
n
Une erreur très répandue est de croire que si deux suites sont équivalentes et si l’une est croissante à partir
d’un certain rang l’autre aussi : on peut se convaincre du contraire grâce au contre-exemple un=n,vn=
n+(1)n
Voici le tableau des ’Croissances comparées ’’
0<a<ban=o(bn)soit lim
(an
bn)=0
1<aet αRnα=o(an)soit lim
(annα)=0
|a|<1et αRan=o(nα)soit lim
(annα)=0
α>0et βR(ln(n))β=o(nα)soit lim
(nα(ln(n))β)=0
α<0et βRnα=o((ln(n))β)soit lim
(nα(ln(n))β)=0
aRet αRnα=o(n!) et an=o(n!) soit lim
(an
n!)=lim
(nα
n!)=0
La hiérarchie est donc la suivante lorsque a>1et α>0, la suite factorielle domine anet nα,lasuite
andomine nα,etlasuitenαdomine les suites (ln(n))β
Si un
n→∞ vnalors unet vnsont de même signe à partir d’un certain rang.
2.4 Suites usuelles
4lycée Dessaignes 2004-2005
Suites arithmétiques
un+1 =un+r
un=u0+nr
n
k=p
uk=(np+1)up+un
2
n
k=1
k=n(n+1)
2
Suites géométriques
un+1 =qun
un=qnu0
n
k=p
uk=up
1qnp+1
1qsi q6=1
n
k=0
qk=1qn+1
1q
Suites arithmético-géométriques (q6=1)
un+1 =qun+r(un+1 l)=q(unl)avec l=lq +r
un=qn(u0l)+l
Exemple: un+1 =2un+1et u0=1.On cherche le point fixe lde la fonction f(x)=2x+1qui est ici
égal à -1 , puis un+1=2
n(u0+1)soit un=2
n+1 1
Sommes usuelles n
k=0
k2=n(n+ 1)(2n+1)
6
n
k=0
k3=(
n
k=1
k)2=n2(n+1)
2
4
Suites homographiques
un+1 =aun+b
cun+d
ces suites peuvent s’étudier en cherchant les solutions l1,l
2de l’équation l=al +b
cl +d,
puis en se ramenant lorsque l16=l2à la suite vn=unl1
unl2
, qui vérifie
vn+1 =l2
l1
vn
ce qui permet d’expliciter un
Théorème de la limite monotone : Toute suite croissante de nombres réels qui est majorée est convergente
:onaalors
lim un=sup {un,nN}
L’énoncé subsiste pour les suites décroissantes et minorées , et
lim un=inf {un,nN}
Théorème des suites adjacentes: Si deux suites u, v vérifient : ucroissante , vdécroissante et lim vnun=
0,alorsnN,u
n6vnet les deux suites uet vconvergent vers la même limite l;deplus
(n, p)N,u
n6l6vp
5lycée Dessaignes 2005-2006
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