TS – Restitution Organisée de Connaissance [email protected] - http://gaellebuffet.free.fr/ Table des matières 1. COMPARAISON DE SUITES (CHAPITRE 1 : LES SUITES ) ........................................................................ 1 2. SUITE CROISSANTE CONVERGENTE (CHAPITRE 1 : LES SUITES )........................................................ 1 3. LIMITE DE LA SUITE (QN) (CHAPITRE 1 : LES SUITES ) ............................................................................ 2 4. DIVERGENCE DES SUITES CROISSANTES ET NON MAJOREES (CHAPITRE 1 : LES SUITES ) ........ 2 5. UNICITE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE (CHAPITRE 4 : LA FONCTION EXPONENTIELLE ) 3 6. LIMITES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE (CHAPITRE 4 : LA FONCTION EXPONENTIELLE ) 3 7. THEOREME FONDAMENTAL (CHAPITRE 9 : CALCUL INTEGRAL ) ....................................................... 3 8. EXISTENCE DE PRIMITIVES (CHAPITRE 9 : CALCUL INTEGRAL )......................................................... 4 9. THEOREME DU TOIT (CHAPITRE 12 : GEOMETRIE DANS L’ESPACE ) ................................................ 4 10. EQUATION CARTESIENNE D’UN PLAN (CHAPITRE 12 : GEOMETRIE DANS L’ESPACE )................ 5 11. DROITE ORTHOGONALE A UN PLAN (CHAPITRE 12 : GEOMETRIE DANS L’ESPACE ) .................. 5 12. INDEPENDANCE D’EVENEMENTS (CHAPITRE 5 : PROBABILITES CONDITIONNELLES ).............. 6 13. DUREE DE VIE SANS VIEILLISSEMENT (CHAPITRE 10 : LOIS CONTINUES ET ESTIMATION ) .... 6 14. ESPERANCE – LOI EXPONENTIELLE (CHAPITRE 10 : LOIS CONTINUES ET ESTIMATION ) ......... 6 15. LOI NORMALE (CHAPITRE 10 : LOIS CONTINUES ET ESTIMATION ) .................................................. 7 16. INTERVALLE DE FLUCTUATION (CHAPITRE 11 : LOIS CONTINUES ET ESTIMATION ) ................ 7 17. INTERVALLE DE CONFIANCE (CHAPITRE 11 : LOIS CONTINUES ET ESTIMATION ) ...................... 8 1. Comparaison de suites (chapitre 1 : Les suites ) Propriété : Soit ( ) ∈ℕ et ( ) ∈ℕ deux suites Si à partir d’un certain rang ≤ et lim →%& = +∞ alors lim →%& = +∞ Démonstration Soit + ∈ ℝ fixé arbitrairement, puisque lim = +∞ alors l’intervalle de la forme 2+; +∞4 contient toutes les valeurs →%& rang 56 , 7 ≥ 56 ⇒ >+ or à partir d’un certain rang 5; , 7 ≥ 5; ⇒ ≥ On note 5 le plus grand des rangs 56 et 5; , on a alors 7≥5⇒ ≥ >+ c’est à dire que tout intervalle de la forme 2+; +∞4 avec + ∈ ℝ contient toutes les valeurs rang 5 donc lim = +∞ █ →%& à partir d’un certain à partir d’un certain 2. Suite croissante convergente (chapitre 1 : Les suites ) Propriété Si une suite est croissante et admet pour limite le nombre réel >, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à >. Démonstration par l’absurde Soit ( ) ∈ℕ une suite croissante qui admet pour limite le réel > et on suppose la négation de « tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à > » soit les termes de la suite ne sont pas tous inférieurs ou égaux à >. Page 1 sur 8 On suppose qu’il existe un terme de la suite supérieur à > : ( ) ∈ℕ une suite croissante donc pour tout 7 ≥ 7C ≥ Puisque B > >, il existe D > 0 tel que B = > + D > > lim →%& H H B B >> = > donc l’intervalle ouvert F> − ; > + I contient toutes les valeurs ; ; H ; H ; à partir d’un certain rang 76 donc pour tout 7 ≥ 76 ⟹ > − ≤ ≤>+ Notons 5 le plus grand des rangs 7C et 76 alors D D 7≥5⟹>− ≤ ≤ > + et ≥ B donc ≥ >+D 2 2 C’est impossible, on ne peut pas avoir en même temps D ≤>+ et ≥>+D 2 Ce qui implique que notre supposition de départ est fausse donc il n’existe pas de terme de la suite supérieur à > ou encore tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à > █ Propriété : Si N > 1 alors lim N = +∞ 3. Limite de la suite (qn) (chapitre 1 : Les suites ) →%& Démonstration dans dans le cas où P > 1 : Lemme : Inégalité de Bernoulli Soit S un nombre réel strictement positif, pour tout entier naturel 7, (1 + S) ≥ 1 + 7S. Démonstration par récurrence du lemme : Etape n°1 : initialisation Pour 7 = 0, (1 + S)C = 1 et 1 + 0 × S donc (1 + S) ≥ 1 + 7S Etape n°2 : hérédité Soit un entier naturel 7 fixé arbitrairement, On suppose que (1 + S) ≥ 1 + 7S et démontrons que (1 + S) %6 ≥ 1 + (7 + 1)S (1 + S) ≥ 1 + 7S (1 + S)(1 + S) ≥ (1 + 7S)(1 + S) (1 + S) %6 ≥ 1 + S + 7S + 7S; %6 (1 + S) ≥ 1 + (7 + 1)S + 7S; ≥ 1 + (7 + 1)S car 7S; > 0 Etape n°3 : conclusion La propriété (1 + S) ≥ 1 + 7S est vraie au rang 0 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier naturel 7. N > 1 donc il existe S ∈ ℝ%∗ tel que N = 1 + S Par conséquent, N = (1 + S) et d’après l’inégalité de Bernoulli N = (1 + S) ≥ 1 + 7S pour tout 7 ∈ ℕ. or S > 0 donc lim (1 + 7S ) = +∞ →%& et donc par comparaison lim N = +∞█ Propriété Si la suite ( ) →%& 4. Divergence des suites croissantes et non majorées (chapitre 1 : Les suites ) ∈ℕ est croissante et non majorée alors lim →%& = +∞ Démonstration La suite ( ) ∈ℕ est majorée lorsque ∃\ ∈ ℝ, ∀7 ∈ ℕ ≤\ donc la suite ( ) ∈ℕ est non majorée lorsque ∀\ ∈ ℝ, ∃7C ∈ ℕ >\ B ( ) or la suite ≥ B>\ ∈ℕ est croissante donc ∀7 ∈ ℕ ce qui signifie que pour tout nombre réel \, il existe un rang 7C à partir duquel tous les termes suivant sont supérieur à \, par conséquent lim = +∞█ →%& Page 2 sur 8 5. Unicité Unicité de de la la fonction fonction exponentielle exponentielle (chapitre (chapitre 4 : La fonction exponentielle Propriété – définition : Il existe une unique fonction a dérivable dérivable sur sur , telle que : a′ ' a et a(0 ' 1. On l’appelle On l’appelle fonction fonction exponentielle exponentielle notée notée exp. exp. Démonstration : L’existence est L’existence est admise admise et et démontrons démontrons l’unicité. l’unicité. Soit b une autre fonction dérivable sur , ℝ telle que : b′ ' b et b(0 ' 1. d On pose c = e Puisque pour tout f ∈ ,, a(f g 0, c est définie et dérivable sur ,. Pour tout f ∈ ,, ( a(f a b′(f a(f G b(f a′(f b(f G b(f a(f ch (f ' ' '0 ; ; a (f a (f donc c est une fonction constante sur , d(C ( ' c(0 ' or a(0 ' b(0 ' 1 donc ∀f ∈ ,, c(f '1 ∀f ∈ ,, d(j e(j e(C ' 1 donc a(f ' b(f ∎ 6. Limites de la fonction exponentielle (chapitre 4 : La fonction exponentielle Propriété lim l j ' (∞ j→ →%& et lim l j ' 0 j→n& Démonstration : Limite en (∞ : La fonction a(f ' l j G f est définie et dérivable sur ,. ∀f ∈ ,, a′(f ' l j G 1 C j h( l ' 1 donc ∀f 8 0 l 8 1 d’où a (f 8 0 (f 8 a(0 ⟺ l j G f 8 l C G Par conséquent, la fonction a(f ' l j G f est croissante sur 40; (∞4 donc ∀f 8 0, a(f 0 donc l j G f : 0 ⟺ l j : f pour tout f 8 0. On en déduit, par comparaison, que lim l j ' (∞. j→%& & Limite en G∞ : ∀f ∈ ,, l j ' 1 or lim G f ' (∞ et lim l j ' (∞ j→n& j→%& 1 j donc lim l ' lim nj ' 0∎ j→n& j→n& l l nj 7. Théorème fondamental (chapitre 9 : Calcul intégral Théorème : Si a est une fonction continue et positive sur 4S, q2, la fonction r j ( C et a pour dérivée a. dépinie sur 4S, q2 par r ∶ f ⟼ u a(v wv est dérivable en fC ∈ 4S, q2 et r h (fC ' a(f x Démonstration dans le cas où y est croissante sur 4~, •2:: Soit fC ∈ 4S, q2 choisi arbitrairement, c ∈ , avec fC ( c ∈ 4S, q2 1er cas : lorsque c : 0, d’après la relation de Chasles : jB %z u jB jB %z a(v wv ' u a(v wv ( u a(v wv donc r(fC ( c G r(fC ' u a(v wv x x jB jB %z jB j %z a est croissante sur 4S, q2 donc on peut encadrer €j B B a(v wv par l’aire des deux rectangles de largeur { et de longueur y(•‚ et y(•‚ ( { : Page 3 sur 8 jB %z c × a(fC ) ≤ u jB a(v)wv ≤ c × a(fC + c) c × a(fC ) ≤ r(fC + c) − r(fC ) ≤ c × a(fC + c) 2e cas : lorsque c < 0 D’après la relation de Chasles : y(•‚ ) ≤ jB ƒ(•‚ + {) − ƒ(•‚ ) ≤ y(•‚ + {) { jB %z u a(v)wv = u x x jB a(v)wv + u jB %z jB %z soit r(fC ) = r(fC + c) + u a(v)wv jB jB %z donc r(fC ) − r(fC + c) = u jB %z or (−c) × a(fC + c) ≤ u jB jB a(v)wv a(v)wv a(v)wv ≤ (−c) × a(fC ) (−c) × a(fC + c) ≤ r(fC ) − r(fC + c) ≤ (−c) × a(fC ) r(fC ) − r(fC + c) a(fC + c) ≤ ≤ a(fC ) −c ƒ(•‚ + {) − ƒ(•‚ ) y(•‚ + {) ≤ ≤ y(•‚ ) { Conclusion : a est continue en fC donc lim a(fC + c) = a(fC ) z→C r(fC + c) − r(fC ) donc d'après les gendarmes lim = a(fC ) z→C c soit ∀fC ∈ 4S, q2, r est dérivable en fC et r′(fC ) = a(fC ) On en déduit que r est dérivable sur 4S, q2 et r′ = a∎ 8. Existence de primitives (chapitre 9 : Calcul intégral ) Théorème : Toute fonction a continue sur un intervalle † admet des primitives sur †. Démonstration dans le cas d’un intervalle fermé borné ‡ = 4~, •2,, en admettant que la fonction possède un minimum ˆ sur ‡ (On admet le cas général) : Soit la fonction définie sur † par b(f) = a(f) − ‰, pour tout f ∈ †, a(f) ≥ ‰ ⟺ b(f) ≥ 0 La fonction b est continue et positive sur 4S, q2, alors la fonction j Š ∶ f ⟼ u b(v)wv est une primitive de b sur 4S, q2 x Soit alors, la fonction ∀f ∈ † r(f) = Š(f) + ‰f, ∀f ∈ † r h (f) = Š h (f) + ‰ = b(f) + ‰ = a(f) donc a admet des primitives sur 4S, q2∎ 9. Théorème du toit (chapitre 12 : Géométrie dans l’espace ) Théorème du toit : Œ et Œ′ sont deux plans sécants suivant une droite Δ. Si w une droite de Œ et w′ une droite de Œ′ sont parallèles alors Δ est parallèle à w et w′. Démonstration : On note Ž• un vecteur directeur de ∆ et • un vecteur directeur de w et w′. On démontre que Δ est parallèle à w et w′ en raisonnant par l’absurde. Page 4 sur 8 On suppose donc que Δ n’est pas parallèle à w. Dans ce cas, les vecteurs Ž• et • ne sont pas colinéaires, Ž• et • sont alors deux vecteurs directeurs du plan Œ. De la même façon, Δ n’est pas parallèle à w′ donc Ž• et • sont alors deux vecteurs directeurs du plan Œ′. Par conséquent, Œ et Œ′ possèdent deux vecteurs directeurs en commun, ils sont donc parallèles, ce qui est contradictoire avec l’hypothèse faite de plans sécants. Par conséquent, Δ est parallèle à w et w′∎ 10. Equation cartésienne d’un plan (chapitre 12 : Géométrie dans l’espace ) Propriété : L’espace est muni d’un repère orthonormé S Un plan Œ de vecteur normal non nul 7Ž• “q• admet une équation cartésienne de la forme Sf + q– + ”— + w = 0 ” où w ∈ ℝ. Réciproquement S, q, ” trois nombres réels non tous nuls et w un réel, l’ensemble des points \(f; –; —) tels que S Sf + q– + ”— + w = 0 est un plan de vecteur normal 7Ž• “q•. ” Démonstration : S Soit Œ un plan de vecteur normal 7Ž• “q• et passant par +(f™ ; –™ ; —™ ). ” f − f™ S ŽŽŽŽŽŽ• – Soit \(f; –; —) ∈ Œ alors +\. 7Ž• = 0 = š − –™ › . “q • = S(f − f™ ) + q(– − –™ ) + ”(— − —™ ) — − —™ ” ŽŽŽŽŽŽ•. 7Ž• = Sf + q– + ”— − Sf™ − q–™ − ”—™ = 0 +\ Soit Œ l’ensemble des points \(f; –; —) tels que Sf + q– + ”— + w = 0 • Si S ≠ 0, + œ− x ; 0; 0ž vérifie Sf + q– + ”— + w = 0 donc + ∈ Œ. • S S f+x • ŽŽŽŽŽŽ• Posons 7Ž• “q • alors +\. 7Ž• = Ÿ – . “q• = S œf + xž + qf + ”— = Sf + w + qf + ”— = 0 ” ” — Les vecteurs ŽŽŽŽŽŽ• +\ et 7Ž• sont orthogonaux donc Œ est le plan passant par + et de vecteur normal 7Ž•. Si S = 0 alors soit q ≠ 0 soit ” ≠ 0, on reprend la démonstration avec ” w + ¡0; − ; 0¢ ou + œ0; 0; − ž ∎ q q 11. Droite orthogonale à un plan (chapitre 12 : Géométrie dans l’espace ) Propriété : Une droite est orthogonale à toute droite d’un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Démonstration : La condition nécessaire est évidente. Condition Suffisante : Soit w une droite de vecteur directeur Ž• orthogonale à w6 et w; deux droites sécantes de vecteurs directeurs respectifs ŽŽŽŽ•6 et ŽŽŽŽ•. ; Soit ∆ de vecteur directeur •, une droite quelconque du plan Les vecteurs •, ŽŽŽŽ•6 et ŽŽŽŽ•; sont coplanaires donc il existe S et q deux réels tels que • = S ŽŽŽŽ•6 + q ŽŽŽŽ•; On a alors Ž•. • = Ž•. (S ŽŽŽŽ•6 + q ŽŽŽŽ•) ; = SŽ•. ŽŽŽŽ• 6 + qŽ•. ŽŽŽŽ• ; = 0 donc w est orthogonale à ∆∎ Page 5 sur 8 12. Indépendance d’événements (chapitre 5 : Probabilités conditionnelles ) Propriété : Si + et ¤ sont deux événements indépendants alors +̅ et ¤ sont aussi indépendants. Démonstration : + ∩ ¤ et +̅ ∩ ¤ forment une partition de ¤ donc §(¤) = §(+ ∩ ¤) + §(+̅ ∩ ¤) or + et ¤ sont indépendants donc §(+ ∩ ¤) = §(+) × §(¤) par conséquent §(+̅ ∩ ¤) = §(¤) − §(+ ∩ ¤) §(+̅ ∩ ¤) = §(¤) − §(+) × §(¤) §(+̅ ∩ ¤) = ¨1 − §(+)© × §(¤) or §(+̅) = §(Ω) − §(+) = 1 − §(+) et donc §(+̅ ∩ ¤) = §(+̅) × §(¤) ̅ On en déduit que + et ¤ sont indépendants eux aussi∎ 13. Durée de vie sans vieillissement (chapitre 10 : Lois continues et estimation ) Propriété : Soit « une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, pour tous réels v et c positifs, §¬-® (« ≥ v + c) = §(« ≥ c). Démonstration : §(« ≥ v et « ≥ v + c) §(« ≥ v + c) = car c ≥ 0 §(« ≥ v) §(« ≥ v) ® ® l n°j n°j §(« ≥ v) = 1 − §(« < v) = 1 − u ¯ l wf = 1 − ¯ ± ² −¯ C C l n°® 1 §(« ≥ v) = 1 − ¯ “ − • = 1 − ¨1 − l n°® © = l n°® −¯ −¯ de la même façon : §(« ≥ v + c) = l n°(®%z) l n°(®%z) l n°® × l n°z §¬-® (« ≥ v + c) = = = l n°z = §(« ≥ c)∎ l n°® l n°® §¬-® (« ≥ v + c) = 14. Espérance – loi exponentielle (chapitre 10 : Lois continues et estimation ) Propriété : Soit « une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre ¯ sur 40; +∞4, on note a sa densité, « admet une espérance j 1̄ ³(«) = lim u v × a(v)wv = Démonstration : j j→%& C j ³(«) = lim u v × a(v)wv = lim u v × ¯l n°® wv j→%& C j→%& C n°® On cherche une primitive de ¯vl sous la forme r(v) = (‰v + ´)l n°® h (v) n°® n°® r = ‰l − ¯(‰v + ´)l = (−¯‰v − ¯´ + ‰)l n°® n° ‰ = ° = −1 −¯‰ = ¯ ¶ ¶ donc r(v) = œ−v − 6ž l n°® est une primitive de v × ¯l n°® . Par identification : µ ⟺· n6 ° −¯´ + ‰ = 0 ´= ° j j 1̄ ³(«) = lim u v × ¯l n°® wv = lim ¸¡−v − ¢ l n°® ¹ j→%& C 1̄ ³(«) = lim ¡−f − ¢ l et j→%& lim fl n°j = lim j→%& j→%& n°j 1̄ × + j→%& 1̄ C 1̄ 1̄ = lim ¡ − fl n°j − l n°j ¢ or j→%& ¯f 1̄ = 0 donc ³(«) = ∎ l °j lim l n°j = 0 car ¯ > 0 j→%& Page 6 sur 8 15. Loi normale (chapitre 10 : Lois continues continues et estimation ) Propriété : Soit « une variable aléatoire qui suit la loi normale º(0; 1), pour tout » ∈ 20; 14, il existe un unique réel positif ¼ > 0 tel que §(− ¼ ≤ « ≤ ¼ ) = 1 − » Démonstration : La fonction a est continue donc elle admet une primitive mais cette primitive n’est pas exprimable par les fonctions usuelles. Pour tout > 0, par symétrie de la courbe de a(f) = À ¿ 6 ln À √;¾ Á §(− ≤ « ≤ ) = 2§(0 ≤ « ≤ ) = 2 u a(f)wf = 2r( ) C où r est la primitive de a sur ℝ qui s’annule en 0. La fonction r est donc continue et strictement croissante sur 20; +∞4 car a(f) > 0 sur 20; +∞4. Á 1 De plus lim r( ) = lim u a(f)wf = donc Á→%& Á→%& C 2 0 2r( ) +∞ 1 0 Pour tout » ∈ 20; 14, 1 − » ∈ 20; 14 D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel positif ¼ > 0 tel que 2r( ¼ ) = §(− ¼ ≤ « ≤ ¼ ) = 1 − » De plus 2r étant monotone, le réel ¼ est unique∎ 16. Intervalle de fluctuation (chapitre 11 : Lois continues et estimation ) Propriété : Si  suit la loi ℬ(7; ´), alors, pour tout » dans 20; 14 on a,  lim § ¡ ∈ † ¢ = 1 − » →%& 7 Å´(1 − ´) Å´(1 − ´) où † = Ä´ − ¼ ,´ + ¼ Æ √7 √7 et ¼ désigne le nombre réel tel que §(− ¼ ≤ « ≤ ¼ ) = 1 − » lorsque « suit la loi º(0; 1). Démonstration :  ↪ ℬ(7; ´) ³( ) = 7´ et È( ) = Å7´(1 − ´) D’après le théorème de Moivre-Laplace Ë n Í La variable centrée réduite Ê = Ì vérifie pour tous réels S et q : Ï lim §(Ê ∈ 4S, q2) = u →%& x 1 √2Î Å Í(6nÍ) jÀ l n ; wf = §(S ≤ « ≤ q) où « ↪ º(0; 1) or pour tout » dans 20; 14, il existe un unique réel positif tel que §(− ¼ ≤ « ≤ ¼ ) = 1 − » lim §(− ¼ ≤ Ê ≤ ¼ ) = §(− ¼ ≤ « ≤ ¼ ) = 1 − » →%& = lim § œ7´ − →%& ¼ Å7´(1 − ´) ≤  ≤ 7´ + = lim § š´ − →%& ¼ >0 ¼ Å7´(1 − Å´(1 − ´) lim § ¡ →%& ¼ √7 ≤ ´)ž  ≤´+ 7  ∈† ¢= 1−»∎ 7 ¼ Å´(1 − ´) √7 › Page 7 sur 8 17. Intervalle de confiance (chapitre 11 : Lois continues et estimation ) Propriété : Lorsque 7 est assez grand, l’intervalle 1 ¸r − ,r + 1 ¹ √7 √7 contient la proportion ´ avec une probabilité au moins égale à 0,95. Cet intervalle s’appelle intervalle de confiance pour ´ au niveau de confiance 95%. Démonstration :  ↪ ℬ(7; ´) ³( ) = 7´ et È( ) = Å7´(1 − ´) D’après le théorème de Moivre-Laplace Ë n Í La variable centrée réduite Ê = Ì vérifie pour tous réels S et q : Ï lim §(Ê ∈ 4S, q2) = u →%& x où « ↪ º(0; 1) En particulier 1 √2Î Å Í(6nÍ) jÀ l n ; wf = §(S ≤ « ≤ q) lim §(−2 ≤ Ê ≤ 2) = §(−2 ≤ Ê ≤ 2) ≥ 0,9544 > 0 →%& Donc pour 7 assez grand, §(−2 ≤ Ê ≤ 2) sera très proche de 0,9544 Par exemple avec D = 0,0004, il existe 5C ∈ ℕ, tel que pour tout 7 ≥ 5C 0,954 ≤ §(−2 ≤ Ê ≤ 2) ≤ 0,9548 §(−2 ≤ Ê ≤ 2) ≥ 0,95  − 7´ § “−2 ≤ ≤ 2• ≥ 0,95 Å7´(1 − ´) § œ7´ − 2Å7´(1 − ´) ≤  ≤ 7´ + 2Å7´(1 − ´)ž ≥ 0,95 § š´ − 2Å´(1 − ´) √7 ≤  2Å´(1 − ´) ≤´+ › ≥ 0,95 7 √7 Or Å´(1 − ´) ≤ pour tout ´ ∈ 40,12 En effet, la fonction a ∶ ´ ∈ 40; 12 ⟼ ´(1 − ´) = −´; + ´ 6 ; a h (´) = −2´ + 1 = 0 ⟺ ´ = 6 6 6 a admet un maximum atteint pour ´ = ; et qui vaut a œ;ž = Ó donc ¸´ − donc pour tout ´ 6 6 0 ≤ ´(1 − ´) ≤ Ó ⟺ 0 ≤ Å´(1 − ´) ≤ ; ;ÅÍ(6nÍ) √ et donc § œ´ − 6 √ et enfin § œr − ;ÅÍ(6nÍ) √ ≤r ≤´+ 6 √ ;´ + 6 √ ≤´≤r + ¹ ⊂ I´ − ž > 0,95 6 √ 6 √ ;´ + ž > 0,95∎ 6 √ 1 2 F Page 8 sur 8