Volume n° Application linéaire - Mathématiques et Physiques

Volume n°
Application linéaire
Géraud Sarrebourse de la Guillonnière
21 mai 2013

Table des matières
1 Application linéaire 1
1.1 Définition ........................................................ 1
1.2 Imageetnoyau..................................................... 3
1.3 Rangetnullité ..................................................... 3
1.4 Théorèmedurang ................................................... 4
1.5 Continuité........................................................ 4
1.6 Structurealgébrique .................................................. 5
1.6.1 Applicationlinéairenulle ........................................... 5
1.6.2 Applicationlinéaireidentité.......................................... 5
1.6.3 Espace vectoriel (L(E, F ),+,•)........................................ 5
1.6.4 Anneau (L(E, F ),+,o)............................................. 5
1.6.5 Norme sur L(E, F )............................................... 6
1.6.6 Espace de Banach L(E, F ).......................................... 6
1.7 Formelinéaire...................................................... 6
1.7.1 Définition.................................................... 6
1.7.2 Baseduale ................................................... 7
1.7.3 Sous-espace orthogonal de A......................................... 8
1.7.4 Bidual...................................................... 8
2 Application linéaire remarquable 9
2.1 Endomorphismenilpotent ............................................... 9
2.2 Homothétie de rapport α............................................... 9
2.3 Projecteur........................................................ 9
2.3.1 Définition.................................................... 10
2.3.2 Projection.................................................... 10
2.3.3 Caractérisationd’unprojecteur........................................ 13
2.4 Involution........................................................ 15
2.4.1 Définition.................................................... 15
2.4.2 Symétrie..................................................... 16
2.4.3 Caractérisationdesinvolutions ........................................ 17
2.5 Dilatation........................................................ 19
2.6 Transposée ....................................................... 19
2.7 Rotation......................................................... 20
3 Matrice d’un vecteur dans une base 22
4 Matrice d’AL de Esur Fdans 2 bases 23
4.1 Définition ........................................................ 23
4.2 Matricesremarquables................................................. 26
4.2.1 Matricenulle .................................................. 26
4.2.2 Matriceunité.................................................. 27
4.2.3 Matricecolonneetligne............................................ 28
4.2.4 Matricecanonique ............................................... 28
4.2.5 Matrice triangulaire supérieure et inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.6 Matricediagonale ............................................... 29
4.2.7 Matriced’unprojecteur ............................................ 29
4.2.8 Matriced’unesymétrie ............................................ 30
4.2.9 Matricetransposée............................................... 30
4.3 Opérationsurlesmatrices............................................... 30
4.3.1 Addition..................................................... 30
4.3.2 Produitparunscalaire ............................................ 30
1

4.3.3 Produitdematrices .............................................. 31
4.3.4 Produitparbloc ................................................ 33
4.3.5 ProduitdeKronecker ............................................. 34
4.4 Calcul en terme de composante de y=f(x)..................................... 34
4.5 Structurealgébrique .................................................. 34
4.5.1 Espace vectoriel (Mmn(K),+,•)....................................... 35
4.5.2 Anneau (Mn(K),+,×)............................................ 35
4.5.3 Algèbre (Mn(K),+,•,×)........................................... 35
4.6 Matrice inversible dans (Mn(K),+,×)........................................ 35
4.6.1 Définition.................................................... 35
4.6.2 Structure algébrique : groupe (GLn(K),×)................................. 35
4.6.3 Unicité ..................................................... 36
4.6.4 Inversiond’unproduit............................................. 36
4.6.5 Inversionparbloc ............................................... 36
4.7 Puissanced’unematrice ................................................ 37
4.8 Formule ......................................................... 37
4.8.1 (A+B)n(binôme)............................................... 37
4.8.2 An−Bn..................................................... 37
4.8.3 An+Bn, (nimpaire) ............................................. 37
5 Existence de matrice inversible : déterminant 39
5.1 Déterminantd’unematrice .............................................. 39
5.1.1 Permutation .................................................. 39
5.1.2 Inversion .................................................... 39
5.1.3 Signature .................................................... 39
5.1.4 Produit élémentaire de scalaire signé d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.5 Déterminant .................................................. 41
5.2 Calculdudéterminantenpratique .......................................... 42
5.2.1 Règle de Sarrus pour les matrices 2×2et 3×3............................... 42
5.2.2 Sous-matrice .................................................. 42
5.2.3 Mineuretcofacteur .............................................. 42
5.3 Autreapplicationdudéterminant........................................... 44
5.3.1 Aire ....................................................... 44
5.3.2 Volume ..................................................... 44
6 Existence de matrice inversible : th du rang 46
6.1 Rangd’unematrice................................................... 46
6.2 noyauetnullitéd’unematrice............................................. 46
6.3 Théorèmedurang ................................................... 46
7 Calcul de matrice inversible : cofacteur 47
7.1 Co-matrice ....................................................... 47
7.2 Matriceadjointe .................................................... 47
7.3 Méthodedescofacteurs ................................................ 47
8 Elimination de Gauss-Jordan :pivot de Gauss 49
8.1 Matricesetopérationsélémentaires.......................................... 49
8.1.1 Définition.................................................... 49
8.1.2 Matriceéquivalenteparligne ......................................... 50
8.2 Matriceaugmentée................................................... 51
8.3 Matrice échelonnée et échelonnée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9 Application de l’élimination de Gauss-Jordan 53
9.1 Inversed’unematrice.................................................. 53
9.2 Déterminant....................................................... 53
9.3 Rang........................................................... 54
9.4 Bases de Ker f et Im f ................................................ 54
9.5 Résolution d’un système d’équation linéaire : pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.5.1 Équation linéaire complète et homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.5.2 Espace vectoriel des solutions de l’équation linéaire homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.5.3 Espace affine des solutions de l’équation linéaire complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.5.4 Systèmed’équationlinéaire .......................................... 56
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9.5.5 Espace vectoriel des solutions d’un système d’équation linéaire homogène . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.5.6 Espace affine des solutions d’un système d’équation linéaire complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9.5.7 Système d’équation linéaire et matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.5.8 Résolution.................................................... 58
9.6 Résolution d’un système d’équation linéaire : règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10 Décomposition LU 60
10.1Définition ........................................................ 60
10.2Application ....................................................... 60
10.2.1 Déterminant .................................................. 60
10.2.2 Inversionmatrice................................................ 60
10.2.3 Résolution d’un système d’équation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
11 Changement de base 61
11.1Matricedepassage................................................... 61
11.2Application ....................................................... 62
11.2.1 Changement de coordonnées pour un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
11.2.2 Changement de matrice pour une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.3Matriceéquivalente................................................... 64
11.4Matricesemblable ................................................... 64
11.5Invariantdesimilitude................................................. 65
11.5.1 Déterminant .................................................. 65
11.5.2 Trace ...................................................... 65
11.5.3 Rang....................................................... 66
12 Diagonalisation 67
12.1 Vecteur propre, valeur propre et spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
12.2Polynômed’unendomorphisme............................................ 68
12.2.1 Caractéristique................................................. 68
12.2.2 Invariantdesimilitude............................................. 70
12.2.3 Annulateur ................................................... 70
12.2.4 Minimal..................................................... 71
12.3Sous-espacestable ................................................... 71
12.4Espacepropre...................................................... 71
12.5Existenceetunicité................................................... 72
12.6Basedediagonalisation ................................................ 74
12.7Application ....................................................... 74
12.7.1 Diagonalisation................................................. 74
12.7.2 Puissanced’unematrice............................................ 75
13 Décomposition de Dunford 76
14 Trigonalisation 77
14.1Définition ........................................................ 77
14.2Existence ........................................................ 77
14.3Sous-espacecaractéristique .............................................. 77
14.4Vecteurpropregénéralisé ............................................... 77
15 Décomposition de Cholesky 78
16 Réduction de Jordan 79
16.1BlocdeJordan ..................................................... 79
16.2MatricedeJordan ................................................... 79
16.3Existenceetunicité................................................... 80
16.4Espacecaractéristique ................................................. 80
16.5BasedeJordan..................................................... 80
16.6Application ....................................................... 80
16.6.1 Proposition ................................................... 80
16.6.2 RéductiondeJordan.............................................. 81
17 Bilan : existence de matrice inversible 82
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18 Bilan : matrices remarquables 83
18.1Matricenulle ...................................................... 83
18.2Matriceunité ...................................................... 83
18.3Matricecolonneetligne ................................................ 83
18.4Matricecanonique ................................................... 84
18.5 Matrice triangulaire supérieure et inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
18.5.1 Définition.................................................... 84
18.5.2 Déterminant .................................................. 84
18.5.3 Matriceinverse................................................. 85
18.6Matricediagonale.................................................... 85
18.6.1 Définition.................................................... 85
18.6.2 Déterminant .................................................. 85
18.6.3 Matriceinverse................................................. 86
18.6.4 Matricepuissance ............................................... 86
18.7Matricescalaire..................................................... 86
18.8Matricetransposée................................................... 86
18.9Matriceconjuguée ................................................... 87
18.10Matricenilpotente ................................................... 87
18.11Matrice positive et strictement positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
18.12Matricedéfiniepositive ................................................ 88
18.13Matricederotation................................................... 88
18.13.1Déterminant .................................................. 90
18.14Matriced’unprojecteur ................................................ 90
18.15Matriced’unesymétrie................................................. 90
18.16Matrice symétrique et antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
18.17Matricedepermutation ................................................ 91
18.18Matricededilatation.................................................. 92
18.19Matricedetransvection ................................................ 92
18.20Matriceorthogonale .................................................. 92
18.21MatricedeHouscholder ................................................ 92
18.22MatricedeHadamard ................................................. 92
18.23MatricedeHankel ................................................... 93
18.24MatricedeToeplitz................................................... 93
18.25Matricecirculante ................................................... 94
18.26Matriceanticirculante ................................................. 94
18.27MatricedeVandermonde ............................................... 95
18.27.1Définition.................................................... 95
18.27.2Déterminant .................................................. 95
18.27.3Déterminant .................................................. 96
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