Exercice n°1 On considère un parallélogramme ABCD tel que AB=5 cm et AD=3 cm. La bissectrice de l’angle BAD coupe (DC) en M et (BC) en N. Démontrer que les triangles ADM et ABN sont isocèles et semblables. Calculer le ratio . Exercice n°2 Démontrer que dans la figure suivante les triangles AMQ et APN sont semblables. En déduire l’égalité . Démontrer l’égalité suivante où R désigne le rayon du cercle : . Application : dans la figure ci-dessous, calculer AM sachant que ABCD a pour côté 6 cm. Exercice n°3 On considère le triangle ABC ci-dessous tel que AB = 28 mm, BC = 39 mm et AC = 42 mm. On note I le milieu du segment et D le point tel que ̂ Calculer la longueur ID. ̂ . Démontrer que les triangles AID et ABC sont semblables. Géométrie – Seconde – 2799 – Triangles semblables démonstrations – 21.04.12 http://www.soutienpedagogique.com Exercice n°1 Démontrons tout d’abord que le triangle ADM est isocèle. Comme la droite (AN) est la bissectrice l’angle ̂ , on a: ̂ ̂. Comme ABCD est un parallélogramme, les droites (AB) et (DC) sont parallèles. ̂ et ̂ sont donc ̂ ̂. des angles alternes-internes et on a : ̂ ̂ ̂ ̂ }⇒ ̂ ̂ ̂ Démontrons que les triangles ADM et ABN sont semblables. Comme ABCD est un parallélogramme, on a ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂. ̂ }⇒ ̂ Démontrons enfin que ABN est isocèle. Comme les triangles ADM et ABN sont semblables et que ADM est isocèle en D, alors : . On a AB=5 cm et AD=3 cm. On passe des longueurs des côtés du triangle ABN aux longueurs des côtés du triangle ADM avec un coefficient de réduction de . D’après le cours, on passe donc de l’aire du triangle ABN à l’aire du triangle ADM avec un coefficient de réduction de ( ) : ( ) Exercice n°2 Géométrie – Seconde – 2799 – Triangles semblables démonstrations – 21.04.12 http://www.soutienpedagogique.com Démontrons que AMQ et APN sont semblables. Comme P appartient à la droite (AQ) et N appartient à la droite (AN), on a évidemment : ̂ ̂. Comme les quatre points M, N, P et Q appartiennent au cercle, l’angle ̂ et l’angle ̂ sont deux ̂ ̂ ̂ angles inscrits qui interceptent le même arc ̂ . On a donc ̂ ̂ ̂ ̂ }⇒ ̂ . Déduisons-en l’égalité . Démontrons l’égalité suivante où R désigne le rayon du cercle : On voit sur la figure que : . . ⇒ Calculons la longueur AM de la deuxième figure, sachant que ABCD a pour côté 6 cm. . Calculons donc : On a d’après la question précédente : R est égal à la moitié du diamètre du cercle qui est clairement égal au côté du carré ABCD : On utilise le théorème de Pythagore sur le triangle ADC pour calculer AC et en déduire AO : √ √ √ √ √ Géométrie – Seconde – 2799 – Triangles semblables démonstrations – 21.04.12 http://www.soutienpedagogique.com On utilise le théorème de Pythagore sur le triangle pour calculer √ : √ √ est perpendiculaire à (DC) par définition d’une tangente à un cercle. est donc parallèle à (AD) puisque ̂ est un angle droit, et la distance entre et (AD) est égale à 3 et également à . On peut aisément démontrer que est le milieu de en se rappelant que ( √ ) (√ ) √ √ √ √ √ √ √ √ Exercice n°3 On considère le triangle ABC ci-dessous tel que AB = 28 mm, BC = 39 mm et AC = 42 mm. Démontrons que les triangles AID et ABC sont semblables. ̂ d’après l’énoncé.Comme P appartient à la droite (AB) et D appartient à la droite (AC), on a évidemment : ̂ ̂ . On a ̂ ̂ ̂ ̂ }⇒ ̂ Déduisons-en la longueur ID : Géométrie – Seconde – 2799 – Triangles semblables démonstrations – 21.04.12 http://www.soutienpedagogique.com