Matrices Orthogonales et Isométries vectorielles

Matrices Orthogonales et Isom´etries vectorielles
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MPSI - Prytan´ee National Militaire
Pascal Delahaye
24 mai 2016
Dans ce chapitre, on consid`ere un espace euclidien (E, h., .i) de dimension n.
1 Les isom´etries vectorielles
1.1 D´efinitions
D´ efinition 1 : Isom´etries vectorielles
Soit u∈ L(E).
On dira que uest une isom´etrie vectorielle lorsque : ∀x∈E, ku(x)k=kxk.
On note O(E) l’ensemble des isom´etries vectorielles de E.
Remarque 1.Ainsi : un endomorphisme de Eest une isom´etrie vectorielle si et seulement si il conserve la norme.
Exemple 1. (∗) L’identit´e de Eest une isom´etrie vectorielle. (cf plus loin les sym´etries orthogonales)
Th´ eor` eme 1 : Groupe orthogonal
(O(E),◦) est un sous-groupe du groupe lin´eaire (GL(E),◦).
On l’appelle le groupe orthogonal de E.
Les isom´etries vectorielles sont aussi appel´ees des automorphismes orthogonaux.
Preuve 1 : On montre que O(E) est une partie non vide de GL(E)stable par la loi de composition
stable par sym´etrisation .
Remarque 2.Ce th´eor`eme signifie en particulier que :
1. La compos´ee de deux isom´etries vectorielles est une isom´etrie vectorielle.
2. La bijection r´eciproque d’une isom´etrie vectorielle est une isom´etrie vectorielle.
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Exercice : 1
(∗) Soit Fun sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien Eet f∈ O(E). Montrer que f(F⊥) = (f(F))⊥.
Th´ eor` eme 2 : Caract´erisation par la conservation du produit scalaire
uest une isom´etrie vectorielle ⇐⇒ ∀(x, y)∈E2,hu(x), u(y)i=hx, yi
Preuve 2 : Equivalence facile `a d´emontrer en utilisant l’identit´e de polarisation.
Remarque 3.En particulier, une isom´etrie vectorielle conserve donc d’orthogonalit´e.
Th´ eor` eme 3 : Caract´erisation `a l’aide de l’image d’une bon
Soit u∈L(E) et ǫune bon de E.
uest une isom´etrie vectorielle ⇐⇒ l’image de la bon ǫest une bon
Preuve 3 : Soit u∈L(E).
uest une isom´etrie vectorielle ⇐⇒ ∀(p, q)∈[[1, n]]2,hu(ǫp), u(ǫq)i=hǫp, ǫqi
⇐⇒ ∀(p, q)∈[[1, n]]2,hu(ǫp), u(ǫq)i=δpq
⇐⇒ u(ǫ) bon
Remarque 4.
1. Pour que u∈ L(E) soit une isom´etrie vectorielle, il suffit qu’il transforme UNE bon en une bon.
2. Si utransforme UNE bon en une bon, alors il transforme toutes les bon en bon.
Th´ eor` eme 4 : Endomorphisme orthogonal induit
Si un sev Fest stable par u∈ O(E) alors :
1. uinduit un endomorphisme orthogonal sur F. (u|F∈ O(F))
2. F⊥est aussi stable par uqui induit ainsi un endomorphisme orthogonal sur F⊥.
Preuve 4 :
1. Pas de difficult´e !
2. Soit x∈F⊥, et y∈F. Il s’agit de montrer que hu(x), yi= 0.
Remarquer que ∃z∈Ftel que y=u(z) ...
Remarque 5.Lorsque Fest stable par un endomorphisme orthogonal u, alors la matrice de udans une base eobtenue
en r´eunissant une base de Fet une base de F⊥est une matrice diagonale par blocs.
1.2 L’exemple des sym´etries orthogonales
Soient Fet Gdeux sev de Etels que E=F⊕G.
Rappels :
1. ∀x∈E, il existe donc une unique d´ecomposition x=x1+x2avec x1∈Fet x2∈G.
La sym´etrie par rapport `a F
parall`element `a Gest alors l’application : s:E−→ E
x7→ x1−x2
.
2. On a alors : F= ker(s−idE)
G= ker(s+ idE)et la caract´erisation : s∈ L(E) est une sym´etrie ⇐⇒ s◦s= idE
3. s= 2p−IdEo`u pest la projection sur Fparall`element `a G.
4. Lorsque dim F < +∞, alors E=F⊕F⊥.
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D´ efinition 2 : Sym´etrie orthogonale
Soit Fun sev de dimension finie d’un espace pr´ehilbertien r´eel E.
La sym´etrie par rapport `a F
parall`element `a F⊥est appel´ee sym´etrie orthogonale par rapport `a F.
Dessin
Sym´etrie orthogonale sur un sev F
On d´etermine x′=s(x) grace `a l’´equivalence :
x′=s(x)⇐⇒ x′+x∈F
x′−x∈F⊥
Exemple 2. (∗) On consid`ere un espace vectoriel euclidien Emuni d’une base orthonorm´ee B= (i, j, k).
Former la matrice dans Bde la sym´etrie orthogonale par rapport au plan Pd’´equation x=z.
Remarque 6.Une sym´etrie orthogonale par rapport `a un hyperplan (en dimension finie !) est appel´ee une r´eflexion.
Exercice : 2
(∗) Soit u∈R3∗euclidien usuel et sla r´eflexion par rapport `a {u}⊥.
1. D´eterminer l’expression de s(X) o`u X= (x, y, z)∈R3.
2. Donner la matrice de sdans la base canonique lorsque u= (1,0,1).
Proposition 5 : Soit sune sym´etrie de Eun espace pr´ehilbertien.
Pour prouver que sest une sym´etrie orthogonale, il suffit de v´erifier que ker(s+ id) ⊂ker(s−id)⊥
Preuve 5 :
1. L’´egalit´e des dimensions est imm´ediate lorsque Eest de dimension finie.
2. Sinon, on montre l’inclusion r´eciproque en remarquant que ker(s+ id) ⊕ker(s−id) = E
ker(s−id)⊥⊕ker(s−id) = E.
Exercice : 3
(∗∗) Montrer qu’une sym´etrie vectorielle est une isom´etrie si et seulement si c’est une sym´etrie orthogonale.
On pourra donc retenir que ”parmi les sym´etries, seules les sym´etries orthogonales sont des isom´etries”.
2 Les matrices orthogonales
2.1 D´efinitions
D´ efinition 3 : Matrices orthogonales
On dit qu’une matrice A∈Mn(R) est orthogonale si et seulement si :
tAA =In( ou AtA=In)
On note On(R) (ou encore O(n)) l’ensemble des matrices orthogonales `a coefficients r´eels.
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Remarque 7.
1. Une matrice orthogonale est inversible et A−1=tA.
2. Une matrice orthogonale a un d´eterminant ´egal `a ±1.
Th´ eor` eme 6 : Caract´erisation pratique des matrices orthogonales
Soit A= ((aij )) ∈Mn(R).
Alors Aest une matrice orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes (C1,...,Cn)
forment une base orthonormale pour h., .ile produit scalaire usuel de Rn, c’est `a dire :
∀(p, q)∈[1, n]2,hCp, Cqiusuel =
n
X
i=1
aipaiq =δp,q
Cela nous donne un moyen simple de reconnaˆıtre si une matrice est orthogonale.
Preuve 6 : On exprime la relation tA.A =In`a l’aide des coefficients ou des vecteurs colonnes des matrices.
Remarque 8.
1. Comme on a aussi t(tA)tA=In, alors les vecteurs lignes de Aforment aussi une bon.
2. Les coefficients d’une matrice orthogonale sont tous inf´erieurs `a 1 en valeur absolue.
Exemple 3. (∗) Montrer que A=1
√51−2
2 1 est orthogonale et calculer A−1.
Exercice : 4
(∗∗) Soit A= ((aij )) ∈ On(R) une matrice orthogonale. Montrer que 
n
X
i=1
n
X
j=1
aij 
≤n
Aide : Penser `a utiliser l’in´egalit´e de Schwarz. Quel espace ? Quel Produit scalaire ? Quels vecteurs ?
Th´ eor` eme 7 : On(R) est un sous-groupe de (GLn(R),×) appel´e aussi le Groupe Orthogonal.
Preuve 7 : Pas de difficult´e.
Remarque 9.On(R) est aussi parfois not´e O(n).
2.2 Matrice d’une isom´etrie vectorielle dans une bon
Th´ eor` eme Fondamental 8 : La matrice d’une isom´etrie vectorielle dans une bon est orthogonale
Soit Eun espace euclidien, u∈L(E).
Alors :
uest une isom´etrie vectorielle ⇐⇒ sa matrice dans une bon est orthogonale
Preuve 8 : Soit u∈L(E) et Asa matrice dans une bon ǫ.
Les vecteurs colonnes Cide la matrice Asont les coordonn´ees des vecteurs u(ǫi) dans la bon ǫ.
On a donc : ∀(p, q)∈[1, n]2hu(ǫp), u(ǫq)i=hCp, Cqiusuel
hǫp, ǫqi=δpq .
Par cons´equent :
∀(p, q)∈[1, n]2hu(ǫp), u(ǫq)i=hǫp, ǫqi ⇐⇒ hCp, Cqiusuel =δpq
uisom´etrie vectorielle ⇐⇒ Amatrice orthogonale
Remarque 10.Attention ! ! Le r´esultat pr´ec´edent est faux si la base εn’est pas orthonormale.
Consid´erer par exemple ε= (−→ i , 2−→ j) et sla sym´etrie orthogonale par rapport `a Vect(1,1).
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Corollaire 9 : Caract´erisation des matrices de passage entre bon
Soit eune base orthonormale de Eet fune base.
Soit P=Pe→fla matrice de passage entre ces deux bases.
Alors
fest une base orthonormale ⇐⇒ Pest une matrice orthogonale
Preuve 9 : On consid`ere ul’endomorphisme de Ed´efini par ∀k∈[[1, n]], u(ek) = fk.
Soit Pla matrice de udans la bon e.Pest aussi la matrice de passage de evers f.
D’apr`es les th´eor`emes pr´ec´edents : uisom´etrie vectorielle ⇐⇒ fbon
uisom´etrie vectorielle ⇐⇒ Porthogonale CQFD ...
Remarque 11.Si eet fsont 2 bon de E, et P=Pe→falors P−1=tP.
En particulier, la formule de changement de bases s’´ecrit alors Af=tP AeP.
Remarque 12.En conclusion, une matrice orthogonale s’interpr`ete :
1. Soit comme la matrice d’une isom´etrie vectorielle dans une bon.
2. Soit comme la matrice de passage d’une bon vers une bon.
Exercice : 5
(∗∗)Caract´erisation des projections et des sym´etries orthogonales.
Soit Eun espace euclidien, u∈ L(E), eune bon de Eet U= Mate(u).
1. Montrer que uest une sym´etrie orthogonale ssi ”U2=Inou tU U =In” et tU=U.
2. Montrer que uest une projection orthogonale ssi U2=Uet tU=U.
2.3 Produit mixte
On consid`ere un espace euclidien Emuni d’un produit scalaire not´e h., .iet k.kla norme euclidienne associ´ee.
D´ efinition 4 : Orientation
Soient eet fdeux bases de Eet la matrice de passage P=Pe7→fentre ces deux bases.
On dit que les deux bases eet fd´efinissent la mˆeme orientation si et seulement si det(P)>0.
Orienter l’espace consiste `a choisir une base de r´ef´erence e.
Les bases de mˆeme orientation que esont dites directes et les autres indirectes.
Exemple 4. Si e= (e1, e2, e3) est la base canonique de R3, et si l’on choisit l’orientation d´efinie par cette base, alors
la base f= (e2, e3, e1) est directe alors que la base g= (e1, e3, e2) est indirecte.
Remarque 13.Lorsque l’on dit se placer dans ”Rneuclidien usuel orient´e”, on dit que l’espace Rnest muni du produit
scalaire usuel, de sa base canonique (qui est donc une bon), et que cette base est consid´er´ee comme directe.
Exercice : 6
(∗∗) Montrer que le proc´ed´e d’orthonormalisation de Schmidt ne change pas l’orientation de la base.
Proposition 10 : Matrice de passage entre deux bon
Soient e= (e1, . . . , en) et f= (f1, . . . , fn) deux bases orthonormales d’un espace euclidien E.
Notons P=Pe7→fla matrice de passage entre les bases eet f.
Alors :
1. det(P) = ±1 ;
2. Si les bon ont mˆeme orientation, alors det(P) = +1.
Preuve 10 : Il suffit de remarquer que Pest une matrice orthogonale.
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